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高等代数习题

高等代数习题
高等代数习题

一 填空题(将正确答案写在横线上,每题3分,共15分)

1.3阶矩阵A 的3个特征值分别为1、-1、2,则*A =_____

2.多项式212

111

()321111x x x f x x x

-=中3x 项的系数为____

3.设,A B 为3阶矩阵,且1,2A B ==-,则12AB -=_____

4.已知223A A E O --=,则1(2)A E --=_______

5.已知123ααα=2,则31212αααα-=________

二 选择题(将正确答案写在括号内,每题3分,共15分)

1.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且满足AB BC AC E ===,则222A B C ++=(

) (A )O (B )E (C )2E (D )3E

2.对于线性方程组m n A X β?=,下列说法正确的是( )

(A )若m n <,则其必有无穷多解;

(B )AX β=有唯一解的充要条件是()R A n =;

(C )若AX β=有无穷解,则AX θ=有非零解;

(D )若AX θ=仅有零解,则AX β=有唯一解

3.设可逆矩阵A 的一个特征值1λ=,则矩阵21(2)A -的一个特征值为( )

(A )2 (B )-2 (C )1

2 (D )1

2-

4.若A 与B 相似,则( )

(A )E A E B λλ-=- (B )E A E B λλ-=- (C )A B = (D )**

A B =

5.A 、B 为n 阶矩阵,下列表达式中正确的是( )

(A )()222AB A B = (B )22()2A E A A E -=-+

(C )()T T T AB A B = (D )A B A B +=+

三 计算题(每题9分,共63分)

1. 设3阶方阵A 、B 满足2A B A B E --=,若101020201A ?

?

?= ? ?-??,求1B -

2. 设矩阵111111111111k k A k k ?? ? ?= ? ???

,且()3R A =,求k 3. 设向量1γ、2γ、3γ是方程组AX β=的3个解,()2R A =,且

121212γγ?? ?+=- ? ???,233233γγ?? ?+=- ? ???

求AX β=的通解

4. 求下列向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关向量组线性表示

11213α?? ? ?= ? ???,21111α?? ? ?= ?- ???,31335α?? ? ?= ? ???,44526α?? ? ?= ?- ???

5. 设矩阵A 与B 相似,其中

20022311A x -?? ?= ? ???,20001000B y ?? ?=- ? ???

(1) 求x 与y 的值

(2) 求矩阵P ,使得1P AP B -=

6. 设()1,2,3T α=,()3,1,1T

β=-,T A αβ=,求5A 7. 设有三维向量组111,1a α+?? ?= ? ???211,1a α?? ?=+ ? ???311,1a α?? ?= ? ?+??

20a a β?? ?= ? ???

问当a 为何值时:

(1)β不能由123,,ααα线性表示;

(2)β可由123,,ααα线性表示,且表示唯一;

(3)β可由123,,ααα线性表示,但表示不唯一,写出该表示式。

四 证明题(7分)

设A 为3阶矩阵,且230A E A E A E +=+=-=,证明*A E +可逆。

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.

授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页

,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解:A =???? ????????1111111111111111, 3|(4)E A λλλ-=-|,所以特征值为0,4(3重). 将特征值代入,求解线性方程组()0E A x λ-=,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量: 11111 ,,,)'2222α=( ,2α=, 3α= ,4'6662α--=(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证:(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ,D 为循环阵, 00n k k k E D E -?? = ??? ,(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.

且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++,令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈,必P ?上1n -次多项式()g x ,使()B g D =,反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知:2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基,且dim M n =. 四.解:A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以,不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==,初等因子为3 (2)λ+, 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五.证:"":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?:()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?

高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r . 1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时,用12-+mx x 去除q px x ++3,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2)q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ,即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时,用12++mx x 去除q px x ++24,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1);3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解:运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ,余式为.327)(-=x r

高等代数(上)_习题集(含答案)

《高等代数(上)》课程习题集 一、填空题1 1. 若3 1x -整除()f x ,则(1)f =( )。 2. 如果方阵A 的行列式 0=A ,则A 的行向量组线性( )关。 3. 设A 为3级方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且3 1= A ,则=--1*A A ( )。 4. 若A 为方阵,则A 可逆的充要条件是——( )。 5. 已知1 21 1A ??=????,1 12 1B ?? =???? ,且3A B C A B +=+,则矩阵C =( ) 。 6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于( )。 7. 设行列式01 49007 16 =--k ,则=k ( ) 8. 行列式 2 2 3 5 007425120403 ---的元素43a 的代数余子式的值为( ) 9. 设矩阵?? ? ? ??????-=40 3 212221 A ,11k α?? ?= ? ???,若αA 与α线性相关,则=α( ) 10. 设A 为3阶矩阵, 5 1= A ,则12--A =( ) 11. 已知:s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系,则系数矩阵A 的秩 =)(A R ( ) 12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是( ) 13. 多项式 )(x f 没有重因式的充要条件是( )

14. 若排列 n j j j 21的逆序数为k ,则排列11j j j n n -的逆序数为( ) 15. 当=a ( )时,线性方程组??? ??=++=++=++0 402032 21321321x a x x ax x x x x x 有零解。 16. 设A 为n n ?矩阵,线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要( ) 17. 设00 A X C ??=? ??? ,已知1 1 ,A C --存在,求1 X -等于( ) 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解,则A 的列向量组线性( )关 19. )(x p 为不可约多项式,)(x f 为任意多项式,若1))(),((≠x f x p ,则( ) 20. 设A 为4级方阵, 3-=A ,则=A 2( ) 21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量,如果n m > .,则这组向量线性( )关 22. 设矩阵?? ? ? ??????-=40 3 212221A ,11k α?? ?= ? ???,若αA 与α线性相关,则k=( )。 23. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于( ) 24. 设A 为n 阶方阵,若I 2A -A -7=0,求()1 3A I --=( ) 25. 如果2 4 2 11()|x A x B x -++,则A =( ),B =( )。 26. 若行列式1 25 1 3202 5 x -=,则x =( )。 27. 向量α线性无关的充要条件是( ) 28. 已知1 211A ??=????,1 12 1B ?? =???? ,且3A B C A B +=+,则矩阵C =( ) 。 29. 行列式 2 2 3 5 007425120403 ---的元素43a 的代数余子式的值为( )

高等代数习题

高等代数试卷 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式,那么)(x p 在F 中必定没有根。 ( ) 2、若线性方程组的系数行列式为零,由克莱姆法则知,这个线性方程组一定是无解的。 ( ) 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 ( ) 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。( ) 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 ( ) 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 ( ) 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 ( ) 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 ( ) 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 ( ) 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基,且∑==n i i i x 1αβ,那么 ∑== n i i x 1 2 β。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中,错误的是( ) ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=; ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=; ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=; ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式,那么( ) ①行列式与它的转置行列式相等; ②D 中两行互换,则行列式不变符号; ③若0=D ,则D 中必有一行全是零; ④若0=D ,则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1,那么( ) ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零; ②A 中每个r 阶子式都不为零;

高等代数试卷及答案1

高等代数 一、填空题 (共10题,每题2分,共20 分) 1.只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2.二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3.设A 是实对称矩阵,则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4.正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5.标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6.线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7.在22P ?中定义线性变换σ为:()a b X X c d σ?? = ??? ,写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8.设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间,且12V V ?,若12dim dim V V =,则_____________________。 9.叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10.向量α在基12,,,n ααα???(1)与基12,,,n βββ???(2)下的坐标分别为x 、y ,且从基(1)到基(2)的过渡矩阵为A ,则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 (共10 题,每题1分,共10分) 1.线性变换在不同基下的矩阵是合同的。( ) 2.设σ为n 维线性空间V 上的线性变换,则()1 0V V σσ -+=。 ( ) 3.平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实 数域上的线性空间。( ) 4.设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间,则 12n V V P ⊕= ( ) 5.2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。( ) 6.数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。( ) 7.把复数域C 看作复数域上的线性空间,C ξ?∈,令σξξ=,则σ是线性变换。( ) 8.若σ是正交变换,那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。( ) 9.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。( ) 10.若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换,则σ不可对角化。( )

高等代数试题附答案

科目名称:《高等代数》 姓名: 班级: 考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题(每小题5分,共25分) 1、在[]X P 中,向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ,一个最大无关组为 .。 3、(维数公式)如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间,那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ,特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题(每小题2分,共20分) 1、如果r a a a ,,,21 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。( ) 2、在][x P 中,定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0,是一固定的数,那么变换A 是线性变换。( ) 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。( ) 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。( )

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量,那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。( ) 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。( ) 7、若矩阵A 与B 相似,那么A 与B 等价。( ) 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。( ) 9、在)(2R M 中,若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成,那么W 是 )(2R M 的 子空间。( ) 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。( ) 三、明证题(每小题××分,共31分) 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换,证明:A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 (10) 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻,证明:如果δ是对称变幻, 2δ=l 是单位变幻,那么δ是正交变换。(11) 3、设V 是一个n 维欧氏空间,证明:如果21,W W 都是V 得子空间,那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。(10) 四、计算题(每小题8分,共24分) 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量,并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ,使得AU U '使对角形式,其中

高等代数(上)期末复习题培训课件

高等代数(1)复习题 一、判断题 1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。( ) 2、设D 为六阶行列式,则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。( ) 3、对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变。( ) 4、排列()3211Λ-n n 的逆序数为n 。( ) 5、排列()3211Λ-n n 为偶排列。( ) 6、若行列式中所有元素都是整数,且有一行中元素全为偶数,则行列式的值一定是偶数。( ) 7、若22B A =,则B A =或B A -=。( ) 8、若AC AB =,0≠A ,则C B =。( ) 9、若矩阵A 满足A A =2,则0=A 或E A =。( ) 10、设A 是n 阶方阵,若0≠A ,则必有A 可逆。( ) 11、若矩阵A 满足02=A ,则0=A 。( ) 12、若矩阵B A ,满足0AB =,且0A ≠,则0B =。( ) 13、对n 阶可逆方阵A ,B ,必有()111 ---=B A AB 。( ) 14、对n 阶可逆方阵A ,B ,必有()111 ---+=+B A B A 。( ) 15、设A ,B 为n 阶方阵,则必有B A B A +=+。( ) 16、设A ,B 为n 阶方阵,则必有BA AB =。( ) 17、若矩阵A 与B 等价,则B A =。( ) 18、若A 与B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵。( ) 19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零,则A 的秩为r 。( ) 20、设n m A ?,n m B ?为矩阵,则()()()B R A R B A R +≤+。( ) 21、设A =0,则()0=A R 。( )

高等代数试题附答案

高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

科目名称:《高等代数》 姓名: 班级: 考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题(每小题5分,共25分) 1、在[]X P 中,向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ,一个最大无关组为 .。 3、(维数公式)如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间,那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ,特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题(每小题2分,共20分) 1、如果r a a a ,,,21 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。( ) 2、在][x P 中,定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0,是一固定的数,那么变换A 是线性变换。( ) 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。( ) 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。( ) 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量,那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。( ) 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。( )

高等代数习题答案.doc

高等代数(北大第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章—矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第二部分,其他请搜索,谢谢!

12.设 A 为一个 n 级实对称矩阵,且 A 0 ,证明:必存在实 n 维向量 X 0 ,使 X AX 0 。 证 因为 A 0,于是 A 0 ,所以 rank A n ,且 A 不是正定矩阵。故必存在非 退化线性替换 X C 1Y 使 XAX YC 1 ACY Y BY y 12 y 22 y p 2 y p 2 1 y p 2 2 y n 2 , 且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在 Z C 1Y 中,令 y y 2 y p 1 0, y p 1 y p 2 y n 1, 则可得一线性方程组 c 11 x 1 c 12 x 2 c 1n x n c p 1 x 1 c p 2 x 2 c pn x n , c p 1,1 x 1 c p 1, 2 x 2 c p 1,n x n 1 c n1 x 1 c n 2 x 2 c nn x n 1 由于 C 0 ,故可得唯一组非零解 X s x 1s , x 2s , , x ns 使 X s AX s 0 0 0 1 1 1 n p 0 , 即证存在 X 0,使 X AX 0 。 13 .如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵,证明: A B 也是正定矩阵。 证 因为 A, B 为正定矩阵,所以 X AX , X BX 为正定二次型,且 X AX 0 , X BX 0 , 因此 X A B X X AX X BX 0 , 于是 X A B X 必为正定二次型,从而 A B 为正定矩阵。 14 .证明:二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数 p 秩 r ,则 p r 。即 f x 1 , x 2 , , x n y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 , 1 2 p p 1 r 若令

《高等代数》试题库

《高等代数》试题库 一、选择题 1.在里能整除任意多项式的多项式是()。 .零多项式.零次多项式.本原多项式.不可约多项式 2.设是的一个因式,则()。 .1 .2 .3 .4 3.以下命题不正确的是()。 . 若;.集合是数域; .若没有重因式; .设重因式,则重因式 4.整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要.既不充分也不必要 5.下列对于多项式的结论不正确的是()。 .如果,那么 .如果,那么 .如果,那么,有 .如果,那么 6.对于“命题甲:将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为;命题乙:对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立;. 甲不成立, 乙成立;.甲, 乙均成立;.甲, 乙均不成立 7.下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根; . 代数基本定理适用于复数域; .任一数域包含;.在中, 8.设,为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . . 9.行列式中,元素的代数余子式是()。 .... 10.以下乘积中()是阶行列式中取负号的项。 .; .;.;. 11. 以下乘积中()是4阶行列式中取负号的项。 .; .;.; . 12. 设阶矩阵,则正确的为()。 . . . . 13. 设为阶方阵,为按列划分的三个子块,则下列行列式中与等值的是() . . . . 14. 设为四阶行列式,且,则() . . . . 15. 设为阶方阵,为非零常数,则() . . . . 16.设,为数域上的阶方阵,下列等式成立的是()。 .;. ;

.; . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆,则结论正确的是() . . . . 18.如果,那么矩阵的行列式应该有()。 .; .;.; . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲:;命题乙:”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立;. 甲不成立, 乙成立;.甲, 乙均成立;.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵,则()。 . . . . 21.若矩阵,满足,则()。 .或;.且;.且;.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于,则()。 .至多有一个阶子式不为零; .所有阶子式都不为零;.所有阶子式全为零,而至少有一个阶子式不为零;.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆,是矩阵的伴随矩阵,则结论正确的是()。 .;.;.;. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵,则=() . . . . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ; .与同解; .若可逆, 则;.反对称, -反对称 26.如果矩阵,则() . 至多有一个阶子式不为零;.所有阶子式都不为零.所有阶子式全为零,而至少有一个阶子式不为零;.所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵,满足,则的行列式应该有()。 . . . . 28. 是阶矩阵,是非零常数,则 ( )。 . ; . ;. . 29. 设、为阶方阵,则有(). .,可逆,则可逆 .,不可逆,则不可逆 .可逆,不可逆,则不可逆.可逆,不可逆,则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵,满足,则下列矩阵哪个可逆()。 . . . 31. 为阶方阵,,且,则()。 .; .;.;. 32. ,,是同阶方阵,且,则必有()。 . ; . ;.. 33. 设为3阶方阵,且,则()。 .;.;.;. 34. 设为阶方阵,,且,则(). . .或. . 35. 设矩阵,则秩=()。 .1 .2 .3 .4

《高等代数》(上)题库

《高等代数》(上)题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5,用x+1除f(x)余数为7,则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时,由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时,由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3,用x-1除余数为5,那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3,则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b,则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根,那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根,2,1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根,则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果(f(x),g(x))=1,(h(x),g(x))=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式,p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式,f(x)是任一多项式,则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x),则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),且(g(x),h(x))=1,则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2

高等代数例题(全部)

高等代数例题 第一章 多项式 1.44P 2 (1)m 、p 、q 适合什么条件时,有2 3 1x mx x px q +-++ 2.45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++,3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式,求t 、 u 的值。 3.45P 14 证明:如果((),())1f x g x =,那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4.45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5.46P 24 证明:如果(1)()n x f x -,那么(1)()n n x f x - 6.46P 25 证明:如果233 12(1)()()x x f x xf x +++,那么1(1)()x f x -,2(1)()x f x - 7.46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8.46P 28 (4)多项式1p x px ++ (p 为奇素数)在有理数域上是否可约? 9.47P 1 设1()()()f x af x bg x =+,1()()()g x cf x dg x =+,且0ad bc -≠。求证: 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10.48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ,()g x 的一个最小公倍式,如果(1)()()f x m x ,()()g x m x ; (2)()f x ,()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明:如果()f x ,()g x 的首项系数都为1,那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11.设 m 、n 为整数,2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12. 求证:如果()d x |()f x ,()d x |()g x ,且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合,那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13. 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14. 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证:()g x |()f x 。

高等代数真题答案

第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.

3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.

6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????

2019年浙江大学高等代数试题解答word资料4页

1。解:由题意可知 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++= 故()323p x x x x =--+ 2。证明:由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根,在()f x '有重数大于1的非零根,根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根,从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解:由于()111n n k j k k k j n D x x x =≤<≤=-∏∏,又可知 从而知()() () ()1 11 1 111n n i n i i i i i j k k j n D y x x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n i i j k k j n D x x δ≤<≤=-∏,从 而知 4。解;由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而 ()1当1α≠时,A 可逆 ()2由于当1α=时()()() 1 11n T T E E XY E XY λλλλ--+=--=-,从而A 的特 征 多 项 式 为 () 1 1n λλ--故 ()1 rank A n =-, 又 ()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -=== 从而()()rank A rank A E n =-=,从而2A A =,故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-,从而()m λ无重根,从而A 可对角化 5。证明:若1n =时,11A a =显然满足。若2n =时,由于2 112212A a a a =-,由于A 为正定矩阵,从而0A >,即2112212a a a >,从而1122A a a ≤等号成立时, 12210a a ==,即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件 若小于n 时成立,且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令 11 nn A b A b a ??=???? ,则11A 为1n -阶正定矩阵,从而1 11A -存在且也为正定矩阵。又

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =,

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β==

高等代数习题集

高等代数习题集

高等代数习题集 苏州大学数学科学学院高等代数组收集 2003, 4,30 1.设X = ,求X。 2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的,证明:存在n维向量X0,使X0'AX0 = 0,其中A是该二次型的矩阵。 3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。 a 证明:W是P[x]4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 4.在R3中定义变换A:任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x -4x2, 3x3)。 1 1, 证明:A是Rr3上线性变换, 2, 求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 5.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形。 6.设V是数域P上n维线性空间,A是V上可逆线性变换,W是A的不变 子空间。证明:W也是A-1的不变子空间。

7.设V是n维欧氏空间,A是V上变换。若任意,V,有 (A, A) = (,)。证明:A是V上线性变换,从而是V上正交变换。 8.设X = ,求X。 9.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0,证明:存在实n维向量X0 0,使X0'AX0 > 0。 10.设A = ,W = {|R4, A = 0}。证明: 1.[1,]W是4的一个子空间。 2.[2,]求W的维数与一组基。 11.设B,C = ,在R2 x 2中定义变换A: 任意X R2 x 2, A(X) = BXC。 1, 证明:A是R2 x 2上线性变换。。 2, 求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 12.用正交线性替换,化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标 准形。 13.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换,若 (A2)-1(0) = A-1(0), 证明:V = AV.+A-1(0)。 14.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换,W是A的不变子空间。证明: W也是A的不变子空间。 15.设X = ,求X。

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1.?判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1)?在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2)?在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3)?在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4)?在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5)?在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6)?在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7)?把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=。 8)?在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,

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