学而思中考数学.三角形.尖子班.学生版

初三寒假·第1讲·尖子班·学生版

考试内容

考试要求层次

A

B

C

三角形

了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心

会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题

等腰三角形和直角

三角形

了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定

能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题

会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题

勾股定理及其逆定

理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长

会用勾股定理及其逆定理解决简

单问题

相似三角形

了解两个三角形相似的概念

会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题

锐角三角函数

了解锐角三角函数

（sin cos tan A A A ，

，）；知道304560???，

，角的三角函数值

由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560???，，角的三角函数式的值

能运用三角函数解

决与直角三角形有关的简单问题

解直角三角形

知道解直角三角形的含义

会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题

能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

本讲结构

中考大纲剖析

1

中考第一轮复习

三角形

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一、等腰三角形

二、直角三角形

1．直角三角形的边角关系．

①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．

知识导航

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45°

60°2．特殊直角三角形

“等腰直角三角形”

“含30?和60?的直角三角形”

边的比：112∶∶

边的比：132∶∶

3．直角三角形中的特殊线．

d c

b

a

“直角三角形斜边中线2

c d =

” a

c

b

h “直角三角形斜边高ab

h c

=”

三.尺规构造等腰三角形和直角三角形

问题

作图

求点坐标 “万能法”

其他方法 等腰三角形 l

A

B

已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使

PAB △为等腰三角形

l

P 4P 5

P 3

P 2P 1

B

A

“两圆一垂”

分别表示出点A 、B 、P 的

坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①AB=AP ②AB=BP

③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的高，用

勾股或相似建立等量关系

直角三角形

l

A

B

已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使

PAB △为直角三角形

B

A P 1P 2

P 3P 4

l

“两垂一圆”

分别表示出点A 、B 、P 的

坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由

①222

AB BP AP =+ ②222

BP AB AP =+ ③2

2

2

AP AB BP =+ 列方程解出坐标

作垂线，用勾股或相似建立等量关系

四.全等三角形

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS ；⑵SAS ；⑶ASA ；⑷AAS ；⑸HL ．

在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.

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五.相似三角形

相似三角形的性质：

⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．

⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：

⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；

⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：

(1)E

D

C B

A

(3)E

D C

B

A

(4)

D C

B

A

D

C

B

A

(6)

E

D

C

B

A

(2)

E

D

C

B

A

(5)

E

D

C

B

A

（10）

（9）

（8）

A B

D

E

A

B

C D

E

E

D

B

A

【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是

两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的

个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △

是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．

（3）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P

在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设

BP =y ，PE =x .当CQ =

21

CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； 当CQ =n

1

CE （n 为不小于2的常数）时， y 与

x 之间的函数关系式是 .

模块一 特殊三角形

夯实基础

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（4）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =，

连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =．

【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的

两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ）

A. 2

B. 4－π

C.π

D.1π-

（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x

轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在 运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）

A. 222+ B ．52 C ．62 D ． 6

以下探究主题为：几何最值问题

【探究1】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、

y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程 中，点B 到原点的最小距离是__________.

【探究2】如图，在Rt ABC △ 中，∠C =90°，tan 1

2

BAC ∠=，BC =6，点D

在边AC 上，且

23

AD AC =，连结BD ，F 为BD 中点，将线段AD 绕 点A 旋转，在旋转过程中线段CF 长度的最大值为________，最小值 为_______.

能力提升

A

C

F

E

D

B B

C 第8题图

Q

F

M

A

B

C y x

O C

B

A C B

A

O y x

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【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，

点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值 为_______，最小值为_______.

【探究4】如图，Rt ABC △中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．

点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合）， 且DA =DE ，则AD 的取值范围是___________________．

【例3】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（?<

线段BD .

图1

图2

A B

C

D

E

D

C

B

A

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值.

夯实基础

模块二 全等三角形

P

D

C

B

A

C

D

A

B

E

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【例4】 等边三角形ABO 的边长为2个单位长度，点P 、Q 分别从点B 、O 同时出发，以每秒1个单

位长度向点O 、A 运动．（到达点O 、A 时停止运动）

⑴ 如图1，连接AP 、BQ 相交于点C ．证明：AP BQ =，60ACQ =?∠． ⑵ 如图2，连接PQ ，探讨2PQ 与AB 之间的大小关系并证明你的结论．

Q

A

图1

A

C

P Q

Q

P A

图2

夯实基础

模块三 相似三角形

能力提升

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图3图2图1

2

n-1

B 2

C 2A B C

B 1

C 1

C 1

B

1C B A

【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长

是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，

C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值

是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.

（2）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，

① 若CE =12CB ，CF =1

2

CD ，则图中阴影部分的面积是________；

② 若CE =1n CB ，CF =1

n

CD ，则图中阴影部分的面积是_________.

（用含n 的式子表示，n 是正整数）．

（3）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的

直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）

A

能力提升

【例6】如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.

（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA 的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；

若不能，请说明理由．

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【例7】 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；

（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．

C 1

C B

A 1

A

图2

A 1

C 1

A

B

C

图1

图3

A

模块一 特殊三角形 课后演练

【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =?∠，线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°

实战演练

图1

E

D

B

A

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⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．

⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =， AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AG

AF = ．

【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，

过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则

PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．

模块二 全等三角形 课后演练 【演练3】 ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC

于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；

图3

G

E

F

L A

B

C

D

A

B

C

D E

F

G

H

图2

图1

H G

F

E D

C

B

A

⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论．

G

F

E

D C

B

A

P F E

A

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E 3

E 2E 1D 4

D 3

D 2

D 1

C

B

A 【演练4】 图中是一副三角板，45?的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30?的三角板Rt ABC △斜

边AB 的中点处，

304590A E EDF ACB ∠=?∠=?∠=∠=?，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．

⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．

⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．

图2

图1

E

H

A

B

C

D F

G

N N

M

G

F E

D C

B

A

模块三 相似三角形 课后演练

【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作

11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ．

则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．

第十八种品格：坚持

品格教育—坚持

有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。有些人做事，为了成功，为了成功的目标而坚持。但是坚持的结果都是成功。因此坚持常常是成功的代名词。想要实现自己的梦想，就要坚持就要努力，这样才可以成就梦想。

【坚持的三个层次】

一、学会以坚持不懈的态度对待事物；

二、坚持心中那份信念，成功最后即会到来；

三、坚持不懈的过程中会遇到挫折，迎难而上，也许终会柳暗花明。

孟母断机

孟子早年家境贫寒，相传孟母仉氏靠纺线织布维持生活。孟子到学馆学习了一段时间后，开始的新鲜劲头过去了，贪玩的本性难移，有时就逃学，对母亲谎称是找丢失的东西。

有一次孟子又早早地跑回了家，孟母正在织布，知道他又逃学了。孟母仉氏把孟子叫到跟前，把织了一半的布全部割断。孟子问为什么要这样，孟母回答说：“子之废学，若吾断斯织也！”，教育孟轲，学习就像织布，靠一丝一线长期的积累，只有持之以恒，坚持不懈，才能获得渊博的知识，才能成才，不可半途而废。逃学就如同断机，线断了，布就织不成了，常常逃学，必然学无所成。

孟轲从此勤学苦读，没有辜负母亲的期望，终于成了一位伟大的思想家和教育家。

今天我学到了

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例题图形计数进阶_尖子班(学而思)

图形计数进阶 【例1】(1)已知图中点C,D,E,F 为线段AB 的五等分点,图中共有( )条线段, 如果AB =10厘米,那么所有线段的和是 ( )米. (2)图中一个大角被分成 6 个小角,每个小角都是30°,图中共有( )个角,这些角的和是( )度. (仅考虑劣角, 不考虑优角) 【例2】 1.(1) 数一数,图中共有 ( ) 个三角形. (2) 数一数,图中三角形共有( ) 个.。 (3) 数一数,图中有 ( ) 个三角形. 2.图中线段的条数比三角形的个数多____________________ . 【例3】 (1) 图中共有 ( ) 个三角形. (2) 图中共有 ( ) 个三角形.

(3) 图中共有( ) 个三角形.

【例4】 1. (1)数一数,图中有( )个长方形. (2)用16个同样大小的正方形组成如图的一个大正方形,下图中有 ( )个正方形. (3)如图,四条边长度都相等的四边形称为菱形.用16个同样大小的菱形组成如 图的一个大菱形.数一数,图中共有( ) 个菱形. 2.图中有______个正方形 【例5】下图中共有( )个长方形,这些长方形的面积和是( ) 【例6】1.在图所示的线段中,包含“☆”的线段有( ) 条;包含“△”的线段有( )条; 至少包含“☆”和 “△”中的一个的线段有( )条.

2。在图所示的线段中,包含“A”的线段有( )条;包含“B”的线段有( )条;至少包含“A”和“B”中的一个的线段有( )条.

【例7】(1)下图中包含五角星的长方形一共有（）个 (2)下图中包含五角星的长方形一共有( )个. （3）只包含一个字母的长方形有( )个 【例8】 1.由20 个单位小正方形组成的长方形中,包含☆的正方形共有 ( )个. 2.在下面的图中,包含苹果的正方形一共有（）个.

学而思中考数学.三角形.尖子班.学生版

初三寒假·第1讲·尖子班·学生版 考试内容 考试要求层次 A B C 三角形 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心 会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题 等腰三角形和直角 三角形 了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题 勾股定理及其逆定 理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长 会用勾股定理及其逆定理解决简 单问题 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数 （sin cos tan A A A ， ，）；知道304560???， ，角的三角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560???，，角的三角函数式的值 能运用三角函数解 决与直角三角形有关的简单问题 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 本讲结构 中考大纲剖析 1 中考第一轮复习 三角形

学而思四年级第11讲.最值问题(基础-提高-尖子班)

349876第十一讲 最值问题（一） 例1（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛） 【分析】 答案：247.要使两个五位数的差最小，这两个五位数首位上的数应该尽力接近，且 较大数的后四位应尽可能小，较小数的后四位应尽可能大。较大的五位数的后四位最 小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数 是50123，较小的数是49876，差为5012247?=. 例2 （2008年数学解题能力展示） 【分析】 答案：50.一共20张牌，点数之和是固定的：2110(123...10)×++++=.由于每轮的点 数差做为两人的得分，那么两人的总分之和就是10轮的点数差之和，即10轮中较大 数之和-10轮中较小数之和（令它们分别是A 和B，则总分之和=A-B）又因为A+B=110 所以A-B 的最大值即110-2B 的最大值，转换成求出B 的最小值即可。令B 最小，既最 小的十张牌之和：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5.所以B 最小为30 ，总分之和最大 =110-2B=50 例3 (第十三届华杯赛) 【分析】 极端分析法—答案：2005.通过找规律解决问题，要得到最小值，即让每次划去最多， 应该从大往小擦数，最终得到2。要得到最大值，即让每次划去最少，应该从小往大 擦数，最终得到2007，从而最大与最小的差为220052007?=. 例4 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛） 【分析】 极端分析法—答案：155.最倒霉原则： “保证”=“最倒霉”+1. 最倒霉的情况是：取出了两种颜色的全部和其他颜色各9个依然不满足条件， 即个，从而1550296154×+×=41155+=1×+556一定能保证满足条件. 例5 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛） 【分析】 极端分析法—答案：92.总表面积固定，当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此， 让蓝色木块优先占据特殊位置.分析发现，染色后8个角上的正方体3个面有颜色， 扣去两角后的每条棱上的3个正方体有2个面。其余表面上的正方体染色后只有1 个面。优先让蓝色小正方体占据8个角，余下17个蓝色正方体再占据棱上位置。则 蓝色最大面积为837258×=，则白色最少面积为5892××?123...13=. 例6 【分析】 极端分析法—答案：13.由于苹果数固定，则当每个人得到的苹果尽量少时，人数最多. 若有13个小朋友，则至少需要9199++++=<个苹果，余下8个苹果。人数有 13个，余下的8个苹果不会影响到人数。 例7 【分析】 不等式的估算法——设取出1个后第二堆苹果数为x 个，列表如下：

学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型

目录 Contents 第1讲平行线四大模型 (1) 第2讲实数三大概念 (17) 第3讲平面直角坐标系 (33) 第4讲坐标系与面积初步 (51) 第5讲二元—次方程组进阶 (67) 第6讲含参不等式（组） (79)

1平行线四大模型 知识目标 目标一熟练掌握平行线四大模型的证明 目标二熟练掌握平行线四大模型的应用 目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造 秋季回顾平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1：

例题 图形计数进阶_尖子班(学而思)

图形计数进阶 【例 1】 (1)已知图中点 C,D,E,F 为线段 AB 的五等分点,图中共有( )条线段, 如果AB =10厘米,那么所有线段的和是( )米. (2)图中一个大角被分成 6 个小角,每个小角都是 30°,图中共有( )个角,这些角的和是( )度. (仅考虑劣角, 不考虑优角) 【例 2】 1.(1) 数一数,图中共有 ( ) 个三角形. (2) 数一数,图中三角形共有 ( ) 个.。 (3) 数一数,图中有 ( ) 个三角形. & 2.图中线段的条数比三角形的个数多 ____________________ . 【例 3】 (1) 图中共有( ) 个三角形. (2) 图中共有( ) 个三角形. (3) 图中共有( ) 个三角形.

【例 4】 1. (1)数一数,图中有( )个长方形. (2)用16个同样大小的正方形组成如图的一个大正方形,下图中有( )个正方形. (3)如图,四条边长度都相等的四边形称为菱形.用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形.数一数,图中共有( ) 个菱形. / 2.图中有______个正方形 【例 5】下图中共有( )个长方形,这些长方形的面积和是( ) 【例 6】1.在图所示的线段中,包含“☆”的线段有 ( )条;包含“△”的线段有( )条; 至少包含“☆”和“△”中的一个的线段有( )条. 》 2。在图所示的线段中,包含“A”的线段有( )条;包含“B”的线段有( )条;至少包含“A”和“B”中的一个的线段有( )条.

【例 7】 (1)下图中包含五角星的长方形一共有（）个 (2)下图中包含五角星的长方形一共有( )个. （3）只包含一个字母的长方形有( )个 : 【例 8】 1.由 20 个单位小正方形组成的长方形中,包含☆的正方形共有( )个. 2.在下面的图中,包含苹果的正方形一共有（）个.

学而思一年级提高班升班考试++答案

一年级提高班升班考试答案 Listening（45分) 1.Listen and draw lines.There is one example.（3分*5） 1.猴子在自行车上面 2.青蛙在小汽车下面 3.老鼠在船里面 4.鸭子在树下面 5.猫在巴士上面 2.Read the questions.Listen and write a name or a number.There are two examples.（3分*5） 1.5/five 2.Sock 3.3/three 4.Pat 5.Line 3.Listen and tick(√)the box.There is one example.（3分*5）BCCAA Reading and Writing（55分） 4.Look and read.Put a tick(√)or a cross(×)in the box.（2分*5） √××√×

5.Look and read.Write yes or no.There are two examples.（3分*5） no yes yes no yes 6.Look the pictures.Look at the letters.Write the words. （3分*5） 1.rubber 2.nine 3.snake 4.hippo 5.balloon 7.Read the story.Choose a word below.Write the correct word next to numbers1-5.There is one example.（3分*5） 1.legs 2.tail 3.water 4.lunch 5.cats

学而思六年级尖子班长练习题七

第7讲 归纳与递推计数 1、一个长方形把平面分成两部分，那么四个长方形最多把平面分成部分． 2、有10 枚棋子，每次拿出2 枚或3 枚，要想将10 枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？ 4、下图的两个图形(实线) 分别是用10 根和16 根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的某个图形共用了60 多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？ 5、平面上有101 条直线，它们最多有多少个不同的交点？ 3、如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？ B A 1个长方形：2 2个长方形：2+8， 第2个长方形与第1个长方形有8个交点，被分成8段，每一段把所在的平面一分为二，所以增加了8个平面。 =10 解析：因为：10=2+2+2+2+2=2+2+3+3 取5个2只有一种方法，去2个3和2个2，利用枚举法可知为6种。一共7种。 解析：从A 开始往后依次形成斐波那契数列，1、1、2、3、5、8、13、21、34、55.所以到达B 时共有55种方法 解析：根据题意，可发现规律：后一个图形比前一个多6根小棍。根据等差数列：60多减去10后为6的倍数。则某层的根数为6×9+10=64（根） 层数：（64-10）÷6+1=10（层） 解析： 1条直线： 0 2条直线： 1，第2条直线被第1条直线分成2段，只有一个交点。 3条直线： 1+2，第3条直线与前两条直线相交，新产生2个交点。 ………… 101条直线：1+2+3+4+5+6+……+100=5050（个）

学而思七年级尖子班课后答案

习题1. 【解析】 倍长中线，27AD << 习题2. 【解析】 延长AD 到E ，使AD DE =，连结CE ． 在ADB △和ED C △中 AD ED ADB EDC DC DB =??∠=∠??=? ，∴ADB EDC △≌△ ∴AB EC =，BAD CEA ∠=∠， 在ACE △中，∵AB AC <，∴CE AC < ∴CAE AEC ∠<∠，∴DAC DAB ∠<∠． 习题3. N O F H M E C B A 【解析】 如图所示，设AM 的延长线交DC 于H ， 要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ∠=?，而条件BM ME =不好运用， 我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O . 容易证明AME FMB △≌△，则AE FB =，EAF F ∠=∠， 从而AE FB ∥，90ANF ∠=?. 而90CAD D AB ∠+∠=?，90D AB ABN ∠+∠=?，故CAD ABN ∠=∠， 从而CAD ABF △≌△，故D F ∠=∠. 而90D D O N FO H F ∠+∠=∠+∠=?，故90AHD ∠=?，亦即AM CD ⊥． 习题4. 【解析】 延长AM 到N ，使M N AM =，延长MA 交EG 于点P ，连接NC ∵BM M C = ∴ABM NCM △≌△ ∴CN AB AE == ∵180EAG BAC ∠+∠=?，180ACN BAC ∠+∠=? 3 倍长中线与 截长补短

∴EAG ACN ∠=∠ ∴EAG NCA △≌△，∴NAC EG A ∠=∠， 又∵90NAC G AP ∠+∠=?， ∴90AG P G AP ∠+∠=? ∴M A EG ⊥． 习题5. 【解析】 法1：延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ． 在CEF △和BEH △中 CE BE CEF BEH FE HE =??∠=∠??=? ，∴CEF BEH △ ≌△， ∴EFC EH B ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠，∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥，∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠，∴AD 为ABC △的角平分线． 法2：倍长GE ，使GE G'E =，连接G'C ． 习题6. 【解析】 延长AD 到M ，使DM AD =，连结EM ，利用SA S 证明ADC M DE △≌△， ∴3M ∠=∠，AC EM =，又AC EF =，∴EM EF =，∴1M ∠=∠，∴13∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴23∠=∠，∴12∠=∠，∴EF ∥AB ． 习题7. 【解析】 20? 习题8. 【解析】 45? 习题9. 【解析】 延长CB 至M ，使得BM DF =，连接AM ． ∵AB AD =，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM DF =， ∴ABM ADF △≌△，∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠， ∵AB CD ∥，∴AFD BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴AMB EAM ∠=∠， ∴AE EM BE BM BE DF ==+=+． 习题10. 【解析】 延长AC 到E 点，使CE BM =，连接DE ， 由题意可知60ABC ACB ∠=∠=?，30D BC D CB ∠=∠=?，AB AC =，BD CD =， ∴90ABD ACD ∠=∠=?，∴90ECD ABD ∠=∠=?， ∴BM D CED △≌△，∴BDM CDE ∠=∠，MD ED =， ∵60M DN ∠=?，∴60BD M CD N ∠+∠=?，∴60ED N ∠=?， ∴M D N ED N △≌△，∴M N EN CN CE BM CN ==+=+． 习题11. 【解析】 延长FD 到G ，使D G BE =，连接AG ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABE AD C ∠=∠=?， ∴ABE ADG △≌△，∴AE AG =，EAB G AD ∠=∠，∴90EAG ∠=?， ∵135EAF ∠=?，∴135FAG ∠=?， ∴AEF AGF △≌△， ∴EF FD D G D F BE =+=+． 习题12. 【解析】 延长DE 至F ，使得EF BC =，连接AC ， ∵180ABC AED ∠+∠=?，180AEF AED ∠+∠=?，∴ABC AEF ∠=∠， ∵AB AE =，BC EF =，∴ABC AEF △≌△

一年级学而思集题套

一年级数学思维训练题 （13套）

班级姓名 1、晾晒1块手帕，要用2只夹子；2块手帕，要用3只夹子；11块手帕，要用（） 只夹子。 2、老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11张票。问和老师一起看电影的有（） 个小朋友。 3、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。 4、把2、3、4、5分别填入（）中，每个数只能用一次。 （）+（）-（）=（） 5、小朋友排队。小平的左面有4个人，右面有8个人。这一行有（）个人。 6、小朋友排队。从左数过来小平是第4个，从右数过来是第8个。这一行有（） 个人。 7、按规律写数。 8、 15、10、13、12、11、（）、（） 1、4、3、6、5、（）、（） 1、2、4、8、（）、（） 8、 （）个正方形 （）个长方形9、小明、小林和小红一起比体重，结果是小明比小林重，小林比小红重，小明比小红重。 他们三人中（）最重，（）最轻。 10、小明、小红、小林进行100米跑步比赛。小明用了13秒，小林用了12秒，小红用了 11秒。那么，（）是第一，（）是第二。 11、强强的体重是27千克，芳芳的体重是25千克。东东的体重居于第三， 他和强强体重相差5千克，东东的体重是（）千克。

班级姓名 1、小猫、小狗、小兔、小猴、小熊排成一横排做广播操：兔的左边是狗；猴在熊的左边； 猫的右边是狗；猴在兔的右边。（）排在队伍的最左边。 2、1、2、4、5、7、8、（）、（） 15、1、12、1、9、（）、（）、（）、（） 75、（）、（）、60、（）、50、（）、（）、（） １０、５、９、６、８、７、７、（）、（）、（） ３、拔河比赛结束后老师买了些饮料给同学们喝，可乐比雪碧多４瓶，可乐比芬达多６瓶。 老师买的是（）多，多（）瓶。 ４、举行跳绳比赛。秋秋跳得比丁丁少，小牛跳得比阿婷多，比秋秋少。 第一名：（）第二名：（）第三名：（）第四名：（） 里填上“＋”或“－”，使算式成立。 １＝１ １＝２１ １＝１１ １＝９ １＝１５ ６、你能把０、１、２、３、７、８、９填入下面的算式，使等式成立吗 ＋ ７、６（）３（）２（）７（） ＋５－７＋５７－４８ （）３（）４８（）２（） （）８（）８（）８（）（） ＋１（）－３（）－８（）－（）７ ７６６４９２６

2016学而思秋季一年级选拔考试试卷(解析)_06

第1页，共8页 第2页，共8页 2016秋季一年级选拔考试 考试时间： 9：00～10：00 满分：150分 一、 基础题(每题6 分，共30分) 1. 这天，小悟空收到了一封奇怪的信，信封上写满了计算题． 5-2=_____3___ 7+3=_____10___ 17-5=____12____ 13+7=______20__ 4+7-3=_____8___ 13+5-7=______11__ 2. 这封信是悟空的好朋友红孩儿寄来的，邀请悟空去火焰山参加他的生日宴会，悟空看了一眼墙上的钟，请你写出钟面上的时间． (1) (2) ______2________:_____00_________ ______4________:________30______ 3. “要送什么礼物呢？”悟空犯愁了，他给唐僧和猪八戒打电话，他们三个人每两个人 打一次电话，请问一共打了_________次电话． 【解析】每两个人之间都要打一次电话，不能重复打电话，例如悟空给唐僧打过电话，那唐僧就不用给悟空打电话了．悟空-唐僧；悟空-八戒；唐僧-八戒 【答案】3 4. 为了挑选礼物，悟空画了一张统计图，请你帮他补充完整． 2 5. 悟空发现商场货架上的小礼物都被标了图形记号，而且都是按照规律排列的，请找到规律并在横线上填上答案． _______ （只填一个） _______ （只填一个） 【解析】第一题图形每次逆时针旋转90°；第二题，图形位置按滑滑梯队伍的特点变化． 【答案】，

第3页，共8页 第4页，共8页 二、 提高题(每题7分，共35分) 6. 火焰山前有一片计算丛林． 17-（8+9）=____0____ 13+4+15+16+17=___65_____ 【解析】8+9写在括号里，所以需要先算；第二题需要用到巧算，（13+17）+（4+16）+15． 【答案】0；65 7. 火焰山是一座正方体形状的大山，悟空用火眼金睛看出了它的展开图，那么E 的对面是________． 【解析】考察立体图形的展开． 【答案】F 8. 一只小妖怪在巡山，他一边唱歌一边往山上刻下一些数，找一找这些数的规律，把他们补完整． 1, 5, 9, 13，___________，21 1, 30, 2, 25, 3, 20, 4, ___________，___________，10, 6, 5 【解析】第一列数依次增大4；第二列数可以把数分为两组：1,2,3,4，___,6和30,25,20, ___,10,5． 【答案】17；15； 5 9. 小妖怪说：“我要给火焰山画上漂亮的图形，铺上好看的地板．聪明的悟空，请你来数一数”． 有______________个三角形 有___________条线段 【解析】单个的三角形：4个；双拼的三角形：3个；三拼的三角形：2个；四拼的三角形：1个，所 以一共有4+3+2+1=10（个）三角形． 单个的线段：5条；双拼的线段：3条；三拼的线段：1条，所以一共有5+3+1=9（条）线段． 【答案】10；9 10. 火焰山的洞口是一个非常美丽的轴对称图形，请你写出它有几条对称轴 ． 【解析】如图 【答案】4 三、 拓展题(每题8分，共40分) 11. 宴会现场被分成四个形状不同的区域，每块区域都填着1~4这四个不同的数字，请你 把它们补充完整． 算一算所有圆圈部分的的数字上加起来等于________． 【解析】每块区域都填着1~4这四个不同的数字，第二行圆圈部分应该填3；第三行的第一个圆圈填4；第三行的第二个圆圈填1.求和：3+4+1=8 【答案】8 12. 宴会的座位都是按照大小排列的，按照要求给他们分分类． 23，45，18，33，100，86，97，40，81，76． 【解析】小于40：＜40；不小于86：≥86 【答案】23 18 33 ； 100 86 97 F E D C B A

学而思十二级课程体系

《小学数学智力开发课程》十二级体系 1、什么是十二级体系？ “十二级体系”，即“小学数学智力开发课程十二级体系”。是学而思教育专家团队经过7 年的积累和沉淀，在2010年推出的全国唯一的完整的奥数学系知识体系。其包括“优秀儿童智力开 发体系”、“超常儿童培养体系”两个结构统一的部分。 为了培养孩子品质全面提升，十二级体系中加入了二十四项品格教育，将采取“分阶段、分年 级”的方式，使品格教育符合孩子的认知规律，从而取得良好的学习效果。 一年级孝顺、勇敢、勤奋、谦虚 二年级自律、自信、主动、同情心 三年级诚信、专注、坚持、忠诚 四年级反思、行动、感恩、坚韧 五年级学习、热忱、乐观、责任 六年级宽容、目标、信念、全力以赴《超常儿童培养课程》封面《优秀儿童智力开发课程》封面各年级阶段品格培养目标

年级划分（一年两级，既相互联系又相对独立） 注：由于体系详细内容属教研宝贵成果，暂不对外公布，请见谅！ 2、为什么要建立十二级体系？ （1）我们每年培训无数金牌选手的培训教材需要沉淀； （2）近几年尤其是09年和10年杯赛及小升初的现状有了新的变化； （3）当前缺乏完整而优质的教材体系，数学的教学效果需要在分层的基础上实现标准化。 3、谁来创立主导十二级体系？ 在全国著名数学教育家，超常教育的卓越实践者陶晓永教授指导下，在众多华杯赛等全国顶级赛事的主试委员们的关心下，由一批全部来自清华北大等顶尖学府、拥有辉煌竞赛及培训战绩的学而思教育核心教研团队经过长时间的充分酝酿及反复调研，最终推出这套《超常儿童培养体系》及《优秀儿童智力开发体系》。 编委会成员： 王伟张瑞祥林博季云英周清赵永明陈晨张旷昊张超月申强 张剑肖京园曹岚李春芳吴昊庄文辉吴旭谷运增张邦鑫韩涛 孙凯赵璞铮杨巍田芳宇张嘉荆晨伟况雯董博聪王雪婷戴宁 震荣谢玉才兰海赵元红周斌姜付加王磊张宇鹏何晓燕 4、在哪些班级展开？ 在学而思小学数学课程全面展开。其中，"优秀儿童智力开发体系"将在现有的基础班、提高班、尖子班推行；"超常儿童培养体系"将在竞赛班、竞赛123班推行。 5、何时开始推行？ 从春季班第十次课起开始全面启用新的十二级体系，新体系保留了原体系专业性和应试性的优点，同时增加了层级间的区分度、趣味性、励志性、针对性。

【学而思培优】一年级秋季班讲义1

第1讲 平面图形计数初步 一． 基本问法 1. 各用了几个：数用的图形个数 2. 共有几个：加上拼成的图形个数 二． 巧数图形方法 1. 边数边做小记号 2. 规则图形： （1）单层图形 图形总数:图形宝宝数开火车依次加到1 注意：图形宝宝必须肩并肩、手拉手站一排 （2）多层图形 分组数 分类：边到边、角到边 3. 不规则图形： 分类数：分大小、分方向、分内外 ——李佳珍老师

1. 数数下面的密码图是由哪些图形拼成的，各用了几个？ 三角形（ ）个 正方形（ ）个 长方形（ ）个 梯形（ ）个 平行四边形（ ）个 圆形（ ）个 扇形（ ）个 解析：在数图形的时候，我们可以使用不同的记号对图形进行区分计数，如数三角形个数的时候，我们可以数到一个三角形，就将这个三角形打上勾，避免遗忘或者重复；接着在数正方形时，可以将数过的正方形都打上叉，以此类推，可以数完所有的图形。按照这样的方法，我们可以数出，图中有三角形7个，正方形2个，长方形2个，梯形2个，平行四边形3个，圆形1个，扇形1个。 2. 数一数，图（1）中有多少条线段，图（2）中有多少个锐角。 A B C D O A B C D

解析：（1）首先我们先找找哪些是线段，例如AB 、BC 这样的就是线段，那么图中一共有多少条线段呢？我们需要明确一个规则，按照规则来数，才能做到不重不漏。观察可以发现，图中的线段有长有短，那么我们就将短的线段，即AB 、BC 、CD 这样的基本线段叫做“线段宝宝”，我们将其编个号，如下图所示。 1 2 3 数线段时，我们可以按照线段中包含线段宝宝的个数不同来分类数： 单个：1，2，3；有3条；两个两个组合的，我们可以取个名字叫做双拼，那么双拼的就是：1+2，2+3；有2条；同理三拼的就是：1+2+3；有1条。所以加起来一共就有3+2+1=6条线段。 （2）题目中问的是多少个锐角，那么首先我们将所有的角都找出来，再对角的性质进行判断。用前一题中的方法，我们可以将图中的基本角元素编号，如下所示。 按照包含角宝宝的个数不同，我们也可以分类来数。其中， 单个：1，2，3；有3个； 双拼：1+2，2+3；有2个； 三拼：1+2+3；有1个； A B C D 1 2 3 O A B C D