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高三数学一轮复习精品资料基础知识归纳整理

高三数学一轮复习：基础知识归纳

第一部分集合

1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…

2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决

3.(1) 元素及集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.

（2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. （3）

A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ

U C A B R ?=

注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.

（4）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空

子集有2n –1个；

非空真子集有2n –2个. 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分函数及导数

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；

⑥利用均值不等式 2

2b a b a ab +≤

+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、

绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a、x

cos等）；⑨平方

sin、x

法；⑩导数法

3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由

不等式a ≤ g(x) ≤ b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于

x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]

y=分解为基本函数：内函数)

u=及外

(

函数)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单

调性.

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，

再下结论。

5．函数的奇偶性:

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件

．．．．

⑵)

(

)

?；)

f是偶函数)

)

(

f是奇函数)

⑶奇函数)

f在0处有定义，则0

)0(=

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函

数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6．函数的单调性: ⑴单调性的定义：

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；

③π==T x y :tan ；④|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤|

|:tan ωπ

ω=

=T x y (3)及周期有关的结论：

)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2

8．基本初等函数的图像及性质：

㈠.⑴指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑵对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ； ⑶幂函数：αx y = （)R ∈α ； ⑷正弦函数:x y sin =； ⑸余弦函数：x y cos = ； (6)正切函数：x y tan =；

⑺一元二次函数：02=++c bx ax （a ≠0）； ⑻其它常用函数：

①

正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x

k y ；③函数

)0(>+

=a x

x y ㈡.

⑴分数指数幂：m n

a =1m n

m n

（以上0,,a m n N *>∈，且1n >）.

⑵.①b N N a a b =?=log ； ②()N M MN a a a log log log +=；

③N M N M a a a

log log log -=； ④log log m n a a n

b b m

=. ⑶.对数的换底公式:log log log m a m N

N a

=.对数恒等式:log a N a N =.

9．二次函数：

⑴解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2)(；

②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点； ③零点式：))(()(21x x x x a x f --= （a ≠0）.

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④及坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a

x 2-

=，顶点坐标是???

? ??--a b ac a b 4422，。 10．函数图象：

⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换：

①

平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”；

ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；

②

对称变换：ⅰ))(x f y =??→?)

0,0()(x f y --=；

ⅱ))(x f y =?→?=0y )(x f y -=； ⅲ)

)

(x f y =?→

?=0

x )

(x f y -=；

ⅳ))(x f y =??→

?=x

y ()x f y =； ③

翻折变换：

ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；

ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明：

(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数)(x f y =及)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象

上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然。

注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0

②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=2

a +对称；

特别地：f(a+x)=f(a －x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=a 对称.

③()y f x =的图象关于点(,)a b 对称?()()b x a f x a f 2=-++.

特别地：()y f x =的图象关于点(,0)a 对称?()()x a f x a f --=+. ④函数()y f x a =-及函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称; 函数)(x a f y +=及函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称。 12．函数零点的求法：

⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。 13．导数：

⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作

x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)

()(lim

)(000

⑵常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a

x x a ln 1

)(log '=；⑧x

x 1)(ln '= 。

⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v

v u v u v

u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±

⑷（理科）复合函数的导数：;x u x

u y y '?'='

⑸导数的应用： ①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性：i ）)(0)(x f x f ?>'是增函数；ii ）

)(0)(x f x f ?<'为减函数；iii ）)(0)(x f x f ?≡'为常数；

③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。

④

利用导数求最大值及最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。

第三部分三角函数、三角恒等变换及解三角形

1．⑴角度制及弧度制的互化：π弧度 180=，180

1π

弧度，1弧度

)180

(π

='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22

1R lR S θ==。

2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：

,cos ,sin r x r y ==

ααx

=αtan

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”）

4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

5．⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴：令2

x k π

ω?π+=+，得; =x 对称中

心：))(0,(Z k k ∈-ω

?π；

⑵)cos(?ω+=x A y 对称轴：令π?ωk x =+，得ω

π-=

k x ；对称中心：

))(0,2

(

Z k k ∈-+ω

ππ；

⑶周期公式:①函数sin()y A x ω?=+及cos()y A x ω?=+的周期ω

2=T

(A 、ω、?为常数，

且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ω

=T (A 、ω、?为常数，且A ≠0).

6．同角三角函数的基本关系：x x

x x x tan cos sin ;1cos sin 22==+

7．三角函数的单调区间及对称性：

⑴sin y x =的单调递增区间为2,22

2k k k Z ππππ??-+∈???

,单调递减区间为

32,222k k k Z ππππ?

?++∈???

?，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈.

⑵cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为

[]2,2k k k Z πππ+∈，

对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02

k π

π??+ ??

()k Z ∈.

⑶tan y x =的单调递增区间为,2

2k k k Z ππππ??-+∈ ??

，对称中心

??0,2πk ()Z k ∈.

8．两角和及差的正弦、余弦、正切公式：

①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；

22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.

③sin cos a b αα+)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)

a b 所在的象限决定,tan b

?= ).

9．

二倍角公式：①

αααcos sin 22sin =.2

(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±

②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公

式）.

221cos 21cos 2cos ,sin 22αα

αα+-=

（降幂公式）. 10．正、余弦定理： ⑴正弦定理：R C

B b A a 2sin sin sin === （R 2是AB

C ?外接圆直径）

注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；

②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=

==。 ⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

-+=等三个；

bc a c b A 2cos 2

22-+=等三个。

11.几个公式: ⑴三角形面积公式：

①111

222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）；

②111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

③OAB S ?=

⑵内切圆半径

r=c

b a S ABC ++?2；外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c B b A a ==

第四部分立体几何

1．三视图及直观图：⑴画三视图要求：正视图及俯视图长对正；正视图及侧视图高平齐；侧视图及俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。 2．表（侧）面积及体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S

底

⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=3

底

h ：

⑶台体：①表面积：S=S 侧++上底S S 下底;②侧面积：S 侧=l r r )('+π;

③体积：V=3

（S+''S SS +）h ；

⑷球体：①表面积：S=24R π；②体积：V=33

4R π . 3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线及直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线及平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。

⑶平面及平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一

直线的两平面平行。

⑷直线及平面垂直：①直线及平面垂直的判定定理；②面面垂直的

性质定理。

⑸平面及平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面

垂直的判定定理。

注：以上理科还可用向量法。

4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法

⑵直线及平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法

5.结论：

⑴棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面及底面相似，截面面积及底面面积的比等于顶点到截面距离及棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥及小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离及棱锥高的平方比．

⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长

为2

+，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。

⑶正方体的棱长为a，则体对角线长为a3，全面积为2

6a，体积V=3a。

⑷球及长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

球及正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的

直径是正方体的体对角线长.

⑷正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的：

①

高：a h 36=

；②对棱间距离：a 22；③内切球半径：a 12

6；④外接球半径：

a 4

。

第五部分直线及圆

1．斜率公式：21

y y k x x -=

-，其中111(,)P x y 、222(,)P x y .

直线的方向向量()b a ,=，则直线的斜率为k =(0)b a a

≠.

2.直线方程的五种形式：

(1)点斜式：11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式：y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式：

2121

y y x x y y x x --=--(111(,)P x y 、222(,)P x y 12x x ≠，12y y ≠).

(4)截距式：1=+

a x (其中a 、

b 分别为直线在x 轴、y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ).

(5)一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3．两条直线的位置关系：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,则：

① 1l ∥2l 21k k =?,21b b ≠； ②12121l l k k ⊥?=-. （2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,则：

① 0//122121=-?B A B A l l 且01221≠-C A C A ；②1212120l l A A B B ⊥?+=. 4．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

5．两个公式:

⑴点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2

200B A C

By Ax d +++=

；

⑵两条平行线Ax+By+C 1=0及 Ax+By+C 2=0的距离2

21B

A C C d +-=

6．圆的方程：

⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；②222r y x =+ 。 ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D 注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 8．点、直线及圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点及圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）

①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。 ⑵直线及圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离） ①?=R d 相切；②?R d 相离。

⑶圆及圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且

r R >）

①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

9．直线及圆相交所得弦长||AB =

第六部分圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+；

⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-； ⑶抛物线：|MF|=d

2．结论：

⑴直线及圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A ),(),,(2211y x B y x ,

则

AB =,或

211k x x AB +-=, 或

2111k y y AB +

-=. 注：①抛物线：AB ＝x 1+x 2+p ；

②通径（最短弦）：ⅰ）椭圆、双曲线：a

b 2

2；ⅱ）抛物线：

2p.

⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122=+ny mx （n m ,同时大于0时表示椭圆；0

①双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）的渐近线：02222

=-b

y a x ； ②共渐进线x a

b y ±=的双曲线标准方程可设为λλ(22

=-b

y a x 为参数，λ≠ 0）

； ③双曲线为等轴双曲线??=2e 渐近线互相垂直；

⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3．直线及圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线及圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次

方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？ ③判别式验证了吗？

⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题步骤如下：①设点A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)；②作差得 =--=2

1x x y y k AB ；③解决问题。

4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称