利用傅立叶变换计算线性卷积
实验一 利用傅立叶变换计算线性卷积
一、实验目的
1． 掌握MATLAB 的使用。
2． 掌握用直接法计算线性卷积的原理和方法
3． 掌握利用FFT 及IFFT 计算线性卷积的原理和方法
二、实验原理及方法
1、线性卷积的定义
序列)1N n 0(),n (x -≤≤和序列)1M n 0(),n (h -≤≤的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)定义为：
10),()()(1
0-+≤≤-?=
∑-=M N n m n h m x n y N m 利用直接法计算线性卷积即用线性卷积的定义计算。
2、利用FFT 及IFFT 计算线性卷积的原理和方法
如果将序列x(n)和h(n) 补零，使其成为长度为L 的序列(L>=N+M-1), 则x(n)与h(n)的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)与L 点圆周卷积相等，而圆周卷积可采用FFT 及IFFT 完成，即求y(n)=x(n)*h(n)可转化为：
对上式两端取FFT 得： Y(k)=X(k)H(k)
其中：X(k)=FFT[x(n)], H(k)=FFT[h(n)]
则：y(n)=IFFT[Y(k)]
三、实验仪器及材料
⒈ 计算机，并装有MATLAB 程序
⒉ 打印机
四、实验步骤
1、已知两序列： ???>≤≤=3n ;
03n 0;)5/3()n (h n 用Matlab 随机生成输入信号X （n ），范围为0~2；
2、得出用直接法（定义）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果；
3、用Matlab 编制利用FFT 和IFFT （圆周卷积）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序； 分别令圆周卷积的点数为L=5，7，8，10，打印结果。
4、对比直接法和圆周卷积法所得的结果。
五、实验说明:
1、实验前复习线性卷积,圆周卷积及FFT 内容。
2、利用FFT 计算线性卷积是将x(n)、h(n)用补零的方法延长到N+M-1，再用圆周卷积完成，因此要求x(n)、h(n)延长后的长度满足L>=N+M-1，才能保证用圆周卷积计算结果与直接法计算结果相同。
六、分析整理实验数据，写出实验报告
实验报告要求：
1、 手工计算两序列的线性卷积，并与计算机的结果比较，以验证手工计算的正确性。
2、 令L=5，用已编制好的程序分别采用直接法和FFT 法对两序列计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)，并打印结果。
3、 令L=7，8，10，用已编制好的程序分别采用直接法和FFT 法对两序列计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)，并对比所得的结果，打印L=7，8，10的结果。
4、 打印程序.
七、思考题
说明为什么L=7，8，10时采用直接法和FFT 法对两序列计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果相同，而与L=5时计算结果不同？
附录：
本实验所用的Matlab函数：
X=rand(r,c) : 用Matlab随机生成输入信号X（n），范围为0~1,r行,c列
Y=conv(x1,x2): 将序列x1(n)与序列x2(n)做线形卷积，结果赋给序列Y(n);
Y=fft(x ,L) : 将序列x (n)做L点傅立叶变换，结果赋给序列Y(n);
Y=ifft(x,L) : 将序列x (n)做L点傅立叶反变换，结果赋给序列Y(n);
Stem(x,y) : 以x为横坐标，y为纵坐标画曲线；
Plot(x,y) : 以x为横坐标，y为纵坐标画曲线；
L=10; % The length of FFT
sizex=4; % The length of the sequence x(n)
sizeh=4; % The length of the sequence h(n)
x=rand(1,4)*2 %x=[1,1,1,1]; x =[1.9003,0.4623,1.2137,0.9720]
h=[0.6^0,0.6^1,0.6^2,0.6^3]
y=conv(x,h); %x*h
X=fft(x,L);
H=fft(h,L);
for i=1:1:L
YK(i)=X(i)*H(i);
end
yFFT=ifft(YK,L);
subplot(2,2,1)
le=0:1:sizex-1; %横标
stem(le,x)
title('x sequence')
xlabel('n')
ylabel('x(n)')
x = 1.9003 0.4623 1.2137 0.9720
y = 1.9003 1.6025 2.1752 2.2771 1.1200 0.6121 0.2100
Yfft=1.9003 1.6025 2.1752 2.2771 1.1200 0.6121 0.2100 0 0 h = 1.0000 0.6000 0.3600 0.2160
L=7;
L=5;
x=[1,1,1,1]; h = 1.0000 0.6000 0.3600 0.2160
y =1.0000 1.6000 1.9600 2.1760 1.1760 0.5760 0.2160
yFFT =1.0000 1.6000 1.9600 2.1760 1.1760 0.5760 0.2160 0.0000 0.0000 0.0000
subplot(2,2,2)
le2=0:1:sizeh; %1
stem(le2,h)
title('h sequence')
xlabel('n')
ylabel('h(n)')
subplot(2,2,3)
le3=0:1:sizex+sizeh-1; % 2 stem(le3,y)
title('y sequence by direct method') xlabel('n')
ylabel('y(n)')
subplot(2,2,4)
le3=0:1:L; %1
stem(le3,yFFT)
title('y sequence by FFT')
xlabel('n')
ylabel('y(n)')
时域和频域法计算4点卷积
已知x1（n）=｛2，3，2｝，x2（n）=｛1，2，3，4｝（1）求出x2（m-n），当m=0，1，2，3时的序列；（2）计算出x1(n)与x2(n)的卷积；（3）用频域方法算出x1(n)与x2(n)的卷积 解：(1)m=0时，x(m-n)=x(-n) , x(-0)=x(-0+4)=1;x(-1)=x(-1+4)=4;x(-2)=3;x(-3)=2; 故x(-n)={1,4,3,2} 同理m=1时；x(m-n)=x(1-n)={2,1,4,3} 同理m=2时；x(m-n)=x(2-n)={3,2,1,4} 同理m=3时；x(m-n)=x(3-n)={4,3,2.1} (2)m=0时 3 =∑[{2,3,2,0}*{1,4,3,2}]=∑{2,12,6,0}=20 n=0 m=1时 3 =∑[{2,3,2,0}*{2,1,4,3}]=∑{4,3,8,0}=15 n=0 m=2时 3 =∑[{2,3,2,0}*{3,2,1,4}]=∑{6,6,2,0}=14 n=0
m=3时 3 =∑[{2,3,2,0}*{4,3,2.1}]=∑{8,9,4,0}=21 n=0 （3） x1（n）=｛2，3，2=｝==> X1(k)={6, -2-2j, 2, 2j-2} x2（n）=｛1，2，3，4｝==>X2(k)={10,-2+2j,-2,-2-2j} X1(k)?X2(k)={60, 8,- 4, 8} 令Y（k）=X1(k)·X2(k) y（n）=x1(n)x2(n) IDFT后 3 3 y(n)=(1/N )∑Y(k)e^(j(2π/4)kn)=(1/N )∑Y(k)(-j)^(kn) k=0 k=0 ={ 18,16,10,21}
卷积运算
卷积运算 信号的卷积运算是信号处理领域中最重要的运算之一。随着对信号与系统理论研究的深入，特别是计算机技术的不断发展，不仅使卷积方法在很我领域得到了很广泛的应用，而且卷积运算的逆运算---反卷积的问题也受到了越来越大的重视和应用。 比如，在语音识别、地震勘探、超声诊断、光学成像、系统辨识及其他诸多信号处理领域中，甚至可以说卷积与反卷积的问题无处不在，而且很多的问题，都是有待深入研究的课题。 所以，大家要切实理解和掌握好卷积分运算的各个方面，打好牢固的基础。下面，我们来看看卷积的定义是怎样的。 信号的卷积积分（简称卷积），定义为： 简记为，其中的星号是卷积运算符。注意不要与我们在编写计算机程序时所用的乘法的表示符号搞混了。在信号处理课程里，乘法往往是用居中的点来表示的，或者干脆不写居中的点，而直接将要进行乘积运算的信号(包括直流信号---它是一个常数)连在一起写。 信号的卷积运算对应着一定的物理背景，这要在我们进一步学习了关于系统的激励与响应的关系之后，才能更深入地理解。 不仅如此，信号的卷积运算还对应着一定的几何解释。从定义式我们可以看出：(1) 在积分式中，信号自变量改变了符号，这对应在几何波形上，就是将信号进行了反褶变换；(2) 并且，信号f2的波形 位置与积分变量的取值有关，积分变量在积分限内的不断变化，将导致信号的波形发生移动，即是对它不断进行平移操作；(3) 最后，每当信号处在一个新位置，都要与信号f1相乘，且依据积分的定义，要将这些乘积加起来，而其结果实际上对应着两信号波形相交部分的面积。所以，卷积运算可以用几何图解方式来直观求解。 下面我们来说明如何用它的几何意义来求解两信号的卷积。 将信号的自变量改为，信号变为。对任意给定的，卷积的计算过程为： (a) 将关于ｒ进行反褶得到； (b) 再平移至ｔ0得到； (c) 与相乘得到； (d) 对ｒ进行积分得，即； 不断变化，就可以得到s(t)。