闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷(文科)
本试卷共有23道题,共4页.满分150分,考试时间120分钟.
一. 填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.不等式128x ≤≤的解是 . 2.计算23lim
(2)
n n
n n →∞+++=+ .
3.在等差数列{}n a 中,33a =,45a =,则13a = .
4
.已知复数z =
(i 为虚数单位)
,则z z ?= .
5.已知两条直线1l :230y --=,2l :0164=-+y x .若1l 的一个法向量恰为2l
的一个方向向量,则=a .
6
.函数2cos cos y x x x =的最小值为 .
7
.二项式4
1)x
的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数
的和为q ,则:p q 的值为 .
8
.如右图,若输入的 5.5
4a b c =-==-,,则执行该程序框图所得的结果是 .
9.已知大小、形状、颜色完全相同的n (*
n ∈N )个乒乓球中有5个是次品,从中随机抽取5个加以检验,若至少抽到3个次品的概率是
(01)P P <<,则至多抽到2个次品的概率是(用含P 的式子表
示) .
10.已知实数x y ,满足33010x x y x y ≤??
+-≥??-+≥?,则22x y +的最小值是 .
11.设P 为双曲线2
213
x y -=虚轴的一个端点,Q 为双曲线上的一个动点,则PQ 的最小值为 .
12.已知曲线C :92
2=+y x )0,0(≥≥y x 与直线4x y +=相交于点
1122()()A x y B x y ,,,,则1221x y x y +的值为 .
13.问题“求不等式345x x x +≤的解”有如下的思路:不等式345x x x +≤可变为
34()()155x x +≤,考察函数34()()()55x x f x =+可知,函数()f x 在R 上单调递减,且(2)1f =,∴原不等式的解是2x ≥.
仿照此解法可得到不等式:33(23)(23)x x x x -+>+-的解是 .
14.若1
)(+=
x x
x f ,)()(1x f x f =,()[]()*1()2n n f x f f x n n -=≥∈N ,,则()()++21f f …()()()()1220122012111f f f f +++++
= . 二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸
的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.已知向量a b 、都是非零向量,“||||a b a b ?=?
”是“//a b ”的 [答]( )
(A )充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C )充要条件. (D )既非充分也非必要条件. 16.将sin 2y x =的图像向右平移
6
π
个单位,即得到()y f x =的图像,则[答]( ) (A) ()sin(2)6
f x x π
=-. (B) ()sin(2)6
f x x π
=+.
(C) ()sin(2)3f x x π
=-
. (D) ()sin(2)3
f x x π
=+.
17.如图几何体由前向后方向的正投影面是平面EFGH ,
则该几何体的主视图是
[答]( )
18.方程
||
||1169y y x x +=-的曲线即为函数)(x f y =的图像,对于函数)(x f y =,有如下结论:①)(x f 在R 上单调递减;②函数()4()3F x f x x =+不存在零点;③函数)(x f y =的值域是R ;④若函数()g x 和)(x f 的图像关于原点对称,则()y g x =由方程||||
1169
y y x x +=确定.其中所有正确的命题序号是 [答]( ) (A) ①③. (B) ①④. (C) ①③④. (D) ①②③.
三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
已知p :(1)4
z x i =-+ (其中x ∈R ,i 是虚数单位)的模不大于5,和32
23100
x q x x -<:,若利用p q 、构造一个命题“若p ,则q ”
,试判断该命题及其逆命题的真假,并说明理由.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,每小题满分各7分.
如图,在四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 是矩形,PA ⊥平面A B C D ,22PA AD AB ===,E 是PB 的中点. (1)求三棱锥P ABC -的体积;
E F
G
H (C ) (B ) (A ) (D )
E D
B
C
A P
(2)求异面直线EC 和AD 所成的角(结果
用反三角函数值表示).
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,每小题满分各7分.
如图,两铁路线垂直相交于站A ,若已知AB =100千米,甲火车从A 站出发,沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶,同时乙火车从B 站出发,沿BA 方向以v 千米/小时的速度行驶,至A 站即停止前行(甲车仍继续行驶)(两车的车长忽略不计). (1)求甲、乙两车的最近距离(用含v 的式子表示); (2)若甲、乙两车开始行驶到甲,乙两车相距最近时所用时间为
0t 小时,问v 为何值时0t 最大?
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)
小题满分6分.
已知椭圆
22
142
x y +=的两焦点分别为12F F 、,P 是椭圆在第一象限内的一点,并满足121PF PF ?=
,过P 作倾斜角互补的两条直线PA PB 、分别交椭圆于A B 、两点. (1)求P 点坐标;(2)当直线PA 经
过点(时,求直线AB 的方程;(3)求证直线AB 的斜率
为定值.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小
题满分8分.
如图,在y 轴的正半轴上依次有点12n A A A 、、、、,其中点1(0,1)A 、2(0,10)A ,且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ,在射线)0(≥=x x y 上依次有点
12n B B B 、、、、,点1B 的坐标为(3,3),且
22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n . (1)求||1+n n A A (用含n 的式子表示);
(2)求点n A 、n B 的坐标(用含n 的式子表示);
(3)设四边形11n n n n A B B A ++面积为n S ,问{}n S 中是否存在两项n S ,
k S (1,)n k n k <<∈N 、,使得1S ,n S ,k S 成等差数列?若存在,求出所有
这样的两项,若不存在,请说明理由.
A B C
A
闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷
参考答案与评分标准
说明:
1.本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
一、(第1题至第14题) 1.[]0,3; 2.1
2
; 3.23; 4.13;
5.3; 6.1
2
-; 7.文16,理4; 8
b );
9.文1P -,理30;10.文92
11
12.9;
13.文3x <-,理1x <-或3x >; 14.2012.
二、(第15题至第18题) 15.A ; 16.C ; 17.D ; 18.D . 三、(第19题至第23题) 19.解:由p 得22(1)42524x x -+≤?-≤≤, (4分)
由q 得32
23100
x x x -<2230x x ?--≤13x ?-≤≤, (8分)
由[2 4][1 3]--,,Y,即p q ?,但q p ?,∴命题“若p 则q ”是假命题(10分)
而其逆命题“若q 则p ”是真命题. (12分) 20. [解](文) (1) 依题意,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形,高2PA =,2BC AD ==,1AB = (2分)
∴1
2112
ABC S =??=△ (4分) 故121233
P ABC V -=??=. (7分) (2)∵//BC AD ,所以ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ,(2分)
又∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA BC ⊥,又BC AB ⊥,∴BC PAB ⊥面,∴BC PB ⊥,
于是在Rt CEB ?中,2BC =
,12
BE PB ==
=, (4分)
tan BE BC θ===, (6分)
∴异面直线EC 和AD
所成的角是
(或. (7分) (理)(1) 解法一:分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,依题意,42AD AB ==,,则各点坐标分别是 (0 0 0)A ,,,(2 0 0)B ,,,(2 4 0)C ,,,(0 4 0)D ,,, E
D
B C
A
P
(0 0 2)P ,,,∴(1 0 1)E ,,,(1 2 1)F ,,,(1 4 1)EC =-
,,, 又∵AB ⊥平面PAD ,
∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==
, (2分)
设直线EC 与平面PAD 所成的角为α,则
sin ||||EC n EC n α?===?
, (6分) ∴直线EC 与平面PAD
所成的角为. (7分) 解法二:∵PA ⊥平面ABCD ,∴C D P
A ⊥,又C D A D ⊥,∴CD ⊥平面PAD ,取PA 中点G ,CD 中点H ,联结EG GH GD 、、,则
E G A B C ////且1
=12
EG AB =,EGHC ∴是平行四边
形,∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角. (2分)
在Rt GAD ?
中,GD =
在Rt GHD ?
中,tan
HD HGD GD ∠===,(6分) ∴直线EC 与平面PAD 所成的角为. (7分)
(2)解法一:由(1)解法一的建系得,(1 2 1)AF = ,,,(0 4 0)
AD =
,,,设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z = ,点P 到平面AFD 的距离为d ,由0AF n ?= ,0AD n ?=
得
20x y z ++=且40y
=,取1x =得
(1,0,1)n =-
,∴AP
n
d n
?=== ,(2分)
又AF FD ==
2AFD S =
=△,
(4分)
∴1433
P AFD V
-=?=. (7分) 解法二:易证PE 即为三棱锥P AFD -底面上的高,且
PE = (2分)
底面AFD △边AD 上的高等于AE ,且AE
=
AFD S =△(4分) 1144323
P AFD V -=??=. (7分)
解法三:依题意,//EF 平面PAD ,∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----===(4分) 11114224322123
D PA
E V PA AB AD -=?????=???=. (7分)
21. [解](1)设两车距离为d ,则
22222100(100)(50)(2500)20010000(0)d vt t v t vt t v
=-+=+-+≤≤ (3分)
2100100
02500v v v <<+,∴当21002500v t v
=+时,min d =千米; (7分)
(2)当两车相距最近时,02
10010012500
2500v t v v v
==≤++, (3分)
此时50v =千米/小时. (5分) 即当车速50v =千米/小时,两车相距最近所用时间0t 最大,最大值是1小时.(
7分)
22. [解
](1)由题可得1(F ,2F ,设)0,0(),(00000>>y x y x P 则
F E
D
B
C
A
P
H G
100(,)PF x y =-
,200,)PF x y =- ,∴22120021PF PF x y ?=+-=
,
(1分)∵点),(00y x P 在曲线上,则22
001
2x y +=,(2分)解得点P 的坐标为. (4分) (2)
当直线PA 经过点
(时,
则PA 的斜率为1-,因两条直线PA PB 、的倾斜角互补,
故PB 的斜率为1,
由22
2131)2
014
2
y x x x y x -=-+??-++=?+=??
得,12x
x ==
即A x =
,故
A y =(2分)同理得
B x =,
B
y =4分)
∴直线AB
的方程为23
y x =
- (6分)
(3) 依题意,直线PA PB 、的斜率必存在,不妨设BP 的方程为:
1(0)y
k x k -=>.由221(142
y k x y x -=???+=?? 得
222
(21)41)420k x k x k +--+
--=,
(
2分)设),(B B y x B ,则
2
41)
21
B k x k -=+,22421B k x k -=+
,同理22421A k x k +=+, 则2821A B k x x k -=+
,同理(A B A B
y y k x x -=-+-=(4分) 所以:AB 的斜率A B AB A B y y k x x -==
-为定值. (6分) 23. [解](1)9110||,3
1
||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且 , (2分)
311211)3
1
()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A (4分)
(2)由(1)的结论可得
12231||||||n n A A A A A A -+++ 44
12711931()()3223
n
n --=++++=
- (2分) n A 点∴的坐标
42911
(0,())223
n --, (3分)
1||||n n OB OB -
-= 2,3,
n =
)且1||OB ={||}n OB ∴是以23为首项,22为公差的等差数列 (5分)
||(1(21n OB n n ∴=-=+n B ∴的坐标为(21,21)n n ++.(6分) (3)(文)连接1+n n B A ,设四边形11
n n n n A B B A +
+的面积为n S , 则111n n n n n n n A A B B B A S S S +++??=+
341112911[()](23)[()232223n n n --=?++?-329
23n n -=+ (2分) 由1S ,n S ,k S (1,)n k n k <<∈N 、成等差数列,332929292(
)(9)()23223
n k n k --+=+++ 即123()36
k n n k =?-,①(4分)
∵
111120333n n n n n n +++--=<,∴3n n ??
????
是单调递减数列. 当3n ≥时,1
39
n n ≤,①式右边小于0,矛盾, (6分)
当2n =时,得23k k -=,易知3k =是唯一解,∴1S ,2S ,3S 成等差数列. 即当3n ≥时,{}n S 中不存在1S ,n S ,k S 三项成等差数列.
综上所述,在数列{}n S 中,有且仅有1S ,2S ,3S 成等差数列. (8分) (理)连接1+n n B A ,设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ,则111n n n n n n n A A B B B A S S S +++??=+
341112911[()](23)[()232223n n n --=?++?-329
23n n -=+ (2分) 不妨设 (1 )m n k S S S m n k m n k ≤<<∈N ,,,、、成等差数列,
又12120,3
n n n n
S S +---=< ,1n n S S <+即}{n S ∴是单调递减数列.n S ∴是等差中项,即
2n m k S S S =+,∴3332929292()()()232323n m k n m k ---+=+++,即2333
n m k n m k
=+
1)当1m =,2n =时,得23k k -=,3k =是唯一解,∴1S ,2S ,3S 成等差数列(4分)
2)当1m =,3n ≥时,即123()36k n n k =?-,① ∵111120333n n n n n n +++--=<,∴3n n ??????
是单调递减数列.当3n ≥时,1
39
n n ≤,①式右边小于0,矛盾, (6分)
3)当2m ≥时,2n m k S S S =+不可能成立.
∵1120333
n n n +--=<,∴数列{}3n 是递减数列, 当2m ≥时,32(1)m m ≥+,由2m n k ≤<<(m n k ∈N 、、)知,1n m ≥+ ∴112(1)323333m m m n m m m n +++=≥≥(当且仅当23m n ==,时等号成立) ∴2333
m k n m k n
+>对任意2m n k ≤<<(m n k ∈N 、、)恒成立, 即当2m ≥时,{}n S 中不存在不同的三项恰好成等差数列.
综上所述,在数列{}n S 中,有且仅有1
23S S S ,,成等差数列. (8分)