根轨迹法
第四章根轨迹法
一、本章教学目的及要求:
1．掌握根轨迹的基本概念；掌握根轨迹方程、幅值条件和相角条件；
2．正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；
3．掌握控制系统根轨迹的绘制方法，熟练绘制根轨迹；
4．正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图；
5．能够运用根轨迹法对控制系统进行分析；明确闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。
二、本章重点、难点
1.重点：根轨迹的绘制利用根轨迹分析控制系统
2.关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件
3.难点：非最小相位系统和时滞系统根轨迹的绘制
三、本章内容
4.1 根轨迹的基本概念
4.2 根轨迹的基本法则
4.3 广义根轨迹
4.4 系统性能的分析
四、本章学时：8学时
五、本章学习方法
通过具体习题练习掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。
4.1 根轨迹的基本概念 一．问题的提出
2k
-1 --1s 2k -1-1s :
02k 2s s 22s s 2k
)()((s))
2(2)( .2122
=+==++++==Φ+=两闭环极点为系统的特征方程为该系统的闭环传函为
图所示设有一单位反馈系统如例k
s R s C s s k
S G
当K 由0→∞变化时，闭环特征根在S 平面上移动的轨迹城根轨迹，不仅直观的表示了K 变化时间闭环特征根的变化，还给出了参数时闭环特征根在S 平面上分布的影响。可判定系统的稳定性，确定系统的品质。
2k
-1 --1s 2k -1-1s . k ,1-2k j -1 s 1/2k -1s 1/2k ,s 210 2s 0s 0k :0211,2212121=+=∞→±=>===<<-===沿上述直线趋于无穷远时上位于垂直与实轴的直线实部相同时时均为负实数时同闭环极点与开环极点相时极点分布的影响到无穷变化对系统闭环从下面分析参数s s k k
二、根轨迹与系统性能
0.5k 0.5k 0.5k 0 : ,,: k ,: >=<<欠阻尼临界阻尼过阻尼动态性能数确定对应的静态误差系同时可以确定系统的型别根据坐标原点的根数稳态性能即为临界增益
与虚轴交点处的右半平面根轨迹若越过虚轴进入稳定性s
三、 闭环零、极点与开环零、极点的关系
)
()()
()((S) k k k l f m h q n
)
()()
()(K
G(S)H(S)
)
()
(K H(S) )
()
(K G(S) (S) 1
1
1
1H G 11
111
1
H
1
1
G
G(S)H(S)
1G(S)j m j i n
i j h
j i f
i G
j h
j i q
i j l
j i f
i j h
j j l
j i q
i i f
i Z S K P S P S Z S K P S P S Z S Z S P S Z S P S Z S -∏+-∏-∏-∏=Φ=+=+=-∏-∏-∏-∏= -∏-∏=-∏-∏==Φ============+则一般开环传函可以写成函为
如图所示系统的闭环传
.
,: ,(3) ,; (2) . , ;,(1) :
找出闭环极点通过图解的方法点的分布及根轨迹增益如何由已知的开环零极本任务迹法的基益均有关根轨开环极点以及根轨迹增闭环极点与开环零点闭环零点就是开环零点
对于单位反馈系统组成的极点所函馈通路传路传递函数的零点和反闭环零点由开环前向通统根轨迹的增益就等于开环系闭环系统根轨迹的增益反馈系统对于单位根轨迹增益等于开环系统前向通道闭环系统根轨迹增益结论
四．根轨迹方程
∑∠∑∠=∠-∏-∏=
±±=+=∠=------=---=
==+====n
1
i m 1
i 1m 1
21m 21)
p -(s -)z -(s G(s)H(s) |
||
|K |G(s)H(s)| -------------- )2,1,0,(i 360180G(s)H(s) ---------- 1|G(s)H(s)| 1)
())(()
z -(s )z -)(s z -K(s G(s)H(s) -1G(s)H(s) 0(s)H(s) 1 .
i i i n
i i i n p s z s i p s p s p s G 相角条件
幅值条件
根轨迹方程
的集合根轨迹是所有闭环极点
4.2 根轨迹的基本法则
上图所示系统的开环传递函数写成零、极的形式为：
)(,)
()
()()(1
1
0m n p s z s K s H s G n
l l
m
i i ≥++=
∏∏==
则以k 0为参数的根轨迹绘制规则如下： 【规则1】根轨迹的对称性 根轨迹对称与s 平面的实轴
【规则2】根轨迹的分支数及其起点和终点 根轨迹的分支数：n 条 起点：n 个开环极点
终点：开环零点（包括无限开环零点） 【规则3】根轨迹在实轴上的分布
实轴上根轨迹段右侧开环零、极点数之和为奇数。 【规则4】根轨迹的渐近线
1、渐近线的倾角：)1...(2,1,0,)12(--=-+=m n k m
n k π
θ
渐近线与实轴的交点：m
n z p n l m
i i
l
A ----=
-∑∑==1
1
)
()(σ
或 开环零点数
开环极点数开环零点的实部之和
开环极点的实部之和--=
-A σ
【规则5】根轨迹的分离点和会合点 分离点、会合点：特征方程的重根点 求法：
1、重根法：系统的开环传递函数改写成：)
()
()()(s A s kB s H s G =
，则特征方程为D(s)=A(s)+KB(s)=0 ,若方程出现重根，必须满足：
0)
(=ds
s dD ，即A(s)B - (s)B(s)=0 2、试探法：∑∑==+=+m
i i
n
l l z d p d 111
1
说明：由上式求出的分离点应检验，舍去不在根轨迹上的值；当没有开环零点时，上式的右侧应取零。
【规则6】根轨迹的出射角和入射角
出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角。 入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角。 出射角的计算：∑∑=≠=-++=m
i n
l
j j j i l k 1
1)12(θ?πθ ，
其中：矢量的相角。
为开环零点指向极点的矢量的相角；极点外的其余开环极点指向为除去的出射角；
为待求开环复数极点l j l l j l l p p p p ----?θθ
入射角的计算：∑∑≠==+-+=m
k
i i n
j j i k k 1
1
)12(θ?π?
【规则7】根轨迹与虚轴的交点 两种计算方法：
1、根据劳斯判据计算
具体方法：令劳斯表中s 的奇数次所对应的行元素全为零，用此行的上一行构造辅助方程计算W 值和对应的K 值。
例题：已知一系统闭环特征方程为：
080368234=++++K s s s s
求特征根与虚轴的交点和对应的K 值。 解：由上式列劳斯表：
s 4 1 36 K s 3 8 80 0 s 2 26 K s 1 8(260-k) s 0 K
由劳斯表可知，当劳斯表中的s 1行的所有元素为零时，即8(260-K)=0 ； 由上一行构造辅助方程F(S)=26S 2+K=0；
由上述两个方程联立求解，得到10,2602,1j S K ±== 这说明根轨迹与虚轴的交与,102,1j S ±=对应的K 值为260。 2、用s=jw 代入方程直接求解
具体做法：将S=jw 代入特征方程，令实部和虚部分别为零，联立求解。
以上题为例，将S=jw 代入特征方程，可得 0)880(36224=-++-w jw w w ；令上式的实
部和虚部分别等于零，得到方程组： ；求解可得10,260±==w K
【规则8】特征方程根之和与根之积
若把系统的开环传递函写成如下形式：∑∏∑∏==-==-++++++=
n
l n
l l
n l n m
i m
i i m i m
p s p s z s
z s k s H s G 1
1
1111
...)
...()()(
w 4-36w 2+K=0 w(80-w 2)=0
则当n －m ≥2时，有下列两式成立：
∏∏∑∑=====-+-=--=-m
i i n
l l n
j cj
n
j cj
n l l
z k p p
p
p 1
1
1
1
1)
()()()
()(
【规则9】根轨迹上一点s 0对应的K 值
)(,)
()
(1
10
m n z s
p s
K m i i n
l l ≥++=
∏∏==
例题1：设一单位负反馈系统如图所示，试绘制该系统的根轨迹。
解：系统的开环传递函数：)
2)(1()(++=
s s s k
s G
1）开环零点：无；开环极点：0，－1，－2
2）系统有3条根轨迹分支，起点为开环极点（0，－1，－2） 3）实轴上根轨迹分布如图 4）渐近线：
与实轴的夹角：2,1,0,35,,3)12(==-+=k m n k π
πππθ
与实轴的交点：1-=-A σ
5）分离点：
02
1111=++++d d d →d 1= -0.42 d 2=-1.58(不在实轴根轨迹上，舍去) 6）根轨迹与虚轴的交点
将s=jw 代入D(s)=s(s+1)(s+2)+k=0,
解之可得：w ＝±1.414；k ＝6 完整的根轨迹图如下：
例题2：单位负反馈控制系统的开环传递函数为：)
1()
2()(++=
s s s k s G ，试证明根轨迹的复数
部分为一圆。
证明：由根轨迹的相角条件可知：arg(s+2)-arg(s)-arg(s+1)= ±π
令s ＝σ＋j ω代入上式，则得πωσσ±=+--+)1
arctan()arctan()2arctan(w
w w
即：πωσσ±+=-+)1arctan()arctan()2arctan(w
w w
上式等号两侧同时取正切，化简后得 222)2()2(=++w σ 这是一个圆的方程，问题得证。
下图为系统的根轨迹图。
4.3 广义根轨迹
一、参量根轨迹
引入等效开环传递函数的概念
0)()(1)()(,1)
()
(0
)()(1)(=+=+-==+=s H s G s AP s Q s Q s P A
s H s G s D
等效开环传递函数
注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭
环零点是不同的。 例4.5：设单位反馈系统的开环传递函数为
其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。
解：闭环特征方程
要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点 等效开环极点
注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，
求解分母特征根的根轨迹方程为：
在本例中，K 可自行选定，选定不同K 值，然后将W1(s)的零、极点画在 s 平面上，绘
制出k 变化时的根轨迹。
K p -±-
=4
1
2
1
2,1)()
()()(11s Q s P A
s H s G =)1)(1()(++=
s T s s K
s W a K K
s s s s T s W K s s s s T s s T K s s K s T s s a
a a
a
+++=?=++++
=++++?=+++)1()
1()(0)1()1(10
)1(])1([0)1)(1(2
12
20
)1(1=++s s K
二、附加开环零点的作用
1．附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。
设开环传递函数为
为附加开环实数零点，其值可在s 左半平面内任意选择，当 时，表明不存在
有限零点。
令 为不同的数值:
（a ）无开环零点；（b ） ；（c ）
（d ）
2．附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。
结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性
和动态性能同时得到明显的改善。
)22()
()()(2
1*++-=s s s z s K s H s G ∞→1z 1z 1z 31-=z 21-=z 0
1=z
三、零度根轨迹
在非最小相位系统，此时相角条件为
在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要
绘制相应的根轨迹，其相角条件为 ，具有这类相角条件的相轨迹称为：
零度根轨迹
系统的闭环传递函数为：
)
()(1)
()()(s H s G s G s R s C -= 相应的特征方程为：1-G(s)H(s)=0 即 ....2,1,0,11)()(2===±k e s H s G k j π
幅值条件：│G(s)H(s)│=1
相角条件：arg[G(s)H(s)]=±2k π ,=0,1,2… 零度根轨迹的绘制规则： 【规则3＇】根轨迹在实轴上的分布
实轴上根轨迹段右侧开环零、极点数之和为偶数。
πk o
20+πk o
20+
【规则4＇】根轨迹的渐近线
1、渐近线的倾角：)1...(2,1,0,2--=-=m n k m
n k π
θ
渐近线与实轴的交点：m
n z p n l m
i i
l
A ----=
-∑∑==1
1
)
()(σ
或 开环零点数
开环极点数开环零点的实部之和
开环极点的实部之和--=
-A σ
【规则6＇】根轨迹的出射角和入射角
出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角。 入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角。 出射角的计算：∑∑=≠=-+=m
i n
l
j j j i l k 1
12θ?πθ ，
其中：矢量的相角。
为开环零点指向极点的矢量的相角；极点外的其余开环极点指向为除去的出射角；
为待求开环复数极点l j l l j l l p p p p ----?θθ
入射角的计算：∑∑≠==+-=m
k
i i n
j j i k k 1
1
2θ?π?
除上述３条规则外，其余均与负反馈系统的根轨迹的绘制完全相同。 四、滞后系统的根轨迹
系统的闭环传递函数为：s
s
e s H s kG e s kG s Gc ττ--+=)()(1)()( 相应的特征方程为：0)()(1=+-s e s H s kG τ
令s=σ+j ω带入特征方程，得到根轨迹的相角条件和幅值条件。
幅值条件：|G(s)H(s)|e -τs =1/k
相角条件：arg[G(s)H(s)]=±(2k+1)π +τω ,k=0,1,2…
当τ＝0时，和原方式相同；当τ≠0时，幅值条件和相角条件均发生变化；当τ较小时，
s
e s ττ+≈
-11
。 具体的绘制规则为：
【规则1】根轨迹的对称性
根轨迹对称于实轴
【规则2】根轨迹的分支数 无数多条分支
【规则3】根轨迹的起点、终点
起点：开环极点和σ＝－∞；终点：开环零点和σ=∞。 【规则4】实轴上的根轨迹 【规则5】渐近线
k=0时部分根轨迹的渐近线始于σ＝－∞处，对应的w 值由下列两式决定：
n-m=奇数，...2,1,0,2=±=k k
πτ
ω
n-m=偶数，...2,1,0,1
2=+±
=k k πτ
ω
k=∞时，部分根轨迹终止于σ=∞处，对应的w 值为...2,1,0,1
2=+±=k k πτ
ω
【规则6】根轨迹的分离点
[A(s)e -τs ] B (s)-[A(s) e -τs B (s)=0 【规则7】根轨迹与虚轴的交点
τωπω
-+±=-∑∑==)12(arctan
arctan
1
1
k z w
p n
j m
i i
j
4.4 系统性能的分析
一 系统稳定性分析
主要有两类：1、非最小相位系统 如：
2、具有局部正反馈系统
例
()(
)
()()(
)1
s 4.1s 6s 4s s 4
s 2s K s G 22++++++=
其根轨迹为： ωj
0 σ
0 稳定 64 14 二 瞬态性能分析和开环系统参数确定 1、 有β（闭环系统极点张角）→超前量 因β=cos —1ξ 2 、由闭环极点实部→调节时间 3 、由性能指标要求→闭环（主导）极点大致位置 4 、由瞬态性能指标→开换系统放大系数或其他参数 例 ()()()6s 4s s K s G g k ++= 若要求闭环系统等位阶跃响应最大超调量≤18% ,试确定Kg 。 解：分离点时Kg=17，Kg>240 闭环系统不稳定 由图查得：β≤60% 做β=60度直线，交点A ，B 为满足性能指标要求的闭环子系统主导极点：j 1.22.1S 2,1±-=- 幅值条件：448.43DA CA OA K g ≈== n s t ξω3 = 83.16 *4K K g = 由特性 ∑j S =∑j P =常数 ()640s s s 321++-=++ -1.2-1.2+j2.1-j2.1+S3= -10 S 3= -10+2.4= -7.6 S 3为另一闭环系统实极点。 小结：根轨迹分析 作业：4-5 习题： 1、所示系统同时满足下述条件，限用根轨迹法 （1）单位斜坡转入下的稳态误差 25.2ss e ≤ （2）阶跃响应无超调 试确定K 1的数值 解 ：求K 1应满足两个条件：稳定性，稳定误差； 阶跃响应要求 2 2)1s 3 1(s 91 K )3s (s 1K )s (Wk ++=＝ 9K K 1 = , K K 2= 1 ss K 9K 1e == 应 25.2K 9 1 ≤ 4K 1≥ 校验K 1≥4时闭环系统稳定性 特征方程 ：D （S ）= S （S+3）2 + K 1=0 S 3 +6S 2 +9S+K 1=0 S 3 1 9 S 2 6 K 1 S 1 （6×9-K 1）/6 S 0 K 1 系统稳定条件 6×9-K 1>0 满足误差要求的K 1 ∴K 1<54 ∴4 ≤K 1＜54 要求阶跃响应无超调，必须保证闭环特征根均为负实数，可由根轨迹法确定K 1值 ()() 2 1k 3s s K s W += （1） 开环极点： P1=0，P2，p3= -3 （2） 分离点：0ds dk 1 = K 1= -s(s+3) 2 ,分离点 d= -1 （3） d 点对应的K 1值，d 代入模方程 ωj () 12 *1K 3s s K 4 K 211 d s 211=-= +=-== 0 σ 闭环特征根为负实根的K 1范围 0〈K 1≤4 故综上,满足误差条件和阶跃响应 K 1=4 2、已知控制系统开环传递函数 ()()()()()50s 20s 5s s 125.0s K s W 2 k ++++= 试绘制系统的根轨迹 解： 1 开环极点，0，-5，-20，-50 零点：-0.125 2 实轴上根轨迹（-0.125~-5）， （-20~-50） 3 渐进线 ()? ??±±=-?+±=φ135,451 521180 ()()8 .184 125.05020500-=-----+=σ 3、确定分离点和会合点 本题中，零点，极点之间距离相差很大，如零点—0.125与极点9之间进相距0.125，而零点—0.125与极点—50之间却相差49.875，故可做如下简化： 在绘制原点附近的轨迹时，舍去远离原点的极点影响；在绘制远离原点的轨迹时，舍去零点和一个零极点影响。 i ） 求原点附近根轨迹和会合点 传递函数可简化为： ()2 s 125.0s K + 极点，其分离角±90度， 确定会合点 此时特征方程：S 2 +K S +0.125K=0 0ds dk = ()() 0125.0s s 125.0s s 22 =+-+- 解之 S 1= - 0.25 会合点;S 2= 0 重极点分离点 ii ）求远离原点的根轨迹和分离角 略去原点附近的开环 （零点-0.125和极点） 传递函数可化为： K S(S+5)(S+20)(S+50) 特征方程 ： S(S+5)(S+20)(S+50)+K=0 K=-S(S+5)(S+20)(S+50)由 σ 由 0dk ds = 得 ()()()[] 050s 20s 5s s 5000 s 2700s 225s 42 22=++++++ 解之 S 1= -2.26 , S 2= -40.3 难题分析： 一、非最小相位系统()()()()16 S 4S 1S S 1S K S W 2g k ++-+= 试绘制根轨迹，并确定使系统稳定的Kg 范围 解：1 、起点：0，1，此处有根号 2 、终点：-1 3 、渐进线 θ=±60度 ±180度， -σ= -2/3 4 、分离点 dk1 = 0 ds 3s 2 +10s 3 +21s 2 +24s-16=0 S 1=0.45 S 2=-2.5 5 、交点 S(S-1)(S 2 +4S+16)+Kg(S+1)=0 ω4 -12ω2 +Kg=0 -3ω2 +（Kg-16）ω =0 得ω =0，±2.56, ±1.56 , Kg=35.7,23.3 6、 ()() ?????-?±=+-?+-++=θ5541903090906 3 tg 1801 sc 23.3 二、1S S + ()()() 1S S a S K s W 2k ++= ， 0≤ a ＜1，分析系统稳定性 解：原系统根轨迹 1. 开环极点 0，0，-1 2. 渐进线()???±=μ+±= φ180,603 21180;σ= -1/3 3 分离点 K= -S 2 （S+1） 由 0ds dk = , （3S 2 +2S ）= 0 分离点为S=0,对应 K=0,K 为任何正值均不稳定 增加零点-a 后 1 、开环极点 0，0，-1；零点-a ，（0≤a ＜1＝ 2 、渐进线 φ χ = ±90°σ= （-1+a ）/2 可见加零点后，只要K>0x 系统均能稳定。 病题分析： 设非最小相位系统 ()() ()S2.0 1 S 5.0 1 K S G k + - =，试绘制系统根轨迹 症状1 ： 起点：0，-5；终点：2 实轴上根轨迹[-∞，-5]，[0，2] 渐进线 () ? ? ± = - + ± = θ180 m n K 2 1 180 ； 7 m n 2 5 - = - - - = σ j K=0 -5 0 k→∞ 病因：根轨迹方程理解不透,正负反馈学习时机械记忆 医治： ()() () () ()5 S S 2 S k5.2 5 S S2.0 2 S k5.0 S G k + - - = + - - = 根轨迹方程1+G k（s）=0 第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 4-1 设系统开环传递函数的零、极点在s平面上的分布，如图4-24所示。试绘制以开环增益K 为变量的系统根轨迹的大致图形。 图4-24 题4-1图 4-2 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).要求用根轨迹法画出当开环增益K变化时，系统的根轨迹图。 (2).求一对复数主导极点的阻尼比ξ=0.707的K值，且求其相应的一对复数主导极点和另一实数极点。 (3).用Matlab编程，求解本题。 4-3 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并对该系统的稳定性进行分析。 (2).若增加一个零点z=-1，试问根轨迹有何变化，对系统的稳定性有何影响？ (3).用Matlab编程，求解本题。 4-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹。 (2).确定阻尼比ξ=0.5时的闭环极点及其相应的K值。请问对应的静态位置误差系数Kp为多少？ (3).用Matlab编程，求解本题。 4-5 试用根轨迹法求下列多项式的根。 并用Matlab编程方法验证之。 4-6 设单位负反馈系统的开环传递函数为： 试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并求出系统临界稳定时的K 值。用Matlab编程，求解本题。 4-7 设一负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法，画出以a为参变量的根轨迹。 (2).用Matlab编程，求解本题。 4-8 .设多回路控制系统的方块图，如下图4-25所示。 图4-25 题4-8图 (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并讨论本系统的稳定情况。 (2).用Matlab编程，求解本题。 4-9 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试确定a值，使根轨迹图分别具有1、2、3个分离点。 (2).画出相应这三种情况的根轨迹，并用Matlab编程方法验证之。 4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并讨论本系统根轨迹的分离点情况。 (2).求闭环系统稳定的K值范围。 (3).用Matlab编程，求解本题。 4-11 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹。 (2).闭环系统稳定的K值范围。 (3).对在使闭环系统稳定的K值范围内的K值，绘制闭环阶跃响应，分析不同的K值对系统响应有何影响。 (4).用Matlab编程，求解本题。 第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 课程名称： 控制理论乙 指导老师： 成绩： 实验名称： 控制系统的根轨迹分析 实验类型： 同组学生姓名： 一、实验目的和要求（必填） 二、实验容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1. 掌握用计算机辅助分析法分析控制系统的根轨迹 2. 熟练掌握Simulink 仿真环境 二、实验容和原理 1. 实验容 一开环系统传递函数为 22) 34()2()(+++=s s s k s G 绘制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。 2. 实验原理 根轨迹是指，当开环系统某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益k ）从零变到无穷大时，死循环系统特征程的根在s 平面上的轨迹。因此，从根轨迹，可分析系统的稳定性、稳态性能、动态性能。同时，对于设计系统可通过修改设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，因此根轨迹对系统设计也具有指导意义。在MATLAB 中，绘制根轨迹有关的函数有：rlocus ，rlocfind ，pzmap 等。 3. 实验要求 （1）编制MATLAB 程序，画出实验所要求根轨迹, 求出系统的临界开环增益，并用闭环系统的冲击响应证明之。 （2）在Simulink 仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统单位阶跃响应曲线并记录之。 三、主要仪器设备 计算机一台以及matlab 软件，simulink 仿真环境 四、实验源代码 >> A=[1 2]; >> B=conv([1 4 3],[1 4 3]); >> G=tf(A,B) G = s + 2 ------------------------------- s^4 + 8 s^3 + 22 s^2 + 24 s + 9 Continuous-time transfer function. >> figure >> pzmap(G) 4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？ 解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为: 100 ()100()1001()()1001*G s s s G s H s s a a s Φ=== +++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为： 12100 ()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a =Φ= =+++ 为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换： 10 21001001001001 lim ()lim 1001001 lim (100)()lim 11 ()(100)1 ()(1) s s s a s a at k sC s s a a k s a C s s a C s as a s a c t e a →→→-→--=== +=+==- =- +=- 根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为 1 a ,因此: 10010011()(1)0.950.051 ln 20 1001 =0.1ln 20=0.3s 10 s s at s at s s c t e a a e t a a t --= -=?=?== 因为题中，所以 (2)若要求t s =0.1秒,则有: 1 ln 20=0.1 100=0.3s t a a = ? 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。 4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。 解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1 %= 100%30%1 σ?=； 根据课本中对典型二阶系统222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知： %p t e σ-= =结合本题已知阶跃响应曲线可知： 0.1(1)%30% (2) p t e σ-= === 由式(2)可知： 0.3ln 0.30.3832 cot =0.3832 =arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578 e ζ?ζ?ζ?-=?-=?= =即： 将ζ带入式(1)中可得： 0.1 p n t ω= = 回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系： 2222 2 22 2 2211 ()()121211211131.8851 ===224.0753n n n n n n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s s ωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：， 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 习题 4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图4.1所示。 第4章 根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。 4.1 根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益* K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益* K 是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为 ) 2()15.0()(*+=+=s s K s s K s G 根轨迹增益K K 2* =。闭环传递函数为 * 2* 2)()()(K s s K s R s C s ++==Φ 闭环特征方程为 02*2=++K s s 特征根为： *111K -+-=λ, *211K ---=λ 当系统参数*K （或K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。 表4-1 **K K 1λ 2λ 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 M M M M ∞ ∞ -1+j ∞ -1-j ∞ 利用计算结果在s 平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K （或* K ）从零变化到无穷大时闭环极点在s 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K （或* K ）增大时两条根轨迹移动的方向。 根轨迹图直观地表示了参数K （或* K ）变化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K 对闭环极点分布的影响。 4.1.2 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如* K ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s 平面，因此，当K >0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s 平面，则在相应K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。 图4-2 系统根轨迹图 习题 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图所示。 四根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： <1） <2） <3 ） <4 ） 试绘制由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：<1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区 间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K 值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一令，得 方法二将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。 ① 根轨迹方程 点，开环极点 开环零Array。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径 的圆<教材已证明）。根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。b5E2RGbCAP <3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2<3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。 <4） ①四个极 点。 ②渐近线 ③实轴上的根轨迹区间为。 ④分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 ⑤出射角 第四章根轨迹分析法 一、主要内容 <1）根轨迹法的基本概念 <2）绘制180o根轨迹的基本法则 <3）绘制0o根轨迹的基本法则 <4）参变量系统的根轨迹 <5）非最小相位系统的根轨迹 <6）控制系统的根轨迹分析 二、基本要求 <1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。 <2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。 <3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。 <4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。 三、内容提要 1、根轨迹法的基本概念 <1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范 围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。b5E2RGbCAP <2）根轨迹方程 幅值方程： 相角方程：。 相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。 2、绘制180o根轨迹的基本法则 法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。 法则2：根轨迹的连续性和分支数 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。 法则4：根轨迹的渐近线 有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为： ， 渐近线与实轴的交点为： 法则5：实轴上根轨迹的分布 实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 法则6：根轨迹的分离<会合）点 根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为： 满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会 合）点。 法则7：根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点，实质上就是闭环系统的临界稳定工作点。 方法1：在闭环特征方程中，令，得到，将 分为实部和虚部，即 根軌跡法 根軌跡法概述 在時域分析中已經看到，控制系統的性能取決於系統的閉環傳遞函數，因此，可以根據系統閉環傳遞函數的零、極點研究控制系統性能。但對於高階系統，採用解析法求取系統的閉環特征方程根（閉環極點）通常是比較困難的，且當系統某一參數（如開環增益）發生變化時，又需要重新計算，這就給系統分析帶來很大的不便。 1948年，伊万思根据反馈系统中开、死循环传递函数间的内在联系，提出了求解死循环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。根轨迹法的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。根轨迹增益K * 是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。控制系统如上图所示。其开环传递函数为: 根轨迹增益。闭环传递函数为: 闭环特征方程为: 特征根为： 当系统参数K * （或K）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见下表： 利用计算结果在S平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K * （或K）从零变化到无穷大时闭环极点在S平面上移动的轨迹，即根轨迹，如下图所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K * （或K）增大时两条根轨迹移动的方向。 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见系统根轨迹图），就能分析系统性能随参数（如K * ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，如系统根轨迹图所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此，当K>0时，如图控制系统根所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则在相应K值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。 2．稳态性能 由系统根轨迹图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就等于静态误差系数K v。 当r(t)=1(t)时,e ss = 0； 当r(t)=t时, 1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。 2． 函数f(t)=t e 63-的拉氏变换式是________________________________。 3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。 4． 在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。 四、控制系统结构图如图2所示。 （1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。 （2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。 （20分） 五、已知系统的结构图如图3所示。若()21()r t t =?时，试求 （1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。 （2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。 （3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分） 图3 六、系统结构图如图4所示。当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总 的稳态误差e ss 。 （15分） 图4 1、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。 2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面 3、 在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。 9、已知单位反馈系统的开环传递函数50 ()(0.11)(5) G s s s s =++，则在斜坡信号作用下的稳 态误差为_________。 3、某控制系统的方框图如图所示，试求 (16分) (1) 该系统的开环传递函数)(s G k 、闭环传递函数 )()(s R s C 和误差传递函数) () (s R s E 。 (2) 若保证阻尼比0.7ξ=和单位斜坡函数的稳态误差为0.25ss e =，求系统参数K 和τ。 (3) 计算超调量和调节时间。 1、已知单位反馈系统的开环传递函数为* ()()(2)(3) K G s H s s s s =++，试绘制闭环系统的 根轨迹，并判断使系统稳定的*K 范围。 5．图4 6．在二阶系统中引入测速反馈控制会使系统的开环增益________________。 7．已知单位反馈系统的开环传递函数100 ()(0.11)(5) G s s s =++，则在斜坡信号作用下的稳 态误差为________________。 8．闭环系统的稳定性只决定于闭环系统的________________。 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= ' 28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2- 实验报告 课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________ 实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 实验十一 控制系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。 2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。 二、实验原理 1、根轨迹分析方法 所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。在无零极点对消时，闭环系统特 征方程的根就是闭环传递函数的极点。 根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可 以对系统进行各种性能分析： (1) 稳定性 当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K 值就是临界稳定开环增益。 (2) 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。 (3) 动态性能 当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。 同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。 2、根轨迹分析函数 在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。 (1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。 专业：_____________________ 姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________ 第四章 根轨迹法 一、填空选择题（每题2分） 1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。 2、根轨迹对称于s 平面 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时闭环极点为 －1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。 6、系统的开环传函为G(s)H(s)= ) 4(3 +s s K ，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。 A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞] 根轨迹填空题答案 1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。 2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时系统的闭环 极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。 6、B 二、综合计算题及参考答案 a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。 解： 8’(按规则分解) a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 c b a d 解：每项三分 c b a d b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为 1 5.0) 15.0()(2+++= s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。 解：G(s)的零、极点标准形式为 ) 1)(1() 2()(j s j s s K s G -++++= 因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G 所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=ds dK 可解得： d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。 4’ 因此其根轨迹如下图所示： 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4)(2)(1()()(* +++= s s s K s H s G 试证明点311j s +?=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益* K 和开环增益K 。 解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。 对于31j s +?=，由相角条件 =∠)()(11s H s G =++?∠?++?∠?++?∠?)431()231()131(0j j j ππ π π ?=? ? ? 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +?=在根轨迹上。将代入幅值条件： 1s 14 31231131)(* 11=++??++??++?= j j j K s H s G ）（ 解出 ： 12* =K ， 2 38*==K K 4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。 1 （ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图 解 根轨如图解4-2所示： 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 15.0)(12.0()(++= s s s K s G ⑵ ) 3)(2() 5()(*+++=s s s s K s G ⑶ ) 12() 1()(++= s s s K s G 2 解 ⑴ ) 2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++= s s s K s s s K s G 系统有三个开环极点：,01=p 22?=p ,53?=p ① 实轴上的根轨迹： , (]5,?∞?[0,2?]② 渐近线： ??? ????±=+=?=??=πππ?σ,33)12(3 73520k a a ③ 分离点： 02 1511=++++d d d 解之得：，(舍去)。 88.01?=d 7863.32?d ④ 与虚轴的交点：特征方程为 010107)(2 3 =+++=k s s s s D 令 ???=+?==+?=0 10)](Im[0 107)](Re[3 2ωωωωωj D k j D 解得?? ?==7 10 k ω 与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。 ⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： [], 3,5??[]0,2? ② 渐近线： ??? ??? ?±=+==????=22)12(02 )5(320ππ?σk a a ③ 分离点： 5 1 31211+= ++++d d d d 用试探法可得 886.0?=d 。根轨迹如图解4-3(b) 3 1、根轨迹法简介---------------------------------------------------------------- 1 2、林士谔—赵访熊法（劈因子法）---------------------------------------- 3 3、根轨迹的在系统性能分析------------------------------------------------- 4 4、心的体会---------------------------------------------------------------------- 8 附录1 ------------------------------------------------------------------------------ 9 附录 2 ---------------------------------------------------------------------------- 11 参考文献 ------------------------------------------------------------------------ 14 1、根轨迹法简介 1948年，W.R.Evans提出了一种求特征根的简单方法，并且在控制系统的分析与设计中得到广泛的应用。这一方法不直接求解特征方程，用作图的方法表示特征方程的根与系统某一参数的全部数值关系，当这一参数取特定值时，对应的特征根可在上述关系图中找到。这种方法叫根轨迹法。根轨迹法具有直观的特点，利用系统的根轨迹可以分析结构和参数已知的闭环系统的稳定性和瞬态响应特性，还可分析参数变化对系统性能的影响。在设计线性控制系统时，可以根据对系统性能指标的要求确定可调整参数以及系统开环零极点的位置，即根轨迹法可以用于系统的分析与综合。 利用根轨迹分析和设计闭环控制系统的图解方法。特征方程的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。在控制系统的分析中，对特征方程根的分布的研究，具有重要的意义。当特征方程的次数不高于2时,其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次数高于 2时，求根过程将变得相当复杂。美国学者W.R.埃文斯在1948年提出的根轨迹方法，为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。在把根轨迹技术应用于控制系统的分析时，常取系统的开环增益为可变参数,据此作出的根轨迹,表示闭环控制系统的极点在不同开环增益值下的分布。控制系统的极点在复数平面上的位置与系统的稳定性和过渡过程性能有密切的关系。根轨迹的建立，为分析控制系统在不同开环增益值时的行为提供了方便的途径。对于设计控制系统的校正装置，根轨迹法也是基本方法之一。根轨迹法和频率响应法被认为是构成经典控制理论的两大支柱。 对于图1中的控制系统,用G(s)和H(s)分别表示系统前馈通道和反馈通道中部件的传递函数，并且当s=0时它们的值均为1,而K表示系统的开环增益，则控制系统的根轨迹条件可表示为： 相角条件：开环传递函数KG(s)H(s)的相角值 {KG(s)H(s)}＝±1800(2k+1)(k＝0,1,2,…)第4章根轨迹分析法知识题解答
根轨迹法
第四章 根轨迹法 习题
根轨迹分析实验报告
MATLAB的根轨迹分析法及重点习题
第4章根轨迹分析法习题解答
第4章根轨迹分析法参考答案
第4章 根轨迹法
根轨迹分析法 参考答案
第四章根轨迹法
根轨迹分析法
根轨迹法
最新时域分析法与根轨迹练习题
根轨迹法习题和答案
控制系统的根轨迹分析
自动控制第四章 根轨迹法 复习资料
根轨迹法习题及答案
根轨迹法课程设计