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北师大版八年级数学二元一次方程组知识总结及训练

二元一次方程组知识总结及训练

◆知识讲解

1．二元一次方程组的有关概念

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二元一次方程．

二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．

二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

2．二元一次方程组的解法

代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．

加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．

3．二元一次方程组的应用

对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：

（1）选定几个未知数；

（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；

（3）解方程组，得到方程组的解；

（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．

◆例题解析

例1 已知21x y =??

=?是方程组2(1)2

x m y nx y +-=??+=?的解，求（m+n ）的值．

【分析】由方程组的解的定义可知21x y =??=?，同时满足方程组中的两个方程，将2

x y =??

=?代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)2

x m y nx y +-=??

+=?中，得

22(1)12

211m n ?+-?=??

+=?

由①得m=－1，由②得n=0．

所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．

；

【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程．

例2 （2008，长沙市）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．?某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000?顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；?若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．

（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶

（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感

【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则

2105

23178

x y x y +=??

+=? 解得：x=41；y=32

答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．

（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．

;

可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．

例3 （2006，海南）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，?求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元

【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．

【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得

214523280x y x y +=??+=?解这个方程组，得125

10x y =??

故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．

例4 （2004，昆明市）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，?丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计万m 3，?其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米

《

（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B?型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨（每辆汽车运土石都以准载重量满载）

【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（1

x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为万m 3，可列方程x+3x+

x+1=；（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，?依题意可列方程组

3020600

1530600

x y x y +=??

+=?解方程后可求解．

【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂

的日供水量是（1

x+1）万m 3．由题意得：x+3x+1

x+1=，解得x=．

则3x=，x+1=．

答：甲水厂日供水量是万m 3，乙水厂日供水量是万m 3，?丙水厂日供水量是万m 3．

（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得：

《

30206001530600x y x y +=??

+=? ∴10

15x y =??=?

答：每辆A 型汽车每次运土石10t ，每辆B 型汽车每次运土石15t ．

【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．

◆强化训练一、填空题 1．若2x m+n －

1－3y m

－n －3

+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____．

2．在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．

[

3．若方程组026ax y x by +=??

+=?的解是1

2x y =??=-?，则a+b=_______．

4．已知方程组325

(1)7x y kx k y -=??

+-=?

的解x ，y ，其和x+y=1，则k_____．

5．已知x ，y ，t 满足方程组23532x t

y t x

=-??

-=?，则x 和y 之间应满足的关系式是_______．

6．（2008，宜宾）若方程组2x y b x by a +=??

-=?的解是1

0x y =??=?

，那么│a －b │=_____．

7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．

8．（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，

每天8：00至21：00用电每千瓦时元（“峰电”价），21：00至次日8：00?用电每千瓦时元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，?五月份用电量为300kW·h，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW·h．

二、选择题

9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．已知

x a

y b

是方程组

||2

x y

的解，则a+b的值等于（）

A．1 B．5 C．1或5 D．0 11．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，则（）

A．

B．

C．

D．

12．在解方程组

ax by

cx y

时，一同学把c看错而得到

，正确的解应是

，

那么a，b，c的值是（）

A．不能确定B．a=4，b=5，c=－2

C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=2

、

13．（2008，河北）如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，?每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）

A．20g B．25g C．15g D．30g

14．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组（）

A．

4527

10327

x y

B．

4527

10320

x y

C．

4527

10320

x y

D．

4275

10203

x y

15．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，?这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）

A．39名B．43名C．47名D．55名

16．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，?捐款情况如下表：

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．

若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组．（）

A．

2366

x y

B．

23100

x y

C．

3266

x y

D．

32100

x y

17．甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则ah相遇；若同向而行，则bh甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度为（）

…

A．a b

倍B．

a b

倍C．

b a

倍D．

b a

倍

18．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，?但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，?信封个数分别为（）

A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150

三、解答题

19．解下列方程组：

（1）（2008，天津市）

358

x y

（2）（2005，南充市）

x y

20．（2008，山东省）为迎接2008年奥运会，?某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”

和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，?已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，?生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，?如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套

21．（2008，重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A，B，C三地现在分别有赈灾物资00t，100t，80t，需要全部运往四川重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t．

（1）求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少

（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60t，A地运往D县的赈灾物资为xt（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t．则A，B?两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种请你写出具体的运送方案：

（3）已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如表所示：

为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，

在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少

22．（2003，常州市）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．

;

（1）乙班比甲班少付出多少元

（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克

(

答案

1．3；－1 2．－7 3．8 4．k=33

5．15y－x=6 6．1 7．20元80元8．100

9．?C 10．C 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．A 17．C 18．A 19．（1）由②得y=2x－1 ③

【

把③代入①得：3x+5（2x－1）=8

即x=1

把x=1代入③得y=1

∴原方程组的解为

1 x

（2）化简方程组，得

27 63 x y

x y

=+?

+=?

④代入⑤，得y=－3．将y=－3代入，得x=1

故原方程组的解是：

3 x

=-?

20．设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套，根据题意，得

4520000, 31030000. x y

x y

①×2－②得：5x=10000．

∴x=2000．

把x=2000代入①得：5y=12000．

∴y=2400．

答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．21．（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a（t），运往E县的数量为b（t）．

由题意，得

280,

220.

a b

、

解得

180,

100. a

答：这批赈灾物资运往D县的数量为180t，运往E县的数量为100t．

（2）由题意，得

1202

225

x x x

--≤

解得

40,

45.

≤

即40

∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．

则这批赈灾物资的运送方案有五种．

具体的运送方案是：

方案一：A地的赈灾物资运往D县41t，运往E县59t；B地的赈灾物资运往D县79t，运往E县21t．

）

方案二：A地的赈灾物资运往D县42t，运往E县58t；B地的赈灾物资运往D县78t，运往E县22t．

方案三：A地的赈灾物资运往D县43t，运往E县57t；B地的赈灾物资运往D县77t，

运往E县23t．

方案四：A地的赈灾物资运往D县44t，运往E县56t；B地的赈灾物资运往D县76t，运往E县24t．

方案五：A地的赈灾物资运往D县45t，运往E县55t；B地的赈灾物资运往D县75t，运往E县25t．

（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元，由题意，得

w=220x+250（100－x）+200（120－x）+220（x－20）+200×60+210×20=－10x+60800．因为w随x的增大而减小，且40

所以，当x=41时，w有最大值，则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：

(

w=60390（元）．

22．（1）乙班共付出70×2=140（元），乙班比甲班少付出189－140=49（元）．（2）设甲班第一次买苹果xkg，第二次买苹果ykg（x

①当x≤30时，则y>30（否则，x+y≤60<70）．

依题意有

3 2.5189

x y

或者

32189

x y

解之，得

或者

（不合题意，舍去）

②若3050，

当y>50，x+y>80>70，不合题意．

当30

③若x>50，y>x，则x+y>70，不合题意．

故甲班第一次买苹果28kg，第二次买苹果42kg．《

' ￥^ " 、

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