圆周运动中的临界问题专题

课题28圆周运动中的临界问题

一、竖直面内圆周运动的临界问题

(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或

恰好转不过的速度）

即此时小球所受重力全部提供向心力

注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠

Rg

②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤gR 3

10，则有关小球能够上升到最大高

度（距离底部）的说法中正确的是（ ） A 、一定可以表示为g

v 220

B 、可能为3

R

C 、可能为R

D 、可能为

3

5R

【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度

gr v 时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为

桥面不能对汽车产生拉力．

（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）

②当 0＜v ＜Rg 时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力． ③当v =Rg 时，F N ＝0

④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心）

1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程

【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO

/

旋转，现将轻质弹簧的一端固定

在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。将物块置于离圆心R 处，R ＞L ，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A 相对圆盘始终未惰动。当ω增大到

ω=

A 是否受

到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。

【解析］对物块A ，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。 依向心力公式有m ω02

R=k(R －L)

，所以0

ω=

，故ω=

,得ω＞ω0。

可见物块所受静摩擦力指向圆心。

【例3】如图所示，细绳长为L ，一端固定在O 点，另一端系一质量为m 、电荷量为+q 的小球，置于电场强度为E 的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？

解析：小球至最高点时能以L 为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则Mg ＋Eq=mv 02

/L ，得()m L Eq mg v /0+=

，故小球在竖直平面内能

够做圆周运动时，小球至最高点的速度 ()m L Eq mg v /+≥

拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面

内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A 点，物理最低点为B 点，而几何最高点为C 点，几何最低点为D 点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）． A 处速度的最小值（临界速度）应满足：()()222

/Eq mg F R mv A +=

=合

思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？

【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足怎样的关系式?

解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1=N 2。

据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有 R

v m g m N 20

111=-①

同理m 2在最高点有 R

v m N g m 2

1222=+② m 2球由最高点到最低点机械能守恒 20221222

1212v m v m R g m =+

③又N 1=N 2……④

【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会

变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。

【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r 1和r 2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？ 分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为v m 。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到v m 。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定． 对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v 2，则应

有mv 22

/r 2=μmg 解得v 2

如图所示，设车自M 点开始减速，至N 点其速度减为v 2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg

此减速过程中行驶的路径长度（即MN 的长度）为x 2=a

v v m 22

22-=g v m μ22－22r

车沿弯道到达A 点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x 2的路程上加速，才能达

到速度v m 。上述过程所用的总时间为

t 2=t 减速＋t 圆弧＋t 加速=

a v v m 2-＋222v r π＋a

v v m 2-=g v m μ2－（2－2π

）g r μ2

同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t 1=

g

v m μ2－（2－2π

）g r μ1

另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多

走了长度 ΔL ＝ r 2－ r l

同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 Δx=2x 1－2x 2= r 2－ r l

由于上述的ΔL 和Δx 刚好相等，可见车在直道上以v m 匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t 1和t 2即可由于 t 2＜t 1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为

Δt=t 1一t 2=(22π-

2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围

【例6】如图，直杆上0102两点间距为L ，细线O 1A

，O 2A 长为L,A 端小球质量为m ，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？

解析:当ω较小时线O 1A 拉直，O 2A 松弛，而当ω太大时O 2A 拉直, O 1A 将松弛．

设O 2A 刚好拉直,但F O2A 仍为零时角速度为ω1，此时∠O 2O 1A =300

,对小球：

在竖直方向F O1A ·cos300

＝mg ……①

在水平方向：F O1A ·sin300

＝0

1

sin 30m ω?……②

由①②得1

ω=设O 1A 由拉紧转到刚被拉直,F O1A 变为零时角速度为ω2

对小球：F O2A ·cos600

=mg ……③

F O2A ·sin600=m ω22L ·sin600

………④

由③④得2

ω=

ω

【例7】一根长约为L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面

内转动，杆最初在水平位置。杆上距O 为a 处放有一个小物体B （可视为

质点）。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度ω绕O 轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰。

【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A 做匀速转动，B 做自由落体运动。若B 能与杆相碰，只可能在B 下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。 我们分两种情况进行讨论：

（1）当杆的转速ω较小时，物体B 有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B 下落

到C 作用的时间为t 1，杆转过Φ角所用时间为t 2，两物要能相碰，t 1和t 2就满足下列条件：t 1≤t 2…①

又因为L BC ＝?gt 12

，Φ=ωt 2，由几何关系L BC =22a L -，Lcos Φ=a ，所以L BC ＝?

gt 12

=2

2a L -解得t 1=g

a L 2

22-

由Φ=ωt 2=arccos α/L 解得t 2=

ω

1

arccos （a/L ） 将t l 、t 2代入①式，得g

a L 2

22- ≤

ω1arccos （a/L ）解得ω≤2

g

arccos （a/L ）/422a L - （2）当杆的转速ω较大时，杆转过一周后有可能追上B 而与物体B 相碰，设杆转过中角所

用的时间为t 2/，杆要与B 相碰，t 2/和t l 必须满足下列条件：t l ≥t 2/

由2π+Φ=ωt 2/

，所以t 2/

=（2π+Φ）=（2π+arccos （a/L ））/ω代入得

g

a L 2

22-≥（2π+arccos （a/L ））/ω，解得ω≥

2

g

arccos （a/L ）/422a L -

由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：ω≤

2

g

arccos （a/L ）/422a L -或ω≥2

g

arccos （a/L ）/422a L -时，物体B 均有可能和细杆相碰。

典例分析

杆长为L ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F =1/2mg ，求这时小球的即时速度大小。 解：小球所需向心力向下，本题中F =1/2mg ＜mg ，所以弹力的方向可能向上

也可能向下。⑴若F 向上，则2

,2gL v L

mv F mg ==- ⑵若F 向下，则2

3,2gL v L mv F mg =

=+

如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，沿轨道ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R ，斜面倾角为θ，s BC =2R 。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？

解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F ，如图所示。可知F ＝1.25mg ，方向与竖直方向左偏下37o，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D 点，若恰好能通过D 点，即达到D 点时球与环的弹力恰好为零。

由圆周运动知识得：R

v m F D

2

=

即：R

v m mg D

225.1=

由动能定理有：22

1)37sin 2cot (43)37cos (D mv R R h mg R R h mg =?++?-?--θ 联立①、②可求出此时的高度h 。

【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m =0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f =2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O

旋转的角速度ω的取值范围．（取g =10m/s 2）

解析：要使B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O ．

对于B ，T =mg

对于A ，2

1ωMr f T =+

2

2ωMr f T =-

5.61=ωrad/s 9.22=ωrad/s

所以 2.9 rad/s 5.6≤≤ωrad/s

【例7】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0．设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1、m 2、R 与v 0应满足的关系式是______．

解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题． A 球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下．若要此时两球作用于圆管的合力为零，B 球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B 球的压力一定是竖直向下的．

由机械能守恒定律，B 球通过圆管最高点时的速度v 满足方程

2

022222

1221v m R g m v m =?+

根据牛顿运动定律

对于A 球，R

v m g m N 2

111=-

对于B 球，R

v m g m N 22

22=+

又 N 1=N 2

解得 0)5()(2120

21=++-g m m R

v m m

针对练习：

1．如图所示，长为L 的细线，一端固定在O 点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O 处于同一水平面的A 点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O 点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A 处小球竖直向下的最小初速度应为

A.gL 7

B.gL 5

C.gL 3

D.

gL 2

2．由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力

A.相等

B.前者一定稍大于后者

C.前者一定稍小于后者

D.均可能为零

3．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2变化的图象是图（2）中的

4．在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到轴的距离为R ，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过

A ．

g mR

m

M ?+ B ．

g mR m M ?+ C ．

g mR m M ?- D ．mR

Mg

5．如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R ，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v 向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v 至少应等于

A ．ωR

B ．ωH

C ．R

H

g

2 D ．R H g 2

6．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是

A ．a 处为拉力，b 处为拉力

B ．a 处为拉力，b 处为推力

C ．a 处为推力，b 处为拉力

D ．a 处为推力，b 处为推力

7．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q ，质量为

m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A 由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而作圆周运动，问点A 的高度h 至少应为多少？

如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨

道半径为R ，MN 为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A 以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M 时与静止于该处的质量与A 相同的小球B

发生碰撞，碰后两球粘在

一起飞出轨道，落地点距N 为2R 。重力加速度为g ，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：

（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t ； （2）小球A 冲进轨道时速度v 的大小。

解析：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有

21

22

R gt =

①

解得

t =②

（2）设球A 的质量为m ，碰撞前速度大小为v 1，把球A 冲进轨道最低点时的重力势能定为

0，由机械能守恒定律知

22

111222

mv mv mgR =+ ③ 设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v 2，由动量守恒定律知 122mv mv = ④ 飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有 22R v t = ⑤

综合②③④⑤式得 2v =

某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v a =5m/s 的水平初速度由a 点弹出，从b 点进入轨道，依次经过“8002”后从p 点水平抛出。小物体与地面ab 段间的动摩擦因数u =0.3,不计其它机械能损失。已知ab 段长L ＝1. 5m ，数字“0”的半径R ＝0.2m ，小物体质量m =0.01kg,g =10m/s 2。求：（1）小物体从p 点抛出后的水平射程。（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。

解析：（1）设小物体运动到p 点时的速度大小为v ，对小物体由a 运动到p 过程应用动能定理得： 22

11222

a mgL Rmg mv mv -μ-=

- ①

2

122

R gt =

② s =vt

③ 由①②③式联立代入数据解得：s =0.8m

④

（2）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F ，由牛顿第二定律得：

2

mv F mg R

+=

⑤

由①⑤两式联立代入数据解得：F ＝0.3N ，方向竖直向下。 答案：⑴ 0.8m ⑵ 0.3N 方向竖直向下

如图所示，质量M =2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m =1kg 的小球通过长L =0.5m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O 连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v 0=4 m/s ，g 取10m/s 2。

（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P 时对轻杆的作用力大小和方向。

（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速

度大小。

（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。

解析：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v 1。在

上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则

22

10

1122

mv mgL mv += ①

1/v s = ② 设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F ，方向向下，则

2

1v F mg m L

+= ③

由②③式，得 F =2N ④

由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N ，方向竖直向上。

（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v 2，此时滑块的速度为V 。在上升过

程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有 20mv MV += ⑤

M v 0

O P L

在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则

222

20

111222

mv MV mgL mv ++= ⑥ 由⑤⑥式，得 v 2=2m /s ⑦

（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s 1，滑块向左移动的距

离为s 2，任意时刻小球的水平速度大小为v 3，滑块的速度大小为V /。由系统水平方向的动量守恒，得 30mv MV '-= ⑦ 将⑧式两边同乘以t ?，得

30mv t MV t '?-?= ⑨

因⑨式对任意时刻附近的微小间隔t ?都成立，累积相加后，有 120ms Ms -= ○10 又 122s s L += ○11 由○10○11式得 12

3

s m =

○

12 如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半

部AB 是一长为2R 的竖直细管，上半部BC 是半径为R 的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB 管内有一原长为R 、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R 后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为m 的鱼饵到达管口C 时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为g 。求： (1)质量为m 的鱼饵到达管口C 时的速度大小v 1; (2)弹簧压缩到0.5R 时的弹性势能E p ;

（3） 已知地面欲睡面相距1.5R ，若使该投饵管绕AB 管的中轴

线OO-。在角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在

到m 之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S 是多少？

解析：此题考查平抛运动规律、牛顿运动定律、竖直面内的圆周运动、机械能守恒定律等知

识点

（1）质量为m 的鱼饵到达管口C 时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则

(1)

解得

(2)

(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有

(3)

由（2）（3）得

(4)

(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运

动，设经过t时间落到水面上，离OO’的水平距离为x1，由平抛规律有

(5)

(6)

由（5）（6）两式得 (7)

当鱼饵的质量为时，设其到达管口C时速度大小为V2，由机械能守恒定律有

(8)

由（4）（8）两式解得 (9)

质量为的鱼饵落到水面时上时，设离OO’的水平距离为x2则

(10)

由（5）（9）（10）解得：

鱼饵能够落到水面的最大面积S，S=(πx22-πx12)= πR2（或8.25πR2）。

参考答案：

1．C

2．C

3．C

4．B

5．D

6．AB 7．5R/2