文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 北京大学2007年高等代数考研真题

北京大学2007年高等代数考研真题

北京大学2007年高等代数考研真题
北京大学2007年高等代数考研真题

北京大学2007年高等代数与解析几何试题

1、回答下列问题:

(1)问是否存在n 阶方阵A ,B ,满足AB ?BA =E (单位矩阵)?又是否存在n 维线性空间上的线性变换A ,B ,满足AB ?BA =E (恒等变换)?若是,举出例子;若否,给出证明.

(2)设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数c ,则3A 的各行元素之和是否为常数?若是,是多少?说明理由.

(3)设m ×n 矩阵A 的秩为r ,任取A 的r 个线性无关的行向量,再取A 的r 个线性

无关的列向量,组成的r 阶子式是否一定不为0?若是,给出证明;若否,举出反例.

(4)设A ,B 都是m ×n 矩阵,线性方程组AX =0与BX =0同解,则A 与B 的列向量组是否等价?行向量组是否等价?若是,给出证明;若否,举出反例.

(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间,r q p b 23=,这里的∈r q p ,,Q 是互不相同的素数.判断向量组n n n n b b b 12,...,,,1?是否线性相关?说明理由.2、设n 阶矩阵A ,B 可交换,证明:rank (A +B )≤rank (A )+rank (B )?rank (AB ).

3、设f 为双线性函数,且对任意的γβα,,都有),(),(),(),(γααβαγβαf f f f =求证:f 为对称的或反对称的.

4、设V 是欧几里德空间,U 是V 的子空间,U ∈β.求证:β是V ∈α在U 上的正交投影的充分必要条件为:U ∈?γ,都有||||γαβα?≤?.

5、设n 阶复矩阵A 满足:对于任意正整数k,都有0)(=k A tr .求A 的特征值.

6、设n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同.求证:V ∈?α,使得αααα1

2,...,,,?n A A A 为V 的一个基.7、设P 是球内一定点,A ,B ,C 是球面上三动点.∠APB =∠BPC =∠CPA =2/π.

PA,PB,PC 为棱作平行六面体,记与P 相对的顶点为Q ,求Q 点的轨迹.

8、设直线L 的方程为

???=+++=+++,

0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 问系数满足什么条件时,直线L

(1)过原点;(2)平行于x 轴,但不与x 轴重合;(3)与y 轴相交;(4)与z 轴重合.

9、证明双曲抛物面z b

y a x 222

22=?的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.10、求椭球面1916252

22=++z y x 被点(2,1,-1)平分的弦.

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则,则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数,且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K 内任意两个数a 、b (a 可以等于b ),必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时,,且当,,则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域Q ;Gauss 数域:Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q },其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素0≠∈a K a ,且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10, 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后,∈?n m ,Z 0>, K n m ∈,K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \。 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1.求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号:

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。反之,若 )()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形,,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈, X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L ) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111(a ,)((,) ()k 。(a ,)=(ka ,kb +

北京大学高等代数7

北京大学数学学院期中试题 考试科目 高等代数I 考试时间 2012年11月8日 姓 名 学 号 一.(30分)填空题. 1.设 当λ = 时, α1 , α2 , α3不能表出β ; 当λ = 时, 表出方式不唯一. 2. 设α1 , α2是矩阵A = 的行向量, 则 α1 α1T + α2 α2 T = __ , α1T α1 + α2T α2 = ___ ; A T A =__ , A T A 的秩 =__ , A A T = __ . 3.设 若矩阵 能写成 k 1 α1 α1T + k 2 α1 α2T + k 3 α2 α1T + k 4 α2 α2T , 则 [ k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ] =__. 4. 已知 B 是3?4矩阵, [ 2 0 1 3 ] T 是齐次线性方程组B X = 0 的一个解. 设A 是将行向量 [ 2 0 1 3 ] 添加到B 下面 得到的方阵. 若A 的 (4,1) 元的余子式为6, 则 | A | =___. 5. 对矩阵做初等行变换, 矩阵的_____ 不变(多选). A 秩 B 行空间 C 列空间 D 解空间 6. 设α = [ 1 1 2 ] T 与 β = [ 3 0 2 ] T 是3维几何空间里的向量. 则 α , β之间夹角的余弦值是__, α , β张成的三角形的面积是__, 与α , β都正交的单位向量是___. 二.(12分)已知 .11α,11α21??????-=??????=?? ????31021121.,,2320202 1211010===b b a a t b b a a b b a a ?? ????d c b a ,???? ??????-=??????????+--=??????????-+=??????????-+=1λ21β,5λ42α,45λ2α,222λα321

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间 . 设 M N , 证 明: M N M , M N N 。 1 证任 取M , 由 M N , 得 N , 所 以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式,任 取 M 或N , 但 M N , 因此无论 哪一种情形,都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) , M (N L) ( M N ) (M L ) 。 证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形,于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ,由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之,若 x (M N ) ( M L) ,则 x M N或 x M L. 在前一情形, x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形,因而 x M , x L, x N L ,得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M ( N L),则 x M , x N L 。 在前一情形 X x M N ,且 X M L,因而 x ( M N) ( M L)。 在后一情形, x N ,x 因而 x M N , 且 X M ,即 X ( M N)(M L)所以L, L (M N)(M L) M (N L) 故 M ( N L) =()(M L) M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n( n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;2)设 A 是一个 n× n 实数矩阵, A 的实系数多项式 f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: ( a1,b1)( a b ( a1a2,b1b2a1 a2) (kk 1) 2

北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案

北大计算机考研 高等数学真题解答 2008年(5题60分) 1 (12分))(x f 有连续的二阶导数,0)(≠a f ,求) (1 )()(1lim a f a f a x f a x '---→。 2 (12分))(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ,0)()(>''b f a f ,证明:在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。 3 (12分)求不定积分? --dx x x x 2 ) ln (ln 1。 4 (12分)0)0(=f 且0)0(='f ,)(x f 有连续的导数,求dx x t x tf x x ? -→0 4 220) (lim 。 5 (12分))(x f 在0附近可导且导数大于0,证明无穷级数)1 (n f 发散,无穷级 数)1 ()1(n f n -收敛。 2007年(5题60分) 1 (12分)求不定积分?+dx x e x 22)1(tan 。 解:=+?dx x e x 22)1(tan +?xdx e x 22sec =?xdx e x tan 22 +?x d e x tan 2-x e x tan 2=? x d e x tan 2C x e x +tan 2。 2 (12分)求连续函数)(x f ,使它满足0)0(,sin )()(1 0=+=?f x x x f dt tx f 。 解:令,tx u =则0=t 时,0=u ,1=t 时,x u =,xdt du =; ? =1 )(dt tx f ?=x du u f x 0 )(1? +x x x f sin )(? =x du u f 0 )(?+x x x xf sin )(2 ?++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2?--='x x x x f cos sin 2)(

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =,

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β==

北京大学高等代数基础习题答案八

第八章 λ-矩阵[自测题解答] §1 λ-矩阵 一、 填空 1 、???? ??-------131313322 λλλλλλλ; 2、λλλλλλλλλλ21, 211,122--, 2 ; 3、λ. 二、 解答题 1.0112≠=+λλλλ, 所以矩阵???? ? ?+11λλλ的秩为2. 0 10012 1232≠--=----λλλλλλ,所以矩阵???? ? ??-+--222211λλλλλλλλλ的秩为3. 2.因为141212--=--λλλλλ,所以 ???? ??--121λλλ不可逆. 110012121-=-----λλλλ,所以矩阵 ????? ??-----=10012121)(λλλλλA 可逆. 3. 答:设)(λA 为n 级λ-矩阵,)(λA 可逆时一定满秩,因为这是)(λA 的行列式为非零常数,为非零多项式;满秩时不一定可逆,因为满秩只说明行列式不是零多项式,但不一定是零次多项式(非零常数). 4.证明 因为A E -λ是一个n 次多项式,不是零次多项式.所以A E -λ不可逆. §2 λ-矩阵在初等变换下的标准形 一、 问答题 1. 数字矩阵的初等变换是λ-矩阵的初等变换,但λ-矩阵的初等变换不一定是数字矩阵的初等变换. 2. 初等λ-矩阵都是可逆的. 3. 可逆的λ-矩阵标准型都是单位矩阵,因此等价,反之如果两个λ-矩阵等价,且其中一个可逆,那么另一个一定可逆.

4. 一致. 二、 解答题 1.(),(),()A D H λλλ是标准形,而 2100()010001B λλλ?? ??+ ? ?-??,100()00000C λλ?? ?= ? ???,2 00()00000G λλλ?? ?? ? ???. 2. 100100100100()0000000100010100100B λλλλλλλλ???????? ? ? ? ?=??? ? ? ? ? ? ? ? ?++???????? §3 不变因子解答 一、填空 1.都是1,都是1;2.1,λ,2λλ-;3. 1,λ,2λλ+;4.,r r ;5.无穷 二、解答题 解 ???? ??++=1002)(λλλA 的行列式因子为1,(1)(2)λλ++,故不变因子为1,(1)(2)λλ++,所以标准形为100(1)(2)λλ?? ?++??; ??????? ??=λλλλλ111)(B 的行列式因子44()D λλ=,而有一个三级子式等于1, 故行列式因子321()1,()()1D D D λλλ===,所以不变因子为41,1,1,λ,所以标 准形是4111λ?? ? ? ? ?? ? ????? ??-+++=10030011)(λλλλλλC 的行列式因子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-,故不变因 子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-,所以标准形为10001000(1)(1)(3)λλλ?? ? ? ?-++??.

北京大学数学分析考研试题及解答

判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤, 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤, [1,)x ∈+∞; 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛,因而收敛, 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的, 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ , 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛,且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++,m x 是21()0m P x +=的实根, 求证:0m x <,且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 (1)任意* m N ∈,当0x ≥时,有21()0m P x +>; 当0x <且x 充分大时,有21()0m P x +<,所以21()0m P x +=的根m x 存在, 又212()()0m m P x P x +'=>,21()m P x +严格递增,所以根唯一,0m x <。 (2) 任意(,0)x ∈-∞,lim ()0x n n P x e →+∞ =>,所以21()m P x +的根m x →-∞,(m →∞)。 因为若m →∞时,21()0m P x +=的根,m x 不趋向于-∞。 则存在0M >,使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列,从而存在收敛子列0k m x x →,(0x 为某有限数0x M ≥-); 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=,矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+,讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时,级数 2 n n a ∞ =∑发散; 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=, 得 2 21ln(1)4 x x x x ≤-+≤,(x 充分小),

高等代数(北大版第三版)习题答案III

高等代数(北大*第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第三部分,其他请搜索,谢谢!

第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1.?判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1)?在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2)?在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3)?在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4)?在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5)?在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6)?在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7)?把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=。 8)?在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,

高等代数北大版第5章习题参考答案

第五章 二次型 1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1)323121224x x x x x x ++-; 2)2 3322221214422x x x x x x x ++++; 3)3231212 2216223x x x x x x x x -+--; 4)423243418228x x x x x x x x +++; 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++; 6)4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++; 7)4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=, 先作非退化线性替换 ?????=-=+=3 32122 11y x y y x y y x (1) 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 22333142y y y y ++--=, 再作非退化线性替换 ??? ????==+=3 3223 1121 21z y z y z z y (2) 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=, 最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为

???? ?????=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x (3) 于是相应的替换矩阵为 ???????? ? ?-=??????? ??????? ??-=10021121210 2110001021021100011011T , 且有 ???? ? ??-='100040001AT T 。 2)已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++, 由配方法可得 ()()() 233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322212x x x x +++=, 于是可令 ?????=+=+=33 3222112x y x x y x x y , 则原二次型的标准形为 ()2221321,,y y x x x f +=, 且非退化线性替换为 ?????=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x , 相应的替换矩阵为 ???? ? ??--=100210211T ,

高等代数(北大版)第7章习题参考答案75840

第七章 线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3) 在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3 中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=; 5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。 8) 在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,

高等代数北大编第1章习题参考答案

第一章 多项式 一 、习题及参考解答 1. 用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r : 1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ; 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1)由带余除法,可得9 2926)(,9 73 1)(--=-=x x r x x q ; 2)同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+32|1, 2)q px x mx x ++++242|1。 解 1)由假设,所得余式为0,即0)()1(2=-+++m q x m p , 所以当???=-=++0 12m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。 2)类似可得???=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ,于是当0=m 时,代入(2)可得1+=q p ;而当022=--m p 时,代入(2)可得1=q 。

综上所诉,当?? ?+==10q p m 或???=+=2 12 m p q 时,皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式: 1)53()258,()3f x x x x g x x =--=+; 2)32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1)432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-; 2) 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。 4.把()f x 表示成0x x -的方幂和,即表成 2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+ 的形式: 1)50(),1f x x x ==; 2)420()23,2f x x x x =-+=-; 3)4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。 解 1 ) 由 综 合 除 法 , 可 得 2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+-; 2)由综合除法,可得 42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++;

北京大学高等代数和解析几何真题1983——1984年汇总

北京大学数学考研题目 1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业 2 2 2 202220 0Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、(分)证明:在直角坐标系中,顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是. 1223112220...1,...2, (1) n n n n n x x x x x x x x x n ++++++=?? +++=????+++=+?二、(分)用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。 121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、(分)设是相异整数。证明:多项式在有理数域上不可约。 20000120231001011A ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? 四、(分)用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间,A 是V 中的一个矩阵,已知-10,,及10分别是的属于特征值, , ,-1的特征向量。(1)求A; (2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。 20,A B 五、(分)设是两个n 级正定矩阵。证明:AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。

1984年 数学各专业 132110: :231003 6 3 x y l z x y z π--==- ++-=一、(分)求直线与平面的交点。 10,,,,a b c a b b c c a ???二、(分)设向量不共面。试证:向量不共面。 15K K K K K K 三、(分)设和为平面上同心的单位(半径=1)开圆域和闭圆域。(1)取定适当的坐标系,写出和的解析表示式;(2)试在和的点之间建立一个一一对应关系。 {}{}{}{}23231 231 251,,.2,,V R V T V V T T T T T T T T T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、(分)设是实数域上的三维向量空间,,,是的一组基。()设在线性变换:下,试求在,,中的变换公式;()求的逆变换在,,中的公式; (3)求在中的公式。 2 220.20 24(2)2 177,.42 20A B A B A B A B =-?? ?=--= ? ?-? ? 五、(分)(1)证明:实矩阵是正定的充要条件为:可找到一个可逆的实对称矩阵,使给定求实对称矩阵,使20(1)((2),n m n m A n m B m n E AB E BA E n E m A B AB BA ??-=-六、(分)设为矩阵,为矩阵。求证:为阶单位矩阵,为阶单位矩阵). 证明:如果为同阶方阵,则与总有相同的特征值(不考虑重数).

北大版高数答案

习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2

北京大学2007年高等代数考研真题

北京大学2007年高等代数与解析几何试题 1、回答下列问题: (1)问是否存在n 阶方阵A ,B ,满足AB ?BA =E (单位矩阵)?又是否存在n 维线性空间上的线性变换A ,B ,满足AB ?BA =E (恒等变换)?若是,举出例子;若否,给出证明. (2)设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数c ,则3A 的各行元素之和是否为常数?若是,是多少?说明理由. (3)设m ×n 矩阵A 的秩为r ,任取A 的r 个线性无关的行向量,再取A 的r 个线性 无关的列向量,组成的r 阶子式是否一定不为0?若是,给出证明;若否,举出反例. (4)设A ,B 都是m ×n 矩阵,线性方程组AX =0与BX =0同解,则A 与B 的列向量组是否等价?行向量组是否等价?若是,给出证明;若否,举出反例. (5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间,r q p b 23=,这里的∈r q p ,,Q 是互不相同的素数.判断向量组n n n n b b b 12,...,,,1?是否线性相关?说明理由.2、设n 阶矩阵A ,B 可交换,证明:rank (A +B )≤rank (A )+rank (B )?rank (AB ).

3、设f 为双线性函数,且对任意的γβα,,都有),(),(),(),(γααβαγβαf f f f =求证:f 为对称的或反对称的. 4、设V 是欧几里德空间,U 是V 的子空间,U ∈β.求证:β是V ∈α在U 上的正交投影的充分必要条件为:U ∈?γ,都有||||γαβα?≤?. 5、设n 阶复矩阵A 满足:对于任意正整数k,都有0)(=k A tr .求A 的特征值. 6、设n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同.求证:V ∈?α,使得αααα1 2,...,,,?n A A A 为V 的一个基.7、设P 是球内一定点,A ,B ,C 是球面上三动点.∠APB =∠BPC =∠CPA =2/π.

北京大学高等代数高代II_2016 期末

北京大学数学学院期末试题 2015-2016学年第二学期 考试科目 高等代数II 考试时间 2016年6月16日 姓 名 学 号 一. (14分)设V 是n 维线性空间, 设U , W 分别是V 的m 维 与r 维线性子空间, 且满足条件 U + W = V . 记 S = { A ∈ Hom( V ) | A ( U ) ? U 且 A ( W ) ? W } . 1) 证明集合S 是线性空间Hom( V )的子空间. 2) 求线性空间S 的维数 , 用n , m , r 表示. 二.(15分)设实线性空间V 上的双线性函数 f ( α , β )在 V 的基底 α 1 , α 2 , α 3 下度量矩阵为 ???? ??????531351111. 1) 证明 f ( α , β ) 构成V 上的内积 ; 2) 求内积 f 下的一组标准正交基 β1 , β2 , β3 ; 3) 问在内积 f 下, 是否存在正交变换A , 使得A α1 = α1 , 且A α2 = α3 ? 若存在, 写出A 在β1 , β2 , β3下的矩阵. 三(16分)设 V 是域K 上的n 维线性空间, 由V 的基底 α1 , … , αn 到基β1 , … , βn 的过渡矩阵为U . 1) 若线性变换A ∈ Hom( V ) 在基 α1 , … , αn 下的矩阵为A , 求基底β1 , … , βn 下A 的矩阵;

2) 若双线性函数 f 在基 α1 , … , αn 下的度量矩阵为A , 求f 在 基β1 , … , βn 下的度量矩阵; (此题要求推导过程, 每一步注明理由) 四(32分)设 A 是实线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 下的矩阵为 A = . 1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ; 2) 求V 的根子空间分解, 确定每个根子空间W 的基底, 并 计算限制变换 A |W 在此基底下的矩阵 ; 3) 对每个根子空间 W , 求多项式 h W ( x ) , 使得 h W ( A )是 沿其余根子空间向W 所作的投影变换 ; 4) 求V 的一组基, 使得A 的矩阵为Jordan 形矩阵. 五(15分)设A : X A X 是(带标准内积的)欧氏空间R 4到R 3的 线性映射, 其中A = ???? ??????--210020101001. 求在条件 || X || = 1下, || A X || 能取到的最大与最小值, 并确定它们分别在何处取到. 六 ( 8分) 设 A 是一个n 级复矩阵, S : X A X – X A 是n 级复 矩阵空间M n (C)上的线性变换 . 证明: S 的秩至多是n 2 – n . ????????????-1122020000010012

1.1高数(北大版)

习题 1.1
证明 3为无理数. 1. 证 若 3不是无理数,则 3 = p p2 , p, q为互素自然数.3 = 2 , p 2 = 3q 2 .3除尽p 2 , q q
必除尽p, 否则p = 3k + 1或p = 3k + 2. p 2 = 9k 2 + 6k + 1, p 2 = 9k 2 + 12k + 4, 3除 p 2 将余1.故p = 3k , 9k 2 = 3q 2 , q 2 = 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 设 2. p是正的素数, 证明 p是无理数. 证 设 p= a a2 , a, b为互素自然数,则p = 2 , a 2 = pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a = pk . p k = pb , pk = b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.
解下列不等式 : 3. (1) | x | + | x ? 1|< 3.\; (2) | x 2 ? 3 |< 2. 解 (1)若x < 0, 则 ? x + 1 ? x < 3, 2 x > ?2, x > ?1, (?1, 0); 若0 < x < 1, 则x + 1 ? x < 3,1 < 3, (0,1); 若x > 1, 则x + x ? 1 < 3, x < 3 / 2, (1,3 / 2). X = (?1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1,3 / 2). (2) ? 2 < x 2 ? 3 < 2,1 < x 2 < 5,1 <| x |2 < 5,1 <| x |< 5, x = (1, 5) ∪ (? 5, ?1). 设 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a + b |≥| a | ? | b |;(2)设 | a ? b |< 1, 证明 | a |<| b | +1. 证(1) | a |=| a + b + (?b) |≤| a + b | + | ?b |=| a + b | + | b |,| a + b |≥| a | ? | b | . (2) | a |=| b + (a ? b) |≤| b | + | a ? b |<| b | +1. 解下列不等式 : 5. (1) | x + 6 |> 0.1;(2) | x ? a |> l. 解(1)x + 6 > 0.1或x + 6 < ?0.1.x > ?5.9或x < ?6.1. X = (?∞, ?6.1) ∪ (?5.9, +∞). (2)若l > 0, X = (a + l , +∞) ∪ (?∞, a ? l ); 若l = 0, x ≠ a; 若l < 0, X = (?∞, +∞). 若 6. a > 1, 证明0 < n a ? 1 < a ?1 , 其中n为自然数. n
n
证若a > 1, 显然 n a = b > 1.a ? 1 = n a ? 1 = ( n a ? 1)(b n ?1 + b n ? 2 + L + 1) > n( n a ? 1). 设 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑有理数集合 m A=An = { n | m ∈ Z}. 若An ∩ (a, b) = ?, 则A = B ∪ C , B = A ∩ {x | x ≥ b}, 10 C = A ∩ {x | x ≤ a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 ? 1) /10n ∈ C , b ? a ≤ m0 /10 n -(m0 ? 1) /10 n =1/10n ,此与n的选取矛盾. 设 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑无理数集合An = { 2 + m | m ∈ Z}. 以下仿8题. 10n
1

相关文档
相关文档 最新文档