第2章 实变函数 答案
第2章习题参考答案
A 类
1、（1）()C ；（2）()A ；（ 3）()C ；（4）()B ； （5）()D 。
2、（1）[0,1]，空集，[0,1]；（2）3
{(0,):1}E y y ≤；
（3）(1,6)；（4）公共；（5）c
E 。
3、证明：（1）必要性 设'
0P E ∈，则0δ?>，邻域0(,)N P E δ中有无穷多个点。现设0(,)P N P δ∈，
则00(,)d P P η
δ
≤=<。故
0(,)y N P δη∈-，有
00(,)(,)(,)d y P d y P d P P δηηδ≤+<-+=。
所以
0(,)(,)N P N P δηδ-?，而0(,)
N P E δη-有无穷多个E
中的点，自然有异于
0P 的点
10(,)(,)P N P E N P δηδ∈-?。而00(,)({})N P E P δη--是无穷点集，故(,)N P δ中有
无穷多个异于0P 的E 中的点。
充分性 若任意含0P 的邻域(,)N P δ中恒有异于0P 的点1P E ∈，则0δ?>，0(,)N P δ中有异于0
P 的点1P E ∈，记101(,)d P P δ=，显然1δδ<，于是邻域01(,)N P δ中又有异于0P 和1P 的点2P E ∈，
而202
1(,)d P P δδδ=<<，这样下去，可得无穷点集
0{(,),1
,2,}n n P P E N P n δ∈= 这表明0(,)N P δ中有无穷多个E 中的点，由δ的任意性知，'
0P E ∈。 （2）必要性显然。
充分性 若存在包含0P 的邻域(,)N P E δ?，则00(,(,))(,)N P d P P N P E δδ-??，故0P 为E 的
内点。 4、仿第3题。
5、证明：记B 为E 的孤立点全体，则'E B E -=，所以'
()E E B B E
B =-=，而B 至多可数，
则当'E 有限时'
E B 是至多可数的，从而E 至多可数，矛盾。
6、证明：因为E 为闭集，则E E '?，而E E E '=?，所以E E =。反之，因为E E E E '==?，
所以，E E '?
，即E 为闭集。
7、证明：对任意{()}x E x f x a ∈=>，有()f x a >，由连续函数的局部保号性，存在(,)B x δ，
使对任意(,)y B x δ∈，有()f y a >，即y E ∈，所以，(,)B x E δ?
，即x 为E
的内点。所以
{()}
E x f x a =>为开集。又
{()}{()}
c c F x f x a x f x a E =≤=>=是开集，所以，
{()}F x f x a =≤为闭集。同法可证{()}x f x a <为开集，{()}x f x a ≥为闭集。
8、证明：反证法。假定12{,,,,}n E x x x =，作闭区间1:I 1x 是1I 的内点，因1x 不是孤立点，所
以存在E 中点
2:y 2y 是1I 的内点。作以2y 为中心的闭区间2:I 2112I I x I ??且。
同理，又有E 中点3:y 3y 是2I 的内点以及32y x ≠，再作以3y 为中心的闭区间3:I 3223I I x I ??且，
易知3
I E ≠?，如此进行下去，可得闭区间列{}:n I
1,(1,2,)n n n
x I I E n +?≠?=
现记n n
K I E =，则{}n K 是有界闭集列，且1(1,2,)n n K K n +?=，因每个n K 均为E 的子集，
且1n n x I +?，所以
1
n n K ∞
==?，这显然与E 是完备集矛盾。证毕。
9、证明：方法一。n G R ??开集，显然n G R c ≤=。0x G ?∈，0δ?>，使0(,)N x G δ?，
而0(,)
N x c δ=，从而，G c =。
方法二。由第9题知n R 中任一开集G 都可表为1
i i G I ≥=
，其中i
I
为n R 中的开区间，从而n
I c =，
所以G c =
10、证明：设F 是包含E 的任意闭集，则'
'E F ?，所以''E E E F F F =?=，因F
是为闭
集，所以E
F F ?=。
11、证明：反证法。假定
12G G ≠?，则存在012
x G G ∈，由于12G G =?
，故
'
0222x G G G ∈-?。但01x G 是的内点，因而存在
00δ>，使得
001(,
)N x G δ?，002(,)N x G δ=?，从而得'02x G ?，导致矛盾，故结论成立。
12、证明： 设1{,}G G G R =?是开集F
，则易知c ≥F ，G ?∈F
，由1R 中的开集的构造
知，G 可表为至多可数个互不相交的开区间的并，即1
(,)i i i G
a b ≥=
，令A 表示直线上互不相交的开区
间的全体，从而G 对应于A 的一个子集，这就说明F
对等于
2A 的一个子集，又A a =。于是
2a c ≤=F ，即有c =F 。又由对偶定理知，1R
中的开集全体和闭集全体的势相同，从而
1R 中全体
闭集也作成一基数为c 的集合。
13、证明 设n
R y x ∈,，对任意E z ∈有
),(),()
,(z y d y x d z x d +≤.
不等式两边关于E z ∈取下确界，有 ),(),(),(E y d y x d E x d +≤.
同理有
),(),(),(E x d x y d E y d +≤.
于是
),(),(),(y x d E y d E x d ≤-，
从而函数
),()(E x d x f =在n R 上是一致连续的。
14、解：（1）n x R ?∈，令1
()(,)f x d x F =，则由上题知
f
在n R 一致连续，因而连续。又1
F 是闭集，
故当1x F ∈，
1()(,)0f x d x F ==。
（2）n x R ?∈，
令212(,)
()(,)(,)
d x F f x d x F d x F =
+，注意到1F 与2F 不交，
因此12(,)(,)0d x F d x F +>，由连续函数的四则运算法则知，则
()f x 即为所求函数。
（3）n x R ?∈，作函数121312132
3(,)(,)
()(,)2(,)(,)
d x F F d x F F f x d x F F d x F F d x F F +=
++，容易验证
()
f x 即为所求函数。
B 类
15、证明：必要性，若E 是无处稠密集，则E 不包含任何邻域N ，从而必有0x N ∈，使'
0x E E E
?=可见0x 为E 的外点，考虑到0x 为N 的内点，即存在0
0δ>，使100(,)c N N x N
E δ=?,即有
1
N E =?。
充分性，设n N
R ?是任一邻域，因存在N
中的子邻域1
N N ?，使得1N E =?。则1c N E ?考
虑 1N 的中心1x 则1x 必不是E 的聚点，即1x 必不属于'E ，于是1x 必不属于E ，这样N E ?，这就
证明了E 是无处稠密集。
16、证明：设邻域族{:}I αα=∈ΛF
，其中Λ为指标集，I α为开邻域，且F
覆盖E 。
x E ?∈，x α?∈Λ，使x x I α∈。由于x I α是开集，故0x δ?>使(,)x x N x I αδ?。由有理点在n
R 中的稠密性，存在有理点n
x q Q ∈和有理数0x r >，使(,)(,)x x x x x N q r N x I αδ∈??。
而
n R 中以有理点为心，有理数为半径的开球的全体与可数集n Q Q ?的一个子集对等，故集合
{(,):}x x N q r x E ∈是至多可
数集，从而相应的
{:}
x I x E α∈也是至多可数集。而
(,)x
x x x x E
E
E N q r I α∈∈?
?
，故{:}x
I x E α
∈是E 的一个至多可数的开覆盖。证毕。
17、证明：设G 是n R 中任一开集，则12(,,,)n x x x x G ?=∈，0x δ?>，使(,)x N x G δ?。作
n
R 中开区间
12{(,,,):,1,2,,}
x
x
x n j j j I y y y x y x j n n
n
=-
<<+
=，显然
(,)x x x I N x G δ∈??，而x x G
G I G ∈?
?，故x x G
G I ∈=
，这说明{:}x I x G =∈F=
是G 的
一个开覆盖，于是由上述Lindelof 定理知，F 中至多可数个12,,,,
n I I I 完全覆盖了G ，所以
1
n n G I G ≥?
?，即1
n n G I ≥=
。证毕。
18、证明：若E 是开集，P E α?∈，x E ?∈，使P x α∈，于是存在x 为心的邻域(,)N x E δ?，
又取
(,)y N P αδ∈，考虑到0α≠，所以
111
(,)(,)(,)=(,)y y x d x d d y x d y P αααδδ
αααααα
==<=
故
y
α
∈(,)N x E δ?，从而y
y E α
αα
=∈，即(,)N P E αδα?，可见E α是开集。
若
E
是闭集，为证E α是闭集，只需证
'()E E αα?，任取'()P E α∈，则存在E
α中点列
{}:()n n P P P n →→∞，因而相应有E 中点列{}:()n n P
x x n α
→→∞，而E 是闭集，故
P
E α
∈，
从而P
P
E α
αα
=∈，即有'()E E αα?。证毕。
19、解：（1）由于采用三进制小数表示时，140.0202,1130.002002
==，而由Cantor 集
的构造过程知，从[0,1]中去掉G 时，所有含数字1的点都被去掉，而余下的点都在Cantor 集中，所以
14,113在Cantor 集C 中。
（2）设E 为[0,1]C -的可列个开区间的中点全体，则显然有E 是孤立点集，以下证明'E C =，事实
上，任取'x E ∈，因E 是孤立点集，故x E ?，所以必有x C ∈，此时'
E C ?，否则x 必属于被去
掉的某个开区间且不是这个开区间的中点，由于被去掉的开区间是两两不交的，因而存在以x 为心的某个邻域，使得其中不含E 中的点这就与'x E ∈矛盾。 任取
y C ∈，则y 必是余下的某个闭区间的端点，由E 的构造知，0δ?>，邻域(,)N y δ中总有E 中
的一个点（实际上是无穷多个），从而'y E ∈，可见'C E ?，于是'E C =，而C 是完备集，故以上E
即为所求。
（3）由条件知E c =，所以对任意00,{:}x E x y y E ∈-∈应是不可数集，由此知必存在0y E ∈，
使得0
0x y -为无理数。
20、证明：必要性。设()n f C R ∈，G 为1R 中任一开集。1
()P f G -?∈，则0()f P G ∈，而G 是开集，因而存在00ε>，使00((),)N f P G ε?，而f 在0P 连续，从而对上述00ε>，存在00δ>，
使当
00(,)y N P δ∈时00()()f y f P ε-<，故00()((),)f y N f P
G ε∈?，即1
()y f G -∈，这说明100(,)()N P f G δ-?
，故1()f G -是开集。
充分性。设对1
R 中任一开集G 有1()f G -为开集，又0n P R ε?>∈及，邻域((),)N f P ε总是1R 中
的开集，所以1(((),))f N f P ε-是开集，而()((),)f P N f P ε∈，故1(((),))P f N f P ε-∈，于
是存在0δ
>，使得1(,)(((),))N P f N f P δε-?，即((,))((),)f N P N f P δε?，这样对任意
(,)y N P δ∈，有()((),)
f y N f P ε∈，或
()()f y f P ε-<，所以f 在P 连续，由P 的任意性
知
f 在n
R 连续。
21、证明：反证法。设存在可列个两两不交的非空闭区间
1122[,],[,],
,[,],
n n a b a b a b ，
使得
1
1
[,]n n n a b R
∞
==，则1
(
[,])c
n n n a b ∞
==?，记1
(
(,))c n n n E a b ∞==，则E 是一无孤立点的非空闭
集，从而E 是完备的，于是由第8题知，E c =， 这样
11221
(
[,]){,,,,,,,}c n n n n n a b E a b a b a b ∞
==-的基数应该为c ，这显然与假设矛盾，可知结论得
证。
22、证明：（1）反证法。记有理数全体为Q ， 而1
n n Q G ∞
==
，其中n G 为1R 中的开集，则对任意自然数
n ，应有n Q G ?，由1R 中的开集的构造知，n G 可表为至多可数个互不相交的开区间的并，考虑到
n Q G ?和Q 在1R 中的稠密性，于是只有以下两种可能：
1）n
G R =，（这显然不可能）
2）1
(,)n
i i i G a b ∞
==
（,c
i i n a b G ∈），
注意到Q 在1R 中的稠密性，这些区间必首尾相接，因而1122{,,,,,,,}c
n
i i G a b a b a b =是可数集，
于是由DeMorgan 律1
1
1
1
1
()c
c n n
n n n n Q G R G R G ∞
∞
∞====
=
-=-
是不可数集，矛盾。
（2）记
[0,1]中无理数全体为P
，则
[0,1](0,1)P Q Q =-=-，设1
n
n P F ∞
==
，其中
1n F R 是中的闭集，则每个n F 中必不含有理数。令(0,1)c n n F F =-，则c n F 是包含(0,1)Q 的开
集，于是1
(0,1)c n n P F ∞
=-=
，这就与（1）的结论矛盾。
（3）若存在这样的实函数
()f x ，使()f x 在有理点都连续，在无理点都不连续。
记[0,1]{0,1}(0,1){0,1}G ==，则由函数连续点的结构知，f
作为开集G 上的函数，其连续点
全体为一G δ集。从而[0,1]中全体无理点必是一F σ集，这就与（2）矛盾。 23、证明：（1）易知c G 是闭集，且有c F
G =?，故由距离可达定理知存在12,c
x F x G
∈∈，使
12(,)(,)0
c r
d x x d F G ==>。于是当
(,)d x F r <时
，c
x G x
G
?∈或，这就说明
{(,)}
x d x F r G
（2）任取
'x E ∈，若x E
∈，则结论自然成立。若
x E
?，则依题设知存在
y E
∈，使
(,)(,)d x y d x E =，但(,)0d x E =，所以x y E =∈，即E 是闭集。 （3）令1
{(,)}n
k G x R d x F k
=∈<，则k
G 是开集，且
k
F G ?，从而
1
k
k F G ∞
=?
。又若
1
k
k x G ∞
=∈
，则对任意1k
≥，有k x G ∈，即1
(,)d x F k
<
，从而知(,)0d x F =，注意到F 是闭
集，所以x F ∈。这说明
1
k k G F ∞
=?，综合得1
k
k F G ∞
==
。即F 是G δ
集，由DeMorgan 律易知，
开集作为闭集的余集必是F σ集。
实变函数习题解答(1)
第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数论试题及答案
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
实变函数第一章答案
习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.
充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数题目整合集答案解析
实变函数试题库及参考答案 本科 一、题 1．设,A B 为集合，则() \A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ? 是可数集，则* m E =0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A ?A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ? ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集 14．任意个开集的并是开集 15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则* m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈，()E x f x a ??
实变函数复习资料,带答案
《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例
实变函数期中试卷及答案
一、 判断题 1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 2.可数集的交集必为可数集。（× ） 3.设 ，则 。（× ） 4.设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。（× ） 5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ） 6.任意多个开集的并集仍为开集。（√ ） 7.任意多个开集的交集仍为开集。（× ） 8.设 ，则 。（× ） 9.设E 为 中的可数集，则 。（√ ） 10.设E 为无限集，且 ，则E 是可数集。（× ） 二、填空题 1.设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=1E 的内部 1E 2.设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '=1E 的内部；1E 3.设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '=1E 的内部 1E 4.设P 是Cantor 集，则P P P P 5. 设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,a b ，且a ， 。 三、证明题 1.证明：()A B A B '''?=?。 证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从而 ()A B A B '''??? 反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有 (,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=???为无限集， 从而(,)B x A δ?为无限集或(,)B x B δ?为无限集至少有一个成立，即x A '∈或 x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''???。综上所述，()A B A B '''?=?。
完整word版,实变函数练习及答案
实变函数练习及答案 一、选择题 1、以下集合，（ ）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（ ） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（ ） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（ ） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版） 选择题 1,下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、全体自然数 B 、0,1 之间的实数全体 C 、[0, 1]上的实函数全体 D 、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{全体小个子} D 、{x ： x>1} 3、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体 胖子} 4、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体小孩子} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体实 数} 6、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体大人} C 、{x ：x>1} D 、{全体整 数} 7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I ∈?= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)
8、设}1111:{i x i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1] 9、设}110:{i x x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、 (0, +∞) 10、设}1211:{i x i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、 (1, 2) 11、设}2 3:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、 {0} 12、设}11:{i x i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0} 13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1] 14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1]
第2章 实变函数 答案
第2章习题参考答案 A 类 1、（1）()C ；（2）()A ；（ 3）()C ；（4）()B ； （5）()D 。 2、（1）[0,1]，空集，[0,1]；（2）3 {(0,):1}E y y ≤； （3）(1,6)；（4）公共；（5）c E 。 3、证明：（1）必要性 设' 0P E ∈，则0δ?>，邻域0(,)N P E δ中有无穷多个点。现设0(,)P N P δ∈， 则00(,)d P P η δ ≤=<。故 0(,)y N P δη∈-，有 00(,)(,)(,)d y P d y P d P P δηηδ≤+<-+=。 所以 0(,)(,)N P N P δηδ-?，而0(,) N P E δη-有无穷多个E 中的点，自然有异于 0P 的点 10(,)(,)P N P E N P δηδ∈-?。而00(,)({})N P E P δη--是无穷点集，故(,)N P δ中有 无穷多个异于0P 的E 中的点。 充分性 若任意含0P 的邻域(,)N P δ中恒有异于0P 的点1P E ∈，则0δ?>，0(,)N P δ中有异于0 P 的点1P E ∈，记101(,)d P P δ=，显然1δδ<，于是邻域01(,)N P δ中又有异于0P 和1P 的点2P E ∈， 而202 1(,)d P P δδδ=<<，这样下去，可得无穷点集 0{(,),1 ,2,}n n P P E N P n δ∈= 这表明0(,)N P δ中有无穷多个E 中的点，由δ的任意性知，' 0P E ∈。 （2）必要性显然。 充分性 若存在包含0P 的邻域(,)N P E δ?，则00(,(,))(,)N P d P P N P E δδ-??，故0P 为E 的 内点。 4、仿第3题。 5、证明：记B 为E 的孤立点全体，则'E B E -=，所以' ()E E B B E B =-=，而B 至多可数， 则当'E 有限时' E B 是至多可数的，从而E 至多可数，矛盾。 6、证明：因为E 为闭集，则E E '?，而E E E '=?，所以E E =。反之，因为E E E E '==?， 所以，E E '? ，即E 为闭集。 7、证明：对任意{()}x E x f x a ∈=>，有()f x a >，由连续函数的局部保号性，存在(,)B x δ， 使对任意(,)y B x δ∈，有()f y a >，即y E ∈，所以，(,)B x E δ? ，即x 为E 的内点。所以
实变函数测试题与标准答案
实变函数测试题与答案
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实变函数试题 一，填空题 1. 设1 ,2n A n ?? =???? , 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = . 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ? ≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合，则E '= ，E ? = . 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , . 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则 mE = . 7. 若()n mE f x →()0f x ??=??, 则说{}()n f x 在E 上 . 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是 E 的聚点. 9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .
10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 . 二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点. 3. 点集11,2,,E n ? ? =??? ? L L 的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集. 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. 三, 计算证明题 1. 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2. 设M 是3 R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集. 3. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L .根据题意, 若 有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集. 4. 设P 是Cantor 集, ()[]3 2ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? . 求1 0(L)()f x dx ?. 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3 x , 而在0P 的
《实变函数》考试试卷(B卷)及参考答案
2014年《实变函数》考试试卷（B 卷） 班别： 学号： 姓名： 成绩： 一、填空题（每空3分，共21分） 1.设{n A }是一个集列，且...321???A A A ，则=∞→n n A lim ∞=1m n A 。 2.设A=（0，1），B 为全体实数R ，则A 与B 的大小关系是B A = 。 3. n R E ?，则E 为可测集的卡氏条件是：n R T ??，有=T m *)()(** C E T m E T m +。 4.设{i S }是一列互不相交的可测集，则 ∞=1i i S 也是可测集，且有 ∞ ==1)(i i S m ∑i S m *。 5.直线上的闭集F 或是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不交的开集所得到的集。 6.设E 是[0，1]中所有无理数点组成的集合，则=mE 0 。 7.设]2,1[n A n =（n=1,2,…），则=∞→n n A lim ]2,0(。 二、计算题（每题15分，共45分） 1．设2121(0,),(0,)n n A A n n -== （n=1,2,3,…），求出集列{n A }的上限集和下限集。 解：当∞→n 时，φ→-12n A ，),0(2∞→n A 。),,0(∞∈?x 必存在N ，使得,N x <因此，当N n >时，n N x <<<0，即n A x 2∈，n n A x ∞→∈lim ，所以),0(lim ∞=∞ →A n φ=∞→n n A lim ，若有n n A x ∞ →∈lim ，则存在N ，使任意N n >时，有n A x ∈,因此若N n >-12时，12-∈n A x ，即n x 10< <，令∞→n 得00< 1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知第三版实变函数论课后答案