成都石室中学2020届一诊考试-理科数学详细解答

成都石室中学2020届一诊考试-理科数学参考答案

1.已知集合{}|1A x N x =∈>，{}|5B x x =<，则A B =I （A ）{}|15x x <<（B ）{}|1x x >（C ）{}2,3,4（D ）{}1,2,3,4,5 答案：C 【解析】：{}{}|152,3,4A B x N X =∈<<=I

故选C

2.设i 为虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭．．复数为 （A ）1i -（B ）1i --（C ）1i -+（D ）1i + 答案：D

【解析】：11

11

i i z i i +-===--Q 1z i ∴=+

故选D

3.若等边ABC ?的边长为4，则AB AC ?=uu u r uuu r

（A ）8（B ）8-（C ）D ）- 答案：A

【解析】：0

0160cos604482

BAC AB AC AB AC ∠=∴==??=u u u r u u u r u u u r u u u r Q g

故选A

4.在()()6

21x x y --的展开式中33

x y 的系数为

（A ）50（B ）20（C ）15（D ）20- 答案：B

【解析】：()()()()666212x x y x x y x y --=---，只有()6

x y --才存在33

x y 项，故为

33336()20C x y x y

--= 故选B

5.若等比数列{}n a 满足：1531231,4,7a a a a a a ==++=，则该数列的公比为 （A ）2-（B ）2（C ）2±（D ）1

2

答案：B 【解析】：

253342a q a a q ==∴=±

当2q =时，212317a a a q q ++=++=成立； 当2q =-时，212313a a a q q ++=++=不成立； 故选B

6.若实数,a b 满足a b >，则

（A ）e e a b >（B ）sin sin a b >（C ）11e e e e a b

a b

+>+

（D ）))a b > 答案：C

【解析】：21e e -

()x x f x e e

=+为偶函数，且当(0,)x ∈+∞时，单

调递增，故C 正确 故选C

7.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2A A A B ==

，点,E F 分别为棱11,BB CC 上两点，且1111

,42

BE BB CF CC ==，则

（A ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 异面（B ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 相交

（C ）1D E AF =，且直线1,D E AF 异面（D ）1D E AF =，且直线1,D E AF 相交 答案：A

【解析】：11D E AF D E Q ，取点M 为的中点，1//AD MF 故

AEFD 1共面，点E 在面AEFD 1面外，故直线1,D E AF 异面 故选A

8.设函数()2

19ln 2

f x x a x =

-，若()f x 在点(3,(3))f 的切线与x 轴平行，且在区间[]1,1m m -+上单调递减，则实数m 的取值范围是

（A ）2m ≤（B ）4m ≥（C ）12m <≤（D ）03m <≤ 答案：C

【解析】9'(),'(3)0,1a

f x x f a x

=-

=∴=，

因为0x >，所以当03x <<时，'()0f x <，即()f x 在(0,3]上递减，所以01

13

m m <-??+≤?，12m <≤．故选C ．

9.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先

到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为3

5

，则在比分为20：

20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为

（A ）18（B ）320（C ）950（D ）720

答案：B

【解析】：由题意知：接下来4个球为甲“赢输赢赢”或“输赢赢赢”，故概率为

1131131132252252220

P =???+???=

故选B 10.函数11

()e x f x x

-=

-的图象大致为

（A ）（B ）（C ）（D ） 答案：D

【解析】：11

10()0x x x e x e x e x f x --≥+∴≥∴-≥∴> 故选D

11.设圆C ：22

230x y x +--=，若等边PAB ?的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为

（A B ）C ）4（D ） 答案：C 【解析】：连接AC ，BC ，设CAB θ∠=，连接PC 与AB 交于点D ，AC BC =∵，PAB △是等边三角形，∴D 是AB 的中点，PC AB ⊥∴，∴在圆C ：22(1)(2)4x y -+-=中，圆C 的半径为2，

||4cos AB θ=，||2sin CD θ=，∴在等边PAB △中，|||PD AB θ=

=，

||||||PC CD PD =+∴2sin θθ=+π4sin 43θ?

?=+ ??

?≤

故选C

12.设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论：

○

1()f x 是偶函数；○2()f x 的最小正周期为π；

○

3()f x 的最小值为0；○4()f x 在[0,2]π上有3个零点. 其中所有正确结论的编号是

（A ）○

1○2（B ）○1○2○3（C ）○1○3○4（D ）○2○3○4 答案：B

【解析】：()cos(|2|)|sin()|()f x x x f x -=-+-=故○1正确； ()cos(|2|)|sin()|()f x πx πx πf x +=+++=故○

2正确； 213

()12sin |sin |2(|sin |)44

f x x x x =-+=--+

又0|sin |1x ≤≤，∴当|sin |1x =时，min 0y =

故选B

13.若等差数列{}n a 满足：1231,5a a a =+=，则n a =．

答案：n 【解析】：1231,1125a a a d d =+=+++=1n d a n ∴=∴=

14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为． 答案：0.4 【解析】：不买猪肉的30人，不买肉的10人，故买了猪肉的70人，猪肉和其它肉都买的30人，故只有买猪肉的40人，所以答案为0.4

15.已知双曲线22

:13

y C x -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于,A B 两点，

若1210,F B F B F A AB λ?==uuu r uuu r uuu r uu u r

，则λ=． 答案：1 【解析】：O Q 为12F F 的中点，2BO c OF ==，0260BOF ∠=，2BF O ∴?为等边三角形，故0260BF O ∠=所以2//F B OA A ∴为1F B 的中点，即1λ=

16.若函数()()()2

e 121x

a x f x x a x a x ?-

≥?

??恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．

答案：1

[,1)

{2}[,)2

e +∞

【解析】：当0a ≤时,不满足题意.

当02a <<时,要使函数函数()f x 恰有2个零点,即2

1

12

12e a a a a

->??

≤

当2a >时,2

24a a >>, 要使函数函数()f x 恰有2个零点,即0e a -≤.所以a e ≥. 综上所述：实数a 的取值范围是1[,1)

{2}[,)2

e +∞.

17.（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册

位进行统计, 得到统计数

（Ⅰ）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润； （Ⅱ）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元, 求X 的分布列和数学期望()E X .

解：（1）Q 第一次消费为200元，利润为50元；第二次消费190元，利润为40元 ∴两次消费的平均利润为45元… … … …… … …… …… … … … … … … … … ...4分 （2）若该会员消费1次，则50X =

(50)0.6P X ==… … … …… … …… …… … … … … … … … … ...5分

若该会员消费2次，则5040

452

X +==

(45)0.2P X ==… … … …… … …… …… … … … … … ………… … ...6分

若该会员消费3次，则504030

403

X ++==

(40)0.1P X ==… … … …… … …… …… … … … … … … ………… ...7分

若该会员消费4次，则50403020

354

X +++==

(35)0.05P X ==

若该会员消费5次，则5040302010

305

X ++++==

(30)0.05P X ==… … … …… … …… …… … … … … … … …… … ...8分

X 的期望为500.6450.2400.1350.05300.0546.25EX =?+?+?+?+?=（元）… … ...12分

18.（12分）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设2)cos 22

B A

C +=． （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ?的周长为8，求ABC ?的面积的取值范围.

（1）解：Q 2)cos 2

B

A C +=且sin()sin A C

B +=

22sin cos cos 222B B B B =又022B π<cos 22B B =

tan 2B ∴=26B π∴=3

B π

∴=sin B ∴… … … … … ……………………………… ...6分 （2）由题意知：8()b a c =-+

2226416()21

cos 222

a c

b a

c ac B ac ac +--++-∴===

36416()64ac a c ∴=-++≥-+3640ac ∴-≥8)0∴≥

8

38（舍）64

9

ac ∴≤1sin 2ABC S ac B ?∴==≤

（当a c =时取""=）

综上，ABC ?的面积的取值范围为… … ……………… … … ...12分

19.（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且0

60ADC ∠=，

11AA CD ==1AD =

（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角1D AD C --的余弦值.

（1）令CD 的中点为O ，连接1,,OA OD AC

112AA CD DC ==Q 1D O DC ∴⊥

且12D O ==

又Q 底面ABCD 为边长为2的菱形，且060ADC ∠

=AO ∴=

又1AD =Q 22211AD D O AO ∴=+1D O OA ∴⊥ 又,,OA DC ABCD OA DC O ??=Q 1D O ABCD ∴⊥ 又11D O CDD ?Q 1CDD ABCD ∴⊥… … … … … … ...6分 （2）过O 作直线OH AD ⊥于H ，连接1D H 1D O ABCD ⊥Q 1D O AD ∴⊥1AD OHD ∴⊥1AD HD ∴⊥ 1D HO ∴∠为二面角1D AD C --所成的平面角

又01,60OD ODA =∠=

Q OH ∴

1D H

=1cos OHD ∴∠=

...12分

20.（12分）设椭圆22

:182

x y C +=，过点(21)A ，的直线,AP AQ 分别交C 于不同的两点,P Q ，直线PQ 恒过点(4,0)B ．

（Ⅰ）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为定值；

（Ⅱ）直线,AP AQ 分别与x 轴相交于,M N 两点,在x 轴上是否存在定点G ,使得GM GN ?为定值？若

存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由．

解：（Ⅰ）设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ，直线PQ 、AP 、AQ 的斜率分别为12,,k k k ，

由()22448

y k x x y =-???+=??得()

222214326480k x k x k +-+-=… … … ...2分

0?>，可得：21

4

k <，21223214k x x k +=+，212

264814k x x k -=+， ()()12121212124141

112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+

----()()()12121212261164

24

kx x k x x k x x x x -++++=

-++… …… …… … … … … … … …………… ...4分 ()2222222222

648322611641641414164832164

241414k k k k k k k k k k k k k

-?-+?++-+++===----?+++… … … … … … … ...6分

（Ⅱ）由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即112,0M k ??

- ??

?

同理4212x k =-

，即212,0N k ??

- ??

?，设x 轴上存在定点0(,0)G x 则… … …… … ……8分 2000012121211111

22(2)(2)()GM GN x x x x k k k k k k ?????=--?--=-+-?++ ? ????

?

2120012121

(2)(2)()k k x x k k k k +=-+-?+… …… …… … … … … … ……… … ...10分 2001212

11(2)(2)(

)x x k k k k -=-+-?+,要使GM GN ?为定值,即0021,3x x -== 故x 轴上存在定点(3,0)G 使CM CN ?为定值,该定值为1.… …… … … … … …12分

21.（12分）设函数2()sin f x x x =-π，[0,]2

x π

∈，22()cos (),()22x m g x x x m R π=++-∈π． （Ⅰ）证明：()0f x ≤；

（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，不等式()4

g x π

≥恒成立，求m 的取值范围.

解：（Ⅰ）'

2

()cos f x x π=

-在[0,]2x π∈上单调递增,'22

()[1,]f x ππ

∈-, 所以存在唯一'00(0,),()02

x f x π

∈=.当'0(0,),()0,()x x f x f x ∈<递减；

当'0(,

),()0,()2

x x f x f x π

∈>递增.

所以max ()max{(0),()}0,()0,02

2

f x f f f x x ππ

==∴≤≤≤

… …… …… … … ...4分

（Ⅱ）'

''22

()sin (),()cos .2x

g x x m x g x x m πππ

=

-+-=-+… ……… … … …...5分 当0m ≥时,'

()0,()g x g x ≤∴在[0,

]2

x π

∈上单调递减, min ()()24

g x g ππ

∴==,满足题意.… …… … … … …… …… …… … … … ...6分

当20m π-<<时，''

()g x 在[0,]2x π∈上单调递增.''''22(0)=10,()02g m g m πππ

-+<=+>,

所以存在唯一''11(0,

),()02

x g x π

∈=.

当'''

1(0,),()0,()x x g x g x ∈<递减；当'''1(,

),()0,()2

x x g x g x π

∈>递增.… …...8分

而'

'(0)0,()0.22g m g π

π=-

>=所以存在唯一'22(0,),()02

x g x π

∈=. 当'

2(0,),()0,()x x g x g x ∈>递增；当'2(,

),()0,()2

x x g x g x π

∈<递减.

要02x π≤≤时,()4g x π≥恒成立,即2(0)284()24

g m g π

ππππ?

≥?-??≥??

≥??所以2280m ππ-≤< ...10分 当2

m π

≤-

时,''

()0g x ≤,当'[0,

],()2x g x π

∈递减,'()02

g π

=,'()0g x ≥, ()g x ∴在[0,]2x π∈递增.()()24

g x g ππ

∴≤=与题意矛盾. …… … … …………… ...11分

综上：m 的取值范围为2

28

[,)ππ

-+∞ …… … … ……………………………………...12分

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy

中，直线cos :sin x t l y t α

α?=??=??（t 为参数）与曲线2

2:2x m C y m

?=?=?（m 为参数）相交于不同

的两点,A B ． （Ⅰ）当4

απ

=

时,求直线l 与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若2MA MB MA MB =-,

其中M ,求直线l 的倾斜角． 解：（Ⅰ）当4

π

α=

时直线l 的普通方程为

:y x =-;曲线C 的普通方程为22y x =；… ...4分

（Ⅱ）将直线cos :sin x t l y t αα

?=??=??代入22y x =

得22

sin 2cos 0t t αα?-?-=

221212

222cos 4cos 0,,sin sin t t t t ααααα

-?=+>+=

=

12122

2cos 222,cos sin MA MB MA MB t t t t ααα=-?+?∴||=||||| 所以直线l 的倾斜角为

6

π或56π

. … … … … …… … … …… … … …… … … ...10分

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()11f x x ax =++-.

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；

（Ⅱ）当1x ≥时，不等式()3f x x b ≤+成立，证明：0a b +≥.

（1）解：当1a =时()1|1|f x x x =++-

若1x ≥则()24f x x =≤12x ∴≤≤ 若11x -<<则()24f x =<成立

若1x ≤-则()24f x x =-≤2x ∴≥-21x ∴-≤≤-

综上，不等式的解集为{}|22x x -≤≤… …… …… … … … … … … … … ...5分 （2）当1x ≥时113x ax x b ++-≤+121ax x b ∴-≤+-21121x b ax x b ∴--+≤-≤+- (2)2(2)a x b a b +≥-?∴?

-≤?20222020a a b

a a

b +≥??+≥-??∴-≤??--≤?

??

2202a a b a b -≤≤??∴+≥??-≤?22

022

a a

b a b a -≤≤??

∴+≥??+≥-?0a b ∴+≥ ...10分