吴大正-信号与系统公式
第一章 信号与系统
信号的分类
确定信号 周期信号 连续时间信号 能量信号 随机信号
非周期信号
离散时间信号
功率信号
信号的时域运算
（1）移位
()为常数00,t t t f +
00>t ，()0t t f +为()t f 波形在t 轴上左移0t ； 00 （2）反转 ()t f - ()t f -波形为()t f 波形以0=t 为轴反转。 （3）尺度变换 ()at f ，a 为常数 1>a ，()at f 波形为()t f 的波形在时间轴上压缩为原来的a 1 ； 10< 1 ； （4）微分运算 )(t f dt d （5）积分运算 ττd f t ? ∞ -)( （6）相加 )()()(21t f t f t f += （7）相乘 )()()(21t f t f t f ?= 奇异信号 （1）阶跃函数 0，0 =)(t ε 2 1 ，0=t 1，0>t （2）冲激函数 0,0)(≠=t t δ Dirac 定义 1)(=? ∞ ∞ -dt t δ （3）阶跃函数与冲激函数的关系 ()dt t d t εδ= )( dx x t t ?∞ -=)()(δε （4）阶跃函数的积分)(t r 斜坡函数=== ? ∞ -)()()(t t dx x t r t εε ,0,0> （5）冲激函数的导数和积分 )(t δ'称为冲激偶 )(1 )(='=? ?∞ ∞ -∞ ∞-dt t dt t δδ （6）冲激函数的性质 1.相乘性质 )()(0t t t f -δ=)()(00t t t f -δ )()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ 2.抽样性质 )()()(00t f dt t t t f =-? ∞ ∞ -δ )()()(00t f dt t t t f '-=-'? ∞ ∞ -δ 3、尺度变换性 )(1 )(t a at δδ= )(11)() ()(t a a at n n n δδ?= 4.偶对称性 )()(t t -=δδ 第二章 连续系统的时域分析 2.1 L TI 连续系统的响应 n 阶常系数线性微分方程的全解由齐次解)(t y h 和特解)(t y p 组成，即 )()()(t y t y t y p h += 齐次解（二阶 0=+'+''qy y p y ） 1）21λλ≠时，x x e C e C y 2121λλ+= 2）21λλ=时，x e x C C y 1)(21λ+= 3）i βαλ+=21、时，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 特解（二阶 )(x f qy y p y =+'+''） （1）kx n e x P x f )()(= ① ：若k 非特征值，令kx n n e x a x a x a a y )(22100+++= 如 x e b ax y )(0+= ② ：若k 与一个特征值相同，令kx n n e x a x a x a a x y )(22100+++= 如 x e b ax x y )(0+= ③ ：若k 与两个特征值都相同，令kx n n e x a x a x a a x y )(221020+++= 如 x e b ax x y )(20+= （2）]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f s l x ββα+= 令},max{s l n = ① ：若βαi +不是特征值，令]sin )(cos )([)() 2() 1(0x x Q x x Q e x y n n x ββα+= ② ：若βαi +是特征值，令]sin )(cos )([)() 2()1(0x x Q x x Q xe x y n n x ββα+= 如]sin )(cos )[()(0x d cx x b ax xe x y x ββ+++= 2.3 卷积积分 一般而言，两个函数)()(21t f t f 和卷积 τττd t f f t f t f t f )()()()()(2121-=*=?∞ ∞ - LTI 系统的零状态响应)(t y zs 是激励)(t f 与冲激响应)(t h 的卷积积分。 ()()τττd t h f t y zs -=? ∞ ∞ -)( )()()(t t t t εεε=* )(2 1 )()(2t t t t t εεε=* 2.4卷积积分的性质 一、卷积的代数运算 交换律 )()()()(1221t f t f t f t f *=* 分配律 )()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* 结合律 )]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** 二、函数与冲激函数的卷积 )()()()()(t f t f t t t f =*=*δδ 推广： )()()()()(111t t f t f t t t t t f -=*-=-*δδ )()()()()(211221t t t t t t t t t t t --=-*-=-*-δδδδδ )()()()()(211221t t t f t t t t f t t t t f --=-*-=-*-δδ )()()()()(2112212211t t t f t t f t t f t t f t t f --=-*-=-*- 三、函数与阶跃函数的卷积 ()ττεd f t t f t ?∞ -=*)()( ()()ττττεd t f d f t t t f t t t ?? ∞ -∞ --==-*0 )()(0 四、卷积的微分与积分 导数：)()()()()() 1(212)1(1) 1(t f t f t f t f t f *=*= 积分：)()()()()() 1(2 12) 1(1) 1(t f t f t f t f t f ---*=*= 微分积分性质： )()() ()()()(212121t f t f dt t df d f d f dt t df t t *=*=*??∞-∞-ττττ 推广： )()()() (2 )(1)(t f t f t f j i j i -*= 五、相关函数 dt t f t f dt t f t f R )()()()()(212112??∞ ∞-∞ ∞-+=-=τττ dt t f t f dt t f t f R )()()()()(212121τττ+=-=? ? ∞ ∞ -∞ ∞- )()(2112ττ-=R R )()(1221ττ-=R R 自相关函数： dt t f t f dt t f t f R )()()()()(? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -+=-=τττ )()(ττ-=R R 若)(1t f 和)(2t f 均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。 相关与卷积的关系： )()()()()(212112t f t f t f t f R -*=*= τ 奇异信号的相关： )()()(t f t t f =*δ )()()(t f t f t -=* δ ττεd f t t f t ?∞=*)()()( ττεd f t f t t ?∞ --=*)()()( 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI 离散系统的响应 一、差分与差分方程 一阶前向差分定义为：)()1()(k f k f k f -+=? 一阶后向差分定义为：)1()()(--=?k f k f k f 差分运算具有线性性质：[])()()()(22112211k f a k f a k f a k f a ?+?=+? 二、差分方程经典解 n 阶常系数线性差分方程： )()1()()()1()(0101m k f b k f b k f b n k y a k y a k y m m n -++-+=-++-+-- 特解 齐次解 )()()(k y k y k y p h += 齐次解： 齐次方程0)()1()(01=-++-+-n k y a k y a k y n 的解称为齐次解。 特征方程0011 1=++++--a a a n n n λλλ 单实根：k C λ r 重实根：k r r r r C k C k C k C λ)(01221 1+++---- 如二重实根：()k C k C λ01+ 一对共轭复根βρλj e jb a ±=±=2,1：)]sin()cos([k D k C k ββρ+ 特解： 激励 不等于特征根时当a Pa k , k a 是特征单根时，当a a P Pk k )(0+ 重特征根时是，当r a a P k P k P k P k r r r r ][0111++++-- m k )sin()cos(k k ββ或 βββj e k Q k P ±+，所有特征根不等于)sin()cos( 全解： 若方程特征根均为单根，全解为)()()()(1 k y C k y k y k y p n j k j j p h += +=∑=λ 对于n 阶差分方程，用给定的n 个初始条件)1()1()0(-n y y y 、可确定全部待定系数 j C 。 )1()1()0()0(221121p n n p n y C C C y y C C C y +++=+++=λλλ 三、零输入响应 0)(0 =-∑=-n j zi j n j k y a 一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k<0时，几个初始状态满足： ) ()()2()2()1()1(n y n y y y y y zi zi zi -=--=--=- 四、零状态响应 满足 )()2()1() ()(0 =-==-=--=-∑∑=-=-n y y y i k f b j k y a zs zs zs m i i m n j zs j n 如果系统激励）（k f 是在0=k 时接入系统的，根据零状态响应的定义，有 0,0)(<=k k y zs 0),()(<=k k y k y zi 时，所有特征根均不等于1 0111P k P k P k P m m m m ++++-- 的特征根重等于，当有1] [0111r P k P k P k P k m m m m r ++++-- 3.2单位序列和单位序列响应 一、单位序列和单位阶跃序列 单位序列定义为=)(k δ 00 1≠=k k ，， 单位序列的取样性质：)()()()(i k i f i k k f -=-δδ 单位阶跃序列的定义：=)(k ε 010 0≥ =-=0 )()(j j k k δε 3.3卷积和 一、卷积和 LTI 系统对于任意激励的零状态响应是激励)(k f 与系统单位序列响应)(k h 的卷积和。 ∑∞ -∞ =-= *=i zs i k h i f k h k f k y )()()()()( 一般而言，若有两个序列)(1k f 和)(2k f ，其卷积和为 ∑∞ -∞ =-= *=i i k f i f k f k f k f )()()()()(2 1 21 求和上下限有三种情况： 1.)(1k f 为因果序列 ∑∞ =-=*0 2121)()()()(i i k f i f k f k f 2.)(2k f 为因果序列 ∑-∞ =-= *k i i k f i f k f k f )()()()(2 1 21 3.)(1k f 、)(2k f 均为因果序列 ∑=-=*k i i k f i f k f k f 0 2121)()()()( 三、卷积和的性质 1、交换律 )()()()(1221k f k f k f k f *=* 2、结合律 )()]()([)]()([)(321321k f k f k f k f k f k f **=** 3、分配律 )()()()()]()([)(3121321k f k f k f k f k f k f k f *+*=+* 4、)()(k k f δ与的卷积和 ) ()()() ()()(00k k f k k k f k f k k f -=-*=*δδ 5、)()(k k f ε与的卷积和 ∑∞ =-=*0 )()()(m m k f k k f ε 6、卷积和的延迟 ) ()()()() ()()()(2121221112212211k k k f k f k f k k k f k k f k k f k k f k k f --*=*--=-*-=-*- 7、其他 )()1()()(k k k k εεε+=* 第四章 傅立叶变换和系统的频域响应 4.1信号分解为正交函数 一、正交函数集 三角型 =ΩΩ? +dt t n t m T t t )cos()cos(00 02 0==≠=≠n m T n m T n m ，当，当，当 =ΩΩ? +dt t n t m T t t )sin()sin(00 02 0≠=≠n m T n m ，当，当 0)(cos )(sin 00 =ΩΩ? +dt t n t m T t t ，对于所有的m 和n 指数型 () ==? ? +Ω-+* ΩΩdt e dt e e T t t t n m j T t t t jn t jm 00 00 )( n m T n m =≠，当，当0 4.2傅里叶级数 周期信号)(t f 在区间),(00T t t +可以展开成完备正交信号空间中的无穷级数。 一、周期信号的分解 设有周期信号)(t f ，它的周期T ，角频率T F ππ22= =Ω )(sin )cos(2)2sin()sin()2cos()cos(2 )(1 1021210 t n b t n a a t b t b t a t a a t f n n n n Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+= ∑∑∞ =∞ = 傅里叶系数 21)(sin )(2210)(cos )(222 22，，，=Ω= =Ω=? ?--n dt t n t f T b n dt t n t f T a T T n T T n 在)(t f 一个周期积分，积分区间不唯一。 同频率项合并可写成： )(cos 2)2cos()cos(2 )(1 022110 n n n t n A A t A t A A t f ???+Ω+=++Ω++Ω+= ∑∞= 其中 ) arctan(,2,12 2 0n n n n n n a b n b a A a A -==+==? ， n n n n n n A b n A a A a ??sin 2,1cos 0 0-==== 二、奇、偶函数的傅里叶级数 （1）)(t f 为偶函数 2 10)cos()(420==Ω=?n T n b n dt t n t f T a ，， （2）)(t f 为奇函数 ?=Ω==2 021)sin()(40 T n n n dt t n t f T b a ， 2) ()()(2) ()()(t f t f t f t f t f t f ev od -+= --= （3）)(t f 为奇谐函数（半波对称函数） )2 ()(T t f t f ±-= 前半周期波形移动 2 T 后与后半周期波形相对于横轴对称，傅里叶展开式只含有奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即0642420======= b b b a a a 三、傅里叶级数的指数形式 ∑∞ -∞ =Ω= n t jn n e F t f )( 其中 n n j n j n T T t jn n e A e F n dt e t f T F ??2 1 1,0)(122 ==±== ? -Ω- 4.3周期信号的频谱 二、周期矩形脉冲 幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为 T )2 ( τ τ Ω= n Sa T F n 三、周期信号的功率 ∑?∞ -∞ =-= =n n T T F dt t f T P 2 22 2)(1归一化平均功率： 4.4非周期信号的频谱 一、傅里叶变换 ω ωπ ωωωd e j F t f dt e t f j F t j t j ? ?∞ ∞ -∞ ∞ --= =)(21)()()( 的奇函数 的偶函数ωωωωω?) ()()(j e j F j F = =)(t g τ 2 ,021τ τ> < t t ， )2 ( )(ωτ τωSa j F = 二、奇异函数的傅里叶变换 （1）冲激函数的频谱 1)()]([==?∞ ∞ --dt e t t F t j ωδδ （2）冲激函数导数的频谱 () n n j t F j t F ωδ ωδ==')]([)]([) ( （3）单位直流信号的频谱 )(2]1[ωπδ=F （4）符号函数的频谱 )sgn(t 0 ,10,01>=-t t t ， ω j t F 2)][sgn(= （5）阶跃函数的频谱 ω ωπδεj t F 1)()]([+ = 4.5傅里叶变换的性质 一、线性 )()()()(22112211ωωj F a j F a t f a t f a +?+ 二、奇偶性 若)()()(ωωωjX R j F += （1）)()()()()()()()(ω?ω?ωωωωωω--=-=--=-=，，，j F j F X X R R （2）)()()(ωωj F j F t f * =-?- （3）当)(t f 为 ) ()()()(ωωωωjX j F R j F ==函数，实奇函数，实偶 三、对称性 )(2)(ωπ-?f jt F 如： 函数)(t Sa 及其频谱：==)()]([2ωπg t Sa F 1 1 ><ωωπ，， )sgn(1 )(2)()(2ωπωδπωπj t j t g t Sa -?'?? 四、尺度变换 ?? ? ??? a j F a at f ω1)( ()1)(-=-?-a j F t f 令ω 五、时移特性 ()? ? ? ???-?±-±a j F e a b at f j F e t t f a b j t j ωωωω1)()(00 六、频移特性 ()[]00)(ωωω j F e t f t j ?± ()[]()[]()[]()[]2)sin()(2 )cos()(000000ωωωωωωωωωω--+? -++? j jF j jF t t f j F j F t t f 七、卷积定理 时域卷积定理 )()()()(2121ωωj F j F t f t f ?* 频域卷积定理 )()(21 )()(2121ωωπ j F j F t f t f *? 2 2 2 1 )()(ωωωδπε- ?-'?t j t t 八、时域微分和积分 时域微分：()()ωωj F j t f n n ?)()( 时域微分：()()ω ωωδπj j F F t f + ?-)(0)()1( 九、频域微分和积分 频域微分：())()() (ωj F t f jt n n ?- 频域积分：()())()(0)1(ωδπj F jt t f t f -?-+ 十、相关定理 [][][]2 21212112) ()()()()() ()()(ωτωωτωωτj F R F j F j F R F j F j F R F ===* * 能量密度谱 4.7周期信号的傅里叶变换 一、正、余弦函数的傅里叶变换 ) (2][)(2][) (2]1[0000ωωπδωωπδωπδωω+=-==-t j t j e F e F F () []() [] )()(]21[)][sin()()(]2 1[ )][cos(0000000000ωωδωωδπωωωδωωδπωωωωω--+=-=-++=+=--j e e j F t F e e F t F t j t j t j t j 二、一般周期函数的傅里叶变换 [] ∑∑∑∞ -∞ =Ω∞ -∞ =Ω∞ -∞ =Ω-=?= =n n t jn n n t jn n n T n F e F F e F F t f F ) (2] [)]([ωδπ 当对周期函数进行傅里叶变换时，得到的是频谱密度；而将该函数展开为傅里叶级数时， 得到的是傅里叶系数，它代表虚指数分量的幅度和相位。 三、傅里叶系数与傅里叶变换 （应用：利用周期信号内单周期傅里叶变换求周期信号的傅里叶系数n F ） 周期信号)(t f T 的傅里叶系数n F 与其第一个周期的单脉冲信号频谱)(0ωj F 的关系为 Ω==Ω= n n j F T jn F T F ωω|)(1 )(100 4.8LTI 系统的频域分析 一、频率响应 ) ()() ()()(ω?ωωωωj e j H j F j Y j H == 相频响应（奇函数） 幅频响应（偶函数）)()()()() ()(ωθωθω?ωωωf y j F j Y j H -== 二、无失真传输 ) ()()()(ωωωj F Ke j Y t t Kf t y d t j d -=-= d t j K e H ωω-=)( d t K j H ωω?ω-==)()( )()(d t t K t h -=δ 无失真传输系统的冲激响应是输入冲激函数的K 倍并延时t d 三、理想低通滤波器的响应 幅频特性：1)(=ωH 相频特性：d t ωω?-=)( =)(ωH c c t j d e ωωωωω><-，0,()ωωωc d g e t j 2-= 频域中宽度为c ω2的门函数 4.9取样定理 一、信号的取样 s T ：取样周期 s s T f 1 = ：取样频率 s s s T f π πω22= =：取样角频率 冲激取样 []∑∞ -∞ =-= =n s s s s n j F T j F t f F )(1 )()][ωωω 取样信号)(t f s 的频谱由原信号频谱)(ωj F 的无限个频移项组成，其频移的角频率分别为)2,1,0( ±±=n n s ω，幅值为原谱的 s T 1. 矩形脉冲取样 二、时域取样定理 一个频谱在区间),(m m ωω-以外为零的频带有限信号)(t f ，可唯一地由其在均匀间隔 ???? ? ? 为了能从取样信号)(t f s 中恢复原信号)(t f ，需满足 1.)(t f 必须为带限信号，其频谱函数m ωω>各处为零； 2.取样频率不能过低，必须满足m s f t f 2)(> m s f f 2=称为奈奎斯特频率（Nyquist ） m s f T 21 = 称为奈奎斯特间隔 第五章 连续系统的s 域分析 5.1拉普拉斯变换 二、收敛域（Region of Covergence ，ROC ） 三、（单边）拉普拉斯变换 dt e t f t f L s F st ?∞ --==0 )()]([)( ==-)]([)(1s F L t f )(210 0> -t ds e s F j t j j st ，，σσπ 仅在有限区间∞<<<≤b t a 0不等于零，而在此区间外为零（即当tb ，f(t)=0）的可积信号（即为可积的时间有限信号），其象函数在全s 平面收敛。 常用拉普拉斯变换： -∞ >?'-∞>?]Re[)(]Re[1)(s s t s t ，，δδ 若0s 为实数，令)0(0>±=ααs ]Re[]Re[1 )(00 0s s s s t e t s >-? ，ε 若0s 为虚数，令)0(0>±=αβj s α αεααεαα->+?>-? -]Re[,1 )(]Re[,1 )(s s t e s s t e t t 0 ]Re[,1 )(0]Re[,1 )(>+?>-? -s j s t e s j s t e t j t j βεβεββ对于因果信号，仅当 α σ>=][e s R ，其拉 普拉斯变换存在。 对反因果信号，仅 β σ<=]Re[s 时积分收敛。 双边函数象函数的收敛域为 β α<<]Re[s 的带状 区域。 0]Re[1 )(0 ]Re[1)(2 >? >?s s t t s s t ，，εε 5.2拉普拉斯变换的性质 一、线性 若111]Re[)()(σ>?s s F t f ， ，222]Re[)()(σ>?s s F t f ，，则 ),max(]Re[)()()()(2122112211σσ>+?+s s F a s F a t f a t f a ， 适用于有限个函数之和 注：如果是两个函数之差，其收敛域可能扩大。 0]Re[)()cos(0 ]Re[)()sin(2 22 2 >+?>+? s s s t t s s t t ，，β εββ β εβ 二、尺度变换 若0]Re[)()(σ>?s s F t f ， 且有实常数0>a ，则 0]Re[)(1)(σa s a s F a at f >? ， 三、时移（延时）特性 000]Re[)()()(0σε>?---s s F e t t t t f st ， 如果)()(t t f ε既延时又变换时间的尺度，则有 0]Re[)(1)()(σεa s a s F e a b at b at f s a b >?---， 四、复频移（s 域平移）特性 a a t s s s s F e t f a σσ+>-?0]Re[)()(， 五、时域微分特性（定理） ) 0()()()0()0()()() 0()()()(1 1) ()1(2)2()1(--=-----∑-?--?-?m n m m n n n f s s F s t f f sf s F s t f f s sF t f 上面各象函数收敛域至少是0]Re[>s 如果)(t f 是因果函数，那么)(t f 及其各阶倒导数的值)2,1,0(0 )0()( ==-n f n ， 0)(]Re[)()(σ>?s s F s t f n n ， 六、时域积分特性（定理） )(1)(0s F s dx x f n n t ???? ???- ∑??? =--+-∞--∞-∞ --+???? ??=+?=- n m m m n n n t n t f s s F s dx x f t f dx x f s s F s dx x f t f 1)(1) (0) 1()0(1)(1)()()(1)(1)()( 若)(t f 是因果函数，显然)(t f 及其积分在-=0t 时为零，即)1,0(0)0() ( ±==-n f n 1!)(+? n n s n t t ε 七、卷积定理 时域卷积定理 )()()()(2121s F s F t f t f ?* 收敛域至少是)(1s F 与)(2s F 收敛域的公共部分 复频域卷积定理 21212121]Re[,]Re[)()(21)()(σσσσηηηπ-<<+>-? ?∞ +∞ -s c s d s F F j t f t f j c j c ， 八、s 域微分和积分 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)6 3cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为 （1）)()1(t t f ε- （2） )1()1(--t t f ε （5）)21(t f - 一、信号的傅里叶变换对 ?傅氏正变换 ?傅氏反变换 二、欧拉公式 三、常用信号傅里叶变换 1、第1组---时域：模拟单频信号 ?傅里叶变换： ) (ω δ πA A ? t t f F t d e)( ) (jω ω- ∞ ∞ - ?= ω ωωd e) ( 2 1 )(j t F t f?∞∞-π = 00 00 j j j j 1 cos(e e) 2 1 sin(e e) 2j t t t t t t ωω ωω ω ω - - =+ =- []) ( ) ( cos ω ω δ ω ω δ π ω- + + ? t 1 t )(t δ ω t )(t δ 时域单位冲激函数及频谱 t ω t ) (ω δ ) ( 2ω δ πA 时域直流函数及频谱 正弦、余弦函数及频谱 ? 频谱图： ? 物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们 的密度频谱都是冲激函数。 2、第2组 时域： 数字信号 ? 单位冲激序列函数 为 周期且 波形图 频谱图 ? 单脉冲信号 波形图 频谱图 [] )()(sin 000ωωδωωδπω--+ ?j t t e 0j ωt 0cos ω t 0sin ω∑∞ -∞=-=n T nT t t ) ()(δδ0 2ωπ=T T ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=-=-?n n T n n T t ) ()(12)(000ωωδωωωδπδ()a () b ) 2 ( Sa )()(00ωτ τω=?F t f 周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。 波形图 四、傅里叶变换的几个重要结论（性质） （1）带宽受限于无限 时域受限 频域无限 频域受限 时域无限 （2）时域卷积与频域卷积 )()()()(2121ωωF F t f t f ??* )()()()(2121t f t f F F ??*ωω （3）尺度展缩 ∑∑∞ -∞=∞ -∞=-=-? n n T n n n n T t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ 2 τ 2 -2 2信号与线性系统分析吴大正_第四版习题答案
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