三维线性变换及其应用
三维线性变换
陈祥科
1、线性空间 (2)
1.1、线性空间的代数定义 (2)
1.2 线性空间的基和维度 (2)
2、线性变换 (2)
2.1、变换的定义 (2)
2.2、线性变换的定义 (2)
2.3线性变换的性质 (3)
2.4、线性变换下的坐标变换 (3)
2.5、线性变换的矩阵表示： (3)
3、三维图形的几何变换 (4)
3.1平移变换 (5)
3.2缩放变换 (5)
3.3绕坐标轴的旋转变换 (5)
3.4绕任意轴的旋转变换 (6)
4、三维线性变换的应用实例 (7)
4.1 三维图形变换理论 (7)
4.1.1 三维图形的几何变换 (7)
4.1.2 组合三维几何变换 (8)
4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 (9)
4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 (9)
4.2 叉车稳定性试验的仿真 (10)
4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 (10)
4.2.2 横向稳定性试验的仿真 (11)
4.3 结论 (12)
1、线性空间
1.1、 线性空间的代数定义
一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。
1.2 线性空间的基和维度
对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。显然，三维空间的基有3个元素组成。三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。
2、线性变换
2.1、变换的定义
变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式
β=T(α)
称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。
2.2、线性变换的定义
R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足
()()()()()
a k ka
b a b a σσσσσ=+=+ 其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式：
)()()(βσασβασl k l k +=+ F l k R ∈∈?,,,βα
2.3线性变换的性质
如果线性空间R上的一个线性变换σ，σ有如下性质
σ(a)=a，称σ为线性恒等变换
σ(a)=0，称σ为线性零变换
σ的象集是R的一个子集，称为象空间，也就是说是R的一个线性子空间。
线性变换的基本性质
σ(0)=0,σ(-a)=-σ(a)
线性变换不改变线性组合和线性关系
线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
由第一条性质可以看出，线性变换将零向量依然变成零向量，所以平移变换（即向量的位置发生变化）不是线性变换（这也是计算机图形为何要引入仿射变换的目的，仿射变换是线性变换的超集）。性质2和下面这种描述是等价的：
如果σ是线性空间R上的一个线性变换，那么σ满足：如果β是(α1,α2..αn)的线性组合，那么σ(β)依然是(σ(α1),σ(α2)..σ(αn))的线性组合。
性质3指出线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组，但线性变换不一定可以把线性无关的向量组变为线性无关的向量组，例如上面所说的线性零变换，即线性变换可能将一个向量变为零向量，而包含零向量的向量组必定线性相关。
2.4、线性变换下的坐标变换
R是数域F上的线性空间，σ是R某一组基X下的线性变换，其矩阵为A，v是R中的任意向量，v在基X 下的坐标为(x1,x2..xn)T，v经过线性变换σ的坐标为(y1,y2..yn)T，那么有
（y1,y2..yn)T=A(x1,x2..xn)T
或用行向量表示为
（y1,y2..yn)=(x1,x2..xn)AT
也就是说，线性变换σ对于R中任意向量v的效果等同于σ的矩阵与v的乘积。上面这个公式称为线性变换下的坐标变换公式，证明方法与基变换下的坐标变换公式类似。
线性变换下的坐标变换公式是向量空间中对向量进行线性变换变换的基本方法，基本的线性变换有旋转、缩放、镜像（也称反射）、切变等，对于旋转，由于线性变换不会发生平移，所以在三维空间中是绕过原点的直线旋转，这些线性变换都是可逆的。有一种特殊的线性变换-正交投影，投影是降维变换，例如三维到二维的投影，由于变换丢失了一维的信息，所以正交投影是不可逆的，即正交投影的线性变换矩阵的行列式为0。
2.5、线性变换的矩阵表示：
线性变换矩阵的定义
设{α1，α2，…，αn}是数域F上的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)．
基向量的象可由基线性表示：
???????+?++=????+?++=+?++=n nn n n n n n n n a a a a a a a a a αααασαααασαααασ22112222112212211111)()()(
我们把（1）写成矩阵等式的形式(σ(α1), σ(α2), …, σ(αn)) =(α1, α2, …, αn) A
其中A 为： ?????
???????????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211M M M 矩阵A 称为线性变换σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩阵．
3、三维图形的几何变换
由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：
其中??????????333231232221
131211
a a a a a a a a a 产生缩放、旋转、错切等变换；????
??????342414a a a 产生平移变换，[]434241
a a a 产生投影变换，[]44a 产生整体缩放变换。
3.1平移变换
参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵：
3.2缩放变换
直接考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换，其步骤为：
A. 将平移到坐标原点处；
B. 进行缩放变换；
C. 将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置
则变换矩阵为：
3.3绕坐标轴的旋转变换
三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q 角的变换：
A.绕x轴旋转
B.绕y轴旋转
C.绕z 轴旋转
三维空间的平移、旋转及缩放示意图
3.4绕任意轴的旋转变换
设旋转轴AB 由任意一点A （xa ，ya ，za ）及其方向数(a ，b ，c)定义，空间一点),,
(p p p z y x P 绕AB 轴旋转角 到)',','('p p p z y x p 则
可以通过下列步骤来实现P 点的旋转：
A. 将A 点移到坐标原点。
B. 使AB 分别绕X 轴、Y 轴旋转适当角度与Z 轴重合。
C ．将AB 轴绕Z 轴旋转θ角。
D.作上述变换的逆操作，使AB 回到原来位置。
所以
),,()()()()()(),,()(11
1a a a x y z y x a a a ab z y x T R R R R a R z y x T R αβθβθ---=
其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移，选择矩阵，而
βα,分别是AB 在YOZ 平面与XOZ 平面的投影与Z
轴的夹角。 4、三维线性变换的应用实例
基于三维可视化技术仿真叉车稳定性试验
以平衡重式叉车为例，基于三维图形变换理论和可视化技术，采用Visual C++编程实现了4种工况下叉车稳定性试验的仿真．这种仿真能对稳定性试验进行可视化显示，通过调整设计参数的值，能更好地控制叉车的稳定性，从而在设计阶段就能验证叉车的稳定性、提高叉车的设计质量并节约成本．
平衡重式叉车的荷载位于车轮支撑平面之外，在装卸搬运作业中有倾翻的危险．因此，不仅要在产品阶段进行稳定性试验，还应该在设计中进行稳定性计算．叉车稳定性的计算公式是依据稳定性试验的规定和平衡重式叉车轴载的基本假设推导出来的，而稳定性试验中规定的门架全后倾的工况破坏了叉车满载时轴载的基本假设_1]，导致稳定性的计算公式不够准确．一旦叉车通不过稳定性试验，就会造成不必要的经济损失．如果能通过软件对叉车稳定性进行虚拟试验，那么就能在一定程度上弥补稳定性计算公式不准确性带来的影响，并且可以提前验证叉车稳定性，从而减少真实实验造成的经济损失．而目前还没有现成的软件可以仿真叉车稳定性试验．于是，基于Visual C++编程实现叉车稳定性试验的仿真是十分必要的．叉车稳定性试验的原理是利用倾斜平台上重力的分力模拟实际工作中的水平力，试验中均采用倾斜平台的翻倒坡度来衡量叉车的稳定性，在几何意义上就是验证当倾斜平台的翻倒坡度等于倾斜度指标时，叉车的联合重心线是否超出叉车的支撑平面．以纵向动稳定试验为例来说明稳定性试验的过程．该实验规定：工况为门架全后倾，前轴与倾翻平台轴线平行，额定荷载，起升300 mm ，倾斜度指标是18％，模拟满载运行制动口]．其实验过程：①额定荷载q 垂直起升300 mm 高度．② 门架绕前轴中心旋转到全后倾的位置．③整台叉车绕倾斜平台轴线旋转到倾斜度指标，验证叉车是否倾翻．分析该实验过程，不难发现稳定性实验中货物的起升和门架的后倾，以及倾斜平台的倾翻运动，可以看成是一系列的平移、旋转运动的组合．
由此可将稳定性试验看作是1个三维空间的几何变换问题．从而建立叉车和倾斜平台的三维简化模型，利用三维图形的几何变换实现稳定性试验中的平移和旋转运动，基于三维图形的投影变换和可视化技术，通过Visual C++编程可将稳定性试验的过程动态地显示在计算机屏幕上．
4.1 三维图形变换理论
4.1.1 三维图形的几何变换
几何变换是指应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作．三维图形的几何变换也称三维几何变换，是几何变换在三维空间的应用．由于几何变换可以用紧凑的矩阵形式表达，这不仅使得平移、缩放、旋转等变换变得更加容易，还使得一系列的几何变换可以很容易地结合起来构成1个新的变换．三维几何变换均可以用1个4×4的变换矩阵
T描述，其变换矩阵为
式中：a，b，C，P，d，e，f，q，g，h，i，，￡，m，，8为矩阵T的元素
式(1)可从功能上分为以下部分：
(1)3×3子阵，，可以产生比例、旋转、错切及对称等变换．
(2)1×3行阵[l，m，n]可以产生沿X，Y，Z轴的平移变换．
(3)3×1列阵可以产生透视变换
(4)元素8产生整体的比例变换
4.1.2 组合三维几何变换
4.2.1.1初等三维变换
式(1)是1个十分有用的变换矩阵，它可以描述三维空问的各种变换，但直接使用却十分困难．不如先分析平移、缩放、旋转等初等三维变换矩阵．对初等三维变换矩阵进行组合，就得到了组合三维变换矩阵，从而实现一般性的三维几何变换．下面是几个重要的初等三维变换矩阵：
式中：P为平移矩阵，矩阵中l，m，n分别为沿x ，y，z 轴的平移量；矩阵分别为绕
x，y，z 轴的旋转，其旋转角度为
，这里规定角度逆时针为正；c=COS a；s=sin a．
4.1.2.2 组合三维几何变换
三维几何变换可以任意组合，并且表示总变换的矩阵可以是每个初等三维矩阵乘积的形式．任意数目的几何变换都能以这种方式组合在一起并产生1个表示总变换的矩阵T，它由n个独立变换矩阵T ，T1,T2…Tn相乘得到，T=T1*T2…Tn （3）
4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导
采用组合三维几何变换能实现组合旋转，能执行一系列的绕x,y,z轴的旋转．通过组合这3个初等变换就能得到1个总旋转矩阵，由下式给出：
式中分别为绕 x,y,z轴的旋转矩阵；角度
3
,2
,1α
α
α
，。常被称为欧拉角．由欧拉定理可知，任何
三维旋转都能通过绕 x,y,z 轴的3个基本旋转得到．下面以组合旋转的方式来构建绕经过原点的任意轴的旋转．如图1所示，将这个看似复杂的旋转分解为一系列熟悉的初等三维旋转，按一定的顺序组合起来．操作步骤
如下：①执行2个旋转使得方向向量u和x轴对齐．②执行1个角度为α
的
绕x轴的旋转．③撤销2个对齐旋转，恢复u原来的位置．这就是1个以经典
方式产生的绕经过原点的任意轴的旋转．从本质上看，它就是在二维平面
中围绕某一点旋转的翻版．首先为1个简单的旋转操作做准备，然后执行
这个操作，最后撤销准备工作．它的总变换矩阵为
（5）式(5)只是绕经过原点的任意轴的旋转矩阵，并不是真正意义上的绕任意轴的旋转矩阵．假如该旋转轴不通过原点怎么办?那么就需要对式(5)进行扩展，使其满足一般意义上的绕任意轴旋转．扩展步骤如下：①执行1个平移使旋转轴经过坐标原点．②执行绕经过原点的任意轴的旋转操作．③撤销平移，恢复旋转轴原来的位置．假定该旋转轴过点A(Ax ，Ay ，Az )，方向向量为“(Ux ，Uy ，Uz )，旋转角为a，由此得到总旋转变换矩阵为
将式(6)中P展开可得到Ru(a)的具体表达式为
4.1.4 三维图形的轴侧投影变换
显示器屏幕、图纸等显示设备多数是二维的，如何在二维显示设备中表示三维图形．解决的方法是投影，通过投影变换来表示．平行投影是投影变换的类型之一，能精确地反映物体的实际尺寸．在平行投影中，当投影方向与投影面垂直时，得到的投影为正投影．轴测投影是正投影的1种形式，是指当投影方向不取坐标轴的方向，投影平面不与坐标轴垂直时产生的投影，如图2a所示．其中面ABC是投影平面，e是投影平面的法向量，即投影方向．由此得出，轴测投影变
换的形成过程如下(1)将所需变换的三维图形绕Y轴顺时针旋转yθ
角．
x 角，使法向量e与z轴对齐，如图2b所示．所以，轴测投影变换的一般形式为
(2)然后再绕x轴逆时针旋转
式中：为轴测投影变换矩阵；分别为绕x轴旋转角和绕y轴旋转角的旋转矩阵．令
将式(11)展开，则有：
投影变换的目的是显示图形，即投影变换本
身可以不考虑第三维坐标，但投影变换往往和三．．
维图形处理(例如隐藏线消除等)联系在一起，而
这些图形处理必须有完整的深度信息．因此，
在轴测投影变换矩阵中考虑了第三维坐标(Tz
中第三列元素)．当第三维坐标全部为0时，就表
示三维图形在z=0平面上的投影。
4.2 叉车稳定性试验的仿真
依据叉车稳定性试验的规定，可以将4种工况的叉车稳定性分
为纵向稳定性和横向稳定性2种．然后分别建立2种稳定性试验下
的三维模型，基于三维图形变换理论，采用可视化技术仿真其试
验过程
4.2.1 纵向稳定性试验的仿真
4.2.1.1建立纵向稳定性试验三维模型
验证叉车稳定与否的关键就是看叉车在倾翻过程 q中联合重
心线是否超出叉车的支撑平面．因此，叉车联合重心的位置对稳
定性的影响很大，同时也决定了叉：、、车能否通过稳定性验．了
方便建模，这里主要关心，联合重心这个关键点，用4个轮胎代
表整台叉车的位：置和支撑平面．在如图3所示的坐标系中，基于叉车以 I 及试验平台的基本参数，通过计算各个点的坐标值，从而建立叉车纵向稳定性试验的三维模型．在该模型中，S为联合重心，Q为荷载中心，G为叉车自重重心．S 位于G和Q的连线上，它的位置由G，Q的位置来确定．考虑到门架自重相对于整车的自重较小，也为简化联合重心的计算，这里可以忽略门架后倾对自重重心G产生的影响．在货物起升和门架后倾阶段，Q将上升到一定高度并绕前轮轴线AB旋转，这将使联合重心S分别沿Y轴和轴正方向移动．此外，G的位置也会对S产生影响，尤其是G在高度方向( 轴方向)的变化对S的高度影响很大。在倾斜平台倾翻阶段，Q，S和G同时绕轴顺时针旋转，联合重心线将逐渐靠近叉车支撑平面的边缘．
4.2.1.2采用三维几何变换仿真试验过程
首先，荷载中心Q沿y 轴方向平移到指定高度，这是稳定性试验荷载起升高度的要求，可用平移矩阵P实现．其次，荷载中心Q绕轴AB逆时针旋转，这是叉车稳定性试验中门架全后倾的影响．由于纵向稳定性试验的模型已经建立，所以
轴AB的方向向量U，以及点A 的坐标都是已知的．将其代入式(7)～(10)，可求得该旋转矩阵
)
(α
μ
R
，从而完成门架的
旋转．最后，整个模型绕x轴顺时针旋转，用来模拟倾斜平台倾斜的过程．这个过程可以用绕轴的旋转矩阵来完成，只
要将矩阵中的换成～a得到所需的旋转矩阵
) (α
μ
-
R
即可．
4.2.1.3基于轴测投影变换显示仿真后的三维模型
基于轴测投影变换，通过Visual C++编程将仿真后的三维模型动态地显示在计算机屏幕上，实现三维可视化设计．这
个过程需要将绕轴的顺时针旋转和轴测投影变换组合使用，得到总变换矩阵S ：
将其展开得：
上式中S就是实现三维可视化技术的联合变换矩阵．利用Visual
C++编程可以实现纵向稳定性试验的可视化设计．图4是纵向稳定
性试验的倾翻模型，通过调整倾斜平台的倾斜度a，来控制纵向的
倾翻过程．当过联合重心S的重力线2与图中的倾翻临界线l重合
时，联合重心线将要超出叉车支撑平面，叉车有倾翻的危险，此
时的倾斜度不能再增大．将其与该工况下的倾斜度指标作比较，
如果大于倾斜度指标，表示稳定，否则就需要调整叉车重心高度、
轴距等设计参数，直到验证合格为止．
4.2.2 横向稳定性试验的仿真
横向稳定试验的仿真步骤与纵向稳定性基本相似．所不同的
是叉车的转向桥是摆动桥，在横向倾翻时就转化为四轮三支点模型，如图5所示，面PMN构成了叉车的支撑平面．横向倾翻过程相当于绕轴沿逆时针方向的旋转．这就造成了联合变换矩阵ls 的不同，它变成了绕轴逆时针旋转和轴测投影变换的组合：
利用Visual C++编程同样可以实现横向稳定性试验的可视化设计，图6为叉车横向稳定性试验的倾翻模型．横向稳定性的验证过程类似于纵向稳定性的验证，这里不再详述．
4.3 结论
通过分析叉车纵向动稳定性试验的过程，发现在稳定性试验当中叉车位置的摆放、门架的起升和后倾，以及倾斜平台的倾翻运动，可以看成是一系列的平移、旋转运动的组合．这是叉车稳定性试验和三维几何变换的内在联系，也是应用三维图形变换理论的前提条件．
为了方便应用三维几何变换，将简化的稳定性试验模型看作是1个点阵，这就把对试验模型的几何变换转化为对点的变换．简化计算，主要关心联合重心这个关键点，此外为了使用者识别方便，通过4个轮胎代表整台叉车的位置和支撑平面．于是，利用三维几何变换矩阵对点阵进行变换，从而完成对叉车稳定性试验三维模型的几何变换，应用轴测投影变换来显示变换后的稳定性试验模型．这是三维可视化技术的核心，也是仿真稳定性试验的关键所在．这种仿真实是以叉车稳定性试验原理为基本依据，以试验的规定为前提条件，基于三维图形的变换理论，利用可视化技术，通过Visual C十+编程将叉车稳定性试验的三维模型动态地显示在了计算机屏幕上．该稳定性试验仿真具有以下优点：
(1)仿真试验中采用了三维可视化技术，通过调整设计参数的值，能边修改边看效果，可以更好地控制叉车的稳定性．
(2)可以在设计阶段验证叉车的稳定性．这就在一定程度上减少了稳定性计算公式不准确性造成的影响，减少真实试验造成的不必要浪费．
(3)与真实试验相比，虚拟试验的操作在计算机上完成，更加快捷，方便．在设计层面上，可以提高叉车产品的安全性、加快叉车产品的开发速度．但是，仿真试验毕竟是虚拟试验，不可能满足真实实验中所有的情况，为了方便叉车稳定性试验的仿真，这里忽略了叉车门架前倾或后倾以及有无驾驶员等因素对叉车联合重心位置产生的影响．可以说，仿真试
验是必要的，因为它在设计中保证了叉车的稳定性，但与真实的试验还有一定的差距，不能用仿真试验取代真实实验
线性变换思想在中学数学中的应用
线性变换思想在中学数学中的应用 摘要：本文首先给出了线性变换的定义以及中学数学中涉及到的几种特殊的线性变换，包括其表达式及特征等。然后介绍了这几种线性变换在中学几何中的意义, 它是普通线性变换的一个自然推广,同时研究了线性变换在几何中的应用。最后,给出了具体实例说明了利用线性变换解决中学中平面几何题的方法以及线性变换思想在中学数学中的影响。 关键词：线性变换中学数学几何应用 随着社会的进步和时代的发展，针对我国中学数学课程现状，制定和实施新 的课程标准势在必行。2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下 简称《标准》)。由参考文献[1]、[2]、[3]、[4]可知： 《标准》规定的课程与以往的课程相比，内容上发生很大的变化，尤其在选修系列中，增加了矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、风险与决策、开关电路与布尔代数等内容，矩阵与变换是选修系列的内容。 矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，认真研究怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，最终用矩阵来表示线性变换可以更有效地学习和运用这部分知识。中学数学引入矩阵初步知识，主要是为表达数据提供新的工具。矩阵作为研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。由矩阵建立的线性变换就是 平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用，用二阶矩阵 a b c d ?? ?? ?? 确定的变换, 就是构造映射,使平面上的点(向量) x y ?? ?? ?? 变成(对应)点(向量)1 1 x y ?? ?? ?? = a b c d ?? ?? ?? x y ?? ?? ?? ,这个映射
空间三位坐标系｜三维空间坐标系变换
1．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( ) A．62 7 B．637 C．647 D．657 2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA A．a+b－c ?a,CB?b,CC1?c，则A1B? ( ) B．a－b+c C．－a+b+c D．－a+b－c3．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角?a,b?为 ( ) A．30°B．45°C．60°D．以上都不对 4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上中线长( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知a?3i?2j?k,b?i?j?2k,则5a与3b的数量积等于( ) A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 6．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA?QB 取得最小值时，点Q的坐标为( )
131123448A．(,,) B．(,,) C．(,,) 243234333D．(447,,)333二、填空题7．若向量a?(4,2,?4),b?(6,?3,2)，则(2a?3b)?(a?2b)?__________________。 8．已知向量a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)，若a?b，则x?______；若a//b则x? ______。已知向量a?(3,5,1)，b?(2,2,3)，c?(4,?1,?3)，则向量2a?3b?4c的坐标为 .14．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点． （1）证明D1F⊥平面AEG； （2）求cos?AE，D1B? 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求BN的长； （2）求cos的值； （3）求证A1B⊥C1M.
浅谈高中数学线性变换的解题技巧
浅谈高中数学线性变换的解题技巧 在新课改之后，要求高中生不仅要学会灵活运用学科基础知识解决问题，还要利用课余时间学习自身兴趣的知识点，使得每个人都能得到全面发展和锻炼。高中线性变换虽然作为选修章节，但是其所蕴含的内容是衔接高中与大学的关键点，掌握线性变换的基础知识也就是提前了解和学习了大学所要接触的高等数学知识模块，即矩阵问题。因此，笔者立足于高中选修的重要知识点——线性变换，先阐述其概念及性质，然后来探究如何巧妙解决高中数学中线性变换的难题，从而为初等数学过渡到高等数学做提前的准备。 标签：数学线性变换解题技巧 一、高中数学线性变换的概述 1.线性变换的概念 线性变换一般是指，在构建的xOy坐标系内，存在至少一个点或多个点的集合A与另一个相对应的至少一个或多个点的集合B两者之间按照一定规则可以相互变换，且不同的点与所转变后的点不相同，即在平面直角坐标系中，把形如进行几何变换，这就叫做线性变换。 2.线性变换的基本性质 线性变换具有三个基本性质，第一个性质是任何向量乘于零都为零，数学表达式为：T（0）=0；第二个性质是任何向量乘于任何一个负向量等于两个向量相乘的负数，数学表达式为：T（-a）=-T（a）；第三个性质是线性变换满足乘法交换律、结合律，即，其中A是一般矩阵，是平面直角坐标系内任意的两个向量，是任意实数。 二、高中数学线性变换的解题技巧 1.数形结合 例1：在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x + y≤1，且x≥0，y≥0}，求平面区域B={（x + y，x - y）|（x，y）∈A}的面積。 解析：本题考察的是线性变换结合不等式的应用难点，解决该问题首先要分析题干信息，根据题目给出的信息列出平面区域A的不等式条件。由于本题平面区域B存在与平面区域A相重合的未知数，因此要假设两个新的未知数替代B的条件，再将新的未知数条件代入A中就能很快确定B的向量表示，最后快速建立平面直角坐标系画出平面区域B的图形就能的出其面积的大小。 设：未知数u=x+y，v=x-y
性常微分方程的保线性变换及其应用
第２２卷第７期２００３年７月 大学 ＣＯＩ，ＬＥＧＥ 物理 ＰＨＹＳＩＣＳ Ｖ０ｌ２２Ｎｏ７ Ｊｕｌｙ２００３线性常微分方程的保线性变换及其应用 柬仁贵１，束萱２，李珍１ （１．东北师范大学物理系，吉林长春１３００２４；２清华大学经管学院．北京１０００８４） 摘要：研究了线性常微分方程的保线性变换，得到任意两个二阶线性常微分方程等价的条件，并用于求解一类二阶线性变系数齐次常微分方程对数学物理方法教学中怎样通过适当的变换把给定的二阶线性变系数齐次常微分方程化为可解的方程给出了合理解释 关键词：二阶线性常微分方程；保线性变换 中圈分类号：ｏ４１ｌ文献标识码：Ａ文章编号：１０００．０７１２（２００３）０７—００１１—０５ ｌ引言 二阶线性常微分方程在物理学及科学技术中有广泛的应用“。２ｏ根据线性常微分方程的一般理论，求任何线性非齐次常微分方程的解都归结为求相应齐次常微分方程的基本解组”…然而，即使对二阶线性变系数常微分方程，至今也没有求出其基本解组的一般方法在通常的高等数学及数理方法教科书中都给出了二阶线性常系数常微分方程及一些特殊函数方程求解方法，如果能够通过适当的变换把一个给定的二阶线性变系数常微分方程化为这些可解的方程，则很容易得出该二阶线性变系数常微分方程的通解问题在于如何知道这个方程能否化为可解的方程并通过怎样的变换才能化为可解的方程 本文基于线性常微分方程的一般特性”Ｊ，研究了常见的保线性变换．得到联系两个二阶线性常微分方程的等价关系，进而导出一个给定的二阶线性变系数常微分方程可化为已知可解的方程的判别式并确定相应的变换这就扩大了二阶线性变系数常微分方程求解的途径，同时可对数学物理方法教材中一些常见的变换“探本求源”，给出合理的解释 ２常见的保线性变换 在常微分方程的一般理论中，线性性质尤为重要能保持微分方程的线性性质的变换统称为保线性变换下面讨论最常见的两种保线性变换 ２．１变换，（ｚ】．“（ｔ）ｅ“”的保线性性质 为确定起见．在以下讨论中规定一般的二阶线性变系数常微分方程的标准方程为 挈岬（ｚ）塞＋Ｑ（ｍ＝０（１）对方程（１）作变换得 ｙ（ｚ）＝“（ｆ）ｅ“”（２）即同时作未知函数的齐次线性变换和自变量的变换，经过通常的微分运算方程（１）可化为未知函数“关于自变量为￡的二阶线性常微分方程： ；（￡）２＋二［塞＋ｚ二（老）２＋Ｐ害］＋“［；（塞）２＋；（睾＋，盎）＋ｉ２（￡）２＋Ｑ］＝。 （３）可见变换（２）能保持微分方程的线性性质，是保线性变换 ２．２二阶线性齐次常微分方程对自变量求ｎ阶导数的线性不变性 为便于讨论，设一般的二阶线性变系数常微分方程为 ｎｏ（ｚ）ｙ”（ｚ）＋ｎｌ（。）Ｊ７（ｚ）＋口２（ｚ）√（Ｔ）＝０（４） 收稿日期：２００２０７１ｓ 基盒项目：东北师范大学“优师工程”资助项目 作者简介：束仁责（１９４３一），男．江苏镇距人，东北师范大学物理系剐教授，硕士，主要从事教学物理研究与教学，数学物理方法课主讲教师
第六章_线性变换_68180769
第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则
cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。
三维坐标系统
三维坐标系统 《几何画板》在实现信息技术与数学课程整合中扮演着越来越重要的角色. 尽管《几何画板》在辅助函数、轨迹、平面几何、平面解析几何教学等方面发挥着重要作用, 但是在服务立体几何以及空间解析几何教学方面的功能却有待进一步开发,本节将通过构造三维直角坐标系统来实现相应功能。 一、左手直角坐标系和右手直角坐标系 通常三维图形应用程序使用两种笛卡尔坐标系：左手系和右手系。在这两种坐标系中，正x 轴指向右面，正y 轴指向上面。通过沿正x 轴方向到正y 轴方向握拳，大姆指的指向就是相应坐标系统的正z 轴的指向。图一显示了这两种坐标系统。 左手直角坐标系 右手直角坐标系 图一 图二 以右手直角坐标系为例，如图二，设M 在面xoy 上的投影为P ，点P 在轴上的投影为 A ，则,,OA x AP y PM z ===，又sin ,cos OP r z r ??==， 因此，点M 的直角坐标与球面坐标的关系为 cos sin cos ,sin sin sin , (02,02)cos x OP r y OP r z r θ?θθ?θθπ?π?==?? ==≤≤≤≤??=? 这样我们就可以利用球面坐标变换公式以及三角函数知识, 构造出空间直角坐标系。 二、构造方法 1．如图三，在单位圆上取两点Z 和XY ，作出点Z 对应的正弦线和余弦线，记做SF 和 CF ，再将CF 旋转90，得到Z 轴的一个单位的顶点，用红线连接，以便区分。 2．同样做出点XY 对应的正、余弦线，用ST 和CT 来标记。将ST 旋转90，得到'ST 实际上就是ST -,过这个点作SF 和Scale 点的连线的平行线，那么交y 轴的交点恰好就是 *ST SF -的大小,标记过原点到这个点的向量，将CT 点按照这个向量平移，就是X 轴的 一个单位的顶点，同样用红线标记。具体解释可以借助如图四中的相似形。 3.同样借助另一对相似三角形作出*CT SF ，也就是图五中的OA 。标记OA ，把'ST 按照向量OA 平移，就是Y 轴的一个单位的顶点。
浅谈线性变换对角化问题
目录 摘要 (1) Abstract (2) 引言 (3) 1 线性变换 (4) 1.1 线性变换的定义 (4) 1.1.1 线性变换的概念 (4) 1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示 (4) 1.2 矩阵的相似对角化问题 (5) 1.2.1 相似对角化问题 (5) 1.2.2 矩阵的特征值与特征向量 (5) 2 线性变换的对角化 (7) 2.1 线性变换的对角化 (7) 2.1.1 线性对角化的提出 (7) 2.1.2 线性对角化的定义 (7) 2.2 线性变换的特征值与特征向量 (7) 2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念 (7) 2.2.2 线性变换的特征多项式 (7) 2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 (8) 2.3.1 特征值与特征向量的联系 (8) 2.3.2 线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系 (9) 2.3.3 线性变换可对角化的充要条件及推论 (9) 2.3.4 求线性变换对角化的方法和步骤 (10) 3 线性对角化问题的相关题目 (14) 总结 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
摘要 线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一，其研究价值不言而喻。本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点，再通过矩阵的特征值与特征向量，以线性对角化问题为主要线索，着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件，并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系，更进一步的，加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。 关键词：线性变换的对角化问题；矩阵；特征值；特征向量
Linear transformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear diagonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understanding of linear matrix diagonalization diagonalization content and points. Keywords: Changing existing diagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors
DLT 直接线性变换解法程序
DLT 直接线性变换解法程序介绍 一、程序综合介绍：DLT结算程序 程序功能介绍：应用6个已知点计算左右片l 系数；然后应用已经求得的l系数求解物方空间坐标系坐标 程序名：SuYGDLT 程序界面： 程序界面有四个按钮，分别为读取文件，左片l系数计算，右片系数计算，物放坐标解算程序界面有四个编辑框，分别用来输出文件信息，左片l系数、右片l系数、以及无妨坐标结果 截图如下 程序使用介绍： 必须先点击导入文件按钮，导入文件方可进行正确的计算，如果未导入文件就点击左片平差或右片平差或无妨坐标解算就会弹出如下对话框：
读取数据后点击其它按钮进行其它计算。 程序文件格式： 数据文件分为两部分，KnownPoint，UNKnownPoint，分别代表已知点信息和待求点信息当文件读取程序读到“KnownPoint”时开始读取已知点信息，已知点信息格式如下 GCP1,1214.0000,1032.0000,1046.5180,1071.6652,9.201742,-9.672384,-2.726064 分别代表点名、左片相片X坐标、左片相片y坐标、右片相片x坐标、右片相片y坐标物方坐标X、Y、Z; 当文件读取到“END KnownPoint”时结束已知坐标的读取 待求点信息类似：文件格式截图如下： 程序运行结果与评估： 本程序区1-10号点作为已知点计算l近似值11-20号点作为未知点解求其物方三维坐标；
程序运行结果与所给参考值相似，应该可以证明其运算是正确的，运行结果截图如下： 二、程序编程思想及相关代码 程序编程思想及相关函数： 本程序设计DLTCalculation类作为l系数结算主程序，其成员变量及成员函数与作用介绍如下： CSuLMatrix LL;//左片L系数矩阵 CSuLMatrix RL;//右片L系数矩阵 int m_iKnownPointCount;//已知点个数 CControlPoint *m_pKnownPoint;//已知点 int m_iUnKnownPointCount;//未知点个数 CControlPoint *m_pUnKnownPoint;//未知点 public: CString LoadData(const CString& strFileName);//读取文件函数 int ifLoda;//判断是否导入数据 CString Datainfor;//文件信息存储 CString *SplitString(CString str,char split, int& iSubStrs); //分割函数 void LFormApproL(CSuLMatrix &LL);//计算左片L系数近似值 void RFormApproL(CSuLMatrix &RL);//计算右片L系数近似值 void FormLErrorEquations(CSuLMatrix LL,CMatrix &LM,CMatrix &LW);//组成左片系数矩阵和常数项矩阵 void LAdjust();//左片平差主函数 void FormRErrorEquations(CSuLMatrix RL,CMatrix &RM,CMatrix &RW);//组成右片系数矩阵和常数项矩阵 void RAdjust();//右片平差主函数 void Output(const CString& strFileName);//输出结果主程序
三维线性变换及其应用
三维线性变换 陈祥科 1、线性空间 (2) 1.1、线性空间的代数定义 (2) 1.2 线性空间的基和维度 (2) 2、线性变换 (2) 2.1、变换的定义 (2) 2.2、线性变换的定义 (2) 2.3线性变换的性质 (3) 2.4、线性变换下的坐标变换 (3) 2.5、线性变换的矩阵表示： (3) 3、三维图形的几何变换 (4) 3.1平移变换 (5) 3.2缩放变换 (5) 3.3绕坐标轴的旋转变换 (5) 3.4绕任意轴的旋转变换 (6) 4、三维线性变换的应用实例 (7) 4.1 三维图形变换理论 (7) 4.1.1 三维图形的几何变换 (7) 4.1.2 组合三维几何变换 (8) 4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 (9) 4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 (9) 4.2 叉车稳定性试验的仿真 (10) 4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 (10) 4.2.2 横向稳定性试验的仿真 (11) 4.3 结论 (12)
1、线性空间 1.1、 线性空间的代数定义 一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。 1.2 线性空间的基和维度 对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。显然，三维空间的基有3个元素组成。三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。 2、线性变换 2.1、变换的定义 变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式 β=T(α) 称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。 2.2、线性变换的定义 R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足 ()()()()() a k ka b a b a σσσσσ=+=+ 其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式： )()()(βσασβασl k l k +=+ F l k R ∈∈?,,,βα
Matlab+实现直接线性变换
直接线性变换Matlab实现的程序源代码 function re=DLT(A,B) %imco为像方坐标，输入单位是像素 imco=A; %此处为控制点像方坐标，格式为2×n，单位：像素 %obco为物方坐标，输入单位是毫米 obco=B; %此处为控制点物方坐标，格式为n×3单位：毫米 imco_be=[];B=[];M=[]; for i=1:size(imco,2) imco_be=[imco_be;imco(:,i)]; end for i=1:size(imco,2) A1=[obco(i,:),1,0,0,0,0]; A2=[0,0,0,0,obco(i,:),1]; M=[M;A1;A2]; B1=obco(i,:).*imco_be(2*i-1); B2=obco(i,:).*imco_be(2*i); B=[B;B1;B2]; end M=[M,B]; N=M(1:11,:); L=N\(-imco_be(1:11,:)); X0=-((L(1)*L(9)+L(2)*L(10)+L(3)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); Y0=-((L(5)*L(9)+L(6)*L(10)+L(7)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); L=[L;0];M3=[];W=[]; for i=1:size(imco,2) xyz=obco(i,:); A=xyz(1)*L(9)+xyz(2)*L(10)+xyz(3)*L(11)+1; r2=(imco_be(2*i-1)-X0)*(imco_be(2*i-1)-X0)+(imco_be(2*i)-Y0)*(imco_be(2*i)-Y 0); M1=[A*(imco_be(2*i-1)-X0)*r2;A*(imco_be(2*i)-Y0)*r2]; M2=-[M(2*i-1:2*i,:),M1]/A; M3=[M3;M2]; W=[W;-[imco_be(2*i-1);imco_be(2*i)]/A]; end WP=M3'*W; NBBN=inv(M3'*M3); LP=-NBBN*WP; v=M3*LP+W; imco_be=imco_be+v; X0=-(LP(1)*LP(9)+LP(2)*LP(10)+LP(3)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); Y0=-(LP(5)*LP(9)+LP(6)*LP(10)+LP(7)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); 1
AUTOCAD 三维坐标系基础知识
AUTOCAD 三维坐标系基础知识 三维空间内的所有几何物体，无论其形状多么复杂，归根到底，都是许多空间点的集合。有了三维空间的坐标系统，三维造型就成为可能。因此三维坐标系统是确定三维对象位置的基本手段，是研究三维空间的基础。 1．三维坐标系类型 在三维环境中与X-Y平面坐标系统相比，三维世界坐标系统多了一个数轴Z。增加的数轴Z给坐标系统多规定了一个自由度，并和原来的两个自由度（X和Y）一起构成了三维坐标系统，简称三维坐标系。在AutoCAD中提供了以下3种三维坐标系类型。 ●三维笛卡尔坐标系 笛卡尔坐标系是由相互垂直的X轴、Y轴和Z轴三个坐标轴组成的。它是利用这三个相互垂直的轴来确定三维空间的点，图中的每个位置都可由相对于原点的（0，0，0）坐标点来表示。 三维笛卡尔坐标使用X、Y和Z三个坐标值来精确地指定对象位置。输入三维笛卡尔坐标值（X、Y、Z）类似于输入二维坐标值（X、Y），除了指定X和Y值外，还需要指定Z值。如图9-20所示坐标值（3，2，5）指一个沿X轴正方向3个单位，沿Y轴正方向2个单位，沿Z轴正方向5个单位的点。 笛卡尔 坐标系 图9-20 三维绝对笛卡尔坐标系 使用三维笛卡尔坐标时，可以输入基于原点的绝对坐标值，也可以输入基于上一输入点的相对坐标值。如果要输入相对坐标，需使用符号@作为前缀，如输入（@1，0，0）表示在X轴正方向上距离上一点一个单位的点。 ●圆柱坐标系 圆柱坐标与二维极坐标类似，但增加了从所要确定的点到XY 平面的距离值。三维点的圆柱坐标，可以分别通过该点与UCS原点连线在XY 平面上的投影长度、该投影与X轴正方向的夹角，以及该点垂直于XY平面的Z值来确定，效果如图9-21所示。
三维坐标变换
第二章三维观察 1.三维观察坐标系 1.1观察坐标系 为了在不同的距离和角度上观察物体，需要在用户坐标系下建立观察坐标系x v,y v,z v(通常是右手坐标系)也称(View Reference Coordinate)。如下图所示，其中，点p0(x o, y o, z0)为观察参考点（View Reference Point），它是观察坐标系的原点。 图1.1 用户坐标系与观察坐标系 依据该坐标系定义垂直于观察坐标系z v轴的观察平面(view palne)，有时也称投影平面(projection plane)。 图1.2 沿z v轴的观察平面 1.2观察坐标系的建立 观察坐标系的建立如下图所示：
图1.3 法矢量的定义 观察平面的方向及z v轴可以定义为观察平面(view plane)N 法矢量N: 在用户坐标系中指定一个点为观察参考点，然后在此点指定法矢量N，即z v轴的正向。 法矢量V：确定了矢量N后，再定义观察正向矢量V，该矢量用来建立y v轴的正向。通常的方法是先选择任一不平行于N的矢量V'，然后由图形系统使该矢量V'投影到垂直于法矢量N的平面上，定义投影后的矢量为矢量V。 法矢量U：利用矢量N和V，可以计算第三个矢量U，对应于x z轴的正向。 的指定视图投影到显示设备表面上的过程来处理对象的描述。2.世界坐标系 在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但是计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体和二维数据联系到一起的唯一纽带就是坐标。为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。该坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合被显示物体的描述。该坐标系被称为世界坐标系，世界坐标系是固定不变的。
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)复习课程
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 摘要 特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。 关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换 Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and
eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on. Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary； 目录 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2) 摘要 (2) Abstract (2) 第1章引言 (4) 1.1 研究背景 (4) 1.2 研究现状 (5) 1.3 本文研究目的及意义 (6) 第2章特征值与特征向量的一般理论 (6) 2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6) 2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7) 2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7) 2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8) 2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)
浅谈线性代数在生活中的应用
浅谈线性代数在生活中的应用 线性代数是代数的一个重要学科，那么什么是代数呢？代数英文是Algebra,源于阿拉伯语。其本意是“结合在一起”。也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便！为了提高效率。把一些看似不相关的问题化归为一类问题。线性代数中的一个重要概念是线性空间（对所谓的“加法”和“数乘”满足8条公理的集合），而其元素被称为向量。也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理，如果我们可以知道所研究的对象的维数(比如说是n)，我们就可以把它等同为R^n，量决定了质！多么深刻而美妙的结论！上面我说的是代数的一个抽象特性。这个对我们的影响是思想性的！如果我们能够把他用在生活中，那么我们的生活将是高效率的。 下面简要谈一下线性代数的具体应用。线性代数研究最多的就是矩阵了。矩阵又是什么呢？矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果你抽象出某种变化的规律，你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。 另外，进一步的学科有运筹学。运筹学的一个重要议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处理。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解：比如你是一家小商店的老板，你可以合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。如果你是一个大家庭中的一员，你又可以用规划的办法来使你们的家庭预算达到最小。这些都是实际的应用啊！ 总之，线性代数历经如此长的时间而生命力旺盛，可见它的应用之广！ 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x 的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“ 解行列式问题的方法” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述( 即把行列' 式理论与线性方程组求解相分离) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace 在1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中, 证明了Vandermonde 的一些规则, 并推广了他的展开行列式的方法, 用r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展 开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi ）
基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究
基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究 孔 建 黄建魏 沈 周 (西南交通大学 四川成都 610031 中铁十局 山东济南 520000) 摘要：本文采用直接线性变换（DLT ）算法，完成了普通数码相机检校的应用研究。通过编程实验，解算普通数码相机在不同焦距情况下内方位元素（00,x y ,f ）以及畸变参数（径向畸变系数1k ，2k 、偏心畸变系数1p ，2p ），同时对直接线性变换方法中l 初值的问题给出解决方案。提出了解决控制点布设在一个近似平面上解算l 系数初始值的方法，并且依据实验数据分析了在不同焦距下，相机内方位元素和光学畸变参数的变化情况。 关键字：直接线性变换；相机检校；径向畸变；偏心畸变 Abstract In this paper, to complete a common application of digital camera calibration by using the direct linear transformation algorithm. This paper have solved different elements of interior orientation （00,x y ,f ）and distortion parameters （Radinal Distortion 1k ， 2k ,Decentering Distortion 1p ，2p ）of ordinary digital camera focal length by the programming experiments and meanwhile, put forward the solutions of the initial value problem in the direct linear transformation method. Proposed a solution in an approximate control points for solving plane initial value coefficient method, and analyzed the changes of the camera orientation elements and optical distortion parameters in the base of experimental data at different focal lengths. 1 概述 在数字摄影测量中，数字影像的获取，通常采用的是专业的摄影设备。这些专业设备的价格昂贵，对非专业部门是无法应用的。随着数码相机技术的发展与进步，普通数码相机在数字摄影测量领域中得到了广泛的应用，尤其是在近景数字摄影测量、无人机低空摄影测量的应用中，表现出了巨大的优势。普通数码相机不仅价格便宜，且操作方便，是专业摄影机不能比拟的。随着数码相机技术的
35 直接线性变化的基本原理和解算方法.
立体摄影测量的基本原理 421 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 3.5 直接线性变化的基本原理和解算方法
4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 一、直接线性变化的关系式 111333222333s s s i i i ()()()0()()()()()()0()()(),,,,s a b c i f s s s s s s s s s s s s a X X b Y Y c Z Z x f a X X b Y Y c Z Z a X X b Y Y c Z Z y f a X X b Y Y c Z Z X Y Z X Y Z -+-+-?+=? -+-+-? ? -+-+-? +=?-+-+-? 中心构像方程： 其中：为物点的空间坐标 为光心的空间坐标 ，，（＝1，2，3）旋转矩阵 所测x y 像片的主距 ，像点在摄影坐标系的坐标
4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 直接线性变化法 ?直接线性变换（DLT —Direct Linear Transformation ）算法是直接建立像点坐标与物点空间坐标关系式的一种算法。 ?该算法在机算中，不需要内、外方位元素。而直接通过像点解算物点。
4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 二、线性误差的修正 1、线性误差： ?底片均匀变形、不均匀变形 ?畸变差 ?x ，y 坐标轴不垂直 2、线性修正?系数 假设主点坐标为（0，0）
浅谈学习线性代数的心得体会
沈阳药科大学选修课结课论文 沈阳药科大学 浅谈学习线性代数的心得体会 学校：沈阳药科大学 姓名：郑亚娟 学号：10106331 专业：药物制剂 年级：2010级 班级：03班
一、内容摘要 线性代数是一门较抽象的数学课程,但是线性代数除了其抽象之外还具有另外一个重要的特点：“实用性”，由于计算机的飞速发展和广泛应用，线性代数已成为越来越多的科技工作者必不可少的数学工具。掌握线性代数的基本概念、基本理论与基本方法，为解决工科各专业的实际问题，为进一步学习相关课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础。 在初步学习了高等数学这门课程后，里面涉及了一些线性代数的求解方法，听老师说，某些题目用线性代数的方法求解更容易，但是由于我们还未系统的学习这门课程，老师也是一带而过，并未深讲。致使我对线性代数这门学科有了浓厚的兴趣，在首先简单了解了这门学科的背景后，发现线性代数是一门丰富多彩充满未知的科学，在看到学校开设了这门课程的选修课后，我义无反顾的叫我们全寝室的人都选修了这门奇妙的课程。 学习线性代数的初步感受就是它的概念多，推理论证多，基本理论与结论多，线性代数在内容上，思想方法上及论证方法上都与“高等数学”有所区别。它具有较强的逻辑性和抽象性，一开始就要高度重视。它又与中学所学的代数有一定的联系，所以有些内容并不是完全陌生的。 我相信只要我每节每章地，一步一个脚印的弄懂、弄通，记住有关的概念和结论，并通过反复的应用（练习）来掌握它，循序渐进掌握这门课程是容易的。 关键词：数学线性代数背景应用计算方法感受 二、绪论 2.1 线性代数的发展史 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡，矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不
线性变换对角线问题开题报告
xxxxx学院本科毕业论文（设计）开题报告书 论文题目浅谈线性变换的对角化问题 作者姓名学号年级 所属学院专业班级 指导教师姓名职称预计字数6000 题目性质应用研究日期 选题的原由： 1）说明本选题的理论、实际意义 本课题主要是通过对容易理解和掌握的矩阵对角化问题的具体分析和比较复杂的线性变换的对角化问题的一些探讨，使得我们能正确运用线性变换的对角化解决相关问题。线性变换的对角化问题在高等代数和解析几何中扮演者举足轻重的角色，在很多领域都有重要的地位和作用。 2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解 在国内，关于线性变换的对角化问题，是高等代数课程中线性变换这一章节的重点。大 多数高等代数及线性代数教材，都以线性变换对角化为主线，矩阵的相似对角化理论相对于 线性变换对角化理论，显得更具体，更容易理解。近年来，由于计算机的快速发展，更是为 矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，这就使得研究线性变换的对角化问题意义非凡。 主要内容： （1）线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系。 （2）研究特征值与特征向量的性质,再研究对角化的必要条件与充分条件。 （3）线性变换的对角化问题的应用。 研究方法： 1、明确题目，对知识点梳理总结。 2、在网上收集相关资料，阅读大量的书籍，提取自己所需的核心内容，对其进行系统的整理归纳。 3、论文撰写中讲究语言的精准，格式的规范，科学的排版。
完成期限和采取的主要措施： 2013年6月——2013年8月：查阅并收集与线性变换的对角化问题的文献和资料； 2013年8月——2013年9月：通过收集的资料，确定论文题目，并勾勒出大体框架，完成开题报告和任务书； 2013年9月——2013年11月：完成初稿； 2013年11月——2014年1月：对论文进行完善并总结； 2014年1月——2014年3月：形成最终论文，归纳总结研究成果，整理答辩材料，申请答辩。 主要参考文献及资料名称： [1] 北京大学几何代数研究代数小组，高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999. [2] 徐仲，陆全. 高等代数研究教案[M].西安：西北工业大学出版社，2006. [3] 丘维声，高等代数：上、下册[M].北京：高等教育出版社，1996. [4] 丘维声，高等代数：上、下册[M].北京：高等教育出版社，2002. [5] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京：高等教育出版社，2002. [6] 安希忠，陈超英,魏福义等.国家教育部04-6-7项目成果《线性代数》，北京中国农业出 版社，2000.12. [7] 李仁所,张洪谦.农林院校大学数学系列教材《大学数学——线性代数》，高等教育出版社， 2009.9. [8] 王来生.《线性代数学习指导》，中国农业大学出版社，2005.10. [9] 卢刚.面向21世纪课程教材《线性代数（第三版）》，高等教育出版社，2009.3. 指导教师意见： 签名： 年月日