5.1任意角和弧度制-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修一同步讲义

5.1 任意角和弧度制

1、角的概念的推广

（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

（2）分类：⎩

⎪⎨

⎪⎧

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合},|{Z k k S ∈+==

360αββ。 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．

2、弧度制的定义和公式

（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０． （3）公式：

角α的弧度数公式 |α|＝l

r

(l 表示弧长)

角度与弧度的换算

①1°＝π180

rad ；②1 rad ＝ )(π180

弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式

S ＝12

lr ＝12

|α|r 2

3、有关角度与弧度的两个注意点

（1）角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

知识梳理

题型一 终边相同的角

例 1 下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒ B ．153︒

C ．207︒

D ．387︒

【答案】D 【分析】

写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】

与27︒角终边相同的角的集合为{}

27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D

下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°

C ．219°

D ．﹣231°

【答案】C 【分析】

根据20195360219=⨯+可得答案. 【详解】

因为20195360219=⨯+， 所以219与2019°终边相同. 故选：C. 巩固练习

知识典例

题型二 角度制与弧度制

例2 （多选）下列转化结果正确的是（ ） A ．6730'

化成弧度是

38

π B ．103

π

-

化成角度是600- C ．150-化成弧度是76

π- D ．

12

π

化成角度是5

【答案】ABD 【分析】

根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项. 【详解】

对于A,3673067.5180

8

π

π

'=⨯

=

,正确; 对于B,1010180

60033πππ

-

=-⨯=-,正确; 对于C,5150150180

6

π

π

⨯

-=-=-

,错误; 对于D,

180

1512

12

π

π

π

=

⨯

=,正确.

故选ABD

24︒=_________弧度；49

π弧度=________.

【答案】

2

15

π 80° 【分析】

根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】

根据角度制与弧度制的互化公式180

1,1180

rad π

π

==

，

可得2180

241245π

π︒=

=⨯，44

1808099

π=⨯=. 故答案为：2

15

π，80. 巩固练习

题型三 角的表示

例 3 将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A ．

3

π B ．3

π-

C ．

6

π D ．6

π-

【答案】C 【解析】

分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案． 详解：分针转一周为60分钟，转过的角度为2π 将分针拨慢是逆时针旋转

∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为1 2.12

6

π

π⨯=

故选C ．

将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ．

3

π B ．

6

π C ．3

π-

D ．6

π-

【答案】A 【解析】

将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3

π. 本题选择A 选项.

题型四 象限角

例 4 给出下列四个命题： ①34

π-

是第二象限角；②43π是第三象限角；③400-︒是第四象限角；④315-︒是第一象限角．其中正确的命题有

（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【分析】

利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误. 【详解】 －

是第三象限角，故①错误.

＝π＋，从而

是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正

确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 巩固练习

（多选）下列四个选项正确的有（ ） A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角 D ．315-︒是第一象限角

【答案】ABCD 【分析】

直接找出各对应角的终边所在象限得答案. 【详解】

对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角； 对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；

对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角； 对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角. 故选：ABCD .

题型五 轴线角

例 5 设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M 则（ ） A ．3|,2M k k Z πααπ⎧⎫==

+∈⎨⎬⎩

⎭

B ．3|,22k M k Z ππαα⎧

⎫==

-∈⎨⎬⎩

⎭

C ．|,2M k k Z π

ααπ⎧

⎫

==-+∈⎨⎬⎩

⎭

D ．|2,2M k k Z π

ααπ⎧

⎫

==-

+∈⎨⎬⎩

⎭

【答案】D 【分析】

根据角的表示方法及终边在y 轴的负半轴上,即可得解. 【详解】

巩固练习

根据角的表示方法可知,终边在y 轴的负半轴上的角可以表示为22

k π

απ=-+,k ∈Z ,

故选:D

集合{|,}4

2

k k k Z π

π

απαπ+

≤≤+

∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},4

2

k k k Z π

π

απαπ+

≤≤+

∈，

当k 为偶数时，集合{},42k k k Z π

π

απαπ+

≤≤+

∈与{|

}42ππ

αα≤≤表示相同的角，位于第一象限；

当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|

}42

ππ

αα≤≤表示相同的角，位于第三象限； 所以集合{},4

2

k k k Z π

π

απαπ+≤≤+

∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.

题型六 扇形面积求解

例 6 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π

3，R ＝10 cm ，求扇形的面积.

【解析】 由已知得α＝π

3，R ＝10，

∴S 扇形＝12α·R 2＝12×π3×102

＝50π3

(cm 2).

已知一扇形的圆心角为

3

π

，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 【答案】32

π 巩固练习

巩固练习

先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】

因为一扇形的圆心角为

3π

，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为3

3

r ππ==，

因此该扇形的面积是1133222

S lr ππ=

=⨯⨯=. 故答案为：3

2

π.

1、2020是第______象限角. 【答案】三 【分析】

把2020︒写成360k α+︒,)

0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】

20205360220︒=⨯︒+︒，

2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．

故答案为三．

2、在区间[]4,2ππ--上，与角76

π

终边相同的角为__________． 【答案】176

π

- 【分析】

根据与α终边相同的角可以表示为{

}

360,k k Z ββα=⋅+∈这一方法，即可得出结论． 【详解】 因为

[]71744,266πππππ-=-∈--，所以与角76

π终边相同的角为176π

-. 3、已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号). 巩固提升

利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.

【详解】

因为12401080160︒=︒+︒，

30036060-︒=-︒+︒，

42036060︒=︒+︒，

1420436020-=-⨯+︒︒︒.

所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④

4、已知扇形AOB 的圆心3

AOB π

∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为______.

【答案】6π 【分析】

用弧长公式求出扇形半径，再用扇形面积公式得解. 【详解】

因为扇形AOB 的圆心3

AOB π

∠=

，弧长为2π

l r θ=，23

r π

π∴=

，6r ∴=

11

26622

S lr ππ∴==⨯⨯=

故答案为：6π

5、若扇形的弧长为4，圆心角为2，则其半径为______. 【答案】2 【分析】

利用扇形的弧长公式即可得出． 【详解】

解：由弧长公式l r α=可得42r =，解得2r ．

故答案为：2．

6、已知扇形的圆心角为60°，其弧长为π，则此扇形的面积为_______；该弧所在的弓形面积为________.

【答案】

32π 64

π- 【分析】

设扇形的半径为r ，则60180r ππ=，解得：3r =，∴扇形的面积26033602

r S ππ

==

.

∴该弧所在的弓形面积31692224

S ππ-'=-⨯⨯=.

故答案为：

32π. 7、（1）给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③小于180°的角是钝角或直角或锐角.

其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上) （2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________. 【答案】② 120-︒ 【分析】

（1）利用锐角、象限角、终边相同角的概念逐一判断即可得解．

（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，根据任意角的定义即可得解； 【详解】

解：（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角，命题①正确；

②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈，故第一象限角可以为负角，故②错误； ③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误； 故答案为：②

（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，即转过的度数为120-︒ 故答案为：120-︒

8、已知圆的半径为2，则5

π

的圆心角所对的弧长为______. 【答案】25

π 【分析】

由已知结合弧长公式即可直接求解. 【详解】

由弧长公式可得225

5

l r π

πα==⨯=

. 故答案为：25

π

9、若角α的终边与85

π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与

4

α

的终边相同的角有________． 【答案】29719

,,,510510

ππππ

10、在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． (2)所有与45°终边相同的角可表示为：

β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，

则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z)， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z)， 解得－765360≤k <－45

360(k ∈Z)，

从而k ＝－2或k ＝－1，

代入得β＝－675°或β＝－315°.

11、写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来． 【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【分析】

把α＝－1 910°加上360k ⋅︒可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k ＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β. 【详解】

与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111

363636

k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°

.

12、已知扇形的圆心角是α，半径是R,弧长是l. （1）若

60=α，R=10cm,求扇形的弧长l.

（2）若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【解析】（1）因为R=10cm,所以l=10=. （2）由已知得，l+2R=20,

所以S=

当R=5时，S取得最大值，此时l=10,

（3）设弓形面积为，由题意知l=

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第五章三角函数

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第五章三角函数 【考纲要求】 序号考点 课标 要求 1角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的 互化，体会引入弧度制的必要性。 了解 2三角函数 的概念和 性质 ①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切） 的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函 数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。借 助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式 （的正弦、余弦、正切）。 理解 ②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正 切函数在上的性质。 理解 ③结合具体实例，了解的实际意 义，能借助图象理解的意义，了解参数的变 化对函数图象的影响。 理解 3同角三角 函数的基 本关系 理解同角三角函数的基本关系： 理解 4三角恒等 变换 ①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余 弦的意义理解 ②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正 弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切 公式，了解它们的内在联系。理解 ③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导 出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不 要求记忆） 掌握 5三角函数 应用 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用 三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型掌握

5.1 任意角和弧度制 知识点总结 5.1 任意角和弧度制 1.角的有关概念 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示：如图 射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可以记为“角”或“”，也可以简记为“”。 （3）角的分类 提示： （1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向②旋转角的大小③射线未作任何旋转时的位置。

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】 人教统编版高中数学A版必修第一册第五章 教案教学设计+课后练习及答案

5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案 教材分析： 学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广. 教学目标与核心素养： 课程目标 1.了解任意角的概念. 2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义． 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 数学学科素养 1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角； 2.逻辑推理：求区域角； 3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角. 教学重难点： 重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 课前准备：多媒体 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程： 一、情景导入 初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出 o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本168-170页，思考并完成以下问题 1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？ 3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示 如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 名称定义图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 2．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角

高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章《任意角》教案

《5.1.1 任意角》教学设计 教学目标 1．通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性； 2．了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养； 3．掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法． 教学重难点 教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角；终边相同的角． 教学难点：任意角概念的建构；“0°～90°的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的角”这些概念之间的关系． 课前准备 PPT课件 教学过程 （一）整体感知 问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：

（1）本章将要学习的函数是什么？ （2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？ （3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？ 预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题． 预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用． 设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向． （二）新知探究 1．任意角的概念、运算 引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表． 问题2：如图1，O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P 的位置变化呢？ 预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra 动画）． 预设答案：通过角的变化进行刻画． 说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可 能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra ）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段OP 用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P 的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系． 设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角（版书）． 图1

人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)

【新教材】 人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计

5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案 教材分析： 学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广. 教学目标与核心素养： 课程目标 1.了解任意角的概念. 2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义． 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 数学学科素养 1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角； 2.逻辑推理：求区域角； 3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角. 教学重难点： 重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 课前准备：多媒体 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程： 一、情景导入 初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出 o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本168-170页，思考并完成以下问题 1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？ 3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示 如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 名称定义图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 2．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角

人教版高中数学必修一精品讲义5.1 任意角和弧度制(精练)(解析版)

5.1 任意角和弧度制 【题组一 基本概念的辨析】 1．（2020·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°},B ＝{α|α为第一象限角},则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对 【正确答案】D 【详细解析】∵A ＝{α|α小于90°},B ＝{α|α为第一象限角}, ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}, 对于A :小于90°的角不一定是第一象限的,不正确,比如﹣30°; 对于B :小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角,不正确,例如﹣300°; 对于C :第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角,不正确,例如380°, 故选D ． 2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．第一象限角一定不是负角 B ．小于90°的角一定是锐角 C ．钝角一定是第二象限角 D ．终边和始边都相同的角一定相等 【正确答案】C 【详细解析】300︒-为第一象限角且为负角,故A 错误;5090-︒<︒,但50︒-不是锐角,故B 错误;终边与始边均相同的角不一定相等,它们可以相差360,k k Z ︒⋅∈,故D 错误．钝角一定是第二象限角,C 正确． 故选:C ． 3．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））下列结论中正确的是( ) A ．小于90°的角是锐角 B ．第二象限的角是钝角 C ．相等的角终边一定相同 D ．终边相同的角一定相等 【正确答案】C 【详细解析】对于A,小于90︒可能是负角,不是锐角;对于B,第二象限的角可能是负角,不是钝角; 对于C,两个角相等,始边一致,则终边一定相同;对于D,终边相同的角,可能相差360°的倍数,不一定相等.故选C. 4．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角;

高中数学第五章三角函数5.1.1任意角学案含解析第一册

第五章三角函数 5．1任意角和弧度制 5．1.1任意角 ［目标] 1.理解任意角的概念，能区分各类角的概念;2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；3。理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题． [重点] 用集合的形式表示终边相同的角． ［难点］会判断角的终边所在的象限． 知识点一角的概念的推广和分类 ［填一填］ 1．任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．正角、负角和零角 我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样,零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么α＝0°.

1．根据角的新的定义，角的范围有什么变化？ 提示：角的范围不再是以前学的锐角、直角以及钝角，而是任意的角． 2．如图所示，图(1)中,角α的度数为330°，图（2）中，角β的度数为－150°，角γ的度数为570°。 解析：题图(1）中，α＝360°－30°＝330°； 题图(2）中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋（－β）＝360°＋60°＋150°＝570°. 知识点二象限角 [填一填］ 为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角（或称为象限界角)．

3．把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合,旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置? 提示：坐标轴上或四个象限内． 4．“锐角”、“第一象限角"、“小于90°的角”三者有何不同？ 提示：锐角是第一象限角也是小于90°的角,而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角,小于90°的角可以是锐角,也可以是零角或负角． 知识点三终边相同的角 [填一填］ 所有与角α终边相同的角,连同角α在内，可构成一个集合S ＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． ［答一答] 5．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同． 6．与－2 014°角终边相同的最小正角是146°。 解析：－2 014°＝146°－360°×6，填146°。

高中数学第五章三角函数5.1.1任意角讲义新人教A版必修第一册

5.1 任意角和弧度制 最新课程标准：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 5.1.1 任意角 知识点一角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向． (2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α” 知识点二角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 知识点三角的分类 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点五终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边

相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． [教材解难] 象限角的集合表示. [基础自测] 1．下列说法中正确的是( ) A．终边相同的角都相等B．钝角是第二象限的角 C．第一象限的角是锐角 D．第四象限的角是负角 解析：终边相同的角不一定相等，第一象限角不一定是锐角，第四象限角可能为正角，也可能为负角，故选B. 答案：B 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B. 答案：B 3．与30°角终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈ Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z} 解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册教案-5.1-任意角和弧度制-含答案

【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版） 前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础. 课程目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养 1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示； 4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题. 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课 阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1 360 ． (2)弧度制 ①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 正数 l r 负数 零 π180 (180π )°

任意角与弧度制 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

任意角与弧度制

课时教学设计 课题 5.1任意角与弧度制 授课时间： 年 月 日 课型：新授课 课时：第一课时 数学核心素养目标 1.通过探索让学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义。 2.培养学生判断推理和化归转化能力，加强数形结合思想的运用。 3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比 等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力。 学习重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法； 教学难点： 终边相同的角的表示； 教学准备 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体课件，三角尺，直尺 学习活动设计 环节一：情景引入，温故知新 一、问题情境： 1.思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ 2．复习：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 3．情境：生活中很多实例不在范围 ]360,0[00内. 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 4．问题：这些例子不仅不在范围 ]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？ （二）教授新课 二、建构理论： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边” A B α O

5.1 任意角和弧度制(教案)-2022-2023学年高一数学教材配套教案(人教A版2019必修第一

5.1 任意角和弧度制（教案）-2022-2023学年高一数学教 材配套教案（人教A版2019必修第一册）教学目标： 1. 理解任意角的定义和性质； 2. 学会将角度从度数制转换成弧度制； 3. 熟练掌握弧度制下常见的角度大小及其正弦、余弦、正切值； 4. 能够运用弧度制下的概念和公式，解决相关的数学问题。 教学重点： 1. 任意角的定义和性质； 2. 弧度制下常见的角度大小及其正弦、余弦、正切值。 教学难点： 1. 如何将角度从度数制转换成弧度制； 2. 弧度制下的角度大小及其正弦、余弦、正切值和度数制有何 区别和联系。 教学准备： 1. 教师准备课件和展示资料； 2. 学生准备教材和工具书。 教学过程： Step 1 导入新课 教师将一个旋转的物体投影到黑板上，引导学生谈他们对角度 的理解。

Step 2 探究任意角 1. 教师引导学生认识任意角并给出其定义：“平面内一条初始边与一条终边不在同一直线上的角，称为任意角。” 2. 学生分组讨论任意角的性质，并在黑板上列出观察结果。 3. 教师在黑板上归纳总结任意角的性质，指出任意角可以被终边逆时针旋转多个周期来表示。 Step 3 弧度制下的角度大小和三角函数 1. 教师引入弧度制的概念，提出弧长和圆心角的关系。 2. 学生根据公式计算常见角度的弧度制表示，并在黑板上列出观察结果。 3. 教师让学生探究弧度制下常见的角度大小及其正弦、余弦、正切值，学生通过自主推演完成。 4. 学生比较弧度制下的三角函数和度数制下的三角函数有哪些相同点和不同点。 Step 4 练习 1. 学生在教师的指导下，运用所学知识解决实际数学问题。 2. 学生互相检查、矫正。 Step 5 总结提高 1. 教师向学生总结任意角和弧度制的知识点，为下一步的学习提供铺垫。 2. 学生对本次课程进行总结，并预习下一次课程内容。 教学方式： 1. 讨论式教学法 2. 归纳式教学法

5.1.1 任意角教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

《5.1.1 任意角》教学设计 教材内容： 任意角是在初中所学的角的范围上为了满足高中阶段的学习对于角的进一步推广，也是为之后学习半角、倍角、三角函数奠定基础。为后续学习几何、复数等相关内容提供了研究工具。本节课的学习可借助角与现实生活的联系，借助由特殊到一般的数学思想，归纳总结出本节课的知识点。 教学目标： 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角. 2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角. 3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题. 教学重点与难点： 1、教学重点：终边相同的角的表示； 2、教学难点：终边相同的角的含义及其表示方法。 教学过程： 1、新课导入 ︒︒范围的角.例如，体操中有“前空翻转体现实生活中随处可见超出0~360 ︒︒范围540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0~360 的角，而且旋转的方向也不相同，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广，那么这节课我们就来学习一下任意角的相关知识. 2、探索新知 知识点1 角的分类、任意角 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合. 这样，就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.

知识点2 相等角、角的加减 （1）如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称αβ=. （2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ+. （3）把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为α-.于是有()αβαβ-=+-. 知识点3 象限角 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 知识点4 终边相同的角 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 |360,{}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 例题点拨 例1 在0~360︒︒范围内，找出与95012-︒'角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 解：95012129483360''-=-⨯︒︒︒，所以在0~360︒︒范围内，与95012-︒'角终边相同的角是12948︒'，它是第二象限角. 例2 写出终边在y 轴上的角的集合. 解：在0~360︒︒范围内，终边在y 轴上的角有两个，即90︒，270︒角. 因此，所有与90︒角终边相同的角构成集合 1|90{}360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ， 而所有与270︒角终边相同的角构成集合 2|270360,{}S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，

2021学年高中数学三角函数5.1.1任意角学案含解析新人教a版必修第一册

5．1 任意角和弧度制 5．1.1 任意角 内 容 标 准 学 科 素 养 1.结合具体实例，了解任意角的概念． 数学抽象 逻辑推理 2.能区分正角、负角和零角． 3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角. 授课提示：对应学生用书第76页 [教材提炼] 知识点一 角的概念 预习教材，思考问题 ⊙O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P 的位置变化呢？ 知识梳理 (1)角的概念 角 描述 定义 角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 表示 其中O 为顶点，OA 为始边， OB 为终边 记法 角α或∠α，或简记为α (2)角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角 (3)相等角与相反角 ①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA 绕

端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. ②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. ③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. 知识点二象限角 预习教材，思考问题 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？ 知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角 预习教材，思考问题 30°与390°、－330°的终边有什么关系？ 知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [自主检测] 1．与30°角终边相同的角的集合是() A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z} 解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}． 答案：A 2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是() A．45°－4×360°B．－45°－4×360° C．－45°－5×360°D．315°－5×360° 答案：D 3．若α是锐角，则180°＋α是第________象限角． 解析：若α是锐角，则0°<α<90°，

【新高考】高三数学一轮复习知识点讲解5-1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 【考纲解读与核心素养】 1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算. 2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义. 3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测： （1）三角函数的定义； （2）扇形的面积、弧长及圆心角； （3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 5.备考重点： (1) 理解三角函数的定义； (2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式. 【知识清单】 知识点1．象限角及终边相同的角 1．（1）任意角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l 是以角α作为圆心角时 所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad ． 知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y ； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x ； （3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝y x .它们都是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sinx ，x ∈ R ； 余弦函数 y ＝cosx ，x ∈R ； 正切函数 y ＝tanx ，x ≠π 2 ＋k π（k ∈Z ）． 2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式 在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝l r ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式， 其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝1 2lr ， 将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝1 2|α|r 2，此公式称为扇形面积公式． (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 名称 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝n πr 180 l ＝__|α|r __ 扇形面积公式 S ＝n πr 2 360 S ＝ |α|2r 2 ＝ 12 lr 注意事项 r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数 r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长 【典例剖析】 高频考点一 象限角及终边相同的角 【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为 A ． B ． C ． D ． 【答案】B

任意角(备作业)2021-2022学年高一数学系列(人教A版2019必修第一册)(解析版)

5.1.1任意角 一、单选题 1．（2021·全国高一课时练习）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（ ） A ．8点处 B ．10点处 C ．11点处 D ．12点处 【答案】B 【详解】 一个周期是60分钟,则100分钟是213 一个周期,故100分钟后分针指在10点处. 故选：B 2．（2021·全国高一课时练习）361-︒角的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【详解】 由3613601-︒=-︒-︒，即361-︒与1-︒终边相同， ∴361-︒在第四象限. 故选：D 3．（2021·全国高一课时练习）终边落在y 轴上的角的集合是（ ） A ．{|2}k k Z ααπ=∈， B ．{|}k k Z ααπ=∈， C ．{|}2k k Z πααπ=+∈， D ．{|2}2 k k Z πααπ=+∈， 【答案】C 【详解】

A 表示的角的终边在x 轴非负半轴上； B 表示的角的终边x 轴上； C 表示的角的终边在y 轴上； D 表示的角的终边在y 轴非负半轴上. 故选：C 4．（2021·全国高一课时练习）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【详解】 对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确； 对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误； 对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误； 对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误； 对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误； 对于⑥：因为157.3rad ≈，所以5557.3=286.5rad ≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确. 综上，①⑥正确. 故选：B. 5．（2021·全国高一课时练习）角α的终边属于第一象限，那么 3α的终边不可能属于的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

人教版高中数学必修一精品讲义5.1 任意角和弧度制(精讲)(解析版)

5.1 任意角和弧度制

考点一 基本概念的辨析 【例1】（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）下列说法正确的个数是（ ） ①小于90︒的角是锐角; ②钝角一定大于第一象限角; ③第二象限的角一定大于第一象限的角; ④始边与终边重合的角为0︒. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【正确答案】A 【详细解析】对①,小于90︒的角不是锐角,如10-︒不是锐角,故①错; 对②,390角是第一象限的角,大于任何钝角() 90180αα<<,故②错; 对③,第二象限角中的210-角小于第一象限角中的30角,故③错; 对④,始边与终边重合的角的度数是()360k k Z ⋅∈,故④错．故选:A ． 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第四象限角一定是负角 D ．小于90︒的角都是锐角 【正确答案】B 【详细解析】终边相同的角不一定相等,所以该选项错误; 钝角一定是第二象限角,所以该选项正确; 第四象限角不一定是负角,如 11 6 π是第四象限的角,但是不是负角,所以该选项错误; 小于90︒的角不都是锐角,如3 π - .所以该选项错误.故选B 2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．终边与始边重合的角是零角 B ．90°～180°间的角不一定是钝角 C ．终边和始边都相同的两个角相等 D ．第二象限的角大于第一象限的角 【正确答案】B 【详细解析】终边与始边重合的角还有360°角,720°角等,故A 错误;

90°～180°间的角包括90°角,故90°～180°间的角不一定是钝角,故B 正确; 终边和始边都相同的两个角相差360,k k Z ︒⋅∈,故C 错误; 120°角是第二象限角,它小于第一象限的角400°角,故D 错误．故选:B 3．（2020·陕西大荔·高一期末）下列说法正确的是（ ） A ．第二象限角大于第一象限角 B ．不相等的角终边可以相同 C ．若α是第二象限角,2α一定是第四象限角 D ．终边在x 轴正半轴上的角是零角 【正确答案】B 【详细解析】A 选项,第一象限角36030120︒+︒>︒,而120︒是第二象限角,∴该选项错误; B 选项,36030︒+︒与30终边相等,但它们不相等,∴该选项正确; C 选项,若α是第二象限角,则()222 k k k Z π παππ+ <<+∈, ∴()4242k k k Z ππαππ+<<+∈是第三象限角或第四象限角或终边在y 轴负半轴上的轴线角,∴该选项错误;D 选项,360︒角的终边在x 轴正半轴上,但不是零角,∴该选项错误.故选:B . 考点二 角度与弧度的转换 【例2】（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））把下列各角的弧度数化为度数,度数化为弧度数. （1） 7 12π; （2）136 π- ; （3）1125° ;（4）-225°. 【正确答案】（1）105; （2）390-; （3） 254π; （4）5 4 π-. 【详细解析】根据弧度制与角度制的互化公式,180 1,1180 rad rad π π = = ,可得: （1） 77180 1051212πππ=⨯=; （2）131366180 390πππ ⨯==-- -; （3）25 112511251804π π=⨯ = rad ; （4）5 2252251804 ππ-=-⨯=-rad . 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）把下列角度化成弧度:

新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 重点难点归纳总结

第五章三角函数 5.1任意角和弧度制 (2) 5.1.1任意角 (2) 5.1.2弧度制 (8) 5.2三角函数的概念 (14) 5.2.1三角函数的概念 (14) 5.2.2同角三角函数的基本关系 (21) 5.3诱导公式 (27) 第一课时诱导公式二、三、四 (27) 第二课时诱导公式五、六 (32) 5.4三角函数的图象与性质 (36) 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (36) 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 (41) 第一课时正、余弦函数的周期性与奇偶性 (41) 第二课时正、余弦函数的单调性与最值 (48) 5.4.3正切函数的性质与图象 (53) 5.5三角恒等变换 (58) 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (58) 第一课时两角差的余弦公式 (58) 第二课时两角和与差的正弦、余弦公式 (62) 第三课时两角和与差的正切公式 (68) 第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 (72) 5.5.2简单的三角恒等变换 (76) 5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) (81) 5.6.1匀速圆周运动的数学模型 (81) 5．6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象 (81) 第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换 (81) 第二课时函数y＝A sin(ωx＋φ)图象与性质的应用 (85) 5.7三角函数的应用 (89)

5.1任意角和弧度制 5.1.1任意角 知识点一任意角的概念 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 3．角的分类 名称定义图形 正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成 的角 负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成 的角 零角一条射线没有做任何旋转形成的角 1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 2．正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据组成角的射线的旋转方向． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角．() (2)终边与始边重合的角为零角．() (3)大于90°的角都是钝角．()