(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题学案

高考专题突破三 高考中的数列问题

【考点自测】

1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则

a 1＋a 5＋a 9

a 2＋a 3

等于( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7 答案 B

解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 2

4＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2

＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2

＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴

a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 1

5a 1

＝3.故选B.

2．(2018·衡水调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列????

??

1a n a n ＋1的前

100项和为( ) A.100

101 B.99101 C.99100

D.101100

答案 A

解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .

∵a 5＝5，S 5＝15，∴?

???

?

a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)

2d ＝15，∴?

??

??

a 1＝1，

d ＝1，

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴

1

a n a n ＋1

＝

1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

，

∴数列????

??1a n a n ＋1的前100项和为? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1100－1101＝1－1101＝100101. 3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2

－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D

解析 由题意知a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .

∴?

??

??

ab ＝4，2b ＝a －2或?

??

??

ab ＝4，

2a ＝b －2，解得?

??

??

a ＝4，

b ＝1或?

??

??

a ＝1，

b ＝4.

∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.

4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若

a 1·a 6·a 11＝33，

b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan

b 3＋b 9

1－a 4·a 8

的值是( )

A ．1 B.22

C ．－

2

2

D ．－ 3

答案 D

解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 3

6＝(3)3,

3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝

7π3

， ∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 6

1－a 26＝tan 2×

7π

3

1－(3)

2

＝tan ? ????－7π3＝tan ?

????－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.

5．(2018·保定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *

都有S n ＝23a n －13

，若1

(k ∈N *

)，则k 的值为________． 答案 4

解析 由题意，S n ＝23a n －1

3，

当n ≥2时，S n －1＝23a n －1－1

3，

两式相减，得a n ＝23a n －2

3a n －1，

∴a n ＝－2a n －1， 又a 1＝－1，

∴{a n }是以－1为首项，以－2为公比的等比数列， ∴a n ＝－(－2)

n －1

，

∴S k ＝(－2)k

－1

3

，

由1

<28， 又k ∈N *

，∴k ＝4.

题型一 等差数列、等比数列的综合问题

例1 (2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中

q >0，n ∈N *.

(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；

(2)设双曲线x 2

－y 2a 2n

＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2

n .

解 (1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．

所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列， 从而a n ＝q

n －1

.

由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3， 所以a 3＝2a 2，故q ＝2. 所以a n ＝2

n －1

(n ∈N *

)．

(2)由(1)可知，a n ＝q

n －1

，

所以双曲线x 2

－y 2a 2n

＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1

).

由e 2＝1＋q 2

＝2，解得q ＝3， 所以e 2

1＋e 2

2＋…＋e 2

n

＝(1＋1)＋(1＋q 2

)＋…＋[1＋q 2(n －1)

]

＝n ＋[1＋q 2

＋…＋q

2(n －1)]

＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12

(3n

－1)．

思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略

(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．

(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．

跟踪训练1 (2018·沧州模拟)已知首项为3

2

的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为

S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设T n ＝S n －1S n

(n ∈N *

)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，

于是q 2

＝a 5a 3＝14

.

又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－1

2.

故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×? ????－12n －1

＝(－1)

n －1

·32

n . (2)由(1)得S n

＝1－? ????－12n

＝?????

1＋1

2n

，n 为奇数，1－12n

，n 为偶数.

当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1

2

，

故0

6.

当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以3

4

＝S 2≤S n <1，

故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7

12.

综上，对于n ∈N *

，总有－712≤S n －1S n ≤56

.

所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－7

12.

题型二 数列的通项与求和

例2 (2018·邢台模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)

n －1

4n

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1

2

×2＝2a 1＋2，

S 4＝4a 1＋

4×3

2

×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2

＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －1

4n

a n a n ＋1

＝(－1)n －1

4n

(2n －1)(2n ＋1)

＝(－1)

n －1

? ????12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，

T n ＝? ?

???1＋13－? ????

13＋15＋…＋? ????

1

2n －3＋12n －1－? ????

12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

.

当n 为奇数时，T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…－? ????12n －3＋12n －1＋? ??

?

?12n －1＋12n ＋1

＝1＋12n ＋1＝2n ＋2

2n ＋1

.

所以T n

＝?????

2n ＋22n ＋1，n 为奇数，

2n

2n ＋1，n 为偶数.

(或T n ＝

2n ＋1＋(－1)

n －1

2n ＋1

)

思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．

(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．

跟踪训练2 (2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋1

2n a n (n ∈N *)．

(1)证明：数列??????

a n n 是等比数列；

(2)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n . (1)证明 ∵a 1＝12，a n ＋1＝n ＋1

2n a n ，

当n ∈N *

时，a n n

≠0，

又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12

(n ∈N *)为常数， ∴????

??a n n 是以12为首项，1

2为公比的等比数列．

(2)解 由????

??a n n 是以12为首项，1

2为公比的等比数列，

得a n n ＝12·? ????12n －1，∴a n ＝n ·? ??

??12n

. ∴S n ＝1·12＋2·? ????122＋3·? ????123＋…＋n ·? ????12n

，

12S n ＝1·? ????122＋2·? ????123＋…＋(n －1)? ????12n ＋n ·? ??

??12n ＋1，

∴两式相减得12S n ＝12＋? ????122＋? ????123＋…＋? ????12n －n ·? ????12n ＋1＝12－? ???

?12n ＋1

1－12

－n ·? ??

??12n ＋1

，

∴S n ＝2－? ????12n －1－n ·? ????12n

＝2－(n ＋2)·? ??

??12n

.

综上，a n ＝n ·? ????12n ，S n ＝2－(n ＋2)·? ??

??12n

.

题型三 数列与其他知识的交汇 命题点1 数列与函数的交汇

例3 (2018·长春模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x

的图象上(n ∈N *

)．

(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；

(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1

ln 2，求数列????

?

?a n b n 的前n 项和T n .

解 (1)由已知，得b 7＝72a ，b 8＝82a ＝4b 7， 有82a ＝4×72a ＝2

72

a

+，

解得d ＝a 8－a 7＝2， 所以S n ＝na 1＋

n (n －1)

2

d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .

(2)f ′(x )＝2x

ln 2，f ′(a 2)＝22a ln 2，

故函数f (x )＝2x

在(a 2，b 2)处的切线方程为y －22a ＝22a ln 2(x －a 2)，

它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2

. 由题意，得a 2－1ln 2＝2－1ln 2

， 解得a 2＝2， 所以d ＝a 2－a 1＝1.

从而a n ＝n ，b n ＝2n

，a n b n ＝n

2n .

所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n

2n ，

2T n ＝11＋22＋322＋…＋n

2n －1.

两式相减，得

2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n

＝2－12n －1－n

2n

＝2

n ＋1

－n －2

2

n

. 所以T n ＝

2

n ＋1

－n －2

2

n

.

命题点2 数列与不等式的交汇

例4 (2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *

，b n 是

a n 和a n ＋1的等比中项．

(1)设c n ＝b 2

n ＋1－b 2

n ，n ∈N *

，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n

k ＝1 (－1)k b 2

k

，n ∈N *

，求证：∑n

k ＝1 1T k <1

2d

2. 证明 (1)由题意得b 2

n ＝a n a n ＋1，

c n ＝b 2n ＋1－b 2

n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.

因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2

， 所以{c n }是等差数列．

(2)T n ＝(－b 2

1＋b 2

2)＋(－b 2

3＋b 2

4)＋…＋(－b 2

2n －1＋b 2

2n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·

n (a 2＋a 2n )

2

＝2d 2

n (n ＋1)．

所以∑n

k ＝1 1

T k ＝12d 2∑n k ＝1 1k (k ＋1)＝12d 2∑n k ＝1 ? ??

??1k －1k ＋1 ＝

12d 2

·? ?

?

??1－1n ＋1<12d 2. 命题点3 数列应用题

例5 某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？(参考数据：取1.0510

≈1.629,1.310

≈13.786,1.510

≈57.665)

解 甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为(1＋30%)，所以10年所获得的总利润为

S 10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9

＝1.310

－10.3≈42.62(万元)，

贷款到期时，需要偿还银行的本息是 10(1＋5%)10

≈16.29(万元)，

故使用甲方案所获纯利润为42.62－16.29＝26.33(万元)． 乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为0.5， 所以10年所获得的总利润为

T 10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)

＝10×1＋10×9

2

×0.5＝32.5(万元)，

从第一年起，每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列，首项为1×(1＋5%)10

万元，公比为1

1＋5%

，

故贷款到期时，需要偿还银行的本息是 1×[(1＋5%)10

＋(1＋5%)9

＋…＋(1＋5%)] ＝1.05×1.0510－1

0.05

≈13.21(万元)，

故使用乙方案所获纯利润为32.5－13.21＝19.29(万元)． 综上可知，甲方案获利更多．

思维升华 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 (1)数列与函数的交汇问题

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．

(2)数列与不等式的交汇问题

①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；

②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较． (3)数列应用题

①根据题意，确定数列模型； ②准确求解模型；

③问题作答，不要忽视问题的实际意义．

跟踪训练3 (2018·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2

＋bx 的图象过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *

，数列{a n }满足

1

a n ＋1

＝f ′? ??

??1a n ，且a 1＝4.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n ， 16n 2

a －4n

b ＝0， ∴a ＝12

，

则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *

.

数列{a n }满足

1

a n ＋1

＝f ′? ??

??1a n ，

又f ′(x )＝x ＋2n ， ∴

1

a n ＋1＝1a n

＋2n ，∴1a n ＋1－1

a n

＝2n ，

由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2

－n ，

化简可得a n ＝4

(2n －1)2(n ≥2)，

当n ＝1时，a 1＝4也符合， ∴a n ＝

4(2n －1)

2(n ∈N *

)．

(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4

(2n －1)(2n ＋1)

＝2?

??

?

?12n －1－12n ＋1，

∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1

＝2????

??? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝2?

??

??

1－12n ＋1 ＝

4n 2n ＋1

.

1．(2018·泰安模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝5

4，且当n ≥2

时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；

(2)证明：?

?????

a n ＋1－12a n 为等比数列；

(3)求数列{a n }的通项公式．

(1)解 当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，

即4? ????1＋32＋54＋a 4＋5? ????1＋32＝8? ??

??1＋32＋54＋1，

解得a 4＝78

.

(2)证明 因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1 (n ≥2)，

当n ＝1时，4a 3＋a 1＝4×5

4＋1＝6＝4a 2，

所以n ＝1也满足此式， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1 (n ∈N *

)， 因为a n ＋2－12a n ＋1

a n ＋1－12

a n

＝4a n ＋2－2a n ＋1

4a n ＋1－2a n

＝

4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝1

2

，

所以数列?

?????a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，1

2为公比的等比数列．

(3)解 由(2)知：数列?

?????a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，1

2为公比的等比数列，

所以a n ＋1－12a n ＝? ????12n －1

.

即

a n ＋1

? ????12n ＋1－

a n

? ??

??12n

＝4，

所以数列??????????a n ? ????12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以a n

? ??

??12n

＝2＋(n －1)×4＝4n －2，

即a n ＝(4n －2)×? ????12n ＝(2n －1)×? ????12n －1

，

所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×? ??

??12n －1

.

2．(2017·福建漳州八校联考)已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是

a 2和a 4的等差中项．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝a n 12

log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2

n ＋1

>62成立的正整数n 的最小值．

解 (1)由题意，得?????

a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3

＝28，

a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2

＋2)，

解得?

??

??

a 1＝2，

q ＝2或????

?

a 1＝32，q ＝1

2

，

∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2

n －1

＝2n

.

(2)∵b n ＝a n 12

log a n ＝2n

·12

log 2n

＝－n ·2n

，

∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22

＋…＋n ·2n

)，① 则2S n ＝－(1×22

＋2×23

＋…＋n ·2

n ＋1

)，②

②－①，得S n ＝(2＋22

＋ (2)

)－n ·2n ＋1

＝2

n ＋1

－2－n ·2

n ＋1

，

则S n ＋n ·2n ＋1

＝2

n ＋1

－2，

解2

n ＋1

－2>62，得n >5，

∴n 的最小值为6.

3．(2018·梅州质检)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *

)在函数y ＝x 2

＋1的图象上，数列{b n }的前n 项和S n ＝2－b n . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝

－1

a n ＋1log 2

b n ＋1

，求{c n }的前n 项和T n .

解 (1)∵点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *

)在函数y ＝x 2

＋1的图象上， ∴a n ＋1＝a n ＋1，∴数列{a n }是公差为1的等差数列． ∵a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ， ∵S n ＝2－b n ，∴S n ＋1＝2－b n ＋1，

两式相减，得b n ＋1＝－b n ＋1＋b n ，即

b n ＋1b n ＝1

2

， 由S 1＝2－b 1，即b 1＝2－b 1，得b 1＝1. ∴数列{b n }是首项为1，公比为1

2

的等比数列，

∴b n ＝? ??

??12n －1

.

(2)∵log 2b n ＋1＝log 2? ??

??12n

＝－n ，

∴c n ＝

1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

，

∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ????1

n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 4．(2018·佛山模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *

)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；

(3)是否存在k ∈N *

，使得S 11＋S 22＋…＋S n

n

恒成立，若存在，求出k 的最小值，

若不存在，请说明理由． 解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 2

3＋2a 3a 5＋a 2

5＝25，∴(a 3＋a 5)2

＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝1

2

，a 1＝16，

∴a n ＝16×? ??

??12n －1＝25－n

.

(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，

b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝

n (9－n )

2

.

(3)由(2)知S n ＝

n (9－n )

2，∴S n n ＝9－n 2

.

当n ≤8时，S n

n

>0；当n ＝9时，S n

n

＝0； 当n >9时，S n n

<0.

∴当n ＝8或n ＝9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n

n

＝18最大．

故存在k ∈N *

，使得S 11＋S 22＋…＋S n

n

恒成立，k 的最小值为19.

5．(2017·天津滨海新区八校联考)已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 2＝4b 1，

S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：??????

b n n 为等差数列；

(3)若数列{c n

}的通项公式为c n

＝?????

－a n b n

2，n 为奇数，

a n b

n

4，n 为偶数.

令T n 为{c n }的前n 项和，求T 2n .

(1)解 当n >1时，?

??

??

S n ＝2a n －2，

S n －1＝2a n －1－2，

则a n ＝2a n －2a n －1，

a n

a n －1

＝2. 当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，得a 1＝2，

综上，{a n }是公比为2，首项为2的等比数列，a n ＝2n

. (2)证明 ∵a 2＝4b 1，∴b 1＝1. ∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 2

＋n ， ∴

b n ＋1n ＋1－b n

n

＝1， 综上，????

??b n n 是公差为1，首项为1的等差数列，

b n n

＝1＋n －1，可得b n ＝n 2. (3)解 令p n ＝c 2n －1＋c 2n

＝－

(2n －1)2·22n －1

2＋(2n )2·22n

4

＝(4n －1)·2

2n －2

＝(4n －1)·4

n －1

.

?????

T 2n ＝3·40

＋7·41

＋11·42

＋…＋(4n －1)·4n －1

，①4T 2n ＝3·41＋7·42＋11·43＋…＋(4n －5)·4n －1 ＋(4n －1)·4n ②

①－②，得－3T 2n ＝3·40

＋4·41

＋4·42

＋…＋4·4n －1

－(4n －1)·4n

，

∴－3T 2n ＝3＋

16－16·4n －11－4－(4n －1)·4n

∴T 2n ＝79＋12n －79

·4n

.

6．已知数列{a n }，{b n }，其中，a 1＝12，数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1 (n ≥2，n ∈N *

)，

数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)是否存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *

，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n

在，求出m 的最小值；

(3)若数列{c n }满足c n ＝?????

1na n

，n 为奇数，

b n ，n 为偶数，求数列{

c n }的前n 项和T n .

解 (1)由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 即

a n a n －1＝n －1

n ＋1

(n ≥2)． 又a 1＝12，

所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2

a 1

·a 1 ＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12

＝

1

n (n ＋1)

.

当n ＝1时，上式成立，故a n ＝1

n (n ＋1)

.

因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，

所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，

故b n ＝2n

.

(2)由(1)知，b n ＝2n

，则

1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12

n . 假设存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *

，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n

<

m －8

4

恒成立，由

m －8

4

≥2，解得m ≥16.

所以存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *

，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n

的最小值为16. (3)当n 为奇数时，

T n ＝? ????1a 1＋13a 3

＋…＋1

na n ＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)

＝[2＋4＋…＋(n ＋1)]＋(22

＋24

＋…＋2n －1

)

＝

2＋n ＋12·n ＋12＋1

2

4(14)

14

n --- ＝

n 2＋4n ＋34

＋4

3

(2n －1

－1)；

当n 为偶数时，

T n ＝??????1a 1＋13a 3

＋…＋1

(n －1)a n －1＋(b 2＋b 4＋…＋b n

) ＝(2＋4＋…＋n )＋(22

＋24

＋ (2)

) ＝

2＋n 2·n 2＋2

4(14)

14

n

-- ＝

n 2＋2n 4

＋4

3

(2n

－1)． 所以T n

＝?????

n 2＋4n ＋34＋4

3(2n －1

－1)，n 为奇数，

n 2

＋2n 4＋4

3(2n

－1)，n 为偶数.

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案)

2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线， 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12

2022年高考数学总复习：等差数列及其前n项和

第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列．

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .

(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，

高考数学大题题型解答技巧

高考数学大题题型解答技巧 六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分 数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握

全国卷数列高考题汇总附答案

数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1， ， ，其中为常数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列 满足=1， . （Ⅰ）证明是等比数列，并求 的通项公式； （Ⅱ）证明： . (2015·I)（17）（本小题满分12分） 为数列的前项和.已知， （Ⅰ）求的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列 的前项和。 (2015·I I)（4）等比数列 满足 ，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )

（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 (2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列 前9项的和为27， ，则 （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 (2016·I)（15）设等比数列满足 的最大值为 __________。 (2016·II)（17）（本题满分12分） S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记 ，其中表示不超过的最大整数， 如 . （I ）求，， ； （II ）求数列的前1 000项和. (2016·III)（12）定义“规范01数列” 如下： 共有项，其中项为0，项为1，且对任意， 中0的个数不少于1的个数.若 ，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 (2016·III)（17）（本小题满分12分） 已知数列的前项和 ，其中 （I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求. (2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 (2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列

高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库

一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ． 1 2 尺布 B ． 5 18 尺布 C ． 16 31 尺布 D ． 16 29 尺布 2．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则 1223910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 6．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，

最新高考数学数列题型专题汇总

1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则

但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2017高考模拟卷 数列专题一

2017全国模拟卷解析（数列汇总） 一、选择题 1、（徽.文）《九章算术》有这样一个问题：今有织女善织，日増等尺。七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺，问第十日所织尺数为（D ） A 、6 B 、9 C 、12 D 、15 2、（广东.理）等比数列 {}n a 的前n 项和为n s ，若032=+s a ，则公比q=（A ） A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 3、已知数列 {}n a 满足01 =a ，且1121+++=+n n n a a a ，则13a =（C ） A 、142 B 、156 C 、168 D 、195 （贵州.理） 解 析 ： 由 1 121+++=+n n n a a a 可得 2 1)11(1++=++n n a a ， 1111++=++n n a a ，且01=a 。 {}1+n a 是以1为首项公差为1的等差数列，求 得12-=n a n ，16813=a 4、在正项等比数列 {}n a 中，存在两项m a 、n a 使得 14a a a n m =，且 4562a a a +=，则 n m 4 1+的最小值是（A ） （贵州.文） A 、3/2 B 、2 C 、7/3 D 、25/6 解析：由4562a a a +=得44242a q a q a +=，解得q=2或q=-1（舍去），14a a a n m = 得4222=-+n m ，即m+n=6, 16 6=+n m 成立；所以 2 366426566465664141=?+≥++=??? ??+??? ??+=+m n n m m n n m n m n m n m 5、（河北.文）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，且201 -=a 。在区间（3,5） 内任取一个数作为数列 {}n a 的公差，则n s 的最小值为6s 的概率为（ D ）

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.

高考数学二轮考点专题突破检测 数列专题

专题达标检测 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，