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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。 1.12i 12i +=-
A .43i 55--
B .43i 55-+
C .34i 55--
D .34i 55
-+
2.已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z},则A 中元素的个数为
A .9
B .8
C .5
D .4
3.函数2
e e ()x x
f x x --=的图象大致为
4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1?=-a b ,则(2)?-=a a b A .4
B .3
C .2
D .0
5.双曲线
2
2
22
1(0,0)x y a b a b -=>>3 A .2y x = B .3y x =±
C .2y =
D .3y = 6.在ABC △中,5
cos 2C =
1BC =,5AC =,则AB = A .42B 30C 29D .5
7.为计算11111
123499100
S =-+-++-L ,设计了右侧的程
序框图,则在空白框中应填入
A .1i i =+
B .2i i =+
C .3i i =+
D .4i i =+
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
A .
112 B .114 C .115 D .118
9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==
,1AA ,则异面直线1AD 与1DB 所成角
的余弦值为
A .1
5
B
C
D
10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是
A .
π4 B .π2 C .3π4
D .π 11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,
则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A .50- B .0 C .2 D .50
12.已知1F ,2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在
过A
的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=?,则C 的离心率为 A .
23 B .12 C .13
D .
14
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________.
14.若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-??
-+??-?
≥≥≤则z x y =+的最大值为__________.
15.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________.
16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为
7
8
,SA 与圆锥底面所成角为45°,若SAB △的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,,17L )建立模型①:?30.413.5y
t =-+;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,,7L )建立模型②:?9917.5y
t =+. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 19.(12分)
设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =.
(1)求l 的方程;
(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 20.(12分)
如图,在三棱锥P ABC -
中,AB BC == 4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO ⊥平面ABC ;
(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M PA C --为30?,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 21.(12分)
已知函数2
()e x
f x ax =-.
(1)若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥; (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a .
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=??=?(θ为参数),直线l 的参数方
程为1cos ,
2sin ,x t αy t α=+??=+?
(t 为参数).
(1)求C 和l 的直角坐标方程;
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数()5|||2|f x x a x =-+--.
(1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 绝密★启用前
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理科数学试题参考答案
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B
8.C
9.C
10.A
11.C
12.D
二、填空题
13.2y x = 14.9 15.12
-
16.
三、解答题 17.解:
(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-. 由17a =-得d =2.
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.
(2)由(1)得22
8(4)16n S n n n =-=--.
所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 18.解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?30.413.519226.1y
=-+?=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?9917.59256.5y
=+?=(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
?9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到
的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.解:
(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ,
由2(1),4y k x y x
=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=. 2
16160k ?=+>,故1222
24
k x k x ++=
. 所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.
由题设知22
44
8k k
+=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+.
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+???-++=
+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=. 20.解:
(1)因为4AP CP AC ===,O 为AC 的中点,所以OP AC ⊥
,且OP =
连结OB
.因为2
AB BC AC ==,所以ABC △为等腰直角三角形, 且OB AC ⊥,1
22
OB AC =
=.
由222OP OB PB +=知PO OB ⊥. 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .
(2)如图,以O 为坐标原点,OB uu u r
的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz -.
由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=u u u r
取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r
.
设(,2,0)(02)M a a a -<≤,则(,4,0)AM a a =-u u u r
.
设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n .
由0,0AP AM ?=?=uu u r uuu r n n 得2230(4)0
y z ax a y ?+=??+-=??,可取
(3(4),3,)a a a =--n ,
所以2
2
2
23(4)cos ,23(4)3a OB a a a
-=-++uu u r
n .由已知得
3|cos ,|OB =uu u r n .
所以
222
23|4|3=
23(4)3a a a a --++.解得4a =-(舍去),43
a =. 所以83434(,,)333=--n .又(0,2,23)PC =-u u u r ,所以3
cos ,4
PC =uu u r n . 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3
4
.
21.解:
(1)当1a =时,()1f x ≥等价于2(1)e 10x
x -+-≤.
设函数2()(1)e
1x
g x x -=+-,则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--.
当1x ≠时,()0g'x <,所以()g x 在(0,)+∞单调递减. 而(0)0g =,故当0x ≥时,()0g x ≤,即()1f x ≥.
(2)设函数2()1e x
h x ax -=-.
()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.
(i )当0a ≤时,()0h x >,()h x 没有零点;
(ii )当0a >时,()(2)e x
h'x ax x -=-.
当(0,2)x ∈时,()0h'x <;当(2,)x ∈+∞时,()0h'x >. 所以()h x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增. 故24(2)1e
a
h =-
是()h x 在[0,)+∞的最小值.
①若(2)0h >,即2
e 4a <,()h x 在(0,)+∞没有零点;
②若(2)0h =,即2
e 4
a =,()h x 在(0,)+∞只有一个零点;
③若(2)0h <,即2
e 4
a >,由于(0)1h =,所以()h x 在(0,2)有一个零点,
由(1)知,当0x >时,2e x x >,所以
33342241616161
(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-=->.
故()h x 在(2,4)a 有一个零点,因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.
综上,()f x 在(0,)+∞只有一个零点时,2
e 4
a =.
22..解:
(1)曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=.
当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则
120t t +=.
又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率
tan 2k α==-.
23.解:
(1)当1a =时,24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??
=-<≤??-+>?
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤. (2)()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥.
而|||2||2|x a x a ++-≥+,且当2x =时等号成立.故()1f x ≤等价于|2|4a +≥. 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥,所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U .
21(12分)
已知函数2()e x f x ax =-.
(1)若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥; (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 解:
(1)()e 2x f x x '=-,()e 2x f x ''=-.
当ln2x <时,()0f x ''<,当ln2x >时,()0f x ''>,所以()f x '在(,ln 2)-∞单调递减,在(ln 2,)+∞单调递增,故()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,()f x 在(,)-∞+∞单调递增.
因为0x ≥,所以()(0)1f x f ≥=.
(2)当0x >时,设2e ()x
g x a x
=-,则2()()f x x g x =,()f x 在(0,)+∞只有一个零点
等价于()g x 在(0,)+∞只有一个零点.
3
e (2)
()x x g x x -'=,当02x <<时,()0g x '<,当2x >时,()0g x '>,所以()g x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增,故2
e ()(2)4
g x g a ≥=-.
若2
e 4a <,则()0g x >,()g x 在(0,)+∞没有零点.
若2
e 4
a =,则()0g x ≥,()g x 在(0,)+∞有唯一零点2x =.
若2e 4
a >,因为(2)0g <,由(1)知当0x >时,
2
e 1x x >+,22e 1()1x g x a a x x =->+-,
故存在1(0,2)x ∈?,使1()0g x >. 4422
e e (4)1616a a
g a a a a a =->- 2e x x >,