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2016第14届小机灵杯三年级初赛解析

第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛(三年级组)

2015 年12 月27 日13: 00 ~ 14 :00

时间:60 分钟

总分:120 分

(第1 题~第4 题,每题8 分)

【第1 题】

已知1050 -840 ÷□?8 =90 ,那么□=。

【分析与解】计算问题,易得□=7

【第2 题】

即将过去的2015 年中有连续的7 天,其日期数总和是100 ,那么这7 天的日期数分别是、、、、、、。

【分析与解】时间与日期。

如果这7 天在同一个月中,那么日期数总和是中间数?7 ;

而100 不是7的倍数;

故这7 天在相邻的两个月。

28 + 27 + 26 = 81,28 + 27 + 26 + 25 =106 >100 ;

30 + 29 + 28 = 87 ,30 + 29 + 28 + 27 =114 >100 ;

31+ 30 + 29 = 90 ,31+ 30 + 29 + 28 =118 >100 ;

1+ 2 + 3 + 4 =10 ;

所以只能是100 = 29 +30 +31+1+ 2 +3 + 4 ;

即这7 天的日期数分别是29 、30 、31、1 、2 、3 、4 。

【第3 题】

用5个相同的小正方形拼成一个轴对称图形,要求每个小正方形至少有一条边与另一个小正方形的边完全重合,共有种不同的拼法。请你一一画出这些图形。(通过旋转或翻折得到的图形算作同一种)

【分析与解】图形剪拼。

考虑到对称图形,共有 6 种。分别为“一字”形,“凹字”形,“T 字”形,“十字”形,“w 字”形, “L 字”形

【第4 题】

小明的弟弟是三胞胎,小明今年的年龄与3 个弟弟的年龄总和相等。再过6 年,3 个弟弟的年龄总和是小明年龄的2 倍。小明今年岁。

【分析与解】年龄问题,差倍问题。

(方法一)

小明今年的年龄与3 个弟弟的年龄总和相等;

故再过6 年,3 个弟弟的年龄总和比小明多6 ?3 - 6 =12 岁;

而再过6 年,3 个弟弟的年龄总和是小明年龄的2 倍;

则再过6 年,小明年龄为12 ÷(2 -1)=12 岁;小明今年12 - 6 = 6 岁。

(方法二)

设小明今年x 岁;由题意,得2(x+ 6)=x + 6 ? 3 ;解得x = 6 ;小明今年6 岁。

(第5 题~第8 题,每题10 分)

【第5 题】

如图“○”中所填的数等于与之相连的三个“△”中数的乘积,中所填的数等于与之相连的三个“○” 中数的总和。现将5 、6 、7 、8 、9 分别填入五个“△”中,则中的数最大等于。

【分析与解】

+ 4 + 9

2016第14届小机灵杯三年级初赛解析

如图所示,分别填上字母 A ~ I ;

2016第14届小机灵杯三年级初赛解析

因为 中所填的数等于与之相连的三个“○”中数的总和;

所以 I = F + G + H ; 因为“○”中所填的数等于与之相连的

三个“△”中数的乘积; 所以 F = A ? B ? C , G = B ? C ? D , H

= C ? D ? E ;

其中 C 出现了 3 次, B 和 D 各出现了 2 次, A 和 E 各出现了1 次;

我们希望 I 尽可能大,则 C = 9 , {B , D } = {7,8} , {A , E } = {5, 6} ;

不妨设 B = 7 , D = 8 ;

则 G = 7 ? 9 ?8 = 504 , F = A ? 7 ? 9 , H = 9 ?8? E ; 故

取 A = 5 , E = 6 ;

则 F = 5? 7 ? 9 = 315 , G = 7 ? 9 ?8 = 504 , H = 9 ?8? 6 = 432 , I = 315 + 504 + 432 =1251 ;

中的数最大等于1251 。

【第 6 题】

小胖将1 , 2 , 3 , 4 ,…, 49 , 50 这 50 个整数按从小到大的顺序无间隔地排列在一起,然后在每相邻的 两个数字之间插入“ + ”,得到了一个加法算式:1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +1+ 0 +1+1+ 请你算一算,这个加法算式的和,结果是 。

【分析与解】本题即求1 ~ 50 这 50 个整数的数字之和。

(方法一)

+ 5 + 0 。

个位上,数字1 ,2 ,…,9 ,0 各出现了5 次;

十位上,数字1 ,2 ,3 ,4 各出现了10 次,5 只出现了1 次;

故1~50这50 个整数的数字之和为(1+2++9+0)?5+??(1+2+3+4)?10+5?1??=330;

即结果是330 。

(方法二)

我们先求0 ~ 49 这50 个整数的数字之和:

因为0 +49 ,1+48 ,…,24 +25 均未产生进位;

故0 ~ 49 这50 个整数的数字之和为(4 + 9)?(50 ÷ 2)= 325 ;

故1 ~ 50 这50 个整数的数字之和为325 - 0 +(5 + 0)= 330 ;

即结果是330 。

【第7 题】

一个整数减去77 ,然后乘以8 ,再除以7 ,所得的商是37 ,且有余数。这个整数是。

【分析与解】还原问题。

37 ?7 +1 = 260 ,37 ?7 + 2 = 261,37 ?7 + 3 = 262 ,37 ?7 + 4 = 263 ,37 ?7 + 5 = 264 ,37 ?7 + 6 = 265 中8的倍数只有264 ;264 ÷8+77 =110 ;这个整数是110 。

【第8 题】

学校有90 名教师,其中有66 名教师喜爱喝茶,有42 名教师喜爱喝咖啡,而这两种饮料都喜爱的人数恰好是两种饮料都不喜爱的人数的3 倍。那么学校有名教师至少喜爱喝茶和咖啡中的一种饮料。

【分析与解】容斥原理。设两

种饮料都不喜爱的有x 人;则

两种饮料都喜爱的有3x 人;

(66 + 42 - 3x)+x = 90 ;

解得x = 9 ;

3 两种饮料都不喜爱的有 9 人;

则两种饮料都喜爱的有 3? 9 = 27 人;

学校有 66 + 42 - 27 = 81或100 - 9 = 81名教师至少喜爱喝茶和咖啡中的一种饮料。

(第 9 题~第12 题,每题12 分)

【第 9 题】

某电视台少儿频道将在 2015 年12 月 26 日(星期六)开播一部长达135 集的动画片。电视台计划在每周三 和每周五每天播放 1 集,每周六和每周日每天播放 2 集。那么,该动画片的最后一集将在 年 月 日播放,这一天是星期 。

【分析与解】周期问题。

按“周六 2 集、周日 2 集、周三1 集、周五1 集”为一个周期;

135 ÷ (2 + 2 +1 +1) = 22

故播放完整的 22 周之后,还剩 3 集,这 3 集还要再播放 2 天(周六 2 集、周日1 集);

故一共播放 22 ? 7 + 2 =156 天;

2015 年12 月 26 ~ 31日共有 31- 26 +1 = 6 天;

2016 年1 月1 ~ 31日共有 31天;

2016 年1 月 2 ~ 29 日共有 29 天;

2016 年 3 月1 ~ 31日共有 31天;

2016 年 4 月1 ~ 30 日共有 30 天;

2016 年 5 月1 ~ 29 日共有 29 天;

而 6 + 31+ 29 + 31+ 30 + 29 =156 ;

故该动画片的最后一集将在 2016 年 5 月 29 日播放,这一天是星期日。

【第 10 题】

老师在纸上写了一个四位数让小伟猜,老师与小伟进行了 4 次问答。

小伟:“是 8765 吗?”老师:“猜对了两个数字,但位置都不正确。”

小伟:“是1023 吗?”老师:“猜对了两个数字,但位置都不正确。”

小伟:“是8642吗?”老师:“猜对了两个数字,位置都正确。”

小伟:“是5430 吗?”老师:“一个数字也没猜对。”

这个四位数是。

【分析与解】逻辑推理。

先根据第4 次问答,这个四位数不含数字5 、4 、3 、0 ;

再根据第2 次问答,这个四位数含有数字1 、2 ;

然后根据第3 次问答,这个四位数含有数字8 和6 中的一个;

并结合第1 次问答,这个四位数不含有数字8 ,否则第1 次小伟至少有一个数字猜对并猜对位置。

故这个四位数不含数字8 ,且百位是6 ,个位是2 ;

回到第2 次问答,数字1 不在千位,只能在十位;

最后根据第1 次问答,这个四位数含有数字7 ,并且7 只能在千位;

综上所述,这个四位数是7612 。

【第11 题】

小明爸爸从家出发去超市购物。如果先骑自行车12 分钟,再步行20 分钟能到达超市;如果先骑自行车8 分钟,再步行36 分钟也能到达超市。那么如果先骑自行车2 分钟,再步行分钟也可以到达超市。

【分析与解】行程问题,设而不求。设骑车的

速度为x 米/分,步行的速度为y 米/分;12x + 20

y = 8x + 36 y ;

x = 4 y ;

设y 为1 份,则x 为4 份;从家到超市路程为12 ? 4 + 20?1 = 68 或8? 4 + 36 ?1 = 68 份;如果先骑

自行车2 分钟,再步行(68 - 4 ? 2)÷1 = 60 分钟也可以到达超市。

【第12 题】

绿化队运来了一些梧桐树准备在一条路的两侧等距离地植树。如果路的两端都植树,每隔8 米植1 棵,则缺少8 棵,每隔9 米植1 棵,则多8 棵。这条路长米。

【分析与解】植树问题,盈亏问题。

(方法一)

我们只看路的一侧;

“把路的长度分给树,”转化成盈亏问题:

如果每隔8 米植1 棵,则一侧少8 ÷ 2 = 4 棵,即路多(4 -1)?8 = 24 米;

如果每隔9 米植1 棵,则一侧多8 ÷ 2 = 4 棵,即路少(4 +1)?9 = 45 米;则路

的一侧有(24 + 45)÷(9 - 8)= 69 棵树;一共有69 ? 2 =138 棵树。这条路长

??(138 +8)÷ 2 -1???8 = 576 或??(138 -8)÷2 -1???9= 576 米。

(方法二)

设一共有x 棵树;

??(x+8)÷2-1???8=??(x-8)÷2-1???9;

解得x=138;一共有138棵树;这条路长??(138+8)÷2-1???8=576或??(138-8)÷2-1???9=576米。奥数要从小学抓起,培养孩子的数学思维能力。

最后希望同学们在做题的过程中养成不断总结的好习惯,考试中避免出现技术性错误,

在各类考试中取得最好的成绩!

最后希望同学们在做题的过程中养成不断总结的好习惯,考试中避免出现技术性错误,

在各类考试中取得最好的成绩!