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四川外语学院重庆第二外国语学校2017届高三下学期第二次检测数学(理)试题含答案

重庆二外高2017学部2016—2017学年度下期第2次月考

理科数学

（命题人：郑铁柱审题人：黄洪琴）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分） 1.若复数

a 213++(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则a 的值为（） A.

23 B.2

- C.6 D.-6 2.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合

B C U ?A ＝( )

A.{2,5}

B.{3,6}

C.{2,5,6}

D.{2,3,5,6,8}

3.已知向量)21(，-=，)1-(，m =，)23(-=，，若⊥-)(，则m 的值是（） A.

27 B.3

C.3

D.-3 4.直线2:+=my x l 与圆02222=+++y y x x 相切，则m 的值为（） A.1或-6 B.1或-7 C.-1或7 D.1或7

5.甲盒子中装有2个编号分别为1,2的小球，乙盒子中装有3个编号分别为

1,2,3的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出的两个小球的编号之和为奇数的概率为（） A.

32 B.21 C.31 D.6

1 6.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（） A.280 B.29

2 C.360 D.372

7.设0>w ，函数2)3

sin(++

=π

wx y 的图象向右平移

4π

个单位后与原图象重合，则w 的最小值是（） A.

32 B. 3

4 C.23 D.3 8.如果执行右面的程序框图，输入46==m n ，，那么输出的p 等于（） A.720 B.360 C.240 D.120

9.若5

cos -

=α，α是第三象限的角，则2

tan

12tan 1αα-+=( )

A.-

21 B.2

C.2

D.-2 10.在区间],[ππ-内随机取两个数分别记为b a ，，则函数222)(b ax x x f -+= +2

π有零点的概率（） A.8-1π B.4-1π C.2-1π D.2

3-1π

11.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.)20(， B.)12

(， C.)21(， D.)2(∞+， 12.记函数)(x f （

e x e

≤<1

，e=2.71828…是自然对数的底数）的导数为)('x f ，函数)(')1

()(x f e

x x g -

=只有一个零点，且)(x g 的图象不经过第一象限，当e x 1>时，

x x x f 1

1ln 1ln 4)(>

+，0]1ln 1ln 4)([=+++x x x f f ，下列关于)(x f 的结论，成立的是（）

A.)(x f 最大值为1

B.当e x =时，)(x f 取得最小值

C.不等式0)(

D.当

时，)(x f ＞0 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.在△ABC 中，若3

sin 4

∠=A B b ，，π

，则=a . 14.正方体1111D C B A ABCD -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为 . 15.由直线03

y x x ，，π

与x y sin =所围成的封闭图形的面积为 ______. 16.设函数?????<<≥=10ln

1ln )(x x

x x x x x f ，，，若}{n a 是公比大于0的等比数列，且1543=a a a ，若

16212)(...)()(a a f a f a f =+++，则1a = ______ ．

三、解答题(70分)

17.已知等差数列{}n a 满足：267753=+=a a a ，，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ．（2）令n b =

a -(*N n ∈)，求数列{}n

b 的前n 项和n T ． 18.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1（2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.

19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，

60BAD ∠= .

（1）求证：BD PAC ⊥平面；

（2）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值；（3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

20.设(,)P a b 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的动点，21F F ，为椭圆

的左右焦点且满足212||||.PF F F = （1）求椭圆的离心率e ；

（2）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22(1)(16++=x y 相交于M ，N 两点，且5

||||8

MN AB =

，求椭圆的方程. 21.已知函数1

()[1(2)1(2)]2

f x t n x n x =

+-- , 且()(4)f x f ≥恒成立。（1）求t 的值. （2）求x 为何值时, ()f x 在上取得最大值;

（3）设)()1ln()(x f x a x F --= , 若)(x F 是单调递增函数, 求a 的取值范围。

请考生在第2 2~2 3两题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。

22.在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C

的极坐标方程为)0(cos 2sin 2

>=a a θθρ，直线l 的参数方程为???

???

+-=+-=t y t

x 2

2422

2（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．

（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若102||=AB ，求a 的值． 23.设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. （1）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1

x x ≤-，求a 的值.

重庆二外高2017学部2016—2017学年度下期第2次月考

理科数学参考答案

一、选择题

DADBB CCBAB CA 二、填空题 ○

13325 ○143

6 ○151 ○

162e 三、解答题

17.（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

2,326

10272111==??

?=+=+d a d a d a 解得

所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)

3n+22

?=2n +2n . （2）由（1）知2n+1n a =，所以b n =2

1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1

?，所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1)

，

即数列{}n b 的前n 项和n T =

4(n+1)

18.（1）由题意知，抽取比例为

9814=，则乙厂生产的产品数量为3575=?（件）

；

（2）由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为5

.由此估计乙厂生产的优等品的数量为145

35=?

（件）；（3）由（2）知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.ξ的取值为0，1，2. P(ξ

=0)=1032523=C C , P(ξ=1)=5310625

1213==C C C , P(ξ=2)=101252

2=C C . 从而分布列为

数学期望E(ξ)=012105105

+?+?=.

19.(1)因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥.又PA AC A,?=所以BD ⊥平面PAC.

(2)设AC BD O = .因为060,2BAD PA AB ∠===

，所以1,BO AO CO ===如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，

则(0,(0,P A

，(1,0,0),B C

，所以

(12),PB AC =-=

.设PB 与AC 所成角为θ

，则

cos ||||||PB AC PB AC θ?===

. (3)由（2

）知(1,BC =-

，设(0,)(0)P t t >.

则(1,)BP t =-

，设平面PBC 的法向量(,,)m x y z = ，则0,0BC m BP m ?=?=

，所以00

x x tz ?-+=??-+=??

，令y =63,x z t ==，

所以6)m t = .同理，平面PDC

的法向量6

()n t

=- .因为平面PBC ⊥

平面PDC ，所以0m n ?= ，即236

60t

-+=

，解得t =所以

20.（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF

F F =，

2c =，整理得22()10,1c

c c

a a a

-==-得（舍），或11,.22c e a ==所以

（2

）由（Ⅰ）知2,a c b =，得椭圆方程为2

3412x y c +=，直线PF 2

的方程为

).=-y x c

A ，B

两点的坐标满足方程组222

3412,).

?+=??=-??x y c y x c 消去y 并整理，得2

580-=x cx .

解得128

0,5

x x c ==

，

得方程组的解21128,0,5,.

x c x y y ?=?=???

=???=??

不妨设8

()5A c

，(0,)B ，

所以16

||.5

AB c =

= 于是5||||2.8MN AB c ==

圆心(-到直线PF 2

的距离=

2||(

)42

MN d += ，223(2)16.4∴++=c c

整理得2

712520+-=c c ，得267=-c （舍），或 2.c =所以椭圆方程为

1.1612

x y += 21.(1)∵函数)]2ln()2ln([2

)(--+=

x x t x f ，且)4()(f x f ≥恒成立 ∴)(x f 的定义域为(2，+∞)，且)4(f 是)(x f 的最小值

又∵)212(21)('--+=x x t x f ∴0)2

16(21)4('=-=t f ，解得3=t ∴4

4)2123(21)('2--=--+=

x x x x x f ∴当42<x 时，0)('>x f ∴)(x f 在(2,4)上是减函数，在(4，+∞)上是增函数 ∴)(x f 在上的最大值应在端点处取得 ∴0)729ln 625(ln 2

)5ln 9ln 3(21)7()3(<-=-=

-f f ∴)7()3(f f <，故当7=x 时，)(x f 取得在上的最大值. （2）∵)(x F 是单调增函数， ∴0)('>x f 恒成立

∵)

4)(1()

1(45)1(441)('222--+-+-=

----=x x a x x a x x x a x F ∴在)(x f 的定义域(2，+∞)上，0)4)(1(2

>--x x 恒成立

∴0)1(45)1(2

>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立

下面讨论0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立时，a 的解的情况：当01<-a 时，不可能有0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立当01=-a 时，0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立当01>-a 时，又有两种情况： ○10)1)(1(1652<=-+a a ○

22)

1(25

<--a ，且0)1(425)1(2>+-?+-a x a

由○1得09162<+a ，无解；由○

2得4

->a ，∵01>-a ，∴1>a ；综上所述，当1≥a 时，0)1(45)1(2

>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立

22.（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2

θ=2acos θ（a ＞0）可得ρ2

sin 2

θ=2a ρcos θ．可得：曲线C 的普通方程为：y 2

=2ax ；

直线l 的参数方程为???

+-=+-=t y t

x 2

2422

2（t 为参数），普通方程为x -y -2=0；（2）直线与曲线联立可得y 2

-2ay -4a =0，

∵|AB|=210， ∴10216422=+?a a ，解得a =-5或1． 23.（1）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-.

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. (2) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤，

此不等式化为不等式组???≤+-≥03x a x a x 或???≤+-≤03x x a a x 即????

?≤≥4a a a x 或??

???≤≤2-a a a x 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2

x x ≤-.由题设可得2

= 1-，故2a =.

四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年高二下学期3月周测2数学试题 Word版含答案

高2022级高二下期第二次周周清一、单项选择题（本大题共6小题，共30分） 1.曲线f(x)=sinxcosx在点(π 6,f(π 6 ))处的切线斜率为() A. ?√3 2B. ?1 4 C. 1 4 D. 1 2 2.函数f(x)=x3?3x+1的递减区间为() A. (?∞,?1) B. (?1,1) C. (1,+∞) D. (?∞,?1),(1,+∞) 3.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是() A.函数f(x)在(?2,?1)上单调递减 B.B. 函数f(x)在x=3处取得极大值 C. 函数f(x)在(?1,1)上单调递减 C.D. 函数f(x)共有4个极值点 4.函数f(x)=lnx x 的极大值为 A. ?e B. 1 e C. 1 D. 0 5.当x在(?∞,+∞)上变化时，导函数f′(x)的符号变化如下表： x(?∞,1)1(1,4)4(4,+∞) f′(x)?0+0? 则函数f(x)的图象的大致形状为() A. B. C. D. 6.已知函数f(x)=1 3 ax3+ax2+x+1在R上为增函数，则实数a的取值范围是

A. [0,+∞) B. (0,1) C. [0,1] D. [0,1) 二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分） 7. 以下函数求导正确的是( ) A. 若f (x )=x 2?1x 2+1，则f′(x )=4x (x 2+1)2 B. 若f (x )=e 2x ，则f′(x )=e 2x C. 若f (x )=√2x ?1，则f′(x )= 1√2x?1 D. 若f (x )=cos (2x ?π3)，则f′(x )=?sin (2x ?π3) 8. 已知函数f(x)的定义域为[?1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y =f′(x)的图象如图所示．下列关于函数f(x)的说法正确的是( )． A. 函数f(x)的值域为[1,2] B. 函数f(x)在[0,2]上是减函数 C. 如果当x ∈[?1,t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4 D. 当1