2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题试题

第4讲 导数的热点问题

(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝a e x

ln x ＋b e x －1

x

，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方

程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.

利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.

热点一 利用导数证明不等式

用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力． 例1 已知函数f (x )＝－ln x ＋x －3. (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)证明：在(1，＋∞)上，f (x )＋2>0；

(3)求证：ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <1n (n ≥2，n ∈N *

)．

思维升华 用导数证明不等式的方法

(1)利用单调性：若f (x )在[a ，b ]上是增函数，则①?x ∈[a ，b ]，则f (a )≤f (x )≤f (b )，②对?x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1

(2)利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值m )，则对?x ∈D ，则f (x )≤M (或

f (x )≥m )．

(3)证明f (x )

跟踪演练1 已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R )在点(1，f (1))处的切线方程为x －2y －2＝0.

(1)求a ，b 的值；

(2)当x >1时，f (x )＋k x

<0恒成立，求实数k 的取值范围．

热点二 利用导数讨论方程根的个数

方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解． 例2 设函数f (x )＝x

e 2x ＋c ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R .

(1)求f (x )的单调区间、最大值．

(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．

思维升华(1)函数y＝f(x)－k的零点问题，可转化为函数y＝f(x)和直线y＝k的交点问题．(2)研究函数y＝f(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势．

跟踪演练2 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围．

热点三利用导数解决生活中的优化问题

生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．

例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．

(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.

(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．

(4)作答：回归实际问题作答．

跟踪演练3 将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝ 梯形的周长 2

梯形的面积

，则s 的最小值是________．

已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln x

x

，其中e 是自然常数，a ∈R .

(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12

；

(3)是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．

提醒：完成作业 专题二 第4讲

二轮专题强化练

专题二

第4讲 导数的热点问题

A 组 专题通关

1．已知a >0，函数f (x )＝x 3

－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

2．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2

－2x －3)·f ′(x )>0的解集为( )

A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(1,2)

C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 3．若不等式2x ln x ≥－x 2

＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)

D ．[4，＋∞)

4．设函数f (x )＝x 3

－4x ＋a (0－1 B ．x 2<0 C ．0

D ．x 3>2

5．(2015·福建)“对任意x ∈?

????0，π2，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．关于x 的方程x 3

－3x 2

－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________． 7．已知函数f (x )＝－12x 2

＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．

8．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4

3，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2,2]时，函数y ＝

f (x )的图象恒在直线l 下方，则c 的取值范围是________．

9．已知函数f (x )＝2ln x －x 2

＋ax (a ∈R )．

(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；

(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在[1

e ，e]上有两个零点，求实数m 的取值范围．

B 组 能力提高

10．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x

f ′ x

≤0，则必有( )

A ．f (0)＋f (2)>2f (1)

B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)

C ．f (0)＋f (2)<2f (1)

D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

11．已知f (x )＝x e x

，g (x )＝－(x ＋1)2

＋a ，若?x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数

a 的取值范围是______________．

12．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－x 2

在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等式

f p ＋1 －f q ＋1

p －q

>1恒成立，则实数a 的取值范围为________．

13．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3

＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .

(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；

(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．

学生用书答案精析

第4讲 导数的热点问题 高考真题体验

(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b

x

·e x －1.

由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明 由(1)知，f (x )＝e x

ln x ＋2x

e x －1，

从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x

－2e .

设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈(0，1

e )时，g ′(x )<0；

当x ∈(1

e ，＋∞)时，g ′(x )>0.

故g (x )在(0，1

e )上单调递减，

在(1

e

，＋∞)上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (1e )＝－1

e .

设函数h (x )＝x e －x

－2e ，

则h ′(x )＝e －x

(1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减，

从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1

e .

综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 热点分类突破 例1 (1)解 f ′(x )＝

x －1

x

(x >0) 解f ′(x )>0得x ∈(1，＋∞)；解f ′(x )<0得x ∈(0,1)．

f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．

(2)证明 f (x )＝－ln x ＋x －3， 所以f (1)＝－2，

由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)． 即f (x )>－2，所以f (x )＋2>0. (3)证明 由(1)可知，

当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0， ∴0

，则有0

.

∴

ln 22·ln 33·ln 44·…·ln n n <12·23·34·…·n －1n ＝1n

(n ≥2，n ∈N *

)． 跟踪演练1 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx ，∴f ′(x )＝a

x

＋b . ∵直线x －2y －2＝0的斜率为12，且过点(1，－12)，

∴?????

f 1 ＝－1

2，f ′ 1 ＝1

2

，即?????

b ＝－12，a ＋b ＝1

2

，解得a ＝1，b ＝－1

2

.

(2)由(1)得f (x )＝ln x －x

2

.

当x >1时，f (x )＋k x <0恒成立，即ln x －x 2＋k x <0，等价于k

2

－x ln x .

令g (x )＝x 2

2

－x ln x ，

则g ′(x )＝x －(ln x ＋1)＝x －1－ln x . 令h (x )＝x －1－ln x ，则h ′(x )＝1－1x

＝x －1

x

.

当x >1时，h ′(x )>0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，故h (x )>h (1)＝0. 从而，当x >1时，g ′(x )>0， 即函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 故g (x )>g (1)＝12.

因此，当x >1时，k

2－x ln x 恒成立，则k ≤1

2.

∴所求k 的取值范围是(－∞，1

2

]．

例2 解 (1)f ′(x )＝e 2x

－2x e 2x

e 2x 2＝1－2x

e 2x ，

由f ′(x )>0得x <1

2，由f ′(x )<0

得x >12

.

所以f (x )的单调递增区间为? ????－∞，12，递减区间为? ??

??12，＋∞. 所以f (x )max ＝f ? ????12＝1

2e

＋c .

(2)由已知|ln x |＝f (x )得|ln x |－x

e

2x ＝c ，

x ∈(0，＋∞)，

令g (x )＝|ln x |－x

e 2x ，y ＝c .

①当x ∈(1，＋∞)时，ln x >0， 则g (x )＝ln x －x

e 2x .

所以g ′(x )＝1x ＋2x －1

e 2x >0.

所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增． ②当x ∈(0,1)时，ln x <0，则g (x ) ＝－ln x －

x

e

2x

.

所以g ′(x )＝－1x －1－2x

e 2x

＝1e 2x ????

??－e 2x

x ＋ 2x －1 .

因为e 2x

∈(1，e 2

)，e 2x

>1>x >0，所以－e

2x

x

<－1，而2x －1<1.所以g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)

上单调递减．

由①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－1

e 2.

由数形结合知，当c <－1

e 2时，

方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；

当c ＝－1

e 2时，方程|ln x |＝

f (x )根的个数为1；

当c >－1

e 2时，方程|ln x |＝

f (x )根的个数为2.

跟踪演练2 解 函数f (x )无零点?方程ln x ＝ax ， 即

ln x

x

＝a 在(0，＋∞)上无实数解．

令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x

x

2

， 由g ′(x )＝0，得x ＝e.

在区间(0，e)上，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；在区间(e ，＋∞)上，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，故在区间(0，＋∞)上g (x )的极大值为g (e)＝1e ，

注意到当x ∈(0,1)时，g (x )∈(－∞，0)； 当x ＝1时，g (1)＝0；

当x ∈(1，＋∞)时，g (x )∈(0，1

e ]，

故方程ln x x ＝a 无实数解?a >1e ，

即所求实数a 的取值范围为(1

e

，＋∞)．

例3 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2

元．

所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2

)元． 又根据题意得200πrh ＋160πr 2

＝12 000π， 所以h ＝15r

(300－4r 2

)，

从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3

)．

因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3

)，

故V ′(r )＝π5

(300－12r 2

)，

令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；

当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0， 故V (r )在(5,53)上为减函数．

由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 跟踪演练3

323

3

解析 设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为34－34

x 2

， ∴s ＝

3－x

2

34

1－x 2

＝433·x 2

－6x ＋91－x

2

(0

－10x ＋3

1－x 2 2

. 令s ′＝0，得x ＝1

3或x ＝3(舍去)．

当x ∈(0，1

3)时，s ′<0，

当x ∈(1

3，1)时，s ′>0.

∴s min ＝s (13)＝323

3.

高考押题精练

(1)解 ∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1

x

，

∴当00时，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.

(2)证明 ∵f (x )的极小值为1，∴f (x )在(0，e]上的最小值为1，即[f (x )]min ＝1. 又g ′(x )＝1－ln x x

2

， ∴当00，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12，

∴[f (x )]min －[g (x )]max >1

2，

∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋1

2

.

(3)解 假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，

则f ′(x )＝a －1x ＝ax －1

x

.

①当0<1a

a

)上单调递减，

在(1

a

，e]上单调递增，

[f (x )]min ＝f (1a

)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2

，满足条件；

②当1

a

≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，

[f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，

a ＝4e

(舍去)，所以，此时f (x )无最小值．

综上，存在实数a ＝e 2

，使得当x ∈(0，e]时

f (x )有最小值3.

二轮专题强化练答案精析

第4讲 导数的热点问题

1．D [函数的导数f ′(x )＝3x 2

－a ，要使函数在[1，＋∞)上是单调增函数，则有f ′(x )＝3x 2

－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2

，又3x 2

≥3，所以a ≤3，即a 的最大值是3，故选D.]

2．D [由题图可知，

?????

f ′ x >0，x ∈ 1，＋∞ ∪ －∞，－1 ，f ′ x <0，x ∈ －1，1 ，

不等式(x 2

－2x －3)f ′(x )>0等价于?

???? f ′ x >0，

x 2

－2x －3>0或?

????

f ′ x <0，

x 2

－2x －3<0，解得x ∈(－∞，

－1)∪(3，＋∞)或x ∈(－1,1)．]

3．B [条件可转化为a ≤2ln x ＋x ＋3

x

恒成立．

设f (x )＝2ln x ＋x ＋3

x

，

则f ′(x )＝ x ＋3 x －1

x

2

(x >0)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝4. 所以a ≤4.]

4．C [求导得f ′(x )＝3x 2

－4， 令f ′(x )＝3x 2

－4＝0，得x ＝±233

.

当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：

x

(－∞，－233) －23

3

(－233，23

3

)

23

3 (23

3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )

极大值

极小值

又f (－1)＝3＋a >0，f (0)＝a >0，f (1)＝a －3<0，f (2)＝a >0，由以上信息得f (x )的大致图象如图所示，可知0

]

5．B [?x ∈? ????0，π2，k sin x cos x ＜x ??x ∈?

????0，π2，k ＜2x sin 2x ，令f (x )＝2x －sin

2x .∴f ′(x )＝2－2cos 2x ＞0，∴f (x )在?

????0，π2为增函数，∴f (x )＞f (0)＝0.

∴2x ＞sin 2x ，∴2x

sin 2x ＞1，∴k ≤1，故选B.]

6．(－4,0)

解析 由题意知使函数f (x )＝x 3

－3x 2

－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，

又f ′(x )＝3x 2

－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x <0时，f ′(x )>0；当02时，

f ′(x )>0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )

取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)

＝－4－a ，所以?

??

??

－a >0，

－4－a <0，解得－4

7．0

解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2

＋4x －3x ＝－ x －1 x －3

x

，

由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1

解析 根据题意知13x 3－x 2

－3x ＋43<－92x －c 2

在x ∈[－2,2]上恒成立，

则－c 2>13x 3－x 2＋32x ＋4

3

，

设g (x )＝13x 3－x 2

＋32x ＋43，

则g ′(x )＝x 2

－2x ＋32

，

则g ′(x )>0恒成立，所以g (x )在[－2,2]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (2)＝3，则c <－6.

9．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2

＋2x ，f ′(x )＝2x

－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，

切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)g (x )＝2ln x －x 2

＋m ，

则g ′(x )＝2x －2x ＝－2 x ＋1 x －1

x

.

∵x ∈[1

e

，e]，

∴当g ′(x )＝0时，x ＝1. 当1

e 0； 当1

故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1. 又g (1e )＝m －2－1e

2，g (e)＝m ＋2－e 2

，

g (e)－g (1e )＝4－e 2＋1e

2<0，则g (e)< g (1e

)．

∴g (x )在[1

e ，e]上的最小值是g (e)．

g (x )在[1

e

，e]上有两个零点的条件是 ?????

g 1 ＝m －1>0，g 1e

＝m －2－1e 2≤0，解得1

e

2，

∴实数m 的取值范围是(1,2＋1

e

2]．

10．A [由条件知，当x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值，所以有f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，故有f (0)＋f (2)>2f (1)．] 11．[－1

e

，＋∞)

解析 f ′(x )＝e x

＋x e x

＝e x

(1＋x )，

当x >－1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x <－1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数f (x )的最小值为f (－1)＝－1

e .

而函数g (x )的最大值为a ，则由题意，

可得－1e ≤a 即a ≥－1e .

12．[15，＋∞) 解析

f p ＋1 －f q ＋1 p －q ＝f p ＋1 －f q ＋1

p ＋1 － q ＋1

，表示点(p ＋1，f (p ＋1))与点(q ＋1，

f (q ＋1))连线的斜率，因为p ，q ∈(0,1)，所以1

内任意两点连线的斜率大于1，即f ′(x )>1在(1,2)内恒成立．由定义域可知x >－1，所以

f ′(x )＝a x ＋1－2x >1，即a

x ＋1

>1＋2x ，所以a >(1＋2x )(x ＋1)成立．设y ＝(1＋2x )·(x ＋1)，

则y ＝2x 2

＋3x ＋1＝2(x ＋34)2－18，当1≤x ≤2时，函数y ＝2(x ＋34)2－18

的最大值为15，所以

a ≥15，即a 的取值范围为[15，＋∞)．

13．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0. 即???

??

x 30＋ax 0＋14＝0，

3x 20＋a ＝0，

解得x 0＝12，a ＝－34

.

因此，当a ＝－3

4

时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．

(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)无零点．

当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5

4

≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是

h (x )的零点；若a <－5

4

，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的

零点．

当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数．

(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2

＋a 在(0,1)无零点，故f (x )在(0,1)单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋5

4，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)没有零点．

(ⅱ)若－3

????0， －a 3单调递减，

在?

?

?

??

－a

3，1单调递增，

故在(0,1)中，当x ＝

－a

3时，f (x )取得最小值，最小值为f ?

?

??? －a 3＝2a

3

－a 3＋14

.

①若f ? ??

??

－a 3>0，即－34

f (x )在(0,1)无零点；

②若f ? ??

??

－a 3＝0，即a ＝－34，

则f (x )在(0,1)有唯一零点； ③若f ?

??

??

－a 3<0，即－3

－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54

4时，f (x )在(0,1)有两个零点；当－3

4

时，f (x )在(0,1)有一个零点． 综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－5

4

时，

h (x )有两个零点；当－5

4

时， h (x )有三个零点．

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．

B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；

江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)

计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.

高考数学二轮复习策略

高考数学二轮复习策略 ：六个重在 重在解题思想的分析，即在复习中要及时将四种常见的数学思想渗透到解题中去;重 在知识要点的梳理，即第二轮复习不像第一轮复习，没有必要将每一个知识点都讲到，但 是要将重要的知识点用较多的时间重点讲评，及时梳理;重在解题方法的总结，即在讲评 试题中关联的解题方法要给学生归类、总结，以达触类旁通的效果;重在学科特点的提炼，数学以概念性强，充满思辨性，量化突出，解法多样，应用广泛为特点，在复习中要展 现提炼这些特点;重在规范解法，考生在平时的解题那怕是考试中很少注意书写规范，而 高考是分步给分，书写不规范，逻辑不连贯会让考生把本应该得的分丢了。 ：强化训练 每章一次综合测试;每月一次月考;对每次训练要做到批改、讲评及时、到位，科学统计，及时总结，发现问题，查漏补缺，及时反馈。并同时要求学生去反思错解原因，以达 到巩固知识，提高能力的目的，力争做到让学生练有所得，听有所获。 ：四个转变 1.变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用. 2.变全面覆盖为重点讲练，突出高考热点问题. 3.变以量为主为以质取胜，突出讲练落实. 4.变以补弱为主为扬长补弱并举，突出因材施教 ：强化通法通解 我们可以把数学思想方法分类，更好的指导我们的学习。一是具体操作方法，解题直 接用的，比如说常见的换元法，数列求和的裂项、错位相减法，特殊值法等;二是逻辑推 理法，比如证明题所用的综合法、分析法、反证法等;三是宏观指导意义的数学思想方法，比如数形结合、分类讨论、化归转化等。我们把这些思想方法不断的渗透到平时的学习中 和做题中，能力会在无形中得到提高的。 ：解决混淆点 学习中的“混淆点”就是几个相近或相似的知识点之间互相混淆。“混淆点”的形成 是对知识点理解不深，记忆不准确，表现为概念模糊，做题时混淆使用。我们的策略是对 知识点应该及时复习巩固，做题时要多加思考与细心。

北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(四)

学科：数学 教学内容：导数与微分经点答疑（四） 11．什么是高阶导数？ 我们知道函数2x y =的导数是x 2y ='．而导数x 2y ='仍是可导的，它的导数是()2y =''．这种导数的导数()''y 就称为对y 对x 的二阶导数．一般地我们有： 函数y ＝f （x ）的导数()x f y '='仍是x 的函数，若函数()x f y '='的导数存在，则称 ()x f y '='的导数为y ＝f （x ）的二阶导数．记作即或22dx y d y '' ().dx dy dx d dx y d y y 22??? ??=' '=''或 相应地，把y ＝f （x ）的导数()x f '叫作函数y ＝f （x ）的一阶导数． 同样，若二阶导数()x f y ''=''的导数存在，则称其导数为y ＝f （x ）的三阶导数．记作 ()即或,dx y d x y 33''' ()()()()().dx y d dx d dx y d y y ,x f x f ,y y 22333???? ??=''''''=''''''='''或又记作 …… 一般地，若n －1阶导数()()()x f y 1n 1n --=的导数存在，则称其导数为y ＝f （x ）的n 阶 导数．记作()()即或n n n n dx y d x f ,y ()()()()()()()().dx y d dx d dx y d x f x f ,y y 1n 1n n n n 1n 1n n ??? ? ??==''=----或 这里的n 称为导数()x f n 的阶数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 若y ＝f （x ）具有n 阶导数，也常说成函数f （x ）为n 阶可导． 由以上高阶导数的定义可以看出，要求n 阶导数，需要求出n －1阶导数，要求n －1

高三文科数学二轮复习策略

高三文科数学二轮复习策略 抓《考试说明》与信息研究 第二轮复习中，不可能再面面俱到。要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。 突出对课本基础知识的再挖掘 近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。 抓好专题复习，领会数学思想 高考数学第二轮复习重在知识和方法专题的复习。在知识专题复习中可以进一步巩固第一轮复习的成果，加强各知识板块的综合。尤其注意知识的交叉点和结合点，进行必要的针对性专题复习。例如: 1.函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 2.三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 3.数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 4.立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 5.解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 6.概率与统计、算法初步、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。 7.不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 专题复习对备课的要求很高，通过对例习题的精选、精讲、精练，力求归纳出知识模块形成体系，同时也要能提炼出数学思想层次的东西。

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=

高考数学第二轮备考指导及复习建议

2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法

运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。

高考数学二轮复习五大技巧

2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习

中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合

高三数学二轮复习计划

高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三

2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．

1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．

高考数学二轮复习计划

2019年高考数学二轮复习计划作者：佚名 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习?也就是高考数学复习通常要分三轮完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢?第一轮复习的目的是将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外

训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法!是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间。如何做到有条不紊地复习呢?现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。 第一，构建知识网络，高考试题的设计，重视数学知识的综

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专 题复习 Last revision date: 13 December 2020.

高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 在0x 处有增 称为函数，即 f 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ).()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果 )(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.

江苏省高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10.

答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．

高考数学第二轮复习策略与重点

2019年高考数学第二轮复习策略与重点 ?数学第二轮复习阶段是考生综合能力与应试技巧提高的阶段。在这一阶段，老师将以“数学思想方法”、解题策略和应试技巧为主线。老师的讲解，不再重视知识结构的先后次序。首先，着重提高考生采用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论、数学模型”等方法解决数学问题的能力。其次，考生要注意用一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高解题速度和应对策略。要在这一阶段得到提高，应做到以下几点： 首先，要加强基础知识的回顾与内化。由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，加上一模的试题起点不会很高，这就要求同学们课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理；回顾基本的数学方法与数学思想；回顾疑点，查漏补缺；回顾老师教学时或自己学习时总结出来的正确结论，联想结论的生成过程与用法；回顾已往做错的题目的正确解法以及典型题目，以达到内化基础知识和基本联系的目的。 其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。

另外，在做题过程中，还要注意几点：1、不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。2、提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段。指导思想是巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力。针对第二轮复习的特点，同学们需注意以下几个方面： 1.加强复习的计划性。由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。 2.提高听课的效率。深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高。 3.加强基础知识的灵活运用。要做到这一点，至关重要的是加强理论的内化，通过第二轮的复习，进一步有意识地强化对书本上定义、定理、公式、法则的理解，对这些东西理解水平的高低决定了你能否灵

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

江苏南通市2018届高三数学第二次调研试卷含答案

江苏南通市2018届高三数学第二次调研 试卷（含答案） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，则▲． 2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲． 4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲． 5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32cm2的概率为▲． 6．在中，已知，则的长为▲． 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的

渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为▲． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ，，则的值为▲． 9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲． 10．已知均为正数，且，则的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等 式组表示的平面区域 内，则面积最大的圆的标准方程为▲． 12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 的取值范围是▲． 13．在平面四边形中，已知，则的值为▲． 14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值；

(完整word版)2018届高三数学二轮复习计划

宾阳中学2018届高三数学备课组第二轮复习计划 为使二轮复习有序进行，使我们的复习工作卓有成效并最终赢得胜利，在校、年级领导指导下，结合年级2018届高考备考整体方案的基础上，经数学基组研究，制定本工作计划。 一、成员： 韦胜华（基组长）、黎锦勇、文育球、韦振、施平凡、候微、张善军、蓝文斌、陈卫庆、黄凤宾、李雪凤、韦衍凤、梁建祥、卢焕荣、黄恩端、林祟标。 本届高三学生由于高一、高二赶课较快，训练量较少，所以基础相对薄弱，数学的五大能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力都较差，处理常规问题的通解通法未能落实到位，常见的数学思想还未形成。 二、努力目标及指导思想： 1、承上启下，使知识系统化、条理化，促进灵活应用。 2、强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。 三、时间安排：2018年1月下旬至4月中旬。 四、方法与措施： （一）重视《考试大纲》（以2018年为准）与《考试说明》（参照2017年的考试说明）的学习，这两本书是高考命题的依据，是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。 （二）重视课本的示范作用，虽然2018年高考是全新的命题模式，但教材的示范作用绝不能低估。 （三）注重主干知识的复习，对于支撑学科知识体系的重点知识，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。 （四）注重数学思想方法的复习。在复习基础知识的同时，要进一步强化基本数学思想和方法的复习，只有这样，在高考中才能灵活运用和综合运用所学的知识。 （五）注重数学能力的提高，数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 （六）注重数学新题型的练习。以高考试题为代表，构建新题型。 宾阳中学2018届高三理科数学备课组第二轮复习计划第1页（共2页）