圆锥曲线题-Microsoft Word 文档

第八章 圆锥曲线的方程

1、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形，

若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ）

A 、324+

B 、13-

C 、

2

1

3+ D 、13+

2．下列命题中假命题是（ ）

A ．离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直

B ．过点（1，1）且与直线x －2y+3=0垂直的直线方程是2x + y －3=0

C ．抛物线y 2

= 2x 的焦点到准线的距离为1

D ．223

x +225y =1的两条准线之间的距离为425

3.双曲线)0,(122

22>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象限的

点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,2

1

tan 1221-=∠=

∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．1351222=-y x

B ．1312522

=-y x C ．15

1232

2

=-y x D ．112

532

2=-y x 4、已知点P 为椭圆

120

452

2=+y x 上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P 到直线01234=+--m y x 的距离不大于3，则实数m 的取值范围是( )

A.[-7 ，8]

B.[29-

，2

11

] C.[2-，2] D.(∞-，7-)∪[8 ，∞+] 5、在ABC ?中，B(-2 ，0)，C(2 ，0)，A(x ，y )，给出ABC ?满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边ABC ?满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：(错一条连线得0分)

6．已知点P 是抛物线y 2

=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x+2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最不值为 （ ） A ．5

B ．4

C

（D ）

115

7、已知双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在双曲线上，且215PF PF =，

则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A 、

34 B 、2

3

C 、35

D 、2

8．动圆C 恒过定点(0，1)并总与y=-1相切，则此动圆圆心的轨迹方程为（ ）

A ．y 2=4x

B ．x 2=4y

C ．y 2=2x

D ．x 2

=2y

9．若1F 、2F 为双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，

点M

在双曲线的右准线上，且满足,1OM OF F ==λ)0(>λ，则该双曲线的

离心率为（ ） A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

10.以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =+||||，则动点P 的轨迹为椭圆；

②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2

OP OA OB =+

则动

点P 的轨迹为椭圆；

③到定直线c a x 2-=和定点)0,(c F -的距离之比为)0(>>a c c

a

的点的轨迹是双曲线

的左半支；

④方程02722=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

其中真命题的序号为 （写出所有真命题的

11．P 分的比是－x ，B 分的比是y ，则p （x,y ）所在的曲线是

（选填直线、抛物线、椭圆、双曲线）

12．如图，B 地在A 地正东方向6km 处，C 地在

B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ

（曲线）上任一点到A 的距离比到B 的距离远 4km ，现要在曲线PQ 上选一处M ，建一码头， 向BC 两地转运货物，经测算，从M 到B 、M

M B

C

P Q

A

到C 修建公路费用分别是20万元/km 、30万元/km ， 那么修建这条路的总费用最低是

13．点P 是抛物线x y 42

=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 . 14．（本小题满分12分）

过点)0,2(-P 的直线与又曲线42

2

=-x y 的下半支交于不同的两点A 、B ，

（1） 求直线AB 斜率的取值范围；

（2） 过点)0,6(M 与AB 中点N 的直线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围。 15．（12分）已知圆A 的圆心为(2，0)，半径为1，双曲线C 的两条渐近线都过原点，且与圆A 相切，双曲线C 的一个顶点A '与点A 关于直线y ＝x 对称． ⑴ 求双曲线C 的方程；

⑵ 设直线l 过点A ，斜率为k ，当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标．

16、（本题满分12分）已知：如图，双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x c ，B 是右焦点，F

是左顶点，点A 在x 成等比数列，过F 作双曲线C ，在第一，第三象限的渐近线的垂线 ，垂足是p 。（1）求证：?=?；（2）若l 与双曲线c 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线c 的离心率e 的取值范围。

17．(本题满分12分)已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线2

2

12

y x -=于A 、B 两点，且1()2

ON OA OB =+

（1）求直线AB 的方程；

（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且0CD AB

?

，那么A 、B 、C 、D 四点

是否共圆？为什么？

18．（12分）设∈y x .R ，i ，j 为直角坐标系的单位向量，a=xi+（y+2）j ，b=xi+（y －2）j ，|a|+|b|=8

（1）求动点M （x ，y ）的轨迹C 的方程

（2）过A （0，3）作直线L 与曲线C 交于A 、B 两点，若OB OA OP +=是否存在直线L 使得OAPB 为矩形，若存在，求出直线L 的方程，若不存在，说明理由 19．（14′）过曲线C ：y=

2

x 4

1的焦点F 作弦AB ， （1）求弦AB 的中点P 的轨迹方程；

（2）过点D （2，3）作曲线C 的弦M 1N 1使D 恰为M 1N 1的中点，求M 1N 1所在直线l 1的方程 （3）按向量 =（n －1）(0，1)平移l 1得l n ，n=2，3，4，…… l n 与曲线C 交于M n N n ，记|M n N n |=a n ，n ∈N*

求?????

?

++1n n

a a 1

的前n 项和S n 及S 160

20[文]已知△ABC 的两顶点A 、B 分别是双曲线2

2

221x y -=的左、右焦点, 且sinC 是sinA 、sinB 的等差中项.

（Ⅰ）求顶点C 的轨迹T 的方程；

（Ⅱ）设P(-2,0), 过点2

07

E -（，）作直线l 交轨迹T 于M 、N 两点，问∠MPN 的大小是否为定值？证明你的结论.

21、（13分）[理]已知△ABC 的两顶点A 、B 分别是双曲线2

2

221x y -=的左、右焦点, 且

sinC 是sinA 、sinB 的等差中项. （Ⅰ）求顶点C 的轨迹T 的方程；

（Ⅱ）设P(-2,0), M 、N 是轨迹T 上不同两点，当PM ⊥PN 时，证明直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.

22．椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的二个焦点F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，且

021=?F F 。 （12′）

①求离心率e 的取值范围；

②当离心率e 最小时，点N(0，3)到椭圆上一点的最远距离为25，求此椭圆的方程。 23．（12分）直角坐标平面内，ABC ?的两个顶点A ,B 的坐标分别为)0,1(),0,1(B A -，平

面内两点G 、M 同时满足以下条件：①0=++GC GB GA =+； ③

λ=.

（1）求点C 的轨迹T 的方程；

（2）过点)0,2(P 的直线l 与曲线T 交于E 、F 两点，求PF PE ?的取值范围.

答案

1、D

【思路分析】法一：F 2 (c , 0)，M (0 ,3c)

依MF 2中点N (2c 3,2c )在双曲线上，得22

22b

4c 3a 4c -=1

即)

a c (4c 3a 4c 22222--=1)1e (4e 34e 222--

?=1. 注意到e >1，解得e =3+1.

法二：连NF 1，则| NF 1| =3c ，| NF 2| = c. 根据双曲线的第一定义，有| NF 1| - | NF 2| = 2a. 即3c – c = 2a ∴e =

a

c

=3+1. 2．解答：A ：e = 2，a = b ，渐近线y = ±x 互相垂直，真命题。 B ：设所求直线斜率为k ，则k=－2，由点斜式得方程

为2x+y －3＝0 也为真命题

C ：焦点F （

21，0）准线x = －2

1

d = 1真命题 D ： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 222

25

c a 2=

假命题，选D 评析：考察圆锥曲线的基本知识，考察熟练程度。 3. A 【思路分析】：设),(00y x p ，则

1,2,2100000==-=+cy c

x y

c x y ，

∴ 3

3

2,635,2300=

==

y x c 【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算

4、A 5=c ，设),(00y x P ，则15510-=-?+x y x y x x ，120

452

20=+y x ， ∴ 30-=x , 40-=y

，

35

|

12|≤-=

m d ，得 87≤≤-m . 5、

6、 C 【思路分析】：由于点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，所以过焦点F 到直线x+2y+10=0的距离即是 【命题分析】：考察抛物线的几何性质及距离的转化思想

[ ① → (d ) ，② → (a ) ， ③ → (b )

④ → (c ) ]

7、（分析：r PF =1，22r PF =由 215r r = （已知）

a r r 2)(21=- a r =?22 又a c r -≥2 ∴

2

3

232≤?≥?-≥e c a a c a 故选B 项） 8．B [思路分析]：圆心到（0，1）的距离等于到y=-1的距离，则其轨迹为抛物线。 [命题分析]：考查圆的知识及抛物线定义和四种方程形式。

9．C 【思路分析】：由F =1知四边形OMP F 1

是平行四边形，又λ=

+

知OP 平分OM F 1∠，即OMP F 1是菱形，设c OF =1，则c PF =1.

又a PF PF 212=-，∴c a PF +=22，由双曲线的第二定义知：12

2+=+=e

c c a e ,且1>e ，∴2=e ，故选C .

【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性. 10.④

11．解答：将AP 分为x 份，BP 占1份，1

x 1

BA

-=

∴y = 1

x 1

- 填双曲线

评析：考察定比分点概念与公式。难点是函数y =

1

x 1

-的图象为双曲线。 12．解答：以AB 为X 轴，AB 的中垂线为Y 轴，建立平面直角坐标系。

则c=3，a=2，b=5 曲线PQ 的方程为15

y 4x 2

2=- （x ≥2）

点C （4，3） 焦点B 对应的

准线l ：x = 3

4

由双曲线第二定义2

3

d |MB |l m =-

∴30|MC|+20|MB|=30（|MC|+d m －l ） ≥30（4－

3

4） =80（万元） 填80（万元）

评析：用双曲线第一定义求方程，巧用第二定义将|MB|转化为

2

3

d m －l ， 求出当且仅当MC ∥AB 时，d m －l +|MC|最短，使这条路造价最低。 13．2

【思路分析】：x y 42

=的准线是1-=x . ∴p 到1-=x 的距离等于P 到焦

A

B P 2

2 2 {

点F 的距离，故点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到x =1-的距离之和的最小值为2=

FA .

【命题分析】：考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法.

14． 解：（1）设直线AB 斜率为k ，方程为)2(+=x k y )0(≠k ，代入双曲线方程得

084)1(222=-+-k ky y k 其方程两根都为负数

∴

???

?

?

?

???

>--=<--=+>-+=?0180140)1(32162

2

212

21222k k y y k k y y k k k 解之得

)2

2

,1(-

-∈k 5分 (2)设AB 中点),(00y x N ，则1

22

0--

=k k

y ∴ 1222200--=-=

k k k y x 即)1

2,12(222----k k

k k N 则直线MN 的方程为：)6(61

212222------

=x k k k k

y 化简得 3

463

42

2--

-=

k k

x k k y 7分 即3

22113462k k k k b -=--

=，而3221k

k -在)22,1(--上为单调减函数 ∴

3

221k

k -

)61,62(-∈ ∴ ),6()23,(+∞--∞∈ b 12分

15. ⑴ 设双曲线的渐近线为y ＝kx ，则

11

|2|2

=+k k ，解得k ＝±1．

即渐近线为y ＝±x ．

又点A 关于y ＝x 的对称点A '的坐标为(0，2)，

所以，a ＝b ＝2，双曲线的方程为12

22

2=-x y ． …………4分

⑵ 直线l ：y ＝k (x －2)，(0＜k ＜1)．

依题意设B 点在与l 平行的直线l '上，且l 与l '间的距离为2，设直线l '：y ＝kx ＋m ，则

1

|2|2++k m k ＝2，即m 2＋22km ＝2 ① …………6分

把l '代入双曲线方程得：(k 2－1)x 2＋2mkx ＋m 2－2＝0

∵ 0＜k ＜1，∴ k 2－1≠0． ∴ △＝4(m 2＋2k 2－2)＝0，即m 2＋2k 2＝2 ②……8分

解①②，得m ＝

510，k ＝5

52． ……10分 此时，x ＝22，y ＝10，所以B (22，10)． …………12分

16、解：（1）证法一： )(:c x b

a y --= x

a

b y

c x b a

y =--=)

( 解得),(

2c ab c a ρ

成等比数列 ∴)0,(2

c

a A

∴),0(c ab

-=，),(2c ab c a OP =，),(2c ab c b FP -=

∴222c b a -=?，2

2

2c

b a -=? ∴?=? 证法二：同上得),(2

c ab c a =ρ，)0,(2

c a A = ∴x PA ⊥轴，

0=?=?-?

∴FP PA OP PA ?=?

（2） 2

22222)(b a y a x b c x b

a

y =---= ∴2

222422)(b a c x b

a x

b =-- 即0)(2)(2

224242242

=+-+-b a c a cx b

a x

b a b

∵0)

(2

4

2222421<-+-=?b

a b b a c a x x ∴44a b >即22a b > ∴{

{

2222>?>- a a c

（本题主要考查圆锥曲线和向量知识的综合运用，将解析几何的问题与平面向量的问题有机地结合起来，进一步考查综合解题的年能力）

17、【思路分析】：（1）设直线AB ：(1)2y k x =-+代入2

2

12

y x -=得

222

(2)2(2)(2)20k x k k x k ------= （＊）……………2’

令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1、x 2是方程的两根

∴ 220k - 且 122

2(2)

2k k x x k

-+=

- ……………………………3’ ∵ 1()2ON OA OB =+ ∴ N 是AB 的中点 ∴1

2

12

x x += ………4’ ∴ 2

(2)2k k k -=-+ k = 1 ∴AB 方程为：y = x + 1 ……………6’ （2）将k = 1代入方程（＊）得2230x x --= 1x =-或3x = ……………7’

由1y x =+得10y =，24y =

∴ (1,0)A -，)4,3(B ……………………………………………………8’ ∵ 0=? ∴ CD 垂直平分AB ∴ CD 所在直线方程为 2)1(+--=x y 即x y -=3代入双曲线方程整理得01162=-+x x ………9’ 令),(33y x C ，),(44y x D 及CD 中点),(00y x M

则643-=+x x ，1143-=?x x ， ∴32

4

30-=+=x x x ， 60=y

|CD | =104，102||21

||||===CD MD MC

102||||==MB MA ，即A 、B 、C 、D 到M 距离相等

∴ A 、B 、C 、D 四点共圆 12分

18．解（1）∵a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8

∴动点M （x ，y ）是到定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和8

∴曲线C 的轨迹方程为

116

122

2=+y x （2）直线L 过N （0，3），若L 是y 轴，则A ，B 是椭圆的顶点 ∵=+=0，∴P 与O 重合与OAPB 为矩形矛盾 ∴直线L 的斜率存在，设L ：y=kx+3 A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）

由?????=++=116

12322y x kx y 得（4+3k 2）x 2+8kx －21=0

∵△=64k 2

+845（4+3k 2

）＞0恒成立 ∴由韦达定理得x 1+x 2=

4

382+k k x 12x 2=

421

2+k ∵=+ ∴OAPB 是平行四边形

若存在L ，使它为矩形，则⊥ 即2=0 ∴x 12x 2+y 12y 2=0 即（1+k 2

）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0，∴（1+k 2

）2（－

2

3421k

+）+3k 2（－23418k k

+）+9=0 k 2

=

16

5

k=±45 所求直线L 的方程：y=±45x+3

19．解：（1）焦点F （0，1），设弦AB 的斜率为K ，则AB 所在的直线方程为 y=kx+1 代入y=

2

x 4

1化简为x 2－4kx －4=0 设P （x ，y ）则：x=K 22

x x B

A

=+ y=2K 2

+1 消去K 得P 点的轨迹方程为： y=

1x 2

12

+ (x ≠0且y ≠1) （2）设M 1N 1的坐标分别为（x M ，y M ）（x N ，y N ） 则1)x x (4

1

x x y y K N M N M N M N M 11=+=--=

∴l 1的方程为:x －y+1=0

即所求的l 1的方程为x －y+1=0 (3)由（2）知l 1：x －y+1=0 l n ：x －y+n=0 将x －y+n=0代入y=2

x 4

1，整理得： x 2

－4x －4n=0

∴a n =|MnNn|=)n 4(44112

--+

∴a n =4n 22+

8

n 22n 24a a a a a a 12

n 21n n 1n 1n n +-+=--=++++ ∴S n =[]

）n 22n 24（)68()26(81

+-++?+-+-

=)2n 24(81

-+ S 160=)2324(8

1

-

=2

评析：考察考生求轨迹方程的能力，直线与曲线的位置关系，会用差分法求弦所在的直线方程，弦长公式，数列与弦长的转换，求和方法应用。 20[文]、【思路分析】 (Ⅰ) 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC

∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4

∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长2a = 4的椭圆（不包括x 轴上两点）.

∴点C 的轨迹T 的方程是3

y 4x 2

2+

=1 (x ≠±2) …………………………… 5分 (Ⅱ) 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x =7

2

-，代入3y 4x 22+

=1解得M 、N 的坐标为 （2

12,77

-±

），而|PE| =712

，∴∠MPN = 90°，

猜测∠MPN= 90°为定值. …………………………… 7分 证明：设直线l 的方程为my = x +

7

2

， 由

，得 (3m 2 + 4) y 2 712-

my 49

576-= 0 ∴y 1 + y 2 =

)

4m 3(7m 122

+，y 1 y 2 =)4m 3(49576

2+- …………………………… 9分 ∴PN PM ?= (x 1 + 2 , y 1)2(x 2 +2 , y 2 ) = (x 1 + 2 ) (x 2 +2) + y 1 y 2 = (my 1 +

712) (my 1 +7

12

) + y 1 y 2 = (m 2 +1) y 1 y 2 +712m (y 1 + y 2) +49

144

=(m 2 +1)257649(34)m -?

++712m 2

127(34)

m m ?++49144

= 0

∴∠MPN = 90°，为定值. …………………………… 13分

【命题分析】考查椭圆的定义，标准方程，几何性质等基础知识，以及解析几何基本思想和特殊化思想，考查考生的运算能力以及综合解题能力. 21[理]、【思路分析】

(Ⅰ) 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC ∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4

∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长2a = 4的椭圆（不包括x 轴上两点）. ∴点C 的轨迹T 的方程是3

y 4x 2

2+

=1 (x ≠±2) …………………………… 5分 (Ⅱ)解法一：设M (x 1 , y 1)、N (x 2 , y 2)，直线MN ：x = my + b

由???=++=12y 4x 3b my x 2

2，得 (3m 2 + 4) y 2 + 6mby + 3b 2 – 12 = 0 ∴y 1 + y 2 =4

m 3mb

62+-，y 1y 2

=4m 312b 322

+- ∵PM ⊥PN ，= (x 1 +2 , y 1)，PN = (x 2 +2 , y 2)

∴ PM 2= ( x 1 + 2) (x 2 + 2) + y 1y 2 = (my 1 + b +2 ) (my 2 + b + 2) + y 1y 2 = 0 整理，得(m 2 + 1) y 1y 2 + m (b + 2) (y 1 + y 2) + (b + 2)2 = 0 ………………… 9分

x = my 72

-

3x 2 + 4y 2 = 12

∴ (m 2

+ 1)24m 312b 322+-+ m (b + 2)2(4

m 3mb

62

+-) + (b + 2) 2 = 0 化简，得7b 2 + 16b + 4 = 0

解得b =7

2

-

或b = -2（舍去） 故直线MN ：x = my 72-

过定点 (7

2

-, 0 ) …………………………………… 13分 解法二：依题意，可设直线PM ：y = k (x +2 )；PN ：y = k

1

-(x + 2)，其中k ≠0 由???=++=12

y 4x 3)

2x (k y 2

2，得(3 + 4k 2) x 2 + 16k 2x + 16k 2 – 12 = 0 这个方程的两根是-2和x M ，

∴x M =2

2k 436k 8+--， y M = k (x M +2) =2

k 43k

12+ 将x M 、y M 中的k 换为k 1-，得x N =4k 38k 622+-, y N =4

k 3k

122+- ……………… 8分

当y M ≠y N 即k ≠±1时，k MN =)

1k (4k

7x x y y 2N M N M --

=-- ∴直线MN 的方程为y – )k 436

k 8x ()1k ( 4k 7k 43k 122

222+-+--=+，

即y =)72

x ()

1k ( 4k 72+--

…………………12分

当y M = y N 即k = ±1时，直线MN 的方程为x =7

2

-. 综上，直线MN 过定点 (7

2

-

, 0). ………………………………… 13分 【命题分析】考查椭圆的定义，标准方程，几何性质等基础知识，以及解决直线与椭圆位置关系问题的基本方法，着重考查考生引参消参、运算能力以及综合解题能力.

22．[思路分析]：（1）设点M 的坐标为(x ，y)，则),(1y c x F +=，),(2y c x F -=。由021=?M F M F ，得x 2

-c 2

+y 2

=0，即x 2

-c 2

=-y 2

。 ①

①又由点M 在椭圆上，得y 2

=b 2

222x a

b -，代入①，得x 2-

c 22

222b x a b -=，即

2222

2c

b a a x -=。

∵0≤2x ≤2a ，∴0≤2a 222c b a -≤2

a ，即0≤222c c a -≤1，0≤1

12

-e ≤1，解得22≤e ≤1。

又∵0＜e ＜1，∵

2

2

≤e ≤1。………………………………………………6′ （2）当离心率e 取最小值22

时，椭圆方程可表示为122222=+b

y b x 。

设点H(x ，y)是椭圆上的一点，则|HN|2

=x 2

+(y-3)2

=(2b 2

-2y 2

)+(y-3)2

=- (y+3)2

+2b 2+18(-b ≤y ≤b)。若0＜b ＜3，则0＞-b ＞-3，当y=-b 时，|HN|2有最大值b 2

+6b+9。

由题意知：b 2

+6b+9=50，b=325-或b=-325-，这与0

当y=-3时，|HN|2有最大值2b 2+18。由题意知：2b 2+18=50，b 2

=16，∴所求椭圆方程为

116

322

2=+y x 。………………………………………12′ [命题分析]：本题考查椭圆的离心率、几何性质、方程，结合向量与最值。

圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．

【智博教育原创专题】三大圆锥曲线经典结论

1 注重结论 巧妙应用之三大圆锥曲线经典结论 【结论1】在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值22b a -（注：若椭圆焦点在y 轴上时，即0b a >>，则定值为2 2a b -）。 【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 是椭圆上的任意不同的两点，00(,)P x y 是弦AB 中点。 221122 120221202222 1221x y x x x a b y y y x y a b ?+=?+=?????+=??+=??，由以上几式可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=。可转化为201 22120y y y b x x x a -?=-，即22AB OP b k k a ?=-。 【结论2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值22b a （注：若双曲线为焦点在y 轴上的形式，则定值为2 2a b ）。 【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 是双曲线上的任意两个不同的点，00(,)P x y 是弦AB 的中点。 221122 120221202222 1221x y x x x a b y y y x y a b ?-=?+=?????+=??-=??，由以上几式可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=。可转化为201 22120y y y b x x x a -?=-，即22AB OP b k k a ?=。 【结论3】抛物线22y px =上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为0 p x （0x 为弦中点的横坐标）。 【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 为22y px =上任意两个不同的点，00(,)P x y 为弦AB 中点。 212011212022 2222x x x y px y y y y px ?+==?????+==???，可得121212()()2()y y y y p x x +-=-，两边同除以12()x x +得：1212121212()()2()y y y y p x x x x x x +--=++，即得：01 212000 ,AB OP y y y p p k k x x x x x -?=?=-。 在解决圆锥曲线中有关弦的斜率与中点坐标问题时，利用“设而不求，代点作差”较麻烦，灵活运用上述结论，能够快速、简捷地解决圆锥曲线的有关问题。 1. 求中心在原点O ， 一焦点为，截直线32y x =-所得弦的中点横坐标为 12 的椭圆的方程。 【解析】设32y x =-与椭圆交于1122(,),(,),A x y B x y AB 中点为1 20001(,),22 x x P x y x +==在32y x =-上得012y =-，由上述结论知22AB OP b k k a ?=-，而3,1AB OP k k ==-。所以2 23b a =。由题意

【试卷】高三圆锥曲线专题测试题及答案

高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）

Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程．

圆锥曲线三大难点解读

圆锥曲线三大难点 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆 22 22:1(0)x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令21cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远， 此时，设l 与x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时， ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为222220b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2a 、2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是

否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ，ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y = -，当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线24x y =的焦点为F ， A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM ·AB 为定值； （2）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值． 简解：（1）(01)F ， ，设点A B ，的横坐标为12x x ，，则过点A B ，的切线分别为2111()42 x x y x x -=-，2 222()42x x y x x -=-，结合AF FB λ=，求得 0FM AB =为定值； （2） FM AB =，则 ABM △的面积 3 3 124 2 22FM AB S 1= =?=≥． 难点二、求参数范围（或值）问题 求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围．有时候

[高中数学]圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由

微专题圆锥曲线几何条件的处理

微专题圆锥曲线几何条件的处理策略 1.平行四边形处理策略 例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆 222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ ）能，4 4+ 【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系； （Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3 m m 列方程求k 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入222 9x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122 29 M x x kb x k +==-+， 2 99 M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3 m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9, y x k x y m ? =-???+=?得222 2981P k m x k =+ ，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3) 3 m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即2P M x x = = 2(3)23(9) mk k k -?+ ．解得14k = 24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为 4 4+OAPB 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略 例2.椭圆 22 22x y a b +=（0a b >> （1）求椭圆的方程；2 214 x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ?为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22 414 y kx x y =+???+=??消去y 得22 (14)32600k x kx +++=，

文科圆锥曲线专题练习与答案

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

圆锥曲线发展史

圆锥曲线发展史 对的研究大致经历了如下几个阶段。 一．最初发现 早在公元前5世纪~ 公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角”三大不可能问题。当初，他们并不知道这是不可能问题，所以努力想解决这些它们。虽然他们没有能解决这三大问题，但是却获得了不少意外的成果。据说，圆锥曲线的被发现，就是从这里开始的。 古希腊数学家希波克拉底（Hippocrates of Chios 公元前460），在解决“立方倍积” 问题时，发现圆锥曲线。另外一位古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus 公元前375 ~ 公元前325），用平面截不同的圆锥，发现圆锥曲线。 关于圆锥曲线的被发现还有一说，根据数学史家诺伊格鲍尔（Neugebauer，Otto 1898~ ？）的意见，圆锥曲线可能是在制作日晷时被发现的。可惜，关于日晷的发明和制作在古代就已失传，所以不可详考。 二．奠基工作 在古希腊，有许多数学家都研究过圆锥曲线。譬如，老阿里斯泰库斯（The Elder Aristacus 约公元前4世纪）、欧几里得、阿基米德、厄拉多塞（Eratosthenes 公元前274~公元前194）和阿波罗尼（Apollonius 公元前260 ~ 公元前190）等。其中，阿波罗尼的《圆锥曲线》是最杰出的，它与欧几里得的《几何原本》同被誉为古希腊几何登峰造极之作。 《圆锥曲线》8篇，共487个命题。 第1 篇，圆锥曲线的定义、性质； 第2 篇，双曲线渐近线的作法、性质，由此引入共轭双曲线，圆锥曲线切线的作法； 第3 篇，圆锥曲线与其切线、直径所成图形的面积，极点极线的调和性，焦点的性质； 第4 篇，极点极线的其它性质，各种位置的圆锥曲线可能有的交点数； 第5 篇，从特定点到圆锥曲线所能作的最长线和最短线； 第6 篇，全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形； 第7 篇，有心圆锥曲线两共轭直径； 第8 篇，失传，也许是关于如何定出有心圆锥曲线的共轭直径，使其长度的某些函数具有给定的值。 《圆锥曲线》现在的版本中，前4卷是从12~13世纪的希腊手稿本复制的，其后的3卷是从1290年阿拉伯译本转译的，第8卷已失传，现为17世纪的哈雷根据帕普斯书中的启示而搞出来的一个代替稿。阿波罗尼总结了前人的成就，提出了自己的创见，在《圆锥曲线》中，将圆锥曲线的性质收集殆尽，以至以致后代学者在千余年间对圆锥曲线的性质几乎没有插足的余地。以下，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的基础性的工作。 在古希腊，阿波罗尼之后，帕普斯（Pappus 约4 世纪）对圆锥曲线也作了重要的工作，即在《数学汇编》证明：与定点及定直线的距离成定比例的点的轨迹是圆锥曲线。这是阿波罗尼的《圆锥曲线》中所没有的。总而言之，在古希腊对圆锥曲线的研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由于没有坐标系统，所以在表达形式上存在着不容忽视的缺陷。 三．长期停滞 在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13 个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究没有什么进展。公元11 世纪，中亚数学家海雅姆（Khaym，Omar 1048 ~ 1131）利用圆锥曲线来解三次方程，而对圆锥曲线本身并没有深入的研究。

圆锥曲线三大难点解读

圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；

三大圆锥曲线知识点分析(原)

三大圆锥曲线知识点解析 一 圆锥曲线定义应用 1 充分理解几种曲线标准方程的定义（两种定义）。特别是对曲线的准线与离心率的理解与应用。理解掌握椭圆与双曲线定义中的常数2a 以及抛线方程中的常P 的含义，并能灵活运用。理解曲线方程中的有关量a,b,c,p 等均为大于0；运算中如出现负值要舍去。 记住曲线中一些量的定值： 1）椭圆上任一点到两焦点的距离之和等于2a 。 2）双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值等于2a 。 2）已知经过椭圆22 221x y a b +=的右焦点 2F 的直线 l ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的 左焦点，则1AF B ?的周长为定值4a 。 2 巩固练习： 1） 如果椭圆22110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是 2）双曲线2 2 4640x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离是 3）已知椭圆焦点为12(3,0),(3,0)F F -，椭圆上一点P 到12 F F 与的距离之和为 10；求椭的标准方程。 4）已知椭圆焦点12(5,0),(5,0);0.5F F e -= ，求椭圆标准方程。 5）已知椭圆焦点12(5,0),(5,0)F F -，右准线为64 5 x = ，求椭圆标准方程。 6）已知双曲线的离心率e = (5,3)M -；求双曲线标准方程。 7） 求与椭圆 2214924x y +=有公共焦点，且离心率54 e =的双曲线的方程。 8）当k 取什么值时，方程 22 1259x y k k +=--分别表示椭圆或双曲线？ 9）已知方程 22 121 x y m m +=++表示双曲线，求m 的取值范围。 10）抛物线2 2(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离是()2 p a a > ，则点M 到准线的

(强烈推荐)2020高考数学专项突破：圆锥曲线专题

2013高考数学专项突破：圆锥曲线专题 目录 一、知识考点讲解 (1) 第一部分了解基本题型 (2) 第二部分掌握基本知识 (4) 第三部分掌握基本方法 (6) 二、知识考点深入透析 (12) 三、圆锥曲线之高考链接 (14) 四、基础知识专项训练 (18) 五、解答题专项训练 (27) 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 (32) 附录：基础知识专项训练参考答案 (37) 附录：解答题专项训练参考答案 (39)

一、知识考点讲解 一、圆锥曲线的考查重点： 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。 二、圆锥曲线试题的特点： 1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。 三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分了解基本题型 一、高考中常见的圆锥曲线题型 1、直线与圆锥曲线结合的题型 （1）求圆锥曲线的轨迹方程： 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。

圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 21-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin )sin(++=e ；

（2）求|||PF PF 1323+的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

中职数学 圆锥曲线专项

石城县职业技术学校圆锥曲线专项数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共70分） 一、判断题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，对每小题的命题作出判断，对的选A ，错的选B 。 1、抛物线y x 82=的焦点坐标为（2，0）； （A B ） 2、双曲线17162 2=-x y 的焦距为6； （A B ） 3、双曲线 1162522=-y x 的渐近线方程为x y 4 5±=； （A B ） 4、若抛物线x y 42-=上一点P 到焦点的距离为4,则它的横坐标也为4；（A B ） 5、以坐标轴为对称轴，焦距是8且过点（5，0）的椭圆方程是19 252 2=+y x ；（A B ） 6、双曲线的离心率e 的范围为0

A 、（-1,2） B 、（-1，-2） C 、（1,2） D 、（1，-2） 13、椭圆14 2 2=+ y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 14、设F 1和F 2为椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=2 π ，则△F 1PF 2 的面积是（ ） A 、1 B 、 2 3 C 、2 D 、3 15、中心在坐标原点，一个焦点坐标是（-3，0），它的一条渐近线方程是5x-2y=0的双曲线方程是（ ） A 、14522=-y x B 、15422=-y x C 、131222=-x y D 、11232 2=-y x 16、已知椭圆 116 252 2=+Y X 上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3，则P 到另一个焦点的距离是（ ） A 、2 B 、3 C 、5 D 、7 17、抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ） A ．1617 B ．1615 C ．8 7 D ．0 18、以椭圆焦点1F 、2F 为直径的两个端点的圆，恰好过椭圆的两顶点，则这个椭圆的离心率是（ ） A 、 2 1 B 、22 C 、23 D 、552

(完整word)高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.

微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)解答

专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 0，20x 2－），B （x 0，－2 0x 2－），O AO B ?＝2

圆锥曲线三种弦长问题

圆锥曲线三种弦长问题的探究 在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为2 2 8a b +=，………① 又3 e =，即2223c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而12x x -= = ， 由弦长公式，得1255 AB x =-==， 即弦AB 的长度为 5 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2 2 ,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+= 则21 21 4y y k x x -= =-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. 解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+ 由()2418y k x y x ?=-+??=??，整理得2 83280ky y k --+=. 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128 y y k +=， 又∵P 是AB 的中点，∴ 1212y y +=，∴8 24k k =?= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=. 由24150 8x y y x --=??=? 整理得，22300y y --=，则12122,30y y y y +==- 有弦长公式得， 12AB y =-== . 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是 利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2 l 的方程为： )2y x =-， 代入椭圆C 的方程) 222162y x x y ?=-??+ =?? ，化简得，2 51860x x -+=