大学物理第二章习题及答案
1. 一质量为m 的质点在保守力的作用下沿x 方向运动，其势
能为：)x b (ax E P
-=2
，其中b a 、均为大于零的常数。 （1）试求质点所受力的表达式；
（2）确定平衡位置，并讨论平衡位置的稳定性。 （3）若质点从原点0=x 处以0v 开始运动，试问，0v 在什么范围内质点不可能到达无穷远？ 解答：
（1）()()2
32P dE d F ax b x ax x b dx dx ??=-=--=-??。 （2）平衡位置处：2
320P dE ax abx dx
=-+=， 解得：0x =，或2
3
x b =。且2262P d E ax ab dx =-+
0=x 时，
20
2
20P
x d E ab dx ==>，稳定平衡，此时min 0P E =
2
3x b =时，22
2
3
20P x b d E ab dx ==-<，非稳定平衡，此时3
max 427
P E ab =
（3）系统机械能守恒：20012
k p E mv E E E ===+
若质点不能达到无限远，则230 max 14227
P mv E ab <=
解得：0v ≤
0v ≤
时，质点不可能到达无穷远。
2. 一块长为l ，质量为M 的木板静置于光滑的水平桌面上，在板的左端有一质量为m 的小物体（大小可忽略）以0v 的初速度相对板向右滑动，当它滑至板的右端时相对板静止。试求：
（1）物体与板之间的摩擦系数； （2）在此过程中板的位移。
解答：以水平桌面为参照系，以板和小物体组成的系统为研究对象，
（1）在运动过程中，所受合外力为零，系统动量守恒：
v M m mv )(0+=
对系统应用功能原理：()22011mg 2
2
l m M v mv μ-=+-
联立可得：()2
2Mv m M gl
μ=+，M m mv v +=
0。
（2）以水平桌面为参照系，以板为研究对象，设板的位移为S ，
运用动能定理：0
2
12-=Mv mgS μ
由上一问得：M m mv v +=0
，()l
g M m 2Mv 20
+=
μ，
整理即得：l M
m m
S +=。
3. 汽车沿着一坡度不大的斜坡以112v =米/秒的速率向上匀速行驶，当此车用同样的功率沿斜坡向下匀速行驶时，车速为220v =米/秒。若此车保持功率不变而沿水平的同样路面以匀速v 行驶，设汽车在水平路面上受到阻力与在斜坡上受到的阻力相同，求v 的大小。
解答：设汽车受的阻力为f ，以汽车和地球组成的系统为研究对象，
运用功能原理：)dA d(A A dE +=外内发内阻+， 两边同时对时间求导数，得：()d dE 0A A dt
dt
++=
内发内阻，
其中：
dA P dt
=内发，
dA fv dt
=-内阻， 则dE
P fv dt
-=
。 上坡过程中：()
1
11sin sin d x P fv mg v mg dt
θθ-==
下坡过程中：()
2
22sin sin d x P fv mg v mg dt
θθ-== 水平路面上：0P fv -= 联立求得：15/v m s =。
4． 在光滑的水平面上有两个质量分别为1m 和2m （21m m <）的物块，2m 上连有一轻弹簧，如图所示。第一次，具有动能
0E 的1m 与静止的2m 相碰；第二次，
2m 具有动能0E 去和静止的1m 相碰，两次碰撞均压缩轻弹簧。试问：（1）两次碰撞中哪一次弹簧的最大压缩量较大？
（2）若碰前两物块的总动能为0E ，则0E 如何分配，才能使在两物块碰撞过程中弹簧的最大压缩量最大？
解答：碰撞过程动量守恒，机械能守恒。
（1）对于第一次碰撞：2
011012
E m v =
动量守恒：1101212()m v m m v =+
能量守恒：2
201212
111()2
2
E m m v kl =++ 整理得：22
1012
12
m kl E m m =
+ ① 对于第二次相碰：2
0220
12
E m v
=
动量守恒：2201221()m v m m v =+
能量守恒：2
2012212
11()2
2
E m m v kl =++ 整理得: 21
2012
12
m kl E m m =
+ ② 由于21m m <，比较(a) , (b)得：2212112
2
kl kl >，即12l l >，
即第一次碰撞弹簧的最大压缩量较大。
（2）10200E E E += ③ 动量守恒：1102201212()m v m v m m v +=+ ④
能量守恒：2
20121211()2
2
E m m v kl =++ ⑤
由⑤式可知，当0E 固定，120v =时，l 最大，由②③④式联立
得弹簧压缩量最大时的能量分配：
2
10012m E E m m =+， 120012
m E E m m =+。
5. 如图所示，质量为m 的物体从光滑轨道的顶端A 点，由静止开始沿斜道滑下，在半径为R 的圆环部分的最低点B 与另一质量为M 的静止物体发生弹性碰撞，碰后M 沿圆环上升，并在高度为0h 处脱离圆环，而m 则沿斜道上升后又滑下，并在M 脱离点脱离圆环。试求： （1）m 与M 之比； （2）A 点的高度h 。
解答：以地面为参考系，m 从斜面滑下到与M 相碰前，m 和
地球组成的系统机械能守恒：2
012
m mv mgh =
M 与m 碰撞前后动量守恒：011m m M mv mv MV =+
弹性碰撞满足碰撞定律：110
1M m m V v v -=
小球与M 碰后，沿轨道上升，当它再次返回B 点时的速度为1m v （机械能守恒），从B 点到0h 处，如下系统机械能守恒，
M 和地球组成的系统：22
1201122
M M MV MV Mgh =+ m 和地球组成的系统：22
1201122
m m mv mv mgh =
+ M (m )脱离圆环时，圆环与M (m )之间的相互作用力为零，
此时，
对M 牛顿第二定律：2
M2
V Mgcos M
R θ=
对m 牛顿第二定律：22
cos m
v mg m R
θ=
由图得几何关系：
0h R Rcos
，其中θ为R 与竖直方向的夹角。
联立上述各方程可得：(1) 1
3
m M =
，(2)062h h R =-。
6. 一根轻绳跨过具有光滑水平轴的定滑轮（质量可忽略），两个质量分别为1m 和2m 的人各抓住绳子的一端。开始时，两人与水平轴之间的高度差分别为1h 和2h ，他们同时开始向上爬，并同时到达该滑轮的水平轴处。试求他们爬绳所经历的时间t 。
解答：分别以两个人为研究对象，以转轴为坐标原点，向下和垂直纸面向外为正方向，以转轴为参考点，对每个人分别应用角动量定理，
左边人角动量定理：()111110dx m g f Rdt Rm v Rm dt -=--=-?
右边人角动量定理：()222220dx f m g Rdt Rm v Rm dt
-=-=?
积分得：()22111102
m h m gt f d t -=-??
()22222102
m h m gt f d t -=-??
联立解得：
t =
7． 当地球处于远日点时，到太阳的距离为1.52×1011m ，轨道速度为2.93×104m/s ，半年后，地球处于近日点，到太
阳的距离为
1.47×1011m 。求：
（1）地球在近日点时的轨道速度； （2）两种情况下，地球的角速度。
8． 试证质点在有心力场中运动时，在相等的时间内，
它对力心的位矢在空间扫过相等的面积。
m v 1 r 1 m v 2
r 2 = = 2.93×104×1.52×1011 1.47×1011 3.03×104 m
v 2 = ω = = 1.93×10-7 1 v 1 r 1 2.93×104
1.52×1011
=
2.06
×
10-7
= =
ω 2 v 2 r 2 = 3.03×104 1.47×1011 解：由角动量守恒
v 1
r 1
v 2 r 2
=
解：质点在有心力场中运动时角动量守恒， 所以有： = L × r m v m
× r = = m r d t
d × r = C
= = m r d t d × r C
m r
d
t
d × r r d × r = S d 2
= m r
d t
d × r = m t d S d 2 C
= t
d S d
C ′