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高考数学单元考点复习3 数列的一般概念

高考数学单元考点复习3 数列的一般概念
高考数学单元考点复习3 数列的一般概念

3.1 数列的一般概念(1)

教学目的:

⒈理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系.

⒉了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项

⒊对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式

教学重点:数列及其有关概念,通项公式及其应用,前n 项和与a n 的关系

教学难点:根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

授课类型:新授课

课时安排:1课时

教 具:多媒体、实物投影仪

内容分析:

本节主要介绍数列的概念、分类,以及给出数列的两种方法关于数列的概念,先给出了一个描述性定义,尔后又在此基础上,给出了一个在映射、函数观点下的定义,指出:“从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来,不仅可以加深对数列概念的理解,而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法,其中数列的通项公式,教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点,数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外,正如并非每一函数均有解析表达式一样,也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)

教学过程:

一、复习引入:

1.函数的定义.

如果A 、B 都是非空擞 集,那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B 的函数,记作:)(x f y =,其中.,B y A x ∈∈

2.在学习第二章函数的基础上,今天我们来学习第三章数列的有关知识,首先我们来看

观察这些例子,看它们有何共同特点?(启发学生发现数列定义)

上述例子的共同特点是:⑴均是一列数;⑵有一定次序.

从而引出数列及有关定义

二、讲解新课:

⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,….

例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式:ΛΛ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项

结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“31”是这个数列的第“3”项,等等

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系:

项 1

5

1413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:n

a n 1=来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项

结合上述其他例子,练习找其对应关系

如:数列①:n a =n+3(1≤n ≤7);数列③:n a n n (10

11-=

≥1); 数列⑤:n n a )1(-=n ≥1)

⒋ 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④;

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ,也可以是|2

1cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.

从映射、函数的观点来看,数列也可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子

集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,数列的通项公式就是相应函数的解析式.

对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公式画出其对应图象,下面同学们练习画数列①,②的图象,并总结其特点.

在画图时,为方便起见,直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的图象分别如图1,图2所示.

5.数列的图像都是一群孤立的

点.

6.数列有三种表示形式:

列举法,通项公式法和图象法.

7. 有穷数列:项数有限的数列.例如,数列①是有穷数列.

8.无穷数列:项数无限的数列. 例如,数列②、③、④、⑤、⑥都是无穷数列.

三、讲解范例:

例1 根据下面数列{}n a 的通项公式,写出前5项:

(1)n a n n a n n n ?-=+=)1()2(;1

分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中n 依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项

解:(1);6

5;54;43;32;21.5,4,3,2,154321=====

=a a a a a n (2) ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n 例2写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

(1)1,3,5,7; (2);5

15;414,313;2122222---- (3)-211?,321?,-431?,5

41?. 解:

(1)项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1

↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4

即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1,

∴它的一个通项公式是: 12-=n a n ;

(2)序号:1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

项分母:2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1

↓ ↓ ↓ ↓

项分子: 22-1 32-1 42-1 52-1

即这个数列的前4项的分母都是序号加上1,分子都是分母的平方减去1,∴它的一个通

项公式是: 1

)1(2+-=n n n a n ; (3)序号 211

1

?-↓ 321

3 ?-↓ 431

3 ?-↓ 5

41

4 ?-↓

‖ ‖ ‖ ‖ )11(11)1(1+?- )12(21)1(2+?- )13(31)1(3+?- )

12(21)1(2+?-

这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是: )

1(1)1(+-=n n a n n 四、课堂练习:

课本P 112练习:1—4.

学生板演1,2;教师提问评析3,4.

答案:⒈⑴1,4,9,16,25;⑵10,20,30,40,50;

⑶5,-5,5, -5,5;⑷3/2,1,7/10,9/17,11/26.

⒉⑴a 7=1/343,a 10=1/1000;⑵a 7=63,a 10=120;

⑶a 7=1/7,a 10=-1/10;⑷a 7=-125,a 10=-1021.

⒊⑴n a =2n ;⑵n a =1/5n ;⑶n a =(-1)n /2n

;⑷n a =(1/n)-[1/(n+1)]. ⒋⑴8,64,n a =2n ;⑵1,36,n a =n 2;⑶-1/3,-1/7,n a =(-1)n

/n ; ⑷3,6,a n =n .

五、小结 本节课学习了以下内容:数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并

会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式

六、课后作业:课本P 114习题3.1:1,2.

答案:⒈ ⑴ n a =3n ;⑵ n a =-2(n-1);⑶ n a =(n+1)/n ;⑷n a =(-1)n

/2n ; ⑸ n a =1/n 2;⑹ n a =(-1)n+1 3n . ⒉ ⑴a 10=110,a 31=992,a 48=2352;⑵求n(n+1)=420的正整数解得n=20.

补充作业:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

(1) 3, 5, 9, 17, 33,……; (2) 32, 154, 356, 638, 99

10, ……; (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……;

(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,…….

解:(1) n a =2n +1; (2) n a =)12)(12(2+-n n n ; (3) n a =2

)1(1n

-+; (4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ……,

∴n a =n +2

)1(1n

-+; (5) 将数列变形为1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,……,

∴ n a =(-1)1+n n(n +1).

七、板书设计(略)

八、课后记:

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

求数列通项专题高三数学复习教学设计

假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项(高三数学第二阶段复习总第1课时) 科目 高三数学 年级 高三(5)班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握! 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力; 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点:用递推关系法求数列通项公式 2.难点:(1)递推关系法求数列通项公式(2)由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项(首项)是否满足 若不满足必须写成分段函数形式;若满足

则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题: 数列满足下列条件 求数列的通项公式 (1);(2) 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题:[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 (1);(2); 解题方法:观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 (3) 解题方法:观察递推关系的结构特征 联想到"?=?)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1:数列中 求 思路:设 由待定系数法解出常数

高中数学第六章数列第一节数列的概念与简单表示

第一节 数列的概念与简单表示 [基本知识] 1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项). 2.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 3.数列的递推公式 如果已知数列{a n }的第1项(或前几项),且任何一项a n 与它的前一项a n -1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n =f (a n -1)(或a n =f (a n -1,a n -2)等),那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式. 4.S n 与a n 的关系 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n =??? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2, 这个关系式对任意数列均成立. [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=1 2a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项.( ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对?n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、填空题 1.数列{a n }中,a 1=2,且a n +1=1 2 a n -1,则a 5的值为________. 解析:由a 1=2,a n +1=12a n -1,得a 2=12a 1-1=1-1=0,a 3=12a 2-1=0-1=-1,a 4=12a 3-1=-12-1=-3 2,a 5 =12a 4-1=-34-1=-7 4 . 答案:-74 2.数列{a n }定义如下:a 1=1,当n ≥2时,a n =??? ?? 1+a 2n ,n 为偶数, 1a n - 1,n 为奇数, 若a n =1 4 ,则n 的值为________. 解析:困为a 1=1,所以a 2=1+a 1=2,a 3=1a 2=12,a 4=1+a 2=3,a 5=1a 4=13,a 6=1+a 3=32,a 7=1a 6=2 3,a 8=1+a 4 =4,a 9=1a 8=1 4 ,所以n =9.

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,

(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

高考数学数列知识点及题型大总结

20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1.递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式:推广:通项公式:递推关系: 为常数) 即:特征:m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2.等差中项: 若c b a ,,成等差数列,则b 称c a 与的等差中项,且2 c a b +=;c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3.前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ; 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征:B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4.等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若反之,不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法: )常数)(*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法: )22 1*++∈+=N n a a a n n n (?{}n a 是等差数列 ③通项公式法: ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法: ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习:1.等差数列 {}n a 中, ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A .14 B .15 C .16 D .17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2.等差数列 {}n a 中,12910S S a =>,,则前10或11项的和最大。 解:0912129 =-=S S S S , 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ,又,, ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110 解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列,公差为D 其首项为 10010=S ,前10项的和为10100=S 解

高三数学数列专题复习题含答案

高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ,则()'0f =( ) A .62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x 项均取0,则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关;得:412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠.若12345m a a a a a a =,则m= (A )9 (B )10 (C )11 (D )12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =,则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 (A ) 158或5 (B )3116或5 (C )3116 (D )15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然q ≠1,所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-,所以1{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列, 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = (A) 【答案】A

【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ,3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中,各项都是正数,且1a , 321 ,22 a a 成等差数列,则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算,只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ,则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-,解得2d =, 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--,所以当6n =时,n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ,且25252(3)n n a a n -?=≥,则当1n ≥时, 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n -

高考数学数列大题专题

高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有12a =,11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ (1)求数列n a 的通项公式; (2)若(21)n n b n a =-,求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ,且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且. (Ⅰ)求2a ,3a ;(Ⅱ)证明数列{n n a 2}是等差数列; (Ⅲ)求数列{n a }的前n 项之和n S

5.已知数列{}n a 满足31=a ,1211-=--n n n a a a . (1)求2a ,3a ,4a ; (2)求证:数列11n a ??? ?-?? 是等差数列,并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证: ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列; ⑵n a n n 221-=+; ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60,且2116a a a 和为 的等比中项. (1)求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前; (2)若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .

数列大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性; 2、 掌握等差数列,等比数列的通项公式,求和公式及性质; 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法; 4、 掌握常用的求和方法; 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题,一道大题,小题侧重于考等差数列与等比数列的性质,熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量;大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式,求和的方法。总之,此类题目难度中等,属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、(宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷)设数列{}n a 的前n 项和, 且123,1,a a a +成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记数列1 { }n a 的前n 项和n T ,求使得成立的n 的最小值. 【答案】(1)2n n a = (2)10 (2)由(1)可得 112n n a ?? = ??? ,所以,

由 ,即21000n >,因为 ,所以10n ≥,于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、(宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷)设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上(*n N ∈) 。 (1)若12a =-,点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上,求数列{}n a 的前n 项和n S ; (2)若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】(1) (2) (2)由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -,从而,故22a = 从而n a n =,2n n b =, 2n n n a n b =

2018高考文科数学复习数列

数列专项 数列的概念与简单表示法 11.[2016·卷] 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成,S n 为{a n }的前n 项和.若对任意n ∈N *,S n ∈{2,3},则k 的最大值为________. [解析] 由S n ∈{2,3},得a 1=S 1∈{2,3}.将数列写出至最多项,其中有相同项的情况舍去,共有如下几种情况: ①a 1=2,a 2=0,a 3=1,a 4=-1; ②a 1=2,a 2=1,a 3=0,a 4=-1; ③a 1=2,a 2=1,a 3=-1,a 4=0; ④a 1=3,a 2=0,a 3=-1,a 4=1; ⑤a 1=3,a 2=-1,a 3=0,a 4=1; ⑥a 1=3,a 2=-1,a 3=1,a 4=0. 最多项均只能写到第4项,即k max =4. D2 等差数列及等差数列前n 项和 12.D2[2016·卷] 已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6 =________. 12.6 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 3+a 5=0,所以6+2d +6+4d =0,解得d =-2,所以S 6=6×6+6×52 ×(-2)=36-30=6. 8.D2[2016·卷] 已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________. 8.20 [解析] 因为S 5=5a 3=10,所以a 3=2,设其公差为d , 则a 1+a 22=2-2d +(2-d )2=d 2-6d +6=-3, 解得d =3,所以a 9=a 3+6d =2+18=20.

高中数学数列的基本概念

高中数学数列的基本概念教案

一、知识点回顾 类型一:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1.写出下列各数列的一个通项公式,使其前四项分别是: (1) 0, 23,38,4 15,…; (2) 1, 43-,95,167-,…; (3) 9, 99,999, 9999,…; (4) 6, 1, 6,1,…. 举一反三: 【变式】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 1, 1, 1, 1,…; (2) -1, 1, -1, 1, …; (3) 1, -1, 1, -1, …; (4)1111--234 , ,,, …; (5) 2,0,2,0,…. 类型二:通项公式的应用 例2.已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-, 试问下列各数是否为数列{}n a 的项,若是,是第几项?

(1) 94;(2) 71. 举一反三: 【变式1】数列{}n a 的通项公式为1(n 21n n a n n ??=??-? 是奇数)(是偶数)它的前8项依次为 【变式2】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++, (1)若9900n a =,试问n a 是第几项? (2)56和28是否为数列{}n a 的项? 类型三:递推公式的应用 例3. 设数列{}n a 满足:11a =,1 11n n a a -=+ (2)n ≥,写出这个数列的前五项。 举一反三: 【变式1】已知数列{}n a 满足:21=a ,n n a a 21=+,写出前5项,并猜想n a . 【变式2】已知两个等比数列{}n a ,{}n b , 满足1a a =(0)a >,111b a -=,222b a -=,333b a -=. 若1a =,求数列{}n a 的通项公式; 例4.(1)已知数列{}n a 满足111,1(2),n n a a a n -==+≥写出这个数列的通项公式. (2)已知数列{}n a 满足111, (2),1n n a n a n a n -==≥+写出这个数列的通项公式. 举一反三: 【变式1】数列{a n }满足a n +1= n a -11,a 8=2,则a 1= . 【变式2】已知数列{a n }满足:a 4n -3=1,a 4n -1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 009=________;a 2 014=________. 类型四:前n 项和公式n S 与通项n a 的关系 例5.已知数列{}n a 的前n 项和公式n S ,求通项n a .

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析:专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1.【2018年浙江卷】已知成等比数列,且 .若 , 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断. 详解:令则 ,令 得,所以当时, ,当 时, ,因此 , 若公比 ,则 ,不合题意;若公比 ,则

但,即 ,不合题意;因此, ,选B. 点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如 2.【2018年浙江卷】已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________. 【答案】27 【解析】分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围,再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如),符号型(如),周期型(如). 3.【2018年理数天津卷】设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.

(I)求和的通项公式; (II)设数列的前n项和为, (i)求; (ii)证明. 【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析. 【解析】分析:(I)由题意得到关于q的方程,解方程可得,则.结合等差数列通项公式可得(II)(i)由(I),有,则. (ii)因为,裂项求和可得. 详解:(I)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由,可得 从而故所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 (II)(i)由(I),有,故 . (ii)因为, 所以. 点睛:本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

高考数学数列复习指导.doc

高考数学数列复习指导 高考数学数列复习指导 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力, 进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

高考数学 数列 专题复习100题(含答案详解)

【高考专题】2018年高考数学数列专题复习100题 1.已知等差数列{a }与等比数列{b n}满足,,,且{a n}的公差比{b n}的公比 n 小1. (1)求{a n}与{b n}的通项公式; (2)设数列{c n}满足,求数列{c n}的前项和. 2.已知数列的前项和为,且满足;数列的前项和为,且满足 ,. (1)求数列、的通项公式; (2)是否存在正整数,使得恰为数列中的一项?若存在,求所有满足要求的;若不存在,说明理由.

3.已知公差不为0的等差数列{a }的首项为,且成等比数列. n (1)求数列{a n}的通项公式; (2)对,试比较与的大小. 4.已知数列{a }的前n项和为,且. n (1)求数列{a n}的通项公式; (2)定义,其中为实数的整数部分,为的小数部分,且,记,求数列{c n}的前n项和.

5.已知数列{a }是递增的等比数列,且 n (1)求数列{a n}的通项公式; (2)设为数列{a n}的前n项和,,求数列的前n项和。 6.知数列{a }的前n项和为,且满足,数列{b n}为等差数列,且满足 n . (I)求数列{a n},{b n}的通项公式; (II)令,关于k的不等式的解集为M,求所有的和S.

7.设数列{a }的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n- S n+1,n∈N*. n (Ⅰ)证明:a n+2=3a n (Ⅱ)求S n 8.等差数列{}中, (I)求{}的通项公式; (II)设=[],求数列{}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2

2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列(综合题)

2019年高考数学真题分类汇编 专题18:数列(综合题) 1.(2019?江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a n }()* n N ∈满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为 “M-数列”; (2)已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M-数列”{c n }()* n N ∈ ,对任意正整数k , 当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值. 【答案】 (1)解:设等比数列{a n }的公比为q , 所以a 1≠0,q ≠0. 由 ,得 ,解得 . 因此数列 为“M—数列”. (2)解:①因为 ,所以 . 由 得 ,则 . 由 ,得 , 当 时,由 ,得 , 整理得 . 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知,b k =k , .

因为数列{c n}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0. 因为c k≤b k≤c k+1,所以,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m时,有. 设f(x)= ,则. 令,得x=e.列表如下: x e (e,+∞) + 0 – f(x)极大值 因为,所以. 取,当k=1,2,3,4,5时,,即, 经检验知也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,等比数列的通项公式,等差关系的确定 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列的通项公式,用“M-数列”的定义证出数列{a n}为“M-数列”。(2)①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列,并利用等差数列通项公式求出数列的通项

2021高考数学专题复习:数列(一)

1 2021高考数学专题复习:数列一 1.等差数列定义:12112,,+++-=++==-n n n n n n n a a a d a a d a a 2.2a =d a +1,3a = ,4a = ,2019a = ,m a = ,p a = ?第一通项公式:=n a ()d a dn -+=1 13103a a d =+,83+a a = ,2023a a =- ,202010a a =+ ,20n a a =+ ?第二通项公式:+=m n a a ()83,2382n a d a n ==?=+-? 135,3n a d a ==-?= 510,5n a d a ==?= 201920203,9n a a a ==?= 3.若b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,关系:=A 2 ,=A 4.性质:等差数列中,若,q p n m +=+则 ,2k n m =+则 =+n m a a ,=+q p a a ,=k a 2 37a a += ,313a a += ,2070a a += ,2337a a += 6.等差数列{}n a 中=3,S ,=5S ,=7S ,=9S ,11S = ,

2 13S = ,15S = ,=101S ,2021S = ,=-12k S (1)==158,6S a (2)==3719,10S a (3)==1121,420a S 5.等差数列{}n a 中,首项为1,a 公差为,d ()21n n a a n S +=()d n n na 211-+=n d a n d ??? ? ? -+=2212 令n S c n n =,则=n c ,公差为 等差数列{}n a 中,d a a a S +=+=12122,=4S ,=6S , =8S ,=10S ,=100S 7.公差为d 的等差数列{}n a 由连续2项和构成的新数列 46242,,S S S S S --仍然为等差数列,公差=2d 由连续3项和构成的新数列 69363,,S S S S S --仍然为等差数列,公差=3d 由连续n 项和构成的新数列 n n n n n S S S S S 232,,--仍然为等差数列,公差=n d

高三数学数列测试题及答案

高三数学数列测试题及答案 1.在等差数列{an}中,若a1+a2+a12+a13=24,则a7为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:∵a1+a2+a12+a13=4a7=24,∴a7=6. 答案:A 2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S33-S22=1,则数列{an}的公差是( ) A.12 B.1 C.2 D.3 解析:由Sn=na1+n(n-1)2d,得S3=3a1+3d,S2=2a1+d,代入S33-S22=1,得d=2,故选C. 答案:C 3.已知数列a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 011等于( ) A.1 B.-4 C.4 D.5 解析:由已知,得a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,… 故{an}是以6为周期的数列, ∴a2 011=a6×335+1=a1=1. 答案:A 4.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )

A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 解析:∵S5<S6,∴a6>0.S6=S7,∴a7=0. 又S7>S8,∴a8<0. 假设S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,即2(a7+a8)>0. ∵a7=0,a8<0,∴a7+a8<0.假设不成立,故S9<S5.∴C错误. 答案:C 5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q的值为( ) A.-12 B.12 C.1或-12 D.-2或12[ 解析:设首项为a1,公比为q, 则当q=1时,S3=3a1=3a3,适合题意. 当q≠1时,a1(1-q3)1-q=3a1q2, ∴1-q3=3q2-3q3,即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,解得q=1(舍去),或q=-12. 综上,q=1,或q=-12. 答案:C 6.若数列{an}的通项公式an=5 252n-2-425n-1,数列{an}的最大项为第x项,最小项为第y项,则x+y等

2019年高考数学数列部分知识点分析

第 1 页 共 4 页 2019年全国高考数学数列部分知识点考查分析 一、等差数列及其性质 1.(2019年全国Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =,55a =,则( ) A .25n a n =- B .310n a n =- C .228n S n n =- D .21 22n S n n =- 2.(2019年全国Ⅲ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若10a ≠,213a a =,则105S S = . 3.(2019年全国Ⅲ文)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若35a =,713a =,则10S = . 4.(2019年北京理)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23a =-,510S =-,则5a = ,n S 的最小值为 . 5.(2019年江苏)已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列,n S 是其前n 项和.若2580a a a +=,927S =,则8S 的值是 . 二、等比数列及其性质 1.(2019年全国Ⅲ文理)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3(a = ) A .16 B .8 C .4 D .2 2.(2019年全国Ⅰ文)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若11a =,33 4 S =,则4S = . 3.(2019年上海秋)已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足2n n S a +=,则5S =______. 三、数列综合 1.(2019年全国Ⅰ文)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知95S a =-. (1)若34a =,求{}n a 的通项公式; (2)若10a >,求使得n n S a …的n 的取值范围. 2.(2019年全国Ⅱ理)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =,10b =,1434n n n a a b +=-+,1434n n n b b a +=--. (1)证明:{}n n a b +是等比数列,{}n n a b -是等差数列; (2)求{}n a 和{}n b 的通项公式. 3.(2019年全国Ⅱ文)已知{}n a 的各项均为正数的等比数列,12a =,32216a a =+. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设2log n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和. 4.(2019年北京文)设{}n a 是等差数列,110a =-,且210a +,38a +,46a +成等比数列. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,求n S 的最小值. 5.(2019年天津文)设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0.已知113a b ==,23b a =,3243b a =+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;

数列的概念与简单表示法(第一课时)

数列的概念与简单表示法(第一课时) 教学设计案例 山东省滕州市第一中学时科峰(277500) 一、教材与教学分析 1.数列在教材中的地位 根据新课程的标准,“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念,然后将数列作为一种特殊函数,介绍数列的几种简单表示法,等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课,为达到新课标的要求,从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识,打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题).2.教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例,引入数列的概念,理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然规律的数学模型.了解数列的几种分类. (2)了解数列是一类离散函数,体会数列中项与序号之间的变量依赖关系. 3.教学重点与难点 重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 难点:认识数列是一种特殊的函数,发现数列与函数之间的关系. 二、教学方法与学习方法 自主学习与合作探究相结合.

五.板书设计 六、教学评价与反思 新课程的编排特点和学习方式的变化,使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性,知识的生活化,使学生获得对数学知识理解的同时,在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展. 鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数学与生活实际联系起来,具体说来,新课程的理念有如下体现: (1)体现“双主体”的原则,摆正了教师在教学中的位置 本节课的组织与实施,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则;教师扮演的是组织者、引导者、参与者,学生是学习的主体,通过大量实例激发学

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