2014-2015学年第一学期期末考试课程试卷参考答案

课名称：数学建模方法 课程号：SAM12I001 考核方式： 考查

一、设计划生产生产A 、B 、C 、D 、E 五种产品分别为54321,,,,x x x x x 单位，则可建立线性规划问题数学模型：

???????≥≤++++≤+++≤+++++++=0

,,,,2122222423102..2119132518max 54321543215431

53

2154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x S

Max=18*x1+25*x2+13*x3+19*x4+21*x5; X1+2*x2+x3+x5<10; X1+x3+3*x4+2*x5<24 ;

X1+2*x2+2*x3+2*x4+2*x5<21 ;

二、首先引进松弛变量4x 、5x ，将线性规划问题化成标准型： ???

??≥=+++=+++++=0,,,,3054345

536..500300400S max 5

432153214321321x x x x x x x x x x x x x t s x x x

得最优解：,554321=x 去掉松弛变量，得到原线性规划问题的最优解：3500S max ;3,0,5321====x x x 。 三（1）问题的最优解为：4450z max ;10,70,0,4004321=====x x x x 。

即：最有生产方案为生产A 型号产品400单位、C 型号产品70单位、D 型号产品10单位，B 型号产品不生产。可使利润达到最大，最大利润为4450元。

（2）对偶线性规划问题为：

?????

????≥≥+++≥+++≥+++≥++++++=0

,,,8

4551185264289644..300020002400480min 43214321

4321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t s y y y y w

对偶问题的最优解为：

4450min ;75.0,5.0;0,5.24321=====w y y y y 。

（3）目标函数的系数的灵敏度分析反映A 、B 、C 、D 的单位产品利润分别在以下范围内变化时，不会引起最优基的改变，也就是不会改变产品的结构。

A 产品单位利润的变化范围：6

57

653]5.09,6/19[1≤

≤=

+-c ； B 产品单位利润的变化范围：5.6]5.06,6[2≤<-∞=+∞-c ；尤其是当B 产品单位利润超过6.5元，则应该生产B 产品，产品的结构发生了变化。

C 产品单位利润的变化范围：3

3410]3/111,111[3≤≤=+-c ； D 产品单位利润的变化范围：77]18,18[4≤≤=+-c 。

约束条件右端的常数项的灵敏度分析反映影子价格不变的冲压、成形、装配、喷漆车间的资源的变化范围。

冲压车间的可利用时间的变化范围500400]20480,80480[1≤≤=+-b ；

成形车间的可利用时间的变化范围+∞<≤=∞+-21790]2400,6102400[b ；尤其是当成形车间的可利用时间小于1790小时时，成形车间的影子价格会大于零。

装配车间的可利用时间的变化范围24001980]4002000,202000[3≤≤=+-b ； 喷漆车间的可利用时间的变化范围30402720]403000,2803000[4≤≤=+-b 四、(1)数学模型

???

??==≥=++=++=++=++=+++=+++=++++++++++++++=)4,3,2,1;3,2,11(0;30;50;65;4540

;80;70..514121074632985max 342414332313322212312111343332312423222114131211343332312423222114131211j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x x x Z ij

（2）初始调运方案：

34

附：Lingo10.0程序

model:

! A 3Warehouse, 4 Customer

Transportation Problem;

SETS:

WAREHOUSE / WH1..WH3/ : CAPACITY;

CUSTOMER / C1..C4/ : DEMAND;

LINKS( WAREHOUSE, CUSTOMER) : COST, VOLUME; ENDSETS

! The objective;

[OBJ] MIN = @SUM( LINKS: COST * VOLUME);

! The demand constraints;

@FOR(CUSTOMER( J): [DEM]

@SUM(WAREHOUSE( I): VOLUME( I, J)) =

DEMAND( J));

! The supply constraints;

@FOR( WAREHOUSE( I): [SUP]

@SUM( CUSTOMER( J): VOLUME( I, J)) =

CAPACITY( I));

! Here are the parameters;

DATA:

CAPACITY = 70,80,40;

DEMAND = 45,65,50,30;

COST = 5,8,9,2,3,6,4,7,10,12,14,5;

ENDDATA

End

五、（1）层次分析的主要步骤为：

1.建立递阶层次结构；

2.构造比较判别矩阵；

3.在单准则下的排序及一致性检验；

4.总的排序选优。

（2）方案层对目标层的权重

()

?????

? ??=????

? ??=)1(3)1(2)1(1)2(3

)2(2)2(1321,,w w w P P P w w w W ????

?

??=????? ??????? ??=4611.03888.01503.01095.05815.03090.03332.06153.02158.00751.02922.06816.05917.00925.01025.0 进行总排序的一致性检验：

1095.058.05815.058.03090.058.01095

.0230143.35815.0230027.33090.0230027.358.0230037.3?+?+????? ??-+???? ??-+???? ??-+

??

? ??- 0066.00034.00032.0=+= 六、优属度模糊矩阵 地区甲 地区乙 地区丙 地区丁 变异系数 权重 0.8357 1.0000 0.8366 0.7280 0.1320 0.2333 0.9175 0.8874 0.8220 1.0000 0.0815 0.1440 1.0000 0.8340 0.9542 0.8422 0.0909 0.1606 0.9515 1.0000 0.9537 0.8949 0.0453 0.0801 0.8637 1.0000 0.9199 0.7098 0.1511 0.2671 0.8814 0.8758

0.8670

1.0000

0.0651

0.1150

综合评价结果（越大越靠前） 地区甲 地区乙 地区丙 地区丁

0.8960 0.9429

0.8886 0.8254

地区乙，地区甲，地区丙，地区丁。 七、首先求解线性规划问题 ???????≥-=--≥+-≤++++=0

,,534610..64max 321321321

3213

21x x x x x x x x x x x x t s x x x S Max=x1+4*x2+6*x3; X1+x2+x3<10; X1-6*x2+x3>4; X1-3*x2-x3=-5 ;

其次，求解线性规划问题： ???????≥-≥---≤--≥+-≤++++=0

,,7

3333

613..64max 321321

321321

3213

21x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x S Max=x1+4*x2+6*x3; X1+x2+x3<13; X1-6*x2+x3>3; X1-3*x2-x3<-3 ; X1-3*x2-x3>-7 ; 63-47.5=15.5

最后求解线性规划问题： ???????

??≥-≥----≤+--≥-+-≤+++≥-++=0,,7233233

613

35.475.1564..max 321321321

321

321321x x x w x x x w x x x w x x x w x x x w x x x t s w

g Max=w ;

x1+4*x2+6*x3-15.5*w>47.5; X1+x2+x3+3*w<13; X1-6*x2+x3-w>3; X1-3*x2-x3+2*w<-3 ; X1-3*x2-x3-2*w>-7 ; S= x1+4*x2+6*x3;