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随机过程试卷

一、简答

1.随机过程的正交、互不相关和互相独立及其相互关系。答：教材P49

①如果对任意的12,,n t t t 和12

,,m t t t ''' 有 12121212

(,,;,,;,,;,,)XY n n m m f x x x t t t y y y t t t ''' 12121212

(,,;,,)(,,;,,)X n n Y m m f x x x t t t f y y y t t t '''= 则称()X t 和()Y t 之间是相互独立的。

②两个随机过程()X t 和()Y t ，如果对任意的1t 和2t 都有互协方差函数为0，即

12(,)0XY C t t =

则称()X t 和()Y t 之间互不相关。两个互相独立的随机过程必不相关，反之不一定。（高斯随机过程的互不相关与互相独立等价）

③两个随机过程()X t 和()Y t ，如果对任意的12,t t T ∈，其互相关函数等于零，即

12(,)0XY R t t =

则称()X t 和()Y t 之间正交。而且正交不一定互不相关。（均值为零的两随机过程正交与互不相关等价）

2.随机过程的各态历经性及实际意义。

答：教材P65~69

平稳过程的各态历经性，用数学语言来说，即关于（充分长）时间的平均值，近似地等于观察总体的集合平均值。如对均方连续的实平稳过程{}(),(,),[()]X X t t m E X t ∈-∞∞=是()X t 的均值，是平稳过程中所有可能出现的曲线（样本函数）的集合平均值。而对()X t 中任一现实曲线()x t ，1()d 2T T T

m x t t T

是()x t 在[,]T T -对时间t 的平均值，称为时间平

均值。显然()X t 的每一曲线都在X m 的上下波动，则可以想象，当T 充分长时该现实曲线()x t 可以很好地代表实平稳过程{}(),(,)X t t ∈-∞∞的整个性质，

如T X m m ≈。对于这样的平稳过程，称具有各态历经性，但只在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。

要讨论平稳过程的数字特征，就应该知道一族样本函数。而样板函数往往需要经过大量的观察实验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。讨论平稳过程的历经性，就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征。

3.高斯随机过程的互不相关与互相独立等价。答：教材P159~160

必要性若12,,n X X X 是相互独立的正态随机变量，则必有

121212(,,,)()()(),n X n X X X n f x x x f x f x f x =

1212(,,,)()()()n

X n X X X n v v v v v v ????=

221

1exp 2n

i i i i i j v v μσ=?

-????

∏

1exp 2n

i i i i i i j v v μσ==??=-

????

∑∑

其中，2[],[],1,2,,.i i i i E X D X i n μσ===

220

0000000

n C σσσ??

???

=????????

是协方差矩阵，显然，i k ≠时，0ik C =，故i X 与k X 是不相关的。充分性若12,,,n X X X 是两两互不相关的正态随机变量，则

[()()]0,ki k k i i C E X X k i μμ=--=≠

121

(,,,)exp 2T

X n v v v jv v C v ?μ?

?=-

???

其中1212(,,,),(,,,)T T

n n v v v v μμμμ== ，C 为协方差矩阵，因而有

2121

1(,,,)exp 2n

X n i i ii i i i v v v j v C v ?μ==??

????

∑∑

1exp ()2i

i i ii i X i i i j v C v v μ?

==??

????

∏

其中()i

X i v ?是正态随机变量i X 的特征函数。依特征函数性质知12,,,n X X X 相互独立。 4.泊松过程是非平稳随机过程。答：教材P56，P184

设{}(),X t t T ∈是一个随机过程，2

[()]E X t <∞，且

[()]X E X t m const ==和1212(,)[()()](),R t t E X t X t R t t τττ=-==-

则称{}(),X t t T ∈为广义随机平稳。泊松计数过程

均值00[(,)]E N t t t t λ+=，均方值2200[(,)]()E N t t t t t λλ+=+，相关函数2121212(,)m in(,)N R t t t t t t λλ=+，不符合上述定义，因此泊松过程是非平稳随机过程

5.白噪声过程是零阶马尔可夫过程。什么叫无记忆过程？白噪声过程是无记忆过程吗？答：教材P53~54

随机过程按记忆特性分类：

（1）纯粹随机过程（无记忆），指在一给定的1t ，用()X t 定义的随机变量，与所有其他的2t ，用()X t 定义的随机变量是相互独立的。白噪声是其一个重要的例子。

（2）马尔可夫过程：一阶、二阶、高阶马尔可夫过程；纯粹随机过程又称零阶马尔可夫过程。

（3）独立增量过程，独立增量过程{}(),0X t t ≥是一个马尔可夫过程。

二、设随机过程()cos sin X t U t V t ωω=+，()sin cos Y t U t V t ωω=+，

()sin cos Z t U t V t ωω=-+。其中0ω>，U 和V 是两个相互独立的随机变量，且[][]0E U E V ==，2

[][]E U E V σ==。

（1）证明：()X t 、()Y t 和()Z t 各自是广义平稳的随机过程。（2）证明：()X t 和()Y t 不是广义联合平稳的。（3）证明：()X t 与()Z t 是两个平稳相关的随机过程。（4）()X t 的均值，自相关函数是各态历经的么？

（1）证明：()X t 的均值[()][]cos []sin 0E X t E U t E V t ωω=+=

均方值222222

[()][]cos []sin 2[]sin cos E X t E U t E V t E UV t t ωωωωσ

=++=<∞

自相关函数2

1212(,)()cos ,X X R t t R t t τσωττ===-

所以()X t 是广义平稳的随机过程，同理()Y t 和()Z t 是广义平稳的随机过程。

（2）证明：[]121122(,)(cos sin )(sin cos )XY R t t E U t V t U t V t ωωωω=++

121212[]cos sin []sin cos []cos ()E U t t E V t t E U V t t ωωωωω=++-

12sin ()t t σω=+

212sin (2),t t t σωττ=+=-

因此12(,)XY R t t 不仅与τ有关，得出()X t 和()Y t 不是广义联合平稳的。（3）证明：1212(,)[()()]XZ R t t E X t Z t =

1122[(cos sin )(sin cos )]E U t V t U t V t ωωωω=+-+ 2

12sin ,t t σωττ=-=-

类似的，有 212(,)sin ZX R t t σωτ= 所以()X t 与()Z t 是两个平稳相关的随机过程。

（4）解：由于2

()cos X R τσωτ=及0X m =，故有

lim 1cos d 22T

T T T T τσωττ-→∞??- ???

? 2

lim

1cos d 02T T T

T στωττ→∞

?=-= ??

因此()X t 的均值是各态历经的。

（用定理证） ()()()XT R X t X t ττ=+

[][]1lim cos ()sin ()cos sin d 2T

T T U

t V t U t V t t T ωτωτωω-→∞

=++++?

1lim

cos ()cos sin ()sin sin (2)d 2T T

T U t t V t t U V t t T

ωτωωτωωτ-→∞

=+++++?

[][]2

1lim

cos (2)cos cos (2)cos sin (2)d 22

T T

T U V

t t UV t t T

ωτωτωτωτωτ-→∞

=++-

+-++?

1sin (2)sin (2)cos (2)cos (2)cos lim 2

242T U V

U V

T T UV T T T ωτωτωτωτωτωωωω→∞??+-+-+-????=

++-+????????????

cos cos ()2

X U V

R ωτσωττ+=

因此()X t 的自相关函数是各态历经的。

三、设平稳随机过程()X t 的自相关函数()X R e

τ-=。令0()()cos()Y t X t t ω=+Θ，其中

0ω>，Θ为[0,2]π均匀分布的随机变量，且()X t 与Θ相互独立。

求()Y t 的自相关函数和功率谱密度。解：0102()[cos()cos()]Z R E t t τωω=+Θ+Θ

010*******[cos()cos(2)]2

E t t t t ωωωω=-+

++Θ

{}01201201211cos ()cos ()[cos 2]sin ()[sin 2]22t t t t E t t E ωωω=-++Θ-+Θ

01201211cos ()cos ,22

t t t t ωωττ=-=

1212(,)[()()]Y R t t E Y t Y t =

101202[()cos()()cos()]E X t t X t t ωω=+Θ+Θ 120102[()()][cos()cos()]E X t X t E t t ωω=+Θ+Θ 12()(),X Z R R t t τττ==- 01cos 2e

ωτ-=

2()1X S ωω

=+，00()[()()]2

Z S π

ωδωωδωω=

-++

由Fourier 变换的性质得 22001111

()()()221()1()Y X Z S S S ωωωπ

ωωωω??=

+ ?

+-++??

四、已知2

()X R e

τ-=，如果d ()()()d X t Y t X t t

，求()Y R τ。（教材P124 题3.4）

解：()[()()]Y R E Y t Y t ττ=-

{}[()()][()()]E X t X

t X t X t ττ=+-+- [()()()()()()()()]E X t X t X

t X t X t X t X t X t ττττ=-+-+-+- ()()()()X X X X R R R R ττττ''''=-+- ()()X X

R R ττ''=- 2

2(34)e

τ-=-

五、()X t 是一个平稳的高斯随机过程，其功率谱密度为1,()0,X B

S ωω?≤=??

其他，

其中B 为常数。（参考教材P179 题5.5） 1.求()X t 的一维概率密度。

2.求()X t 的二维联合概率密度，并问当12,t t 是什么关系时12(),()X t X t 相互独立。解：1.120

()d cos d sin ,2B B j X B

R e

B t t ωτ

τωωτωττπ

πτ

=-?

()lim ()lim

sin 0X t R B ττμττπτ

→∞

=== 所以0x μ=

()[()](0)lim

sin X B

t E X t R B τστπτπ

→====

所以()X t

的一维概率密度为2

2()2X X x f x σ??=-??

其中2

σπ

2. []12(),()0T

t t μμμ==

[]121212()()(,)(),X X E X t X t R t t R t t ττ===-

[][]2112122

212sin ()()()1

,sin ()()()B B E X t E X t X t C t t B E X t X t E X t B ττττπτ?

????

???

?===-?

???????

??-?

????

所以()X t 的二维概率密度为 []11

12121

1(,;)exp ,22X x f x x x x C

x C

τπ-??????

-??????????

12(),()X t X t 相互独立等价于12(),()X t X t 互不相关。因此12210C C ==，即

sin 0B τ

=。

所以,(1,2,)B k k τπ==±± ，即12,t t 应满足12,(1,2,)k t t k B

π-=

=±± 的条件时

12(),()X t X t 相互独立。（相似题：教材P179 题5.9）

六、如图，设()X t 为高斯白噪声随机过程，其自相关函数为0()()2

X N R τδτ=，T 为延迟。

（教材P126 题3. 19图）

1.求(),()X t Z t 的互相关函数()XZ R τ。

2. 求(),()Z t X t 的互相关函数()ZX R τ。

解：1.系统冲激响应为[]()()()()()()h t t t T u t u t u t T δδ=--*=--

[][]0

0()()()()()()()()22X Z X N N R R h u u T u u T τττδτττττ=*-=

*----=

----

2. [][]00

()()()()()()()()2

ZX X N N R R h u u T u u T τττδτττττ=*=

*--=

七、如图所示系统中，自相关函数为0()2

N δτ的白噪声分成两路经过频率响应特性分别为

1()H j ω和2()H j ω的对称窄带系统。（教材P152 题4.22） 1.求输出1()Y t 和2()Y t 的互谱密度12

()Y Y S ω。

2.当12(),()H j H j ωω在什么条件下，互相关函数12

()Y Y R τ为偶函数？

3.当12(),()H j H j ωω在什么条件下，12(),()Y t Y t 统计独立？解：1.对图所示系统，有

1212()()()()()d Y t Y t Y t X t u h u u ττ∞-∞-=--? 12()()()()()d Y t X t X t a X t h a a ττ∞

-∞

--?

对上式取期望，可得

1212()()()d Y Y Y X R R u h u u ττ∞-∞=+?

11()()()d Y X X R R a h a a ττ∞-∞

所以

1212()()()()Y Y X R R h h ττττ=**-

1201212()()()()()()2

Y Y X N S S H j H j H j H j ωωωωωω*

2. 由维纳-辛钦定理知，12

()Y Y R τ为偶函数等价于12

()Y Y S ω为偶函数，又因

12012()()()2

Y Y N S H j H j ωωω*

所以当12()()H j H j ωω*

为实对称函数时，互相关函数12

()Y Y R τ为偶函数。

3. 12(),()Y t Y t 统计独立等价于12(),()Y t Y t 不相关，因此有12

()0Y Y R τ=

因此1()h t 和2()h t 应满足12()()0h t h t *-=

在频域里12()()0H j H j ωω*

即在频域里要求两个系统的通带不混叠。

References

[1] 周荫清随机过程理论（第2版）电子工业出版社2006

[2] 周荫清，李春升，陈杰随机过程习题集清华大学出版社2004

[3] 孙清华，孙昊随机过程内容、方法与技巧华中科技大学出版社2004

[4] 陆传赉随机过程习题解析北京邮电大学出版社2004

几点说明：

此试卷源自27、28班随机老师课堂所讲试卷手抄板。在此感谢此随机过程任课老师以及试卷手抄板原作者。由于原手抄板试卷题目不是很详细，尤其是缺少附图，此份试卷可能有些许错误，试卷答案均由我一人参考一些书籍做出，更可能存在纰漏，请使用者思考之后掌握题目所用方法即可。因为本试卷已经讲过所以出原题可能性较小。

本次考试有简答题、判断题、计算题三种类型。从本试卷分析可看出，试卷难度还是很大的。希望大家认真复习，考出好成绩！

Best Wishes!

2009-11-20