高考数学专题指数函数对数函数幂函数试题及其答案详解
指数函数、对数函数、幂函数专题
1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)x
f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） A ．(0)+∞，
B ．(19]，
C ．(01)，
D ．[9)+∞，
B ；[解析] 函数()3(02)x
f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。
[考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。
2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，
()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A ．()3x
f x = B ．()sin f x x =
C ．2()log f x x =
D ．()tan f x x =
B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，
C 满足()()()f xy f x f y =+，而
D 满足()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-，B 不满足其中任何一个等式。
[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。
3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ）
A ．（ln2）2
B ．ln （ln2）
C ．ln 2
D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2 2 1 ln2 4．（2007安徽理，5分）若A=}82 2|{2<≤∈-x Z x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A 的元素个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 C ；[解析] 由于A=}822|{2<≤∈-x Z x =}321|{<-≤∈x Z x =}11|{≤<-∈x Z x =｛0，1｝，而 B=}1|log ||{2>∈x R x =}22 1 0|{>< <∈x x R x 或，那么)(C R B A =｛0，1｝，则)(C R B A 的元素个数为2个。 [考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题。 5．（2007江苏，5分）设2 ()lg( )1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0) (1,)-∞+∞ A ；[解析] 由10)0(-==a f 得，011lg )(<-+=x x x f ，得?????? ?<-+>-+111011x x x x ，01<<-∴x 。 [考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要条件是对数 函数的真数必须大于零的前提条件。 6．（2007北京理，5分）对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2 ()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数； 命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．③ D ．② D ；[解析] 函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在 (2)+∞，上是增函数；但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1 lg(||1)lg(|2|1)lg |2|1 x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时， (||1)12 lg lg lg(1)(|2|1)213 x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③，()c o s ( 2f x x =+函数 (2)c o s (2 f x x +=+不是偶函数，排除函数③，只有函数②2()(2)f x x =-符合要求。 [考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。 7．（2007天津理，5 分）函数) 2 log 2(0)y x =>的反函数是（ ） A.142(2)x x y x +=-> B.142(1)x x y x +=-> C.242(2)x x y x +=-> D.242(1)x x y x +=-> C ；[解析] 原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D 。 [考点透析]根据对应对数函数型的函数的反函数的求解步骤加以分析求解对应的反函数，但通过原函数与反函数之间的特殊关系，利用排除法加以分析显得更加简单快捷。 8．（2007天津理，5分）设,,a b c 均为正数，且11222 112log ,log ,log ,22b c a a b c ???? === ? ?????则（ ） A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c << A ；[解析] 由122log a a =可知0a >21a ?>121l o g 102a a ?>?<<，由12 1l o g 2b b ?? = ???可知 0b >?12 0l o g 1b <<112b ?<<，由21log 2c c ?? = ???可知0c >20log 112c c ?< [考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一。关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 9．（2007广东理，5分）已知函数x x f -= 11 )(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1 11<<-x x D ．? C ；[解析] 依题意可得函数x x f -= 11 )(的定义域M =}01|{>-x x =}1|{ 所以M N =}1|{ 11<<-x x 。 [考点透析] 本题以函数为载体，重点考查幂函数与对数函数的定义域，集合的交集的概念及其运算等基础知识，灵活而不难． 10．（2007山东理，5分）设a ∈{－1，1， 2 1 ，3}，则使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 A ；[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 [考点透析] 根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断．熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题．特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质． 11．（2007江苏，5分）设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x ，则有（ ） A ．)31(f <)23(f <)32(f B ．)32(f <)23(f <)31 (f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)3 1(f B ；[解析] 当1≥x 时，)(x f =13-x ，其图象是函数x y 3=向下平移一个单位而得到的1≥x 时图象部分，如图所 示， 又函数)(x f 的图象关于直线x =1对称，那么函数)(x f 的图象如下图中的实线部分， 即函数)(x f 在区间)1,(-∞上是单调减少函数， 又)23(f =)21(f ，而 322131<<，则有)32()21()31(f f f >>，即)32(f <)23(f <)3 1(f ． [考点透析] 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系． 12．（2007湖南文、理，5分）函数()? ??>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 B ；[解析] 函数()?? ?>+-≤-=1 ,341 ,442 x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象如下： 根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。 [考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线x y =对称。在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。 13．（2007四川文、理，5分）函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =1 2 +-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） C ；[解析] 函数)(x f =x 2log 1+的图象是由函数x y 2log =的图象向上平移1个单位而得来的；又由于 )(x g =12+-x =)1(2--x ，则函数)(x g =12+-x 的图象是由函数x y -=2的图象向右平移1个单位而得来的；故两函数在同 一直角坐标系下的图象大致是：C 。 [考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断。 14．（2007全国Ⅰ文、理，5分）设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为2 1 ，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 D ；[解析] 由于1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为 2 1， 那么a a a a log 2log -=21，即2log a =2 1 ，解得221 =a ，即a =4。 [考点透析] 根据对数函数的单调性，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 的端点上取得最值，由1>a 知函数在对应的区间上为增函数。 15．（2008山东临沂模拟理，5分）若1>a ，且y a x a a y a x log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ） A ．0>>y x B ．0>=y x C ．0>>x y D ．无法确定 A ；[解析] 通过整体性思想，设x a x f a x log )(-=-，我们知道当1>a 时，函数x a y -=1与函数x y a log 2-=在区间),0(+∞上都是减函数，那么函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数，那么问题就转化为 )()(y f x f <，由于函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数，那么就有0>>y x 。 [考点透析] 这个不等式两边都由底数为a 的指数函数与对数函数组成，且变量又不相同，一直很难下手。通过整体思维，结合指数函数与对数函数的性质加以分析，可以巧妙地转化角度，达到判断的目的。 16．（2008海南三亚模拟理，5分）函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是（ ） D ；[解析] 函数|1|| |ln --=x e y x 可转化为????? ≥<<-+=1, 11 0,11x x x x y ，根据解析式可先排除（A ），（C ），又当10< ，故选（D ）。 [考点透析] 把相应的含有指数函数和对数函数的关系式，加以巧妙转化，转化成相应的分段函数，结合分段函数 的定义域和基本函数的图象加以分析求解和判断。 17．（2007全国1文、理，5分）函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则 ()f x =____________。 ()f x =3()x x ∈R ；[解析] 函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则() f x 与函数3lo g (0)y x x =>互为反函数，()f x =3()x x ∈R 。 [考点透析]对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，在实际应用中经常会碰到，要加以重视。 18．（2007上海理，5分）函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为_________。 {}34≠ 30x x ->??-≠? ?{}34≠ [考点透析] 考察对数函数中的定义域问题，关键是结合对数函数中的真数大于零的条件，结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题。 19．（2007江西理，5分）设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为_________。 [5，+∞）；[解析] 反函数的定义即为原函数的值域，由x ≥3得x-1≥2，所以1)1(log 2≥-x ，所以y ≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）。 [考点透析]根据互为反函数的两个函数之间的性质：反函数的定义即为原函数的值域，结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题。 20．（2007上海理，5分）方程96370x x -?-=的解是_________。 3log 7x =；[解析] 2(3)63703731x x x x -?-=?==-或（舍去），3log 7x ∴=。 [考点透析]求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件。 21．（2007四川理，5分）若函数2 ()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则 m μ+=________． 1；[解析] 2 2 ()() 1()x x f x e e μμ---?? == ??? ，设() ()2 0t x t μ=-≥，此时1()t f x e ?? = ??? 是减函数，则最大值是 11m e ?? == ??? ，又()f x 是偶函数，则0μ=，∴1m μ+=． [考点透析] 根据函数的特征，结合指数函数的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值。研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养。 22．（2008江苏苏州模拟，5分）已知函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象如图，则函数x a y ?? ? ??=1的图象可能 是________。 D ；[解析] 根据函数x a y =的图象可知1>a ，那么对应函数x a y ?? ? ??=1的图象是D 。 [考点透析]根据对应指数函数的图象特征，分析对应的底数1>a ，再根据指数函数的特征分析相应的图象问题。 23．（2008江苏南通模拟，5分）设x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），若1)()()(21=+++n x f x f x f （+ ∈R x i ， n i ,,2,1 =），则)()()(3 3231n x f x f x f +++ 的值等于________。 3；[解析] 由于)()()(21n x f x f x f +++ =n a a a x x x log log log 21+++ =)(log 21n a x x x =1，而 )()()(33231n x f x f x f +++ =3 3231log log log n a a a x x x +++ =321)(log n a x x x =3)(log 21n a x x x =3 [考点透析]根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化。 24．（2008江苏常州模拟，5分）将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。 1)1(log 2++=x y ；[解析] 将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1所对应的解析式为)1(log 2+=x y ；要此基础上，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为)1(log 12+=-x y 。 [考点透析]根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题，一般可以结合“左加右减，上减下加”的规律加以应用。 25．（2008广东汕头模拟理，5分）若函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ，则实数a 的取值范围为________。 [0，1]；[解析] 由于函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ?（0，+∞）?{u （x ）|u （x ）=ax 2+2x+1}，当a=0时， u （x ）=2x+1的值域为R ，符合题意；当? ?? ≥-=?>0440a a 时，即10≤ [考点透析]通过引入变元，结合原函数的值域为R ，转化为u （x ）的问题来分析，要根据二次项系数的取值情况 加以分类解析。 26．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。 ?? ? ???43,0；[解析] 函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ?kx 2+4kx +3>0恒成立，当k=0时，3>0恒成立；当???<-=?>0 121602 k k k 时，即43 0< 27．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题： ①函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同； ②函数3x y =和x y 3=的值域相同； ③函数1 21 21-+=x y 与x x x y 2)21(2?+=都是奇函数； ④函数2 )1(-=x y 与1 2 -=x y 在区间),0[+∞上都是增函数。 其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） ①、③；[解析] 在①中，函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域都是R ， 则结论正确；在②中，函数3x y =的值域为R ，x y 3=的值域为+ R ，则结论错误；在③中，函数1 2121-+= x y 与x x x y 2 )21(2?+=都是奇函数，则结论正确；在④中，函数2)1(-=x y 在),1[+∞上是增函数，12-=x y 在R 上是增函数，则结论错误。 [考点透析]综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容。 28．（2008江苏连云港模拟，5分）直线a x =（0>a ）与函数x y ??? ??=31、x y ?? ? ??=21、x y 2=、x y 10=的图 像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是________。 D 、C 、B 、A ；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D 、C 、B 、A 。 [考点透析]结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题。 29．（2008宁夏银行模拟理，5分）若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1|| 1|5425有实根，则实数m 的取值范围是________。 {m|4-≥m }；[解析] 令| 1|5 +-=x y ，则有10≤ 1|5425 得042=--m y y ，根据 题意，由于042 =--m y y 有实根，则0)(4)4(2 ≥---=?m ，解得4-≥m 。 [考点透析]通过换元，把指数方程转化为一元二次方程来分析求解，关键要注意换元中对应的参数y 的取值范围，为求解其他参数问题作好铺垫。 30．（2008海南大联考模拟文、理）已知lgx+lgy=2lg （x －2y ），求y x 2 log 的值。 [分析] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x >0，y >0，x －2y >0这些条件成立。假如x=y ，则有x －2y=－x <0，这与对数的定义不符，从而导致多解。 [解析] 因为lgx+lgy=2lg （x －2y ），所以xy=（x －2y ）2， 即x 2－5xy+4y 2=0，所以（x －y ）（x －4y ）=0，解得x=y 或x=4y ， 又因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x=y 不符合条件，应舍去， 所以 y x =4，即y x 2 log =4log 2 =4。 [考点透析] 在对数式log a N 中，必须满足a >0，a ≠1且N >0这几个条件。在解决对数问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解。 31．（2008宁夏大联考模拟理）根据函数|12|-=x y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x =-|12|无解？有一解？有两解？ [分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程m x =-|12|的解的个数转化为两个函数|12|-=x y 与m y =的图象交点个数去理解。 [解析] 函数|12|-=x y 的图象可由指数函数x y 2=的图象先向下平移一个单位，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴对称图形，如下图所示， 函数m y =的图象是与x 轴平行的直线， 观察两图象的关系可知： 当0 =-|12|无解； 当0=m 或1≥m 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程m x =-|12|有一解； 当10< =-|12|有两解． [考点透析]由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键． 32．（2008山东淄博模拟理）已知1x 是方程xlgx=2008的根，2x 是方程x ·10x =2008的根，求12x x 的值． [分析] 观察此题，易看到题中存在lg x 和10x ，从而联想到函数1y gx =与10x y =．而1x 可以看成1y gx =和 x y 2008= 交点的横坐标，同样2x 可看成10x y =和x y 2008=交点的横坐标，若利用函数1y gx =与10x y =的对称性，此题便迎刃而解了． [解析] 令1a y gx =，x y b 2008 = ，设其交点坐标为11(,)x y ， 同样令10x c y =，它与x y b 2008=的交点的横坐标为22(,)x y ， 由于反比例函数关于直线y x =对称，则有11(,)x y 和22(,)x y 关于直线y x =对称， 点11(,)x y 即点12(,)x x 应该在函数x y b 2008 = 上，所以有12x x =2008． [考点透析] 中学数学未要求掌握超越方程的求解，故解题中方程是不可能的．而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了，否则此题是一个典型的难题．以上求解过程不能算此题超纲． 33．（2008山东泰安模拟文、理）已知实数a 、b 、c 满足2b=a+c ，且满足2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1），同时a+b+c=15，求实数a 、b 、c 的值。 [分析] 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取算术平方根，那么往往会出现漏解。 [解析] 因为2b=a+c ，a+b+c=15，所以3b=15，即b=5， 由于2b=a+c=10，则可设a=5－d ，c=5+d ， 因为2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1）， 所以2lg4=lg （6－d ）+lg （4+d ），即16=25－（d －1）2，则有（d －1）2=9， 所以d －1=±3，则d=4或d=－2， 所以实数a 、b 、c 的值分别为1，5，9或7，5，3。 [考点透析] 在一些实际运算中，要注意运算时所满足的条件，利用正确的公式加以变形求解。特别对于对数运算、无理式的运算等，最终结果要进行必要的验证，否则容易出现增、减根。还要注意对数的运算法则等相关知识，否则容易导致出错。 34．（2008江苏苏州模拟）已知x x x f a -+=11log )()1,0(≠>a a 。 （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围。 [分析] 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 [解析] （1） 011>-+x x ，即01 1 <-+x x ，等价于0)1)(1(<-+x x ，得11<<-x ， 所以)(x f 的定义域是)1,1(-； （2）x x x x x f x f a a +-+-+=-+11log 11log )()(=1log a =0， 所以)()(x f x f -=-，即)(x f 为奇函数； （3）由0)(>x f ，得011log >-+x x a ， 当1>a 时，有 111>-+x x ，解得10< x ，解得01<<-x ； 故当1>a 时，)1,0(∈x ；当10< [考点透析]主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。 35．（2008江苏盐城模拟，12分）已知函数x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=。 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)2(f 的值；（3）解方程)2()(f x f =。 [分析]通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值及方程。 [解析] （1）由于x x f x f 2lo g )1(1)(?+=， 上式中，以 x 1代x 可得：x x f x f 1log )(1)1(2?+=，则有x x f x f 2log )(1)1 (?-=， 把x x f x f 2log )(1)1(?-=代入x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=可得： x x x f x f 22log ]log )(1[1)(??-+=，解得x x x f 2 22log 1log 1)(++= ； （2）由（1）得x x x f 2 22log 1log 1)(++= ，则12 log 12log 1)2(2 22=++= f ； （3）由（1）得x x x f 222log 1log 1)(++=，则（2）得1)2(=f ， 则有1)2(log 1log 1)(2 22==++= f x x x f ，即x x 2 22log 1log 1+=+， 解得0log 2=x 或1log 2=x ，所以原方程的解为：1=x 或2=x 。 [考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式，要合理选取比较适合的方法加以分析处理，关键是要结合抽象函数关系式的特征，这里用到的是以 x 1 代x 的方式来达到求解函数解析式的目的。 36．（2008广东广州模拟理，12分）已知函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）。 （1）求)(x f 的定义域、值域；（2）判断)(x f 的单调性； （3）解不等式)()2(21 x f x f >--。 [分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综 合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 [解析] （1）要使函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）有意义，则需要满足0>-x a a ， 即a a x <，又1>a ，解得1 又1log )(log =<-a a a a x a ，即1)( （2）令x a a -=μ，由于1>a ，则x a a -=μ在)1,(-∞上是减函数， 又μa y log =是增函数，所以函数)(log )(x a a a x f -=在)1,(-∞上是减函数； （3）设)(log x a a a y -=，则x y a a a -=，所以y x a a a -=，即)(log y a a a x -=， 所以函数)(x f 的反函数为)(log )(1 x a a a x f -=-， 由于)()2(21 x f x f >--，得)(log )(log 2 2 x a x a a a a a ->--， 由于1>a ，则x x a a a a ->--2 2，即x x a a <-2 2 ， 所以x x <-22 ，解得21<<-x ， 而函数)(x f 的定义域为)1,(-∞，故原不等式的解集为}11|{<<-x x 。 [考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 第8课 幂函数、指数函数及其性质 【考点导读】 1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3 y x =，1 y x =，1 2y x =的图像了解它们 的变化情况； 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1 (,]2 -∞-；值域1 4(0,0.3]． 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数，则实数a 的取值1 2 -． 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2 ． 【范例解析】 例1.比较各组值的大小： （1）0.2 0.4 ，0.20.2 ，0.2 2 ， 1.6 2； （2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<； （3）131()2，1 21 ()3 ． 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1） 0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<． （2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>． （3）111 32 2111()()()223 >>． 点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注 意通过0，1等数进行间接分类． 例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值； 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。 ? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 (一)指数函数的定义 一般地，函数y =a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 指数运算和指数函数 1. 根式的性质 (1)正整数指数捋：a n = g ?a ? a ............. c i(n G N*) s --------- v -------- ' n ⑵零指数幕=1(GH 0) (3)负整数指数幕a'p =厶@北0.〃丘N*) a p m __ (4) 正分数指数幕 a n 二“> 0,加,” w N*,口〃 > 1) -- 1 (5) 负分数指数幕 a n =一丁(a >0,ww N*,月力>1) a" (6) 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕无意义 3. 有理指数幕的运算性质 (3) (ab)r = a r a s ,(a > 0,& > 0, r G Q) 4.指数函数定义：函数y = a x (a>0^a^l)叫做指数函数。 5.指数函数的图象和性质 y = a x 0 < c? < 1 日> 1 图 象 V y 二 a% 1 (0,1) y y=i y=a x 丿 y-i (0,1) X x 性 质 定义域 R 值域 (0 , +8) 定点 过定点(0, 1),即* = 0时，y - 1 (1) 自〉1,当 x > 0 时，y > 1；当力 V 0 时，0 v y < L (2) 0 < < 1,当 x>0 吋，0 < y < 1；当 xvO 时，y>l 。 单调性 在斤上是减函数 在斤上是增函数 对称性 y = a x 和y = a~x 关于y 轴对称 ?指数函数定义 (1)当n 为奇数时，有”泗=a d,(d > 0) 一 (3)负数没有偶次方根 2.幕的有关概念 (4)零的任何止次方根都是零 (1) a r ? a s = a r+5,(a > 0,r,5G Q) ⑵(N )' = a rs , (a > 0,r,5G Q) (2)当n 为偶数时, 提高篇 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数 姓名： 学校： 指数函数 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． (4)正分数指数幂：m n a ＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)； (5)负分数指数幂：m n a ＝_____＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)； (6)0的正分数指数幂等于_____,0的负分数指数幂___________． 指数函数的图象和性质 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1) 图象 0＜a ＜1a ＞1 图象 特征 在x 轴______，过定点_____ 1.函数y ＝0.3|x |(x ∈R)的值域是 A ．R ＋ B ．{y |y ≤1} C ．{y |y ≥1} D ．{y |0＜y ≤1} 2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 A ．a ＞1，b ＜0 B ．a ＞1，b ＞0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 3.．函数y ＝32x －1－127 的定义域是________． 4.(2013·泰安模拟)已知实数a ，b 满足等式2a ＝3b ，给出下列五个关系式中：①00且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 6. ．若函数f (x )＝a |x －1|(a >0，a ≠1)满足f (3)＝19 ，则函数f (x )的单调递增区间为________． 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 第五节指数与指数函数 【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 1 2 ， 1 3 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)( n a)n＝a． (2)当n为奇数时， n a n＝a． (3)当n为偶数时， n a n＝|a|＝ ?? ? ??a （a≥0） －a （a＜0） . (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n＝ n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域R 值域(0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1 2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案：B 3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0) 解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)． 答案：A 4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
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