数学模型优化作业

数

学

建

模

组长：陈斌200911002149 信息0941 组员：侯志强200911002239 信息0942 吕明松200911002236 信息0942

1，某快餐店坐落在一个旅游景点中。这个旅游景点远离市区，平时游客不多，而在每个星期六游客猛增。快餐店主要是为旅客提供低价位的快餐服务。该快餐店雇佣了两名正式职工，正式职工每天工作八小时，其余工作有临时工来担任，临时工每班工作4小时。在星期六，该快餐店从上午11点开始营业到下午10点关门。根据游客就餐情况，在星期六每个营业小时所需职工数（包括正式工和临时工）如下表所示：

已知一名正式职工11点开始上班，工作4小时后休息1个小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1个小时，而后再工作4小时。又知临时工每小时的工资为4小时。（1）在满足对职工需求的条件下如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小？

（2）如果临时工每班工作时间可以是3小时也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小？比

（1）节省多少费用？这时应安排多少临时工班次？ 解：设，1a ：第11点开始工作的正式工；

2a ：第13点开始工作的正式工； i x ：第i 点钟需要的临时工人数1,2,...8;i = 1i x ：第i 点钟需要的4小时临时工人数1,2,...8;i = 2i x ：第i 点钟需要的3小时临时工人数1,2,...9;i =

（1），设第i 点钟需要的临时工人数为i x 个，1,2,...8;i =1x 表示第11点需要的临时工数，…，8x 表示第18点需要的临时工数。 由题意可得，如下表：

以雇佣临时工人数最少为目标函数：

12345678min()x x x x x x x x +++++++；

约束条件：

1121231234234534564567

56786787888,8,7,1,2,1,5,10,10,6,6.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ≥?

?+≥?

?++≥?

+++≥??+++≥?

+++≥??+++≥?+++≥??++≥??+≥?

≥?

由Lingo 程序（附录1）可求得需要的最少临时工数，如下表：

按此方案需要临时工人数为20个，成本为80个小时。

（2）假设需要4小时的临时工为1i x ，需要3小时的临时工为2i x ;

11x 表示第11点需要的4小时临时工数，…，18x 表示第18点需要的4

小时临时工数；21x 表示第11点需要的3小时临时工数，…，29x 表示第19点需要的3小时临时工数；

以雇佣临时工人数工作小时最少为目标函数：

1112131415161718212223242526272829min(4()3())x x x x x x x x x x x x x x x x x ?++++++++?++++++++

约束条件：

11211112212211121321222311121314222324121314152324251314151624252614151617252627

15161718262728,8,7,1,2,1,5,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +≥+++≥+++++≥++++++≥++++++≥++++++≥++++++≥++++++816171827282917182829182910,10,6,6.x x x x x x x x x x x x ?

??

??

???

???≥??+++++≥??+++≥?

+≥?

由Lingo 程序（附录2）可求得需要的雇佣临时工工作时间最少的排班，如下表：

最少时间为66小时，可以比问题一中少用14小时。附录：

附录1

min=x1+x2+x3+x4+x5+X6+x7+x8;

x1>=8;

x1+x2>=8;

x1+x2+x3>=7;

x1+x2+x3+x4>=1;

x2+x3+x4+x5>=2;

x3+x4+x5+x6>=1;

x4+x5+x6+x7>=5;

x5+x6+x7+x8>=10;

x6+x7+x8>=10;

x7+x8>=6;

x8>=6;

Global optimal solution found at iteration: 13 Objective value: 20.00000

Variable Value Reduced Cost

X1 8.000000 0.000000

X2 1.000000 0.000000

X3 0.000000 0.000000

X4 0.000000 0.000000

X5 1.000000 0.000000

X6 4.000000 0.000000

X7 0.000000 0.000000

X8 6.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 20.00000 -1.000000

2 0.000000 -1.000000

3 1.000000 0.000000

4 2.000000 0.000000

5 8.000000 0.000000

6 0.000000 -1.000000

7 4.000000 0.000000

8 0.000000 0.000000

9 1.000000 0.000000

10 0.000000

-1.000000

11 0.000000

0.000000

12 0.000000 0.000000

附录2

min=4*(x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18)+3*(x21+x22+x23+x24+

x25+X26+x27+x28+x29);

x11+x21>=8;

x11+x12+x21+x22>=8;

x11+x12+x13+x21+x22+x23>=7;

x11+x12+x13+x14+x22+x23+x24>=1;

x12+x13+x14+x15+x23+x24+x25>=2;

x13+x14+x15+x16+x24+x25+x26>=1;

x14+x15+x16+x17+x25+x26+x27>=5;

x15+x16+x17+x18+x26+x27+x28>=10;

x16+x17+x18+x27+x28+x29>=10;

x17+x18+x28+x29>=6;

x18+x29>=6;

Global optimal solution found at iteration: 12 Objective value: 66.00000

Variable Value Reduced Cost

X11 0.000000 0.000000

X12 0.000000 0.000000

X13 0.000000 1.000000

X14 0.000000 0.000000

X15 0.000000 0.000000

X16 0.000000 1.000000

X17 0.000000 1.000000

X18 6.000000 0.000000

X21 8.000000 0.000000

X22 0.000000 1.000000

X23 1.000000 0.000000

X24 0.000000 0.000000

X25 1.000000 0.000000

X26 0.000000 1.000000

X27 4.000000 0.000000

X28 0.000000 1.000000

X29 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 66.00000

2 0.000000 -2.000000

3 0.000000 -1.000000

4 2.000000 0.000000

5 0.000000 -1.000000

6 0.000000 -2.000000

7 0.000000 0.000000

8 0.000000 -1.000000

9 0.000000 -1.000000

10 0.000000 -1.000000

11 0.000000 0.000000

12 0.000000

2，某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？

解：由题意可知如下表，可以有五种下料方法：

设X1，X2，X3，X4，X5，分别表示以上五种方法下料时所需的原料根数，建立数学模型：

目标函数：Min X1+X2+X3+X4+X5；

约束条件：s.t. X1>0,X2>0,X3>0,X4>0,X5>0；

X1+2X2+X4> 100；

2X3+2X4+X5>100；

3X1+X2+2X3>100；

使用Lingo软件算出最优下料方案为：X1=0，X2=30，X3=0，X4=10，X5=50；即先按方法二下料30根，再按方法四下料10根，最后按方法五下料50根。

所以总共只需要90根原料即可生产处100套钢架。

数学建模作业——实验1

数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日

基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，

则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :

数学建模作业

郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217

优化问题的数学模型及基本要素

第1章 优化设计 Chapter 1 Optimization Design 1-1 优化设计 1-1-1 最优化 (optimize, optimization ) 所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。(Optimization deals with how to do things in the best possible manner) 结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。(It is the best of all possibilities) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。(P1) 1-1-2 最优化方法 (Arithmetic ) 要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（try ）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分(differential and variation)。数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。(Linear programming or Nonlinear programming, Integer, Dynamic, Quadratic ) 数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。(Optimization theory plus computer program) 1-1-3 优化设计 下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。 例1-1 设计一个体积为5cm 3的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。要求使薄板耗 材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。 分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。 传统设计方法: 首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。要满足包装箱体积为3 5m 的设计要求，则有以下多种设计方案: 如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。 最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。 机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图

数学建模作业

习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？

4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890

《数学模型》作业解答(第一章)

《数学模型》作业解答 第二章(1)（2008年9月16日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n

第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1Λ=i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车

数学建模作业

分析，我们仅利用1x 和2x 来建立y 的预测模型。 四、模型建立 （显示模型函数的构造过程） （1）为了大致地分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用表一的数据分别作出y 对1x 和2x 的散点图 y 与x1的关系 程序代码： x1=[ 0 0 ]; y=[ ]; A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go') y 与x2的关系 x2=[ ]; y=[ ]; A=polyfit(x2,y,2) x3=::; y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)

图1 y 对x1的散点图 图2 y 与x2的散点图 从图1 可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 011y x ββε=++ （1） 拟合的（其中ε是随机误差），而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增长的趋势，图中的曲 线是用二次函数模型 2 01122y x x βββε=+++ （2） 拟合的。 综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型 2 0112232y x x x ββββε=++++ (3) (3)式右端的1x 和2x 称为回归变量（自变量），2 0112232x x x ββββ+++是给定价格差1x ，广告费 用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果，模型选择的合适，ε应大致服从均值为0的正态分布。 五、模型求解 （2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 程序代码：

关于电梯系统优化问题的数学模型

关于电梯系统优化问题 的数学模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

关于电梯系统优化问题的数学模型 摘要 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。在当今社会，工作生活节奏愈发加快，因而电梯系统的运行效率对人们的生活的影响不可忽视。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，一般都使用单井道单轿厢或者单井道双轿厢两种模式的电梯，本文就结合这两种模式，根据实际情况将问题分为两种情况考虑，重点讨论了将电梯运行效率最大化的方法，建立了相关模型，并给出了相应的优化参数。 本文将电梯系统的优化分为高峰期和非高峰期两种时期进行讨论。高峰期时通过对问题的分析，发现可以设置电梯区间以尽可能减少目标层较高的乘客占用目标层较低的乘客的电梯资源，根据这一思想，我们将其简化为排队问题来考虑，并据此建立了排队模型，通过实地统计数据以及C语言的编程，能够较好地解出模型，得到在高峰期时将一部分电梯区间的顶层设为第14层左右的优化方案。非高峰期时通过对这一时期特点的分析，以每台电梯在无乘梯需求时自动停留的楼层为着眼点，采用枚举的方法编程求解，得到在非高峰期将电梯均匀分布在楼层中的优化方案。最后，我们对模型参数进行了灵敏度的分析，发现虽然模型对数据的依赖性较强，但最优方案不随参数的波动而变化，所以这个结果还是可信的。 本文提出的方案直观易行，且几乎不需额外的经济投入，可行性很强，具有较好的参考价值。 一问题重述 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，主要使用单轿厢和双轿厢两种电梯运行系统。单轿厢电梯在向上运行时，只有满足了所有“上行请求”时才会开始满足“下行请求”，反之亦然；而对于双轿厢电梯，乘客在进入轿厢前就通过按钮面板选择了要停靠的楼层，系统迅速整合分析接收到的流量数据，并调度合适的轿箱来应接乘客。 现有一座商务楼，设计地上层数为28层，地下停车楼2层，每层的建筑面积为1500平方米，楼内有6个用于客梯的电梯井道。电梯按照商务楼建筑面积15至20平方米每人的标准来设计。第1层的楼层高为4.8米，其余层均为3.2米，设计电梯的平均运行速度1.6米/秒。我们的任务是： 1．建立一个合适的单轿箱客梯系统的运行方案，使尽可能地提高电梯系统的运行效率； 2．分别在运行的高峰期与非高峰期，对双轿箱的电梯系统与单轿箱的电梯系统的运行效率等进行对比分析,评价两种方案的优劣性，估计双轿厢系统运行效率的提高率。 二基本假设 1．电梯载客量为13人，且不超载。13人载客量是国内最常见的一种电梯规格，并且为了乘梯安全，电梯不应超载。 2．电梯在每层停留的时间相等。在假设1成立的前提下，电梯乘客可以迅速有序地离开电梯，电梯停留时间受离开人数的影响可以忽略不计。

数学建模作业43950

题目： 某种电子系统由三种元件组成，为了使系统正常运转，每个元件都必须工作良好，如果一个或多个元件安装备用件将会提高系统的可靠性，已知系统运转的可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一个元件的可靠性是备用元件函数，具体数值见下表。 若全部备用件费用限制为150元，重量限制为20公斤，问每个元件安装多少备用件可使系统可靠性达到极大值？ 要求：①作出全局最优解 ②列出这个问题的整数规划模型

假设：系统在运转过程中相互间没有影响，并且系统在增加备用件后 可靠性可以相互叠加。 建模： 设原件1,2,3需要的备用件各为x,y,z，可靠性为p分别为xp,yp,zp，整 个设备的可靠性为p，则由题意可得到： p=xp*yp*zp; 2x+4y+6z<=20; 20x+30y+40z<=150; x,y,z均为整数； 求出适当的x,y,z使p的值最大。 运用穷举法，编写C++程序如下： #include void main() { using namespace std; int x=0,y=0,z=0;//备à?用??零￠?件t数oy目? double xp[6]={0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1},yp[4]={0.6,0.75,0.95,1},zp[3]={0.7,0.9,1}; double p=0,temp=0;//可¨|靠?性? int i=0,j=0,k=0; cout<<"x\ty\tz\tp\n"; for(i=0;i<6;i++) { y=0; for(j=0;j<4;j++) { z=0; for(k=0;k<3;k++) {if((x+2*y+3*z<=10)&&(2*x+3*y+4*z<=15)) {temp=p; p=xp[x]*yp[y]*zp[z]; cout<

数学建模作业

数学建模作业 ：成靖 学号：1408030311 班级：计科1403班 日期：2015.12.30

1.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？ 如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′15"2；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5，组成接力队的方案是否应该调整？ 名队员4种泳姿的百米平均成绩 ij 若参选择队员i加泳姿j 的比赛，记x ij=1, 否则记x ij=0 目标函数: 即 min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24 +78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+ 67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54; 约束条件: x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x51+x52+x53+x54<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+x53=1; x14+x24+x34+x44+x54=1; ∑∑ == = 4 1 5 1 j i ij ij x c Z Min

lingo模型程序和运行结果 因此，最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0 成绩为253.2(秒)=4′13"2 即：甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳.

数学建模优化问题经典练习

1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000

优化问题的数学模型

一. 管理科学的定义 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科. (1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤. （1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所 要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。 （2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。建模过程是一项创造性的 工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。 （3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。要在计算机上运行数学程序对模型进行求 解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。有时要自己编写程序。 （4） 测试模型并在必要时修正。在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能 准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。 （5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。对模型求解并分析后，将相应的最优方案提 交给管理者，由管理者做出决策。管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。 （6） 帮助实施管理决策。建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督 决策方案的实施。 新问题, 新模型, 新算法, 新应用. 三.优化问题的数学模型 1212max(min)(,, ,) (,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m =≤?? =? 由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划 （1） max 0 0 Z CX hY AX GY b X Y =++≤≥≥取整数 其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ?????，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。 当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。

数学建模作业(三)

数学建模作业（三）第三章习题 2013/04/09

速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气的密度是ρ，用量纲分析法确定风车获得的功率p 与v ，s ，ρ的关系。 ● 对于风车获得的功率p 与v ，s ，ρ的关系我们假设： 1.忽略其它因素对功率的影响 2.将其视为理想化模型 ● 在这些假设下，风车获得的功率与以下物理量有关： 风车获得的功率p ，风速v ，迎风面积s ，空气密度ρ。 ● 它们的量纲分别是 23[]p ML T -=,1[]v LT -=,23[],].[L L s M ρ-== ● 设1234=p v s ααααπρ，有 1234 1412341223123+2++2-3-3-[]()()()()MLT LT L ML M L T ααααααααααααπ---== 由[]1π=得到以下线性方程组 141234********* αααααααα?+=?++-=??--=? 不难验证，这个方程组的秩为3. 因此方程组的解空间是4维。 由 ()()1 =1α 可得方程组的基本解： 1(1,3,1,1),=---e 于是，与这四个参数有关的量纲乘积为 3111=,pv s πρ--- ● 四个物理量之间的关系为()10.f π=即 () 3110.f pv s ρ---= ● 根据隐函数运算法则，得

● 3p s v λρ=， 其中λ为无单位的常比例系数。 俗话说“大饺子能装馅”，试自建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。 ● “大饺子能装馅”考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅。 ● 为了简化模型，我们做出以下假设 1. 饺子都是标准球形 2. 3. 饺子大小全部一致 4. 5. 饺子皮的厚度相同 6. 饺子皮的厚度忽略不计 ● 涉及到的物理量： 饺子皮总面积S ，一个饺子皮的面积s ，饺子数n ，饺子半径r ，所包馅的总体积V ，一个饺子包含馅的体积v ● ● 这些物理量有以下关系： 2 3 s=443 /r v r n S s V nv ππ=== 可得S V =● 因此，大饺子能装馅，这一说法正确。

数学模型作业

数学模型（第四版）第11 章（博弈模型）习题 1. “田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。孙膑发现他们的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。” 三场比赛完后，田忌只有一场不胜而两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。 （1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考何时可以建模为一个博弈问题，何时只是一个简单的单人决策问题。 （2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。 2. 1943 年2 月，第二次世界大战新几内亚战争处于关键阶段，日军决定从新不列颠附近的岛屿调派援兵。日军运输船可以沿新不列颠北侧航行，但是可能会遇上下雨，能见度也较差；或者沿岛屿的南侧航行，天气会比较好。不论那种路线都需要三天时间。如果他们希望有个好天气，当然应该选择沿南部走的路线。但是战争期间日军指挥部希望运输船暴露在由西南太平洋盟军空军司令肯尼将军指挥的美军攻击火力下的时间尽可能少。在这样的条件下日军应该选择哪条路线？ 不列颠远侧集结。肯尼将军当然希望轰炸日军船队的天数达到最大。但是美军没有足够的侦察机兼顾南北两条路线，从而尽早侦察到日本运输船的航行路线。因此，肯尼将军只能将大量的侦察机集中在南部或者北部路线上。肯尼将军应该怎么做呢？ 如果盟军将侦察机集中在南部路线上，日军也选择南部路线，则盟军可以轰炸日军三天；而若日军选择北部路线，则盟军只能轰炸日军一天。如果盟军将侦察机集中在北部路线上，则无论日军选择哪条路线，盟军可以轰炸日军两天。 （1）建立博弈模型描述双方指挥官的决策问题。 （2）求出该博弈模型的纯战略纳什均衡，并查阅当时的历史，看看双方的行动是否确实与此一致。 3. 2004 年美国总统选举即将开始前，两位候选人布什和克里都把拉票的重点转移到了竞争异常激烈的宾夕法尼亚、俄亥俄、弗罗里达三个州。民意调查显示，当时布什在这三个州赢得选举的可能性分别是20%，60%和80%。为了赢得整个选举，布什必须至少赢得其中两个州。假设如果两人同时到某个州拉票，则对每个州获胜的概率没有影响；如果两人到不同州拉票，则候选人在其所到访的州获胜的概率将增加10%。由于剩余的时间只能允许每位候选人到其中一个州拉票，那么他们应该分别选择到哪个州？ （1）建立博弈模型描述两位候选人的决策问题。 （2）求出博弈模型的纯战略纳什均衡。 4. 我们经常见到媒体报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？ 5. 同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城” 等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀地分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，做出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？ 6. 分析两个完全类似的国家对某种商品的关税税率设定问题，假设每个国家对该商品的需求与 价格间成线性减函数关系，两国博弈的顺序为：（1）两个国家的政府各自制定关于该商品的进口关 税税率；（2）两个国家各有一家企业决定生产该商品的数量（设两家企业的单件生产成本相同，并且不考虑固定成本），其中一部分供国内消费，一部分供出口（设运输成本可忽略不计）。每家企业

数学建模课程设计——优化问题

在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件

1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9

数学模型作业

数学模型作业 第一章 1、对于大多数工薪阶层的人士来说，想买 房，简直是天方夜谭.现在有这样一栋住宅楼, 每套只需自备款七万元，其余由公司贷款，可分期付款，每月只需付800元，十年还清.那么, 这对您还有什么问题呢!” 现在的问题是：这房子究竟值多少钱，即如果 一次付款要付多少钱？如果没有能力一次付款，实际 上，相当于借了多少钱？为什么要每月付800元? 对上述问题进行研究，供购房者参考. 2、0至17岁的儿童都可以参加这种保险，投 保金额可以崑交，也可以按年交，每份保险金额为1000元，保险公司要求各年龄的儿童需交 投保金额如下表1-1. 表1T

保险公司应对保险人的保险项目和金额为： (1) 教育保险金：被保险人到18、 19、20、21周岁时每年可领取一份保险金 1000 元. (2) 创业保险金：被保险人到22周岁时可 以领取保险金额的4. 7倍的创业保险金. (3) 结婚保险金：被保险人到25周岁时可 以领取保险金额的5. 7倍的结婚保险金. (4) 养老保险金:被保险人到60周岁时 可以领取保险金额的60倍的养老保险金. 现在的问题是：如果被保险人能活到60岁时, 贝！I (1) 如果按现行的存款年利率4.5%计算, 投保是 否合算？ 险公司从中获利多少? 首先假设投保人都能活到60岁；投保人的 交款和保险公司的返回保险金均在年初进行；银 行现行的存、 贷款利率不变；这里均按一份投保 金额(1000元)计算. 年龄为砍“丄2,. ")；按年袞趣为坠 % =(18-叭 伙=0,1,2,…,14)；崑交款额为 (2) 如果按现行的贷款年利率8%计算，保 总交

数学建模作业(1)

习题一在3.1节存储模型中的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来一样。 一、不允许缺货的存储模型 问题分析若生产周期短、产量少，会使存储费用小，准备费用大，货物价格不变；而周期长、产量多，会使存储费大，准备费小，货物价格不变。所以必然存在一个最佳周期，使总费用最小。显然，应建立一个优化模型。 模型假设为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q为连续量。根据问题性质作如下假设： （1）产品每天的需求量为常数r。 （2）每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3. （3）生产能力为无限大（相对于需求量），当存储量降为零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。 模型建立将存储量表示为时间t的函数q（t），t=0生产Q件，存储量q(0)=Q，q(t)以需求速率r递减，直到q(T)=0，如图，显然有：Q=rT q r 图（1）不允许缺货模型的存储量q（t） 一个周期内的存储费是c2∫q(t)dt,其中积分恰好等于图中三角形面积QT/2，因为一个周期的准备费是c1，购买每件货物的费用为c3，得到一个周期的总费用为： C=c1+c2QT/2+r Tc3=c1+c2r T2/2+r T c3 则每天的平均费用是 C(T)=c1/T+rc3+c2rT/2 上式为这个优化模型的目标函数。 模型求解求T使上式的C最小。容易得到 T=√2c1/（c2r）则Q=√2c1r/c2 二、允许缺货的存储模型 (1) 模型假设产品每天的需求量为常数r。 (2) 每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3. (3) 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件损失费为c4,但缺货数量需在下次生产（或订货）时补足。， 模型建立因存储量不足造成缺货时，可以认为存储量函数q(t)为负值，如图所示，周期仍记为T,Q是每周期初的存储量，当t=T1时q(t)=0,于是有Q=r T1 T

数学模型作业

二、已知速度曲线v(t) 上的四个数据点下表所示： 1：分析：该题提示用三次样条差值求，即用spline，所求位移是对函数的积分，所以可以用分割求和法做，把时间分成301个小段，每段长度为0.0001，用spline （t，v，x）进行拟合，每个x对应一个y值，得到的数集用y表示。用for循环计算出分割后，拟合后的y值的和，然后乘以时间间隔0.0001得出位移。求解加速度时取时间点0.18和之前的那一时间点，用速度的差除以时间段0.0001，得出t=0.18时的加速度a。 2：代码如下: t=[0.15:0.01:0.18]; v=[3.5 1.5 2.5 2.8]; t0=(0.15:0.0001:0.18); v0=spline(t,v,t0); sum=0; for j=1:1:301 sum=v0(j)+sum; end s=sum*0.0001 a=(v0(301)-v0(300))/0.0001 plot(t0,v0) hold on; plot(t0(1),v0(1),'r*') hold on; plot(t0(101),v0(101),'r*') hold on; plot(t0(201),v0(201),'r*') hold on; plot(t0(301),v0(301),'r*') 3：运行结果截图：

显示结果为： s =0.0689 a =-126.1395 4：做题中遇到的困难和收获： 开始对三次样条插值函数的使用不熟悉，不明白其中的的含义，后来通过翻看matlab参考书解决了遇到的问题。同时知道了求导求积分的一种方法，通过这次编程，我对插值，拟合的原理有所了解，学会使用三次样条插值spline（）函数并且，复习了for循环，了解了matlab的更多的功能。 在这次编程中，开始由于分段太少而导致图像曲线不圆滑，经过改进，得到了上述图像，求加速度的时候由于没看清题中是求t=0.18时的加速度，而导致加速度用变量表示，没能正确求得，经改正得到上述加速度。 三、计算图片文件 tu.bmp 给出的两个圆 A，B 的圆心，和两个圆的两条外公切线和两条内公切线的切点的坐标。 1：分析： (1) 先求圆心，调用并显示两个圆的图像，把圆用矩阵分割，转换成double数据类型，用mean（）函数求圆心，代码如下： data=imread('E:\tu.bmp') data2=double(data(1:200,1:200))

最优化问题的数学模型及其分类

最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为

2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策

变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成：

数学建模作业

说明：本电子版题目与教材原题不符者以教材为准，教材上没有的做了会适当加分。 教材上有而本电子版题目没有原题的，请同学们自行录入原题。 所有基本题目解答过程均须不少于姜启源先生《数学模型第三版习题参考解答》之答 案长度！ 第1章数学模型引论 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）（小型题目模版） 解： 模型分析（黑体五号字）：……宋体五号字 模型假设与符号说明（黑体五号字）：……宋体五号字 模型建立：……宋体五号字 模型求解：……宋体五号字 程序源代码（如果需要编程）：……宋体五号字 程序运行结果（如果有图形或数据）：……宋体五号字 模型讨论：……宋体五号字

在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k 应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页） 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？ 有3对阿拉伯夫妻过河，船至多载两人，条件是根据阿拉伯法典，任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？ 如果银行存款年利率为%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？ 某城市的Logistic 模型为 2 6 10 251251N N dt dN ?-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当∞→t 时发生什么情况。 假设人口增长服从这样规律：时刻t 的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ?+时间内人口数量与)(t x x m -成正比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。