点集拓扑学拓扑知识点
(点集拓扑学拓扑)知识点
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第4章 连通性重要知识点
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉
及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
§4．1 连通空间
本节重点: 掌握连通与不连通的定义.
掌握如何证明一个集合的连通与否?
掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），
尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两
个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述
不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对
于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用
术语来区别这两种情形．
定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果
?=???)()(A B B A
则称子集A 和B 是隔离的．
明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A
与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，
而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个
无交的子集都是隔离的．
定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A
∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．
定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：
（l ）X 是一个不连通空间；
（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立；
（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立；
（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．
证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得
A ∪
B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有
B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()(
因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B
满足条件（2）中的要求．
（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，
则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要
求．
（3）蕴涵（4）．如果X 的子集A 和B 满足条件（3）中的要求，所以A 、B 是开集，
则由A ＝B '和B=A ' 易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真（∵
A 、
B ≠?，A ∪B=X ，∴A 、B ≠X ）子集，所以条件（4）成立．
（4）蕴涵（l ）．设X 中有一个既开又闭的非空真子集A ．令B=A '．则A 和B 都是X
中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A ∪B=X ．易见两个无交的闭子集必定是隔离的
（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l ）成立．
例4. 1．1 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任
何一个无理数r ∈R-Q ，集合（-∞，r ）∩Q ＝（－∞，r]∩Q 是子空间Q 中的一个既开又闭
的非空真子集．
定理4．1．2 实数空间R 是一个连通空间．
证明 我们用反证法来证明这个定理．
假设实数空间R 是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R 中有两个非空闭集A 和B
使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ R 成立．任意选取a ∈A 和b ∈B ，不失一般性可设a ＜b ．令A ~=A
∩[a,b]，和B ~=B ∩[a,b]．于是A ~和B ~是R 中的两个非空闭集分别包含a 和b ，并且使得A ~
∩B ~=?和A ~∪B ~=[a ，b]成立．集合A ~有上界b ，故有上确界，设为b ~．由于A ~是一个闭集，
所以b ~∈A ~，并且因此可见b ~＜b ，因为b ~＝b 将导致b ∈A ~∩B ~，而这与A ~∩B ~=?矛盾．因
此（b ~，b]?B ~．由于B ~是一个闭集，所以b ~∈B ~．这又导致b ~∈A ~∩B ~，也与A ~∩B ~
=?
矛盾．
定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，
则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．
拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通
与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果X Z Y ??，则Y 是X 的连通子集当且仅当
Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．
定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B ?Y ．则A 和B 是子空间Y 中的
隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集．
因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A
∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．
证明 因为 ))(())(())()(())()(()
))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ???=?????=?????=???
因此根据隔离子集的定义可见定理成立．
定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使
得 Y ?A U B ，则或者 Y ?A ，或者 Y ?B ．
证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y ?AUB ，则
?
=????=?????????????)()(()
()()
)(())((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A
这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而
（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y
因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=?，据上式
立即可见 Y ?B ，如果 B ∩Y ＝ ?，同理可见Y ?A ．
定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z ?X 满足条件Y Z Y ??．则 Z
也是X 的一个连通子集．
证明 假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集
A 和
B 使得Z=A ∪B ．因此 Y ?AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，
或者Y ?A ，?=?=??=??????B Z B B A B Z A Y Z
或者Y ?B,同理,?=A 。
这两种情形都与假设矛盾．
定理4．1．6 设Γ∈γγ}{Y 是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族．如果?≠?Γ∈γγY ，则γγY Γ∈?是X 的一个连通子集．
证明 设A 和B 是X 中的两个隔离子集，使得γγY Γ∈?，＝A ∪B ．任意选取x ∈γγY Γ∈?，
不失一般性，设x ∈A ．对于每一个γ∈Γ，由于γY 连通，根据定理 4. 1． 4，或者A
Y ?γ或者 B Y ?γ ；由于 x ∈γY ∩A ，所以?=∧????Γ∈B A Y A Y γγγ．根据定理
4． 1． 3，这就证明了γγY Γ∈?是连通的．
定理4．1．7 设Y 是拓扑空间X 中的一个子集．如果对于任意x ，y ∈ Y 存在X 中
的一个连通子集xy Y 使得x ，y ∈xy Y ?Y ，则Y 是X 中的一个连通子集．
证明 如果 Y=?，显然 Y 是连通的．下设 Y ≠?,任意选取a ∈Y ，
容易验证Y ＝xy Y y Y ∈?并且a ∈ay Y y Y ∈?．应用定理4．1．6，可见Y 是连通的．
我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不
变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，
如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，
则此性质必然是拓扑不变性质．
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的
象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．由于同胚是连续的满射，所
以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质‘
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具
有，则称这个性质是一个可商性质．由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的
满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．
以下定理4．1．8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映
射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．
定理4．1．8 设f: X →Y 是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射．则f （X ）是
Y 的一个连通子集．
证明 如果f （X ）是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集A 和B 使得
f （X ）＝A ∪ B ．于是1-f （A ）和1-f （B ）是X 的非空子集，并且
?
=???=???????---------))()(())()(())()(())()(())()((111111111A B B A f A f B f B f A f A f B f B f
A f
所以 1-f （A ）和1-f
（B ）是 X 的非空隔离子集．此外， 1-f （A ）∪1-f （B ）＝1-f （A ∪B ）=1-f (f(X))=X
这说明X 不连通．与定理假设矛盾．
拓扑空间的某种性质P 称为有限可积性质，如果任意n ＞0个拓扑空间n X X X , (21)
具有性质p ，蕴涵着积空间n X X X ???...21也具有性质p ．
例如，容易直接证明，如果拓扑空间n X X X ,...,21都是离散空间（平庸空间），则积空
间n X X X ???...21也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸
性都是有限可积性质．
根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p 是一个
拓扑不变性质．为了证明性质p 是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质p 的拓
扑空间的积空间也是具有性质p 的拓扑空间．
定理4．1．9设n X X X ,...,21是n 个连通空间．则积空间n X X X ???...21也是连通
空间．
证明 根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明．
首先我们指出：如果212121),(),,(X X y y y x x x ?∈==两个点有一个坐标相同，则
21X X ?有一个连通子集同时包含x 和y
不失一般性，设 11y x =
定义映射k ：212X X X ?→使得对于任何22X z ∈有),()(212z x z k =．
由于
121:X X k p → 是取常值1x 的映射，
222:X X k p → 为恒同映射，
它们都是连续映射，其中21,p p 分别是21X X ?到第 1和第 2个坐标空间的投射．因
此，k 是一个连续映射．根据定理4．1．8，k(2X )是连通的．此外易见，212}{)(X x X k ?=，
因此它同时包含 x 和y ．
现在来证明：21X X ?中任何两个点212121),(),,(X X y y y x x x ?∈==同时属于
21X X ?的某一个连通子集．这是因为这时若令2121),(X X y x z ?∈=，则根据前段结论，
可见有21X X ?的一个连通子集1Y 同时包含 x 和 z ，也有21X X ?的一个连通子集2Y 同时
包含y 和z ．由于z ∈21Y Y ?，所以根据定理4．1. 6，21Y Y ?是连通的，它同时包含x 和
y ．
于是应用定理4．1．7可见21X X ?是一个连通空间．
由于n 维欧氏空间n R 是n 个实数空间R 的笛卡儿积，而实数空间R 又是一个连通空间，
所以应用这个定理可见，n 维欧氏空间n R 是一个连通空间．
作业: P.116 3. 5. 6. 8. 14.
§4．2 连通性的某些简单应用
本节重点: 掌握实数空间R 中的连通子集的”形状”
掌握实数空间R 的子集中常见的连通子集与不连通子集.
掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.
让我们回忆实数集合R 中区间的精确定义：R 的子集E 称为一个区间，如果它至少包
含两个点，并且如果a ，b ∈E ，a ＜b ，则有
[a ，b]={x ∈R | a ≤x ≤b}?E
读者熟知，实数集合R 中的区间共有以下九类：
（-∞，∞），（a ，∞），［a ，∞），（-∞，a ），(-∞，a ］
（a ，b ），（a ，b ］，［a ，b ），［a ，b ］
因为，一方面以上九类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E ?R 是一个区
间，可视E 有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E ，
而将E 归入以上九类之一
在定理4．1．2中我们证明了实数空间R 是一个连通空间．由于区间（a ，∞），
（－∞，a ）和（a ，b ）都同胚于R （请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间
也都是连通的；由于
),(],[],(),(],,[),[),(]
,(),(),,[),(b a b a b a b a b a b a b a a a a a ?????-∞=-∞∞=∞
根据定理4．1．5可见区间[a ，∞），（－∞，a]，[a ，b ），（a ，b]和[a ，b ］都是连通的．
另一方面，假设E 是R 的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E 不是一个区
间，则E b a b a R b a ??<∈?],[,,, 也就是说,存在a A=（－∞，c ）∩E ，B=(c ，∞)∩E 则可见A 和B 都是E 的非空开集，并且有A ∪B=E 和A ∩B=?，因此E 不连通. 综合以上两个方面，我们已经证明了： 定理4．2．1 设E 是实数空间R 的一个子集．E 是包含着不少于两个点的一个连通子 集当且仅当E 是一个区间． 定理4．2．2设X 是一个连通空间，f: X →R 是一个连续映射．则f(X)是R 中的一个区 间． 因此，如果x ，y ∈X ，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t （即当f(x)≤f(y)时， f(x)≤t ≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t ≤f(x))，存在z ∈X 使得f(z)=t ． 证明 这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4．2．1的明显推论．以下证明第二段．设 x ，y ∈X ．如果f （x ）＝f （y ），则没有什么要证明的．现在设f （x ）≠f （y ），并且不失一 般性，设f （x ）＜f （y ）．由于f （X ）是一个区间，所以［f （x ），f （y ）］?f （X ）．因此 对于任何t ，f(x)≤t ≤f(y)，有t ∈f(X)，所以存在z ∈X,使得f （z ）=t. 根据定理4．2．2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理． 定理4．2．3 ［介值定理］设f: [a ，b]→R 是从闭区间[a ，b]到实数空间R 的一个连续 映射．则对于f （a ）与f （b ）之间的任何一个实数r ，存在z ∈［a ，b ］使得f(z)=r ． 定理4．2．4[不动点定理]设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z ∈[0，1]使 得f(z)=z 证明 如同数学分析中的证法那样,只须构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得. 容易证明欧氏平面2R 中的单位圆周}1|),{(2 221=+∈=y x R y x S 是连通的.这是因为如果定义映射f: R →2R 使得对于任意t ∈R 有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈1S ，则易于验证f 是一个连续映射，并且f(R)＝1S ．因此 1S 是连通空间R 在一个连续映射下的象，所以它 是连通的． 设点12121),(),,(S x x x x x x ∈--=-=称为点x 的对径点．映射r ：11S S →使得任何 x ∈1S , 有r(x)=-x ，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面2 R 到自身的反射l ：22R R →在单位圆周上的限制．其中，映射l 定义为对于任何2 21),(R x x x ∈=, 有 l （x ）＝-x ，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射． 定理 4.2.5 [Borsuk-Ulam 定理] 设f: 1S →R 是一个连续映射．则在1S 中存在一对对 径点x 和-x ，使得f(x)=f(-x)． 证明 (略) 我们已经知道n 维欧氏空间2R 是连通空间，下面进一步指出： 定理 4．2．6 n ＞1维欧氏空间n R 的子集n R -{0}是一个连通子集，其中0=（0，0，…， 0）∈n R ． 证明 我们只证明 n ＝2的情形．根据定理 4．1．9，2R 中的子集(-∞，0)×R 和（0， ∞）×R 都是连通的．由于 R R R R ?∞=?∞?-?∞??∞),0(),0[}0{),0[),0( 所以根据定理4．1．5，2R 中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集 B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A ∩B ≠?以及A ∪B=2R -{0}，所以根据定理4. 1．6 可见，2R -{0}是连通的． 一般情形的证明类似，请读者自行补证. 定理4．2．6可以得到进一步的改善（参见习题第4题．） 定理4．2. 7欧氏平面2R 和实数空间R 不同胚． 证明 假设2R 与R 同胚，并且设f: 2R →R 是一个同胚．因此对于连续映射 R R f g R →-=-}0{:|2}0{2 我们有)}0({})0{(2f R R g -=-．但根据定理4．2．6，2R -{0}是连通的， 而根据定理4．2．1，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾． 定理4．2．7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例． 定理4．2．4，定理4．2．5和定理4．2．7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理 都有高维“版本”，我们分别陈述如下： 定理 4． 2． 8 [Brouwer 不动点定理] 设f ：n n D D →是一个连续映射，其中n D 是 n 维球体．则存在z ∈n D 使得f （z ）= z ． 定理 4．2．9[Borsuk －Ulam 定理]设f ： m n R S →是一个连续映射，其中n ≥m ，则 存在x ∈n S 使得f （x ）=f （-x ）． 定理4．2．10如果n ≠m ，则欧氏空间n R 和m R 不同胚．这些定理的证明（除去我们 已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书 籍． 作业：P.121 4. §4．3 连通分支 本节重点:掌握连通分支的定义.(即连通”类”的分法) 掌握连通分支的性质(定理4.3.1) 从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很 大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集 （即连通分支）． 定义4．3．1设X 是一个拓扑空间，x ，y ∈X ．如果X 中有一个连通子集同时包含x 和y ，我们则称点x 和y 是连通的．(注意:是点连通) 根据定义可见，如果x ，y ，z 都是拓扑空间X 中的点，则 （1）x 和x 连通（因为每一个单点集都是连通子集）； （2）如果x 和y 连通，则y 和x 也连通；（显然） (3) 如果x 和y 连通，并且y 和z 连通，则x 和z 连通．（这是因为，这时存在X 中的 连通子集A 和B 使得x ，y ∈A 和y ，z ∈B ．从而由于y ∈A ∩B 可见A ∪B 连通，并且x ，z ∈A ∪B ．因此x 和z 连通．） 以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系． 定义4．3．2 设X 是一个拓扑空间．对于X 中的点的连通关系而言的每一个等价类称 为拓扑空间X 的一个连通分支． 如果Y 是拓扑空间X 的一个子集．Y 作为X 的子空间的每一个连通分支称为X 的子集 Y 的一个连通分支． 拓扑空间X ≠?的每一个连通分支都不是空集；X 的不同的连通分支无交；以及X 的 所有连通分支之并便是X 本身．此外，x ，y ∈X 属于X 的同一个连通分支当且仅当x 和y 连通． 拓扑空间X 的子集A 中的两个点x 和y 属于A 的同一个连通分支当且仅当A 有一个连 通子集同时包含点x 和y ． 定理4．3．1设X 是一个拓扑空间，C 是拓扑空间X 的一个连通分支．则 （1）如果 Y 是X 的一个连通子集，并且 Y ∩C ≠C Y ???,； （2）C 是一个连通子集； （3）C 是一个闭集． 本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X 的一个最大的 连通子集． 证明 （1）任意选取x ∈ Y ∩C ．对于任何y ∈Y 由于x 和y 连通，故y ∈C ．这证明 Y ?C ． （2）对于任何x ，y ∈C ，根据定义可见，存在X 的一个连通子集xy Y 使得x ，y ∈xy Y ．显 然xy Y ∩C ≠?，故根据（1），?xy Y C ．应用定理4．1．7可知，C 是连通的． （3）由于C 连通，根据定理4．1．5，C 连通．显然，?≠=?C C C 。所以根据 （1），C C C C =??,．从而C 是一个闭集． 但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q （作为实数空间R 的子 空间）．设x ，y ∈Q ，x ≠y ．不失一般性，设x ＜y ．如果Q 的一个子集E 同时包含x 和y ， 令A=(-∞，r)∩E 和B=(r ，∞)∩E ，其中r 是任何一个无理数，x ＜r ＜y ．此时易见A 和B 都是Q 的非空开集，并且E ＝A ∪B ．因此E 不连通．以上论述说明E 中任何一个包含着多 于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q 的连通分支都是单点集．然而易见Q 中的每 一个单点集都不是开集． 记住这个事实:任一个集合A 都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通 分支互不相交).即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立. 作业: P.123 1. 3. 4. 8. §4．4局部连通空间 本节重点: 掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1---4.4.3) 掌握连通与局部连通的关系. 引进新的概念之前，我们先来考察一个例子． 例4．4．1在欧氏平面2R 中令S={(x,sin(1/x)) | x ∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S 被称作 拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证S ＝ S ∪T ，因此 1S ＝ S ∪T 也是连通的．尽管如此，倘若我们查看1S 中的点， 容易发现它们明显地分为两类：S 中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个 连通的邻域，而T 中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个 类型的点区别开来． 定义4．4．1设X 是一个拓扑空间，x ∈X ．如果x 的每一个邻域U 中都包含着x 的某 一个连通的邻域V ，则称拓扑空间X 在点x 处是局部连通的． 如果拓扑空间X 在它的每一个点处都是局部连通的，则称X 是一个局部连通空间． 回到例4．4．1中所定义的拓扑空间1S ．容易证明，1S 在其属于S 的每一个点处是局 部连通的，而在其属于T 的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管1S 是一个连通空 间，但它却不是一个局部连通的空间． 局部连通的拓扑空间也不必是连通的．例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包 含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．又例如，n 维欧氏空间n R 的任何一个开子空 间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间n R ，因而是连通的）， 特别，欧氏空间n R 本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间n R 中由两个无交的非空开集的 并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）． 此外根据定义立即可见：拓扑空间X 在点x ∈X 处是局部连通的当且仅当x 的所有连通 邻域构成点x 处的一个邻域基， 定理 4．4．1设X 是一个拓扑空间．则以下条件等价： （1）X 是一个局部连通空间； （2）X 的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集； （3）X 有一个基，它的每一个元素都是连通的． 证明（1）蕴涵（2）．设C 是X 的一个连通分支,X T U C ∈?．如果x ∈C ，由于U 是 x 的一个邻域，所以当（1）成立时x 有一个连通邻域V 包含于U ．又由于V ∩C 包含着点 x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见C V ?．因此C ∈x U ．这证明C 是属于它的任何 一个点x 的邻域，因此C 是一个开集． （2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X 的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构 成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基． （3）蕴涵(1)．显然． 我们常用到定理4．4．1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集． 定理4．4．2 设X 和Y 都是拓扑空间，其中X 是局部连通的．又设f: X →Y 是一个连 续开映射． 则 f （X ）是一个局部连通空间． 证明 根据定理4．4．1，可设B 是X 的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对 于每一个B ∈B ，集合f(B)是连通的，并且由于 f 是一个开映射，f （B ）是 Y 中的一个开集， 因此也是 f （X ）的一个开集．这证明集族B 1={f （B ）| B ∈B }是一个由f （X ）的连通开 集构成的族．我们指出B 1是f(X)的一个基，这是因为，如果U 是f(X)中的一个开集，则 1-f （U ）是X 中的一个开集，因此 )())(()(11111B f U f f U B U f B B B B B B ∈-∈-?==??=??? 是B 1中某些元素之并．于是根据定理4．4．l 可知f （X ）是局部连通的． 根据定理4．4．2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质. 定理4．4．3设n X X X ,...,21是n ≥1个局部连通空间．则积空间n X X X ???...21也 是局部连通空间． 证明 (略) 应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R 由于所有的开区间 构成它的一个基，所以它是局部连通的；n 维欧氏空间n R 是n 个R 的积空间，所以它也是 局部连通的．当然这些事情我们早就知道了． 作业: P.127 1. 2. 3. §4．5 道路连通空间 本节重点：掌握道路连通的概念、性质。 掌握连通、局部连通、道路连通之间的联系与区别。 掌握道路连通分支的概念。 掌握n R 中子集的连通性质。 较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解 些．我们先定义“道路”． 定义4．5．1设X 是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X 的每一个连续映射 f: [0，1]→X 叫做X 中的一条道路，并且此时f(0) 和f(1) 分别称为道路f 的起点和终点．当 x ＝f （0）和y ＝f （1）时，称f 是X 中从x 到y 的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭 路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点． 如果f 是X 中的一条道路，则道路f 的象集f([0，l])称为 X 中的一条曲线或弧，并且 这时道路f 的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点． 或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇 有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念． 定义4．5．2 设X 是一个拓扑空间．如果对于任何x ，y ，存在着X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），我们则称X 是一个道路连通空间．X 中的一个子集Y 称为X 中的一个 道路连通子集，如果它作为X 的子空间是一个道路连通空间．(Y 是否道路连通与X 是否道 路连通没有关系) 实数空间R 是道路连通的．这是因为如果x ，y ∈R ，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对 于任何t ∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R 中的一条以x 为起点以y 为终点的道路、也容易验证 任何一个区间都是道路连通的． 定理4．5．1如果拓扑空间 X 是一个道路连通空间，则X 必然是一个连通空间． 证明 对于任何x ，y ∈X ，由于X 道路连通，故存在从x 到y 的一条道路f:[0，l]→X 这时曲线f （[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X 中的一个连通子集，并且 我们有x ，y ∈f （[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X 是一个连通空间。 连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l 中的1S 是一个连通空间．不 难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的． 道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而 包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了． 定理4．5．2设X 和Y 是两个拓扑空间，其中X 是道路连通的，f: X →Y 是一个连续 映射． 则 f （X ）是道路连通的． 证明 设22112121)(,)(,),(,y x f y x f X x x X f y y ==?∈?∈ ．由于X 是道路连通 的，故X 中有从1x 到2x 的一条道路g ：[0，1]→X ．易见，映射h ：[0，1]→f(X)，定义为对 于任意t ∈[0，1]有h （t ）=f g （t ），是f （X ）中从1y 到2y 的一条道路．这证明f （X ）是 道路连通的． 根据定理4. 5．2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质. 定理4．5．3 设n X X X ,...,21是n ≥1个道路连通空间．则积空间n X X X ???...21也 是道路连通空间． 证明 我们只需要对n ＝2的情形加以证明． 设212121),(),,(X X y y y x x x ?∈==对于i=l ，2，由于i X 是道路连通空间，故在i X 中有从i x 到i y 的一条道路i f ：[0，1]→i X ．定义映射 f ：[ 0，1]→ 21X X ?，使得对于 任何t ∈[0，l] 有f （t ）＝（)(),(21t f t f )．容易验证（应用定理3．2. 7）f 是连续的，并且 有f(0)=x, f(1)=y ．这也就是说f 是21X X ?中从x 到y 的一条道路．这证明 21X X ?是一个道路连通空间． 作为定理4．5．3的一个直接的推论立即可见：n 维欧氏空间n R 是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．） 为了今后的需要我们证明以下引理， 定理4．5．4 [粘结引理] 设A 和B 是拓扑空间X 中的两个开集（闭集），并且有X ＝A ∪B ．又设Y 是一个拓扑空间，1f ：A →Y 和2f ：B →Y 是两个连续映射，满足条件： B A B A f f ??=||21 定义映射f: X →Y 使得对于任何x ∈X ， f （x ）＝?? ?)()(21x f x f B x A x ∈∈ 则f 是一个连续映射． 证明 首先注意，由于B A B A f f ??=||21，映射f 的定义是确切的．因为当x ∈A ∩B 时， 有)()(21x f x f = 其次，我们有：对于Y 的任何一个子集Z 有 )()()(12111Z f Z f Z f ---?= 这是由于B Z f Z f A Z f Z f ?=?=----)()(,)()(112111 现在设U 是Y 的一个开集．由于21,f f 都连续，所以)(),(1211U f U f --分别是A 和B 的开集．然而A 和B 都是X 的开集，所以)(),(1 211U f U f --也都是 X 的开集．因此 )()()(12111Z f Z f Z f ---?=是X 的一个开集．这便证明了f 是一个连续映射． 当A 和B 都是X 的闭集时，证明是完全类似的． 我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念． 定义 4. 5．3设X 是一个拓扑空间，x ，y ∈X ．如果X 中有一条从x 到y 的道路，我们则称点x 和y 是道路连通的．(注意:是”点”道路连通) 根据定义可见，如果x ，y ，z 都是拓扑空间X 中的点，则 （1）x 和x 道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X （它必然是连续的）便是 一条从x 到x 的道路．） （2）如果x 和y 连通，则y 和x 也连通；(设f:[0，1]→X 是X 中从x 到y 的一条道路．定义映射 j ：[0，l]→X ，使得对于任何t ∈[0，l]有j （t ）＝f （1－t ）．容易验证j 是一条从y 到x 的道路．) (3) 如果x 和y 连通，并且y 和z 连通，则x 和z 连通．（设21,f f ：[0，1]→X 分别是 X 中从x 到y 和从y 到z 的道路．定义映射f:[0，1]→X 使得对于任何t ∈[0，l]， ???-=) 12()2()(21t f t f t f ]1,2/1[]2/1,0[∈∈t t 应用粘结引理立即可见f 是连续的，此外我们有f （0）＝1f （0）=x 和f(1)=2f (1)=z ．因此f 是从x 到z 的一条道路．） 以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系． 定义4．5．4设X 是一个拓扑空间．对于X 中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X 的一个道路连通分支． 如果Y 是拓扑空间X 的一个子集．Y 作为X 的子空间的每一个道路连通分支称为X 的子集Y 的一个道路连通分支． 拓扑空间X ?≠的每一个道路连通分支都不是空集；X 的不同的道路连通分支无交；以及X 的所有道路连通分支之并便是X 本身．此外，x ，y ∈ X 属于X 的同一个道路连通分支当且仅当x 和y 道路连通． 拓扑空间X 的子集A 中的两个点x 和y 属于A 的同一个道路连通分支的充分必要条件是A 中有一条从x 到y 的道路． 根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理 4．5．1，它也是一个连通子集；又根据定理4．3．l ，它必然包含在某一个连通分支之中． 作为定理4．5．l 在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理： 定理4．5．5 n 维欧氏空间n R 的任何一个连通开集都是道路连通的． 证明 首先我们注意n 维欧氏空间n R 中的任何一个球形邻域都是道路连通的，这是因为它同胚于n 维欧氏空间n R 本身． 其次证明 n 维欧氏空间n R 的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是一个开集：设U 是n R 的一个开集，C 是U 的一个道路连通分支．设x ∈C ．由于U 是一个包含x 的开集，所以也包含着以x 为中心的某一个球形邻域B （x ，ε）．由于球形邻域B(x,ε)是道路连通的，并且B （x ，ε）∩C 包含着x ，故非空,这导致B （x ，ε）? C ．所以C 是一个开集． 最后,设V 是n R 的一个连通开集．如果V ?=，则没有什么要证明的．下设V ?≠．V 是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一个道路连通分支都是开集．因此如果V 有多于一个道路连通分支，易见这时V 可以表示为两个无交的非空开集之并，因此V 是不连通的，这与假设矛盾。因此V 只可能有一个道路连通分支，也就是说V 是道路连通的． 推论4．5．6 n 维欧氏空间n R 中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个连通分支． 证明 由于n 维欧氏空间n R 是一个局部连通空间，根据定理4．4．1，它的任何开集 的任何连通分支都是开集.根据定理4.5.5，n R 的任何开集的任何连通分支都是道路连通的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中．另一方面．任何一个集合的道路连通分支，由于它是连通的，所以包含于这个集合的某一个连通分支之中．因此，本推论的结论成立． 通过引进局部道路连通的概念，定理4．5．5和推论4．5．6的结论可以得到推广．（参见习题5．） 作业: P.132 1. 2. 本章总结：（1）有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的 母空间是否连通、局部连通、道路连通无关。 （2）掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系。 （3）记住n R 中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的。 （4）连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若 干个某某分支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空。若两个分支有交，则必是同一个分支。 （5）连通是本章的重点。 （6）掌握证明连通、不连通及道路连通的方法。特别注意反证法。 （7）掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限 可积的、可遗传的。 半期复习 主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法。 一．研究的思路与成果 1．预备知识： （1）集合的三种运算的定义与证明方法： 并、交、差：A ∪B 、A ∩B 、A-B （2）在映射f 之下，集合的并、交、差的象有什么特点？ f （A ∪B ）=f （A ）∪f （B ） f （A ∩B ）?f （A ）∩f （B ） 当f 为单射时，取等号 f （A-B ）?f （A ）-f （B ） 当f 为单射时，取等号 （3）集合的并、交、差运算关于f 的原象有什么特点？ 一句话：保持运算。即 ) ()()()()()()()()(111111111B f A f B A f B f A f B A f B f A f B A f ----------=-?=??=? （4）A A f f ?-))((1 f 满时取等号 A A f f ?-))((1 f 单时取等号 （5）等价关系、等价类的定义，作用 等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集 合的商集。 （5）有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同。 2．拓扑空间 （1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义。 （2）拓扑空间的定义 拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开 集。 （3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质。 定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集 定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题。 （4）模仿高等代数，给出了基的概念。 （5）定义了序列及极限点。 思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质。同时也剖析了实数空间，使 我们对实数空间的认识更深刻。 因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R 中是否具有这种性质？与R 中的相应性 质有何区别？ 3．从拓扑空间构造新的拓扑空间 （1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构。 （2）积空间极其基的概念。 （3）商空间的定义 4．关于连通性 （1）不连通与连通的概念。这概念只是关于子集本身的性质，与母空间、子空间无关。 （2）如何判断连通与不连通？ （3）R 中连通子集的性质。 （4）局部连通、道路连通的定义及三种连通之间的蕴涵关系。 （5）将一般空间中的点按连通、道路连通分类，即连通分支、道路连通分支。 （6）n R 中子集的的连通性 （7）连续映射对三种连通空间的象的影响。 二．常见证明方法 1．证明集合包含 A x B x B A B x A x ???????∈?∈? 相等 A B B A B A ?∧??= 2．证明连续映射：反射开集、闭集、邻域 3．证明开集：定理2.3.1。在连续映射下，是否是开集的原象？ 4．证明基：定义及定理2.6.2 5.证明凝聚点;?≠-??∈??∈}){(,)(x A U u U A d x x 证明不是凝聚点:?=-??∈???}){()(x A U u U A d x x 证明闭包:?≠?∈??∈A U u U A x x , 6.证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法. 7.证明连通,常用反证法,导出某个隔离子集是空集. 8.常在一个集合关系式的两边同取f、1-f、闭包等 9．常用反证法 复习参考： 一.判断题(每小题3分) 1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（） 7.拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（） 8.（X，T）为平庸空间，Y?X，则子空间Y的拓扑为 {Y，?}。（） 二．填空题：(每空格4分) 1.X=Z+,T={Z1,Z2,…Z n…},其中Z n={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为_____________________________ 包含3的所有闭集为_______________________________ 包含3的所有邻域为_______________________________ 设A={1,2,3,4,5} 则A的导集为________________________________ A的闭包为___________________________________ 2．设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=______________ 三.证明题(52分): 1.设X有拓扑T1,T2,…T n,则∩T i也是拓扑. 2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则 B x={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基. 4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不 同胚.(提示:用反证法) 5.设f:X→Y的连续映射,X为道路连通空间,则f(X)也为道路连通空间. 复习参考答案： 一.判断题(每小题3分) 1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( ×) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( ×) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( ×) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（√） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（×） 7.拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（×） 8.（X，T）为平庸空间，Y?X，则子空间Y的拓扑为 {Y，?}。（√） 二．填空题：(每空格4分) 1.X=Z+,T={Z1,Z2,…Z n…},其中Z n={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为,...,,,/6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} A 的闭包为{1,2,3,4,5} 2.设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 三.证明题(52分): 1. 设X 有拓扑i n i n T T T T 121,,...,=??也是拓扑. 证: i n i T A i T A i i n i i n i i i i n i i n i i T A n i T A n i T T T T T B A n i T B A n i T B A T B A T X n i T X 1~~1111,...1,,...1,~,~)3(,...1,....1,,,,)2(,,,...2,1,,)1(=∈∈====?∈??=∈??=??????∈??=∈??=∈∴?∈??∈?∴=∈? 所以i n i T 1=?也是拓扑. 2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 证:设+∈Z i i x }{→x, + ∈Z i i x }{→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?. 对于B(x,ρ(x,y)/3),存在1N >0,当i>1N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3) 对于B(y,ρ(x,y)/3),存在2N >0,当i>2N 时有∈i x B(y,ρ(x,y)/3) 取N=max{1N ,2N },则当i>N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3) 与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?.矛盾 3.设X 是一个拓扑空间,B 是一个基,x ∈X,则 B x ={B ∈B|x ∈B}是点x 处的一个邻域基. 见P.82 定理2.6.7 点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如： 小班绘本阅读心得 去年十月中下旬在小班段长的召集下，幼儿园小班段成立了“小班绘本阅读交流群”，我有幸也参加了绘本阅读交流。非常感谢学校给我们提供了这个平台，能让女儿接触到更多更好的图书。通过绘本借阅，其中的《南瓜汤》、《月亮生日快乐》、《妈妈发火了》、《彩虹色的花》、《猜猜我有多爱你》、《我妈妈》、《我爸爸》……这些绘本都特别吸引女儿，特别是故事当中蕴含的哲理更是让我们获益匪浅。 阅读不仅仅是孩子知识的摄入，更是家长与孩子的感情交流，可以说，阅读就是父母给孩子积累的财富。阅读的回报和好处是立竿见影的，通过这些绘本的阅读，我发现语晨的表达能力有了很大的提高。语晨本身在陌生人面前就很腼腆，不爱说话，通过阅读，她愿意表达的东西渐渐多起来了，还学会自己编故事了，虽然有时会前后不搭，但能说很长的句子，并且充分发挥想象力。 在阅读过程中让我感触最深的是贵在坚持。在女儿很小的时候我就给她买各种图书，心情好的时候我会陪着她阅读，但却很难坚持!有时女儿拿着她的书要求我讲故事时，我总是以各种借口推脱，后来慢慢的她不爱找我看书，仅仅只是她自己想起来的时候拿一本书翻翻，想想挺对不住她的。加入绘本群后，在老师和其他家长的分享下，我坚持每天晚上睡觉前给她讲2本绘本，语晨也慢慢培养了爱看书的好习惯，到后来每天晚上睡觉前她自 己会选好两本书，让我给她讲，并且她也会开始学会思考、问问题! 最后要说的是氛围和环境很重要，周围有爱读书的伙伴对于孩子来讲，既是一种激励，也是一种共同爱好。可以与小朋友一起分享自己的故事，既融洽了关系，也让她自己更自信。同时，家长的陪伴是至关重要的，家长需要花费时间、精力、耐心去陪伴和教导。孩子的成长过程其实也是家长的一个学习过程。 阅读，不但可以增长知识，同时也可以增长语言的表达能力。读书是陪伴我们一生美好而快乐的事情，让我们和孩子一起读书吧。 侨英中心幼儿园小二班林语晨妈妈 2016年6月19日 《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划 关于儿童绘本教学的心得体会 绘本能够深受孩子们的喜欢，是有一定道理的。首先，绘本是 一本色彩与图片极其丰富的作品，他给了孩子们强烈的视觉感受。其次绘本是一本看似故事简单异懂，却又包涵着一个深刻道理的童话书。再次绘本以图文并茂的方式呈现，不仅孩子们可以看图猜测故事内容，也对文字有了更深的认识。 一、教师要走进绘本，挖掘绘本的内涵。. 在绘本教学活动中，教师是幼儿的引导者和讨论者，所以我们 一定要仔细钻研教材才能更好的展开教学活动。绘本就像一部电影，她所包含的意义是多方面的。因此，要开展一个绘本教学活动，有时会有些难度。 在《猜猜我有多爱你》这本书中，从小兔子和兔妈妈的对话中，表达了妈妈对孩子的那种深厚的爱，让人感动不已，也会让孩子情不自禁的想要抱住妈妈。作家以简单却丰富的画面讲述了生活的哲理。我们要仔细的反复阅读才会感受到作者幽默话语中温馨的母爱。 在绘本活动中，因为她的点面涵盖的过于多，往往在一个活动中，我们究竟怎样去开展，非常需要教师对绘本了解透了，自己真正的走了进去，对绘本有了很多自己的感触，这样才能把自己认为很有价值、很有意义的那部分带给幼儿一起分享。甚至包括分享的过程是如何组织的。 刚开始接触《幸福的大桌子》这样的绘本，第一个反应就是很难，这是日本作家描述的家庭的温情，会觉得与我们的孩子的生活实 际相隔很远。现在的孩子大部分是独身子女，很难理解这个意思。但这个绘本所展现的亲情与美好，会让很多人感动，有深刻的教育价值，那么怎么入手，孩子们才会感受到绘本所要表达的意义呢？当我看了应彩云老师的绘本教学后，觉得原本很难的教学活动，在应老师的教学过程中非常轻松，应老师从职业入手，当孩子们发现兔子先生和兔子太太培养的子女，有各种各样让人羡慕的工作，那么了不起，从而去感受，父母对于孩子们的爱与培养，再到第三代。应老师在整个活动中都抓住了孩子们的兴趣点，是一个非常好的教学活动。如果教师对绘本不了解透彻，是很难有线索去展开绘本的教学。因为有的绘本，线索很多，而且很难，因此，我觉得要更好的展开绘本教学活动，首先教师一定要很深刻的去挖掘绘本内涵。 二、教师要注重教育机智，开展有效的提问。 陶行知说得好：“发明千千问，起点在一问。”所以教师的提 问起到了很重要的作用。而在《新纲要》中也提出：进行适当的设疑发问有明显的作用，它可以使孩子的注意力迅速指向老师的预期目标，并激发学习新知的兴趣，培养积极探索的精神。”因此合理的设疑是有效进行绘本阅读活动非常关键的一个环节。教师在设计教案时就要仔细斟酌，提出有效的问题，可以是发散式的也可以是有指向性的问题，但关键是要激发幼儿的思考，为进行有效的阅读服务。 比如在故事《贪吃苹果的鼠小弟》中，以简单的故事情节来讲述，构图清晰。我们先出示封面，让孩子说说封面上有谁，？它想干什么？谁会吃到树上的苹果呢？让孩子猜想后再进行故事讲述。在提 练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5} 2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：② 2014—2015年度第二学期绘本 阅读教学总结 绘本”是一种用图画与文字共同叙述一个完整故事的读本，它是透过图画与文字这两种媒介在两个不同层面上交织、互动来讲述故事的一门艺术。幼儿绘本阅读教学是通过幼儿对绘本的阅读和教师有效的引导，让幼儿在主动积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，获得思想启迪，享受审美乐趣，发展观察力、理解力、判断力和口语表达能力。 本学期，我们继续开展了绘本教育教学活动，循序渐进地培养幼儿绘本阅读的能力，培养幼儿的阅读兴趣，良好的阅读习惯，发展能力。通过一学期的绘本教学，让我进一步了解绘本以及在以后的教学中如何上好阅读课。 早期阅读中的绘本教学有它的几个策略和原则以及其相应的教学链的概念。绘本教学手不离书、眼不离图、从图示上获得、用图引出文字。对话式学习：里面有什么，看到了什么。过渡到理解式学习——两个课时孩子喜欢哪一页，就看哪一页。讲清一页的画面，发现问题、提出问题。这个过程中我们始终要帮助幼儿学习正确的阅读方法和技能。幼儿阅读主要是凭兴趣阅读的，他们注意的是画面。他们的目光往往被自己最感兴趣的画面所吸引，很难做到从头到尾在仔细阅读，我们应该逐步培养幼儿独立的阅读能力。 本学期我尝试带领孩子从封面、环衬、扉页、正文、封底来阅读图画书，并要教会幼儿认识图书的封面、封底、内页等，要让幼儿知道阅读一本书时应该从头到尾一页一页地看。在观察某个画面时，也应和看图讲述的一样，按一定的顺序进行。和他们一起走进了图画书的世界。目的在于进一步激发幼儿的阅读兴趣，帮助幼儿掌握阅读方法，体验绘本所传达的情感，促进幼儿社会化的发展，促进幼儿想象力的发展，提高幼儿的阅读能力。 一、选择合适且丰富的阅读材料 幼儿独有的认识特点及年龄特点决定了早期阅读活动必须为幼儿提各类形式多样、内容丰富的阅读材料，因为幼儿是凭借色彩、图像、文字并借助于成人形象的读讲来理解读物的。在课堂集体活动和区域活动中，我们会根据主题计划或幼儿园里新添的一些优秀绘本中来选取适宜幼儿年龄段的读物， 二、开展丰富多彩的阅读活动 1．集体教学 在集体阅读活动中，我们利用幻灯片、小卡片等为阅读做辅助，目的就是丰富教学的形式、营造一个有趣而轻松的阅读氛围，让孩子们在看图、做动作、模仿对话的过程中熟悉故事，体验绘本的寓意和情感。 2．故事时间 我们还利用放学开门前的时间、晨间“幼儿才艺表演”时间、午睡前的时间等不同的自由时间段，由老师或幼儿来讲故事。三 《人体解剖学与组织胚胎学》课程教学大纲 大纲说明 一、课程的性质和基本内容 人体解剖学与组织胚胎学是中央广播电视大学医学科大专护理学专业的一门必修医学基础课。是学习人体生理学、医学生物化学、医学免疫学与微生物、病理学与病理生理学等医学基础课以及临床各专业课的基础。 人体解剖学与组织胚胎学是由人体解剖学、组织学和胚胎学合并而成的一门新的组合课程，是研究人体形态、结构和胚胎发生的一门科学。人体解剖学主要研究正常人体各器官的形态、结构、位置和毗邻关系、结构与功能的关系；组织学主要研究正常人体微细结构和超微结构及其与功能的关系；胚胎学则主要研究人体的个体发生、发育及先天性畸形。 二、课程的基本任务 为适应21世纪医学科学的发展和医学模式的转变，本着淡化学科界限、强调人体整体意识的原则，本课程在相关内容上相互融合与渗透，充分体现"人体"整体概念。通过本课程的学习，使学员掌握或了解人体各部的形态、结构、位置与毗邻；结构与功能、人体与环境的关；掌握或了解人体胚胎早期发生、胎膜胎盘、各主要器官系统的发生过程与畸形；学会正确运用本课程知识和术语，为后期学习其它医学基础课和临床课打基础。 三、课程的基本教学要求 人体解剖学与组织胚胎学是一门形态学课程，因此观察和研究人体的结构，应注意运用：①进化发展的观点：人体的形态和结构经历了由低级到高级、由简单到复杂的演化过程。学习本课程应运用发生发展的观点，适当联系个体发生和种系发生的知识，以帮助理解人体的由来和发生发展规律，各系统、器官的形态与功能；②形态和机能相互联系、相互制约的观点：形态和结构是机能活动的物质基础，而机能活动又影响到该器官形态结构的形成和发展。运用这一观点有助于理解人体结构与功能、人体与自然的关系；③局部与整体统一的观点：任何一个系统或器官都是人体的一个组成部分，为了学习的方便，我们从一种组织、一个器官、一个系统研究人体的组成与形态结构，在学习的过程中，应注意运用归纳和综合的方法，从整体的角度认识人体，必须建立从平面到立体，从局部到整体的观点；④理论联系实际的观点：本课程的学习必须重视实验、实习，要把理论的学习与观察尸体标本、模型、组织切片及活体观察紧密结合起来，才能真正掌握人体解剖学与组织胚胎学的内容。 本课程教学内容分为：掌握、熟悉、了解三个层次。 四、媒体的选择与配合 本课程采用多种媒体教材进行学习，在多种媒体一体化整体设计的基础上，以文字教材为基础，以音像教材和计算机辅助教学软件等为辅助媒体，构建多层次、立体式人体解剖学与组织胚胎学教学支持体系，为学习者提供自主选择学习媒体的方便。 五、课内学时分配 本课程6学分，课内学时108，其中音像课27学时，实验课40学时，详见课程实施方案。 大纲本文 绘本教学心得 [日期：2011-06-02] 来源：官林幼儿园作者：宗文燕[字体：大中小] 绘本能够深受孩子们的喜欢，是有一定道理的。首先，绘本是一本色彩与图片极其丰富的作品，他给了孩子们强烈的视觉感受。其次绘本是一本看似故事简单异懂，却又包涵着一个深刻道理的童话书。再次绘本以图文并茂的方式呈现，不仅孩子们可以看图猜测故事内容，也对文字有了更深的认识。 一、教师要走进绘本，挖掘绘本的内涵。. 在绘本教学活动中，教师是幼儿的引导者和讨论者，所以我们一定要仔细钻研教材才能更好的展开教学活动。绘本就像一部电影，她所包含的意义是多方面的。因此，要开展一个绘本教学活动，有时会有些难度。 在《猜猜我有多爱你》这本书中，从小兔子和兔妈妈的对话中，表达了妈妈对孩子的那种深厚的爱，让人感动不已，也会让孩子情不自禁的想要抱住妈妈。作家以简单却丰富的画面讲述了生活的哲理。我们要仔细的反复阅读才会感受到作者幽默话语中温馨的母爱。 在绘本活动中，因为她的点面涵盖的过于多，往往在一个活动中，我们究竟怎样去开展，非常需要教师对绘本了解透了，自己真正的走了进去，对绘本有了很多自己的感触，这样才能把自己认为很有价值、很有意义的那部分带给幼儿一起分享。甚至包括分享的过程是如何组织的。 刚开始接触《幸福的大桌子》这样的绘本，第一个反应就是很难，这是日本作家描述的家庭的温情，会觉得与我们的孩子的生活实际相隔很远。现在的孩子大部分是独身子女，很难理解这个意思。但这个绘本所展现的亲情与美好，会让很多人感动，有深刻的教育价值，那么怎么入手，孩子们才会感受到绘本所要表达的意义呢？当我看了应彩云老师的绘本教学后，觉得原本很难的教学活动，在应老师的教学过程中非常轻松，应老师从职业入手，当孩子们发现兔子先生和兔子太太培养的子女，有各种各样让人羡慕的工作，那么了不起，从而去感受，父母对于孩子们的爱与培养，再到第三代。应老师在整个活动中都抓住了孩子们的兴趣点，是一个非常好的教学活动。如果教师对绘本不了解透彻，是很难有线索去展开绘本的教学。因为有的绘本，线索很多，而且很难，因此，我觉得要更好的展开绘本教学活动，首先教师一定要很深刻的去挖掘绘本内涵。 度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R 幼儿园教师学习《绘本知识》心得体会 今天我们全体教师聚集在一起，听董学恩老师关于图书的培训。时间首先让我们知道图书是通过一定的方法与手段江知识内容以一定的形式和符号，按照一定的体例，系统的记录于一定的形态的材料上，用于表达思想，积累经验，保存知识与传播知识的工具。 在我们里，我们以绘本教学为最主要的教学方法。绘本教学有以下的特性及优点;1.利用天生的喜好爱听故事。2简单的句型，便于初学者阅读。3丰富孩子的字词，句型。4大量阅读，养成阅读的好习惯。5配合CD，磁带，自学反复练习。 绘本是儿童文学的一环，它的主要阅读对像是学龄前后的幼儿。图像是幼儿重要的阅读工具，也是绘本最重要的组成部份。绘本的图像除了要贴近儿童的世界，也必须重视美感呈现。好的绘本，每张图像都会说话，心得体会图与图之间呈现独特的叙事关系，儿童得以由直觉进入绘本的世界，自然流畅地听故事。由于幼儿识字不多，不能独立阅读，所以绘本的文字，便须要大人代为关读，再说给小读者听。也就是说，绘本的文字并不是写给小读者看的，而是让他们听的。 绘本的图像和文字必须韵含默契，像呼吸、像音乐、像双打运动员般紧密配合，方能让小读者轻松愉快地阅读。幼儿对外在世界的认识，是从整体来掌握感觉，而非由细部思考分析的。这种特质使小孩在情境中，很少冷眼旁观，而经常的热情，全情投入地参与。在与大人共读绘本时，他们不仅在听一则他人的故事，他们会与故事中的角色合而为一，写作参考亲历其境地体验这段故事。 绘本为小孩提供丰富的体验，体验到的感受经过时间沉淀，便会慢慢化为知识和智能。在阅读之后，大人应避免说教，急不及待地说明、询问、考试。我们应把看书、听故事的主权还给孩子，给他们足够的时间和空间反刍绘本。大人可以坐看绘本，在孩子的生命中发芽、成长。 王巧芳 (点集拓扑学拓扑)知识点 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要 《人体解剖学与组织胚胎学》 教学大纲 基础部 人体解剖学教研室制 2014年9月15日 《人体解剖学与组织胚胎学》教学大纲 课程代码：051002 课程名称：人体解剖学与组织胚胎学 课程类别：职业基础课程 适用专业：专科护理、专科助产、专科检验、专科医学影像 总学时：108，其中理论学时：72，实践学时：36 总学分：3.0 开课学期：1 一、课程概述 1、课程的地位与作用： 《人体解剖学与组织胚胎学》是研究正常人体形态、结构及发生发育规律的一门课程，包括解剖学和组织胚胎学，是重要的医学基础课。本课程的主要内容为正常组织结构，各系统器官的组成、位置、形态等。本课程的任务是：通过学习获得有关正常人体的形态、结构等基本知识和基本理论，掌握解剖学课程实践操作的基本技能，培养和形成良好的职业素质和职业操守，并具有结合生活实际、临床疾病进行应用的能力，同时为学习医学后续课程奠定基础。 2、课程教学目标： 1）素质目标：掌握医学生职业素质和行为规范的基本要求。 2）知识目标：掌握正常人体的组成，各系统主要器官的形态、位置。熟悉正常人体的组织结构。了解人体胚胎发育概况。 3）能力目标：具有规范、熟练的基本实践操作技能。具有应用基本知识分析、解释生活现象和临床问题的能力。具有良好的职业道德修养、人际沟通能力和团结协作精神。具有严谨求学的学习态度、科学的思维能力和创新精神。 二、课程教学内容与基本要求 1、第一章绪论 授课学时：4学时； 教学内容：1）人体解剖学与组织胚胎学的概念及在医学教育中的地位 2）人体器官的构成与系统的划分 3）人体解剖学的常用术语 基本要求：掌握人体器官的构成与系统的划分；掌握解剖学标准姿势；掌握人体的轴和面；掌握方位术语。 教学重点：人体器官的构成与系统的划分；人体的轴和面；方位术语。 教学难点: 方位术语 教学方法手段建议：模型；挂图；多媒体。 2、第二章基本组织 授课学时：10学时； 教学内容：1）上皮组织 2）结缔组织 3）肌组织 4）神经组织 基本要求：掌握被覆上皮的结构特点、分类和分布；结缔组织的分类、疏松结缔组织的主要成份；骨单位的概念；血液的组成、血细胞的分类；三种肌纤维的结构和功能特点；神经组织的组成、突触的概念。熟悉上皮细胞的特殊结构；腺上皮和腺、内分泌和外分泌的概念；血浆、血清的概念；骨骼肌纤维的超微结构和心肌纤维的闰盘结构；神经胶质细胞的功能，神经纤维和神经末梢的概念、分类。 教学重点：被覆上皮的分类；疏松结缔组织的主要成份；血液的组成；突触的概念。 教学难点: 疏松结缔组织的主要成份；突触的概念。 教学方法手段建议：模型；挂图；多媒体。 3、第三章运动系统 §5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集． 定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T. 学习《拓扑学》的心得体会 摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。 关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性 一、什么是拓扑学？ 我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。它的英文名是Topology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。 而在我们大学中主要主要学习两部分，一部分是一般拓扑学，另一部分是代数拓扑学。一般拓扑学分为了八章，分别是：集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。代数拓扑学分为了六章，分别是：基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、复叠空间分类、在群论中的应用。 二、学习拓扑学的意义 拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，很多本科大学把它作为了大学生学习的必修课程，这样有利于培养学生的抽象思维能力，提高解决问题和分析问题的能力，为了让学生在学习中进一步掌握 点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④ 《点集拓扑学》教学大纲 一、课程名称： 《点集拓扑学》 二、课程性质： 数学与应用数学专业限选课 先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等课程 三、课程的地位及教学目的 “点集拓扑学”是数学与应用数学专业的一门重要的专业提高课程，是数学学科《新三基》之一，“点集拓扑学”不仅本身在不断发展而且其理论和方法渗透到数学学科的其他分支中，对数学学科的发展起着基础性的作用。通过本门课的教学，使学生初步掌握“点集拓扑学”的基本内容、思想和方法，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研工作打下良好的基础。 四、课程教学原则与教学方法 本课程以精讲、自学和基本了解作为教学原则。精讲是指对“点集拓扑学”的基本理论、基本方法教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习并达到明晰的理解与巩固地掌握；自学是指对“点集拓扑学”的易于理解的内容学生在教师的指导下自学，达到使学生掌握相应的内容的同时培养学生的自学能力的目的；基本了解是指对“点集拓扑学”的一些内容经过教师的明晰的介绍学生应当较好的了解，并明了其应用，但不要求熟练掌握其逻辑论证。 采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。 五、总学时 68课时（含复习考试） 六、课程教学内容要点及建议学时分配 第一篇集合论初步（6课时） 一、教学目的 在本篇使学生掌握“关系”的概念及其基本性质，尤其掌握几个特殊“关系”。其次掌握“映射”与“关系”之间的联系。另了解“选择公理”有关的初步知识。要点如下： 1．集合的基本概念(自学) 2．集合的基本运算(自学) 3*．关系(2学时) 4*．等价关系(2学时) 5*．映射(2学时) 6*．集族及其运算(自学) 7．选择公理(时选学2课) 作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。 第二篇拓扑空间与连续映射（精讲、22课时） 一、教学目的 本篇是点集拓扑学的基础理论部分，也是点集拓扑学的核心部分。使学生熟练掌握本章的基本理论、方法，对本章的数学思想要有深刻理解。要点如下：1*．度量空间与连续映射(2学时) 2*．拓扑空间与连续映射(4学时) 3*．邻域与邻域系(2学时) 4*．导集、闭集、闭包(4学时) 5*．内部、边界(2学时) 6*．基与子基(4学时) 儿童绘本教学的心得体会 关于儿童绘本教学的心得体会 篇一：绘本教学心得 绘本能够深受孩子们的喜欢，是有一定道理的。首先，绘本是一本色彩与图片极其丰富的作品，他给了孩子们强烈的视觉感受。其次绘本是一本看似故事简单异懂，却又包涵着一个深刻道理的童话书。再次绘本以图文并茂的方式呈现，不仅孩子们可以看图猜测故事内容，也对文字有了更深的认识。 一、教师要走进绘本，挖掘绘本的内涵。. 在绘本教学活动中，教师是幼儿的引导者和讨论者，所以我们一定要仔细钻研教材才能更好的展开教学活动。绘本就像一部电影，她所包含的意义是多方面的。因此，要开展一个绘本教学活动，有时会有些难度。 在《猜猜我有多爱你》这本书中，从小兔子和兔妈妈的对话中，表达了妈妈对孩子的那种深厚的爱，让人感动不已，也会让孩子情不自禁的想要抱住妈妈。作家以简单却丰富的画面讲述了生活的哲理。我们要仔细的反复阅读才会感受到作者幽默话语中温馨的母爱。 在绘本活动中，因为她的点面涵盖的过于多，往往在一个活动中，我们究竟怎样去开展，非常需要教师对绘本了解透了，自己真正的走了进去，对绘本有了很多自己的感触，这样才能把自己认为很有价值、很有意义的那部分带给幼儿一起分享。甚至包括分享的过程是如何组 织的。 刚开始接触《幸福的大桌子》这样的绘本，第一个反应就是很难，这是日本作家描述的家庭的温情，会觉得与我们的孩子的生活实际相隔很远。现在的孩子大部分是独身子女，很难理解这个意思。但这个绘本所展现的亲情与美好，会让很多人感动，有深刻的教育价值，那么怎么入手，孩子们才会感受到绘本所要表达的意义呢？当我看了应彩云老师的绘本教学后，觉得原本很难的教学活动，在应老师的教学过程中非常轻松，应老师从职业入手，当孩子们发现兔子先生和兔子太太培养的子女，有各种各样让人羡慕的工作，那么了不起，从而去感受，父母对于孩子们的爱与培养，再到第三代。应老师在整个活动中都抓住了孩子们的兴趣点，是一个非常好的教学活动。如果教师对绘本不了解透彻，是很难有线索去展开绘本的教学。因为有的绘本，线索很多，而且很难，因此，我觉得要更好的展开绘本教学活动，首先教师一定要很深刻的去挖掘绘本内涵。 二、教师要注重教育机智，开展有效的提问。 陶行知说得好：“发明千千问，起点在一问。”所以教师的提问起到了很重要的作用。而在《新纲要》中也提出：进行适当的设疑发问有明显的作用，它可以使孩子的注意力迅速指向老师的预期目标，并激发学习新知的兴趣，培养积极探索的精神。”因此合理的设疑是有效进行绘本阅读活动非常关键的一个环节。教师在设计教案时就要仔细斟酌，提出有效的问题，可以是发散式的也可以是有指向性的问题，但关键是要激发幼儿的思考，为进行有效的阅读服务。 期末复习 学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？ 下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考． 一、点集拓扑学的主要内容： 1．一般拓扑空间： （1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？） （2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．） （3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？） 2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间． （1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系） （2）R及是上述空间吗？ （3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？ （4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？） （5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？ 3．连通性： （1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性. (2)两种分支的性质.点集拓扑学
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