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高中数学 专题08概率与统计

高中数学 专题08概率与统计
高中数学 专题08概率与统计

高中数学 专题08概率与统计

考试范围:概率与统计

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.要完成下列两项调查:①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1000根火腿肠进行“瘦肉精”检测;②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.适合采用的抽样方法依次为 ( )

A .①用分层抽样,②用简单随机抽样

B .①用系统抽样,②用简单随机抽样

C .①②都用系统抽样

D .①②都用简单随机抽样

2.将一个骰子抛掷1次,设事件A 表示向上的一面出现偶数,事件B 表示向上的一面出现的

点数不超过3,事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4,则 ( )

A .A 与

B 是互斥而非对立事件 B .A 与B 是对立事件

C .B 与C 是互斥而非对立事件

D .B 与C 是对立事件

3.要从编号为01~50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用每

部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定,则选取的5枚导弹的编号可能是 ( )

A .05,10,15,20,25

B .03,13,23,33,43

C .01,02,03,04,05

D .02,04,08,16,32

4.(理)2011年3月17日上午,日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的染料池进行了4次注水.如果直升飞机有A 、B 、C 、D 四架供选,飞行员有甲、乙、丙、丁四人供选,且一架直升飞机只安排一名飞行员,则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为 ( ) A .18 B .36 C .72 D .108

(文)两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子,并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛克”,则“温洛克”与两端距离都大于1m 的概率为 ( ) A .2

1

B .3

1

C .4

1

D .3

2

5.(理)道路安全交通法规定,驾驶员血液酒精含量在20~80mg /100ml ,属酒后驾车,血液酒精含量在80mg /100ml 以上时,属醉酒驾车,2011年6月1日7:00至22:30,某地查处酒后驾车和醉酒驾车共50起,如图是对这50人的血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数大约为 ( )

A .9

B .10

C .11

D .12

(文)某农科所研制成功一种产量较高的农作物种子,并对该作物种子在相同条件下发芽

与否进行了试验,试验结果如下表,则其发芽的概率大约为 (种子粒

2

5

10

70

130

310

700

1500

200

300

数 0 0 发芽粒数

2

4

9

60

116

282

639

1339

1806

2715

A .1

B .0.7

C .0.8

D .0.9 6.(理)某堂训练课上,一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击,已知他至少命中一次的概率为

81

65

,则四 次射击中,他命中2次的概率为 ( ) A .

81

4 B .

81

8 C .

27

8 D .以上都不对

(文)2011年4月28日,世界园艺博览会(以下简称世园会)在西安顺利开幕,吸引了海内外的大批游客.游

客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为3

1、4

1,假定他们两人的行动相互不受

影响,则暑假期间游

客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为 ( ) A .2

1

B .

12

7 C .

12

11 D .3

2

7.2011年6月,台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件,令世人震惊.我国某研究所为此开发了一种用来检测塑化剂的新试剂,把500组添加了该试剂的食品与另外500组未添加该试剂的食品作比较,提出假设0H :“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”,并计算出()01.0635.62≈≥x P .对此,四名同学做出了以下的判断:

p :有99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化剂的作用” q :随意抽出一组食品,它有99%的可能性添加了塑化剂 r :这种试剂能检测出塑化剂的有效率为99% s :这种试剂能检测出塑化剂的有效率为1%

则下列命题中正确的是 ( ) A .p ∧q B .﹁p ∧q

C .(﹁p ∧﹁q )∧(r ∨s )

D .(p ∨﹁r )∧(﹁

q ∨s )

8.日本福岛核电站爆炸后,工作人员随机测量了甲、乙两个城镇空气中核辐射的含量,获得

的数据如茎叶图所示,则对甲、乙两个城镇的空气质量评价正确的是 ( )

A .甲城镇的空气质量优于乙城镇的空气质量

B .乙城镇的空气质量优于甲城镇的空气质量

C .甲、乙两城镇的空气质量差不多

D .无法比较

9.给出以下三幅统计图及四个命题:

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况 ②2050年非洲人口大约将达到近15亿

③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多

④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢

其中正确的个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4

10.(理)如图,设D 是图中边长为4的正方形区域,E 是D 内函数y = x 2

图像上方的点构成的区域(阴影部分).在D 内随机取一点,则该点在E 中的概率为 ( ) A .3

1 B .4

1 C .3

2

D .

2

1

(文)已知函数()x a x f 3

cos

π

=,a 等于抛掷一颗骰子得到的点数,则()x f y =在[]4,0上有5个以下或6个以上零点的概率是 ( ) A .3

1

B .3

2

C .2

1

D .6

5

二、填空题(本大题共5小题;每小题5分,共25分.将答案填在题中的横线上)

11.2011年“两会”期间,某大学组织全体师生,以调查表的形式对温总理的政府工作报告进行讨论.为及时分析讨论结果,该大学从所回收的调查表中,采用分层抽样的方法抽取了300份进行分析.若回收的调查表中,来自于退休教职工、在职教职工、学生的份数之比为3:7:40,则所抽取的调查表中来自于退休教职工的有 份. 12.(理)在某项测量中,测量结果x (单位:mm )服从正态分布)2,(2μN 且正态分布的密度曲线如图所示,则x 在[]3,1-内取值的概率为 .(其中:841.0)1(=Φ) (文)小明同学学完统计知识后,随机调查了他所在辖区若干居民的年龄,将调查数据绘制成如图所示的扇形和条形统计图,则b a -= .(60以上含60)

13.(理)若()5cos x +?的展开式中3x 的系数为2,则=??

?

??-?π223sin . (文)某城市供电局为了了解用电量)(度y 与气温)(C x 之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:

气温(℃)

18

13

10

-1

用电量(度) 24 34 38 64

a x y +-=2

4-为 .

14.把容量为100的某组样本数据分为10组,其分组情况及频率如下: [)40,20:0.1;[)60,40:0.25;[)80,60:0.45;[)100,80:0.20.

若同一组数据用该组区间的中点(例如:区间[)40,20的中点值为30)表示,则这100个数据的平均值为 .

15.把一颗骰子投掷两次,第一次得到的点数记为a ,第二次得到的点数记为b ,以a 、b 为系数得到直线31=+by ax l :,又已知直线22:2=+y x l ,则直线1l 与2l 相交的概率为 .

三、解答题(本大题共6小题;共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)在甲、乙两个箱子中分别装有标号为1、2、3、4的四张卡片,现从甲、乙两个箱子中各取出1张卡片,每张卡片被取出的可能性相等. (1)求取出的两张卡片上标号恰好相同的概率;(2)求取出的两张卡片上的标号至少有一个大于2的概率. 17.(本小题满分12分)2011年2月始发生的利比亚内战引起了全球人民的关注,联合国为此多次召开紧急会议讨论应对措施.在某次分组研讨会上,某组有6名代表参加,B A 、两名代表来自亚洲,D C 、两名代表来自北美洲,E 、F 两名代表来自非洲,小组讨论后将随机选出两名代表发言.

(1)代表A 不被选中的概率是多少? (2)(理)记选出的两名代表中来自于北美洲或非洲的人数为X ,求X 的分布列及期望. (文)选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少?

12题(文)

12题(理)

18.(本小题满分12分)一机器可以按各种不同速度转动,其生产的产品有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷产品的多少随机器运转速度而变化,用x 表示转速(单位:转/秒),用y 表示每小时生产的有缺陷产品的个数,现观测得到)(y x ,的4组观测值为(8,5),(12,8),(14,9),(16,11). (1)画出散点图.

(2)你能从散点图中发现零件数与加工时间近似成什么关系吗?如果近似成线性相关关系的话,请求出相应的回归直线方程;

(3)若实际生产中所容许的每小时最多有缺陷产品数为10,则机器的速度不得超过多少转/秒?(精确到1) 19.(本小题满分12分)(理)某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众,参加社区的义务服务工作.假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被

淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为3

1

,21,43,54且各轮问题能

否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第四轮才被淘率的概率.

(2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.(注:本小题结果可用分数表示)

(文)某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了n 人,回答问题统计结果如图表所示.

(1)分别求出a ,b ,x ,y 的值;

(2)从第2,3,4组回答正确的人中用

分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4

组每组应各抽取多少人?

(3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.

组号 分组 回答正确 的人数 回答正确的人数 占本组的概率 第1

[)25,15 5 0.5 第2

[)35,25 a 0.9 第3

[)45,35 27 x 第4

[)55,45 b 0.36 第5

[)65,55 3 y

20.(本小题满分13分)为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关,一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查,得到了如下的列联表,若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析,知道其中喜欢看该节目的有6人

喜欢看该节目 不喜欢看该节目 合计 女生 5 男生 10 合计

50

(1)请将上面的列联表补充完整;

(2)是否有99.5%的把握认为喜欢看该节目节目与性别有关?说明你的理由;

(3)已知喜欢看该节目的10位男生中,1A 、2A 、3A 、4A 、5A 还喜欢看新闻,1B 、2B 、3B 还喜欢看动画片,1C 、2C 还喜欢看韩剧,现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查,求1B 和1C 不全被选中的概率. ()k

K p ≥2 0.15 0.10 0.05 0.025

0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式:()()()()()

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2

2

,其中d c b a n +++=)

21.(本小题满分14分)某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异,从2011级的年龄在18~19岁之间的大学生中随机抽取了一自南方和北方的大学生各10名,测量他们的身高,量出的身高如下(单位:cm )

南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163 北方:183,173,169,163,179,171,157,175,178,166

(1)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对来自南方和北方的大学生的身高作比较,写出两个统计结论.

(2)设抽测的10名南方大学生的平均身高为x ,将10名同学的身高依次输入按程序框图进行运算,问输出的S 大小为多少?并说明S 的统计学意义. (3)(理)若将样本频率视为总体的概率,现从来自南方的大学生中随机抽取3名同学,记其中身高不低于平均身高的同学的人数为X,求X 的分布列及数学期

望EX (均值).

(文)为进一步调查身高与生活习惯的关系,现从来自南方这10名大学生中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.

2012届同心圆梦专题卷数学专题八答案与解析 1.【思路点拨】简单随机抽样适用于总体容量较小的情形;总体容量较大且各个体间没有明显差异时选用系统抽样;当组成总体的各部分存在明显差异时,则应选用分层抽样.

【答案】B 【解析】①中总体容量较大,且火腿肠之间没有明显差异,故适合采用系统抽样;②中总体容量偏小,故适合采用简单随机抽样. 2.【思路点拨】可从集合角度进行分析:若A 与B 是互斥事件,则φ=?B A ,若A 与B 是对立事件,则,Ω=?=?B A B A ,φ即对立事件是特殊的互斥事件. 【答案】D 【解析】由题意知,=B A {出现点数2},所以事件A 、B 不互斥也不对立;,,Ω=?=C B C B 故事件B ,C 是对立事件,选D .

3.【思路点拨】系统抽样的特点:总体平均分段、选定起始号、等间距、等可能抽样. 【答案】B 【解析】采用系统抽样,可先将50个编号分成5组,在第一组随机地抽取一号码,比如抽到3号,则其它各组就依次选取13,23,33,43.四个选择答案中,只有B 属于这种抽取方法.

4.(理)【思路点拔】本题为排列组合的综合题,一般采用“先选后排”的解题策略求解.

【答案】C 【解析】选派的所有情形有722

22424

==A C C N . (文)【思路点拔】几何概型的计算公式为:的长度(面积或体积)

的长度(面积或体积)

G G A P 1)(=

【答案】B 【解析】如图设线段AB =3,C 、D 是线段A B 的两个三等分点,则当“温洛克”挂在线段CD 上的时候,“温洛克”与两端A 、B 的距离都大于1.所以“温洛克”与两端距离都大于1m 的概率为3

1

=

=

的长度的长度AB CD P .

5.(理)【思路点拔】利用频率分布直方图中各组频率之和为1这一性质求解. 【答案】C【解析】由图可知数据落在20~80间的累积频率为

0.1+0.2+0.2+0.04+0.12+0.12=0.78,故数据落在80~100间频率为1-0.78=0.22,故醉酒驾车人数为50×0.22=11(人). (文)【思路点拔】求出种子发芽的各频率值,发现频率的稳定值,即为概率值.

【答案】D 【解析】我们可以用频率的近似值表示随机事件发生的概率,根据表格计算不同情况下的菜籽发芽的频率分别是1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.903,0.905,由上面的计算结果可知,菜籽发芽的频率接近于0.9,且在它附近摆动,故此可知菜籽在已知条件下发芽的概率大约为0.9. 6.(理)【思路点拔】(1)在n 次独立重复试验中,某事件恰好发生k 次的概率为

()()()n k p p C k P k n k

k n n ,,2,1,01 =-=-,其中

p 为该事件在一次试验中发生的概率.(2)本题解题思路

为:先设他命中一次的概率为p ,并由已知构造方程求得p ,即可由概率公式得所求.

【答案】C 【解析】四次射击可看作4次独立重复试验.设一次射击中,他命中的概率为p ,则他至少命中一次的概率为()81

65114=--p ,解得31

=p .∴他命中2次的概率为

()

27881243113122

2244==

??

?

??-?

?? ??=C P . (文)【思路点拔】由于甲、乙两人的行动相互不受影响,故他们去西安看世园会为相互独

立事件,于是联想到调用概率的乘法公式求解.

【答案】A 【解析】分别记甲、乙去西安旅游为事件A 、B ,则()3

1=A P ,()4

1=B P ,由题设可知A 、

B 相互独立,故所求的概率()()()

2

1

411311=??

? ??-??? ??-==?=B P A P B A P P .

7.【思路分析】本题中:提出假设0H :“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”,并计算出

()

01.0635.62≈≥x P ,因此,在一定程度上说明假设不合理,我们就以

99%的把握拒绝假设,故易

知p ,r 为真命题,再由真值表即可获解.

【答案】D 【解析】由题设可知命题p ,r 为真命题,q ,s 为假命题,依据复合命题的真值表可知D 为真命题. 8.【思路点拔】先利用茎叶图得到两组数据,并求出其平均值和方差,再利用方差进行比较:方差越小,波动越小,空气质量越高. 【答案】B 【答案】17010

182179179171170168168163162158=+++++++++=x .甲城镇核辐射的样本方差为:

[()()()()+-+-+-+-222217016817016317016217015810

1

()+-2170168()+-2170170()+-2170171()2170179-()]571701822=-+, 1.17110

181

179178176173170168165162159=+++++++++=

x ,乙城镇核辐射的样本方差为10

1[()21.171159-()21.171162-+

()21.171165-+()21.171168-+()21.171170-+()21.171173-+()21.171176-+()21.171178-+()21.171179-+()21.171181-+29.51=,

由此判断乙城镇的空气质量较好. 9.【思路点拔】利用折线图,扇形统计图,条形统计图的特征,解决问题.

【答案】B 【解析】①显然正确;从条形统计图中可得到:2050年非洲人口大约将达到近18亿,②错;从扇形统计图中能够明显的得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误.因此正确的命题有①③. 10.(理)【思路点拔】利用定积分求面积时要特别注意函数的选择,对于几何概型则应特别注意基本事件空间和时间A 的几何度量(面积、体积、长度)的计算. 【答案】C 【解析】由定积分的几何意义可得阴影部分面积为3

3232162

-442032

2=-

=?=?

x dx x S 阴,又由几何概型可得点在

E 中的概率为3

2

16332

===正阴μμP .

(文)【答案】D 【解析】抛掷一颗骰子共有6种情况.当a =1,2,3,4,5,6时,利用函数()x f 的图像易知,()x f y =在[]4,0

上的零点分别为1,2,4,5,7,8个.故所求概率为6

56

26

3=+=P .

11.【思路点拔】确定各层应抽取的个体数是实施分层抽样的最关键步骤,而确定办法主要有

二:①利用抽样比k 来确定,当已知各层的个体数时,用此法计算较为简便;②利用结论“样本中各层抽取的个体数之比=总体中各层的个体数之比”来确定,当总体(或样本)中各层个体数以比的形式给出时,一般考虑用此法速解. 【答案】18【解析】由题设知:来自于退休教职工、在职教职工、学生的份数之比为3:7:40,故样本中相应的份数之比仍为3:7:40,设所抽取的调查表中来自退休教职工份数为m ,则

1840

733300=?++=m m . 12.(理)【思路点拔】由正态曲线得到μ=1,再利用公式??

?

??-=σμφx Fx 计算概率.

【答案】0.682【解析】由图可知,2σ=,所以()()()()682.01121121121331=-Φ=-Φ-Φ=??

? ??--Φ-??

? ??-Φ=≤≤-ξP .

(文)【思路点拔】读取统计图解答问题的关键是充分挖掘图中所包含的信息.在条形统计图中,每个直条的高度表示相应样本值出现的次数(即频数)或百分比;扇形统计图中,每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体百分比的大小.

【答案】8%【解析】设小明共调查了x 名居民的年龄,由230%46=?x ,得500=x ;于是得

%20%100500

100

=?=

a ;b=12%22%)46%(20%1=++-.故a-

b =8%.

13.(理)【思路点拔】(1)涉及二项展开式中的特定项(如常数项、有理项等)、二项式系数、系数的问题一般用通项法求解;(2)由诱导公式知??π2cos 223sin -=??

?

??-.(3)二倍角的余弦

公式:???22sin 211cos 22cos -=-=.

【答案】5

3【解析】由二项式定理得,3x 的系数为2cos 235=?C 得5

1cos 2=?故

53cos 212cos 223sin 2=-=-=??

?

??-???π.

(文)【思路点拨】先利用回归直线方程过(y x ,),求出a ,然后再求解.

【答案】68【解析】因为1813101104

x ++-==,404

64383424=+++=y ,又因为回归直线方程过

(y x ,),所以402060a a =-+?=,把04-代入回归直线方程,可得用电量的都市约为68. 14.【思路点拔】由频率求出频数,便能求得这100个数据的平均值.

【答案】65【解析】由题设可知各组及其频数分别

为:[)40,20:10;[)60,40:25;[)80,60:45;[)100,80:20.故这100个 数据的期望值(平均值)为[]652090457025501030100

1

=?+?+?+?=

x . 15.【思路点拔】由两直线的交点在第一象限,构造出关于a ,b 不等式组,再利用枚举法确定基本事件数,便易得所求. 【答案】3613

【解析】由题意知,{}6,5,4,3,2,1,∈b a .因为直线1l 与2l 的交点在第一象限,所以由他们的

图象可知:3132b a ???或3

132

b

a

?>???

???≤?或32b a

(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),6,1),(6,2)共13个,而基本事件有3666=?种,所以随机事件“直线1l 与2l 的交点在第一象限”的概率为36

13=P

16.【思路点拨】根据树脂图列出所有结果或者直接写出所有结果,然后求解.

【解析】利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果(如下图),可以看出,试验的所有可能结果数为16种且每种结果是等可能的.(3分)

(1)所取两张卡片上的标号为相同整数的结果有1-1,2-2,3-3,4-4,共4种.故根据古典概型公式,所求概率4

1

164==P .答:取出的两张卡片的标号为相同整数的概率为

41.(6

分)

(2)记事件“取出的两张卡片的标号至少有一个大于2”为A .则A 的对立事件是A =“取出的两张卡片上的标号都不于大2”(8分)所取出的两张卡片上的标号都不大于3的结果有1-1,1-2,2-1,2-2,共4种.4

3

)(1)(41164)(=-=∴==

A P A P A P .答:取出的两张卡片

上的标号至少有一个大于3的概率为4

3.(12分)

17.(理)【思路点拔】(1)利用对立事件的概率公式求解;(2)易知X 的可能取值为0,1,2,

分别求出对应的概率值,即得分布列,再进一步求期望. 【解析】(1)代表A 被选中的概率为

15

11

25

=

C (2分),所以代表A 不被选中的概率是

15

14

1511=-.(4分)

(2)X 的可能取值为0,1,2.(5分)()15

102

6

2

=

==C C X P ,()15

8126

1412==

=C C C X P ,()15

622624

===C C X P (8

分)∴X 的分布列为(见

右图表)(10分)1

8

6

4

()0121515153E X =?+?+?=.(12分)

(文)【思路点拔】先利用枚举法列举出6名代表中随机选出2名的结果总数,再从中找中各事件所包含的结果数,然后代入古典概型、对立事件以及互斥事件的概率公式进行求解. 【解析】(1)从这6名代表中随机选出2名,共有C 种不同的选法,分别为(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ).(3分).其中代表A 被选中的选法有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F )共5种,则代表A 被选中的概率为

3

1

155=(6分)所以代表A 不被选中的概率为3

21551=-

=P .

(2)随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果有9种,分别是),(C A ,

),(D A ,),(C B ,),(D B ,),(E C ,),(F C ,),(E D ,),(F D ,),(F E .“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为

5

3

159=(12分).

18.【思路点拔】先画出散点图,由散点图可知各散点分布成一条直线附近,故零件数与加工

时间近似成线性相关关系,再求出回归直线方程,并利用此方程求解.

【解析】(1)如图(4分)(2)设回归直线方程为a bx y +=?,则5.124

1614128=+++=x ,25.84

11

985=+++=

y ,(3)43811169148125844332211=?+?+?+?=+++y x y x y x y x ;

660161412822222

4232221=+++=+++x x x x ,所以,7051

5

.12466025.85.1244382

=

?-??-=

b ,7

65.12705125.8-=?-=-=x b y a ;故:y 与x 之

X

1 2 P

15

1

15

8

15

6

间的回归直线方程为7

67051?-=x y (8分)(3)由1076

7051≤-=x y ,得1451

706

≈≤x .即机器的速度不得超过14转/秒.(12分) 19.(理)【思路点拔】对于(1)(2),均可用相互独立事件的概率公式求出相应的概率,从而得出X 的分布列,再利用期望公式求X 期望值. 【解析】(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为()4,3,2,1=i A i ,则()5

41=A P ,()4

32=A P ,

()2

1

3=

A P ,()3

14=A P .(2分)∴该选手进入第四轮才被淘率的概率

()()()()()

43214321A P A P A P A P A A A A P P ==5

1

32214354=???=.

(5分)

(2)X 的可能值为4321、、、,()()5

1

11===A P X P ,

()()()()

5

1415422121=

?====A P A P A A P X P ,()()()()()10

321435

43321321=??====A P A P A P A A A P X P 103

214354=??=

,12341234123444313(4)()()()()()()154210

P X P A A A A P A A A A P A P A P A P A A ==+=+=???=.(9分) X

∴的分布列为(见右侧表格)(11分)

()10

27

10341033512511=?+?+?+?

=∴X E .(12分)

(文)【思路点拔】对于(1),可结合频率分布直方图的性质求解;对于(2),则可利用分层抽样比求解;问题(3)为古典概型问题,可用枚举法求解.

【解析】(1)由频率表中第1组数据可知,第1组总人数为105.05

=,再结合频率分布直方图可知1001010.010

=?=n (1分)∴a =100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,(2分)

9.03

.010027=?=

x ,2.015.01003

=?=

y (4分)

(2)第2,3,4组中回答正确的共有54人.(5分)∴利用分层抽样在54人中抽取6人,每

组分别抽取的人数为: 第2组:

2654

18

=?人,第3组:365427=?人,第4组:

1654

9

=?人.(8分)

(3)设第2组的2人为1A 、2A ,第3组的3人为1B 、2B 、2B ,第4组的1人为1C ,则从6人中抽2人所有可能的结果有:()21,A A ,()11,B A ,()21,B A ,()31,B A ,()11,C A ,()12,B A ,()22,B A ,()32,B A ,()12,C A ,()21,B B ,()31,B B ,()11,C B ,()32,B B ,()12,C B ,()13,C B ,共15个基本事件,(10分)其中第2组至少有1人被抽中的有()21,A A ,()11,B A ,()21,B A ,()31,B A ,()11,C A ,()12,B A ,()22,B A ,()32,B A ,()12,C A 这9个基本事件.(11分)∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为53

159

=(12分)

20.【思路点拔】在独立性检验中,常利用2K 来确定“两个分类变量是否有关联”:当706.22≤K 时,可以认为变量A 、B 是没有关联的;当2K >2.706时,有90%的把握判定变量A 、B 有关联;当2K >3.841时,有95%的把握判定变量A 、B

有关联;当2K >6.635时,有99%的把握判定变量A 、B 有关联.故只需计算出2K 的值,利用上述结论即可解决第(2)小题.第(3)小题可用组合知识及枚举法求解. 【解析】(1)由分层抽样知识知,喜欢看该节目的同学有3010

6

50=?

,故不喜欢看该节目的同学有50-30=20人,(2分)于是可将列联表补充如右图:(4分)

(2)()333.825

2520305101520502

2≈????-??=

K >7.879(7

分)∴有99.5%的把握认为喜爱该节目与性别

有关.(8分) (3)(理)从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名,其一切

可能的结果组成的基本事件共有301

21315

==C C C N 个,(10分)用M 表示“11C B 、不全被选中”这一事件,则其对立事件M 表示“11C B 、全被选中”这一事件,由于M 由()111,,C B A ,()112,,C B A ,

()113,,C B A ,()114,,C B A ,()115,,C B A ,5个基本事件组成,所以()6

1

305==

M P ,(12分)由对立事件的

概率公式得()()6

56

111=-=-=M P M P .(13分)

(文)从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名,其一切可能的结果组成的基本事件如下:()111,,C B A ,()211,,C B A ,()121,,C B A ,()221,,C B A ,()131,,C B A ,()231,,C B A ,()112,,C B A ,()212,,C B A ,()122,,C B A ,()222,,C B A ,()132,,C B A ,()232,,C B A ,()113,,C B A ,()213,,C B A ,()123,,C B A ,

()233,,C B A ,()223,,C B A ,()133,,C B A ,()114,,C B A ,()214,,C B A ,()124,,C B A ,()224,,C B A ,()134,,C B A ,()234,,C B A ,

()115,,C B A ,()215,,C B A ,()125,,C B A ,()225,,C B A ,()135,,C B A ,()235,,C B A ,基本事件的总数为30,(10分)用M 表示“11C B 、不全被选中”这一事件,则其对立事件M 表示“11C B 、全被选中”这

一事件,由于M 由()111,,C B A ,()112,,C B A ,()113,,C B A ,()114,,C B A ,()115,,C B A ,5个基本事件组成,所以()61

305

==M P ,(12分)由对立事件的概率公式得

()()

6

5

6111=-

=-=M P M P .(13分)

21.【思路点拔】(1)可利用给出数据直接画出茎叶图,再根据茎叶图从

样本的数字特征等角度来得出统计结论;(2)认真读懂框图,不难看出该框图的功能是计算一组数据的方差;(3)(文)利用枚举法求解;(3)(理)易知X 服从二项分布,故调用二项分布的概率及期望公式简解. 【解析】(1)茎叶图如右图(2分)统计结论:(给出下述四个供参考,考生只要答对其中两个即给满分,给出其他合理的答案也可给分)①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高.②南方大学生身高比北方大学生的身高更整齐;③南方大学生的身高的中位数为169.5cm ,北方大学生的身高的中位数是172cm .④南方大学生的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,北方大学生的高度分布较为分散.(4分) (2)169=x ,6.42=S (6分),S 表示10位南方大学生身高的方差,是描述身高离散程度的量.S 值越小,表示身高越整齐,S 值越大,表示身高参差不齐.(8分)

男生 10 15 25 合计 30 20 50 X 0

1 2 3

(3)(理)记“抽取一位同学恰好抽中身高不低于平均身高的同学”为事件A ,由(2)知来自南方的大学生平均身高为169cm ,故()5

3106==A P .(9分),随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,且

3(3,)5X B .所以()()3,2,1,0525333=??

?

????

? ??==-k C k X P k

k

k ,

所以变量X 的分布列为(见右表格)5

9

12527312554212536112580=?+?+?+?=∴EX (或59533=

?==np EX )

(14分)

(文)记“身高为176cm 的同学被抽中”为事件A ,从这10名南方大学生中抽出两名身高不低于170cm 的同学有 (170,171),(170,175),(170,176),(170,180),(171,175),(171,176),(171,180),(175,176),(175,180),(176,180),共10个基本事件,而事件A 含有4个基本事件,故()5

2

104==A P .(14分)

高中数学专题――概率统计专题.

专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识.概率与统计的引入,拓广了应用问题取材的范围,概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用.由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的,高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.该部分在高考试卷中,一般是2—3个小题和一个解答题. 【考点透析】概率统计的考点主要有:概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等.【例题解析】 题型1 抽样方法 -)中,在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码(编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是() A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对 分析:实际“间隔距离相等”的抽取,属于系统抽样. 解析:题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码,中奖号码依次为:088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.答案B. 点评:关于系统抽样要注意如下几个问题:(1)系统抽样是将总体分成均衡几个部分,然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方法.(2)系统抽样的步骤:①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按事先研究的规则抽取样本.(3)适用范围:个体数较多的总体. 例2(2008年高考广东卷理3)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为() A.24B.18C.16D.12 Array 分析:根据给出的概率先求出x的值,这样就可以知道三年级的学生人数,问题就解决了. x=?=,这样一年级和二年级学生的解析:C 二年级女生占全校学生总数的19%,即20000.19380 +++=,三年级学生有500人,用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=.答案C. 2000 点评:本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识. 例3.(2009江苏泰州期末第2题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系, 2500,3500(元)月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[) 出人.

高中数学统计与概率知识点

高中数学统计与概率知识点(文) 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多;②众数反映了一组数据的集中趋势,当众数出现的次数越多,它就越能代表这组数据的整体状况,并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是,当一组数据大小不同,差异又很大时,就很难判断众数的准确值了。此外,当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时,用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据;平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列,位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三.众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时,首先要先排序(从小到大或从大到小),然后根据数据的个数,当数据为奇数个时,最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时,最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时,就用各数据的总和除以数据的个数,得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的,可能是这组数据中的数据,也可能不是这组数据中的数据; ⑵求中位数时,先将数据有小到大顺序排列,若这组数据是奇数个,则中间的数据是中位数;若这组数据是偶数个时,则中间的两个数据的平均数是中位数; ⑶中位数的单位与数据的单位相同; ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数; ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关,它一定是一组数据中的某个数据,其单位与数据的单位相同;(6)众数可能是一个或多个甚至没有;(7)平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

高中数学概率统计专题

高中数学概率统计专题文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

高三文科数学:概率与统计专题 一、选择题: 1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数2.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 3、在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相 等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=1 2x+1上,则这组样本 数据的样本相关系数为 (A)-1 (B)0 (C)1 2(D)1 4.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为 (A)10 3 (B) 1 5 (C) 1 10 (D) 1 20 5.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,学科&网则此点取自黑色部分的概率是 A.1 4B. π 8 C.1 2 D.π4

6.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( ) 二、填空题: 7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______。 8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____. 9.某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,制作了对照表: 方程y ^=b ^x +a ^由表中数据得回归直线 中的b ^=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量约为________度. 三、解答题 10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量 气温(℃) 18 13 10 -1 用电量(度) 24 34 38 64

概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编

概率统计 1、(2009一试8)某车站每天8 00~900∶∶,900~1000∶∶都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、(2010一试6)两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、(2012一试8)某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率是.(用最简分数表示) 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知,14k P ? ?-???? 是首项为34,公

比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-,即1311()434k k P -=-+,故761243 P = 4、(2014一试8)设D C B A ,,,是空间四个不共面的点,以 2 1 的概率在每对点之间连一条边,任意两点之间是否连边是相互独立的,则B A ,可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连,且与,中至少一点相连,这样的情况数为()() 22(3)AB AD DB 无边,也无CD 边,此时AC,CB 相连有2种情况,,相连也有2种情况, ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次,故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748,故A,B 可用折线连接的概率为 5、(2015一试5)在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数,由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能,当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求的概率为82 22055 =.

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数:①、常规平均数:12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差:2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距;频率=频数/总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。 2、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程:???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ; 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程:???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差:??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好; 2、残差平方和:21?()n i i i y y =-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度(相关指数):221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高; 4、相关系数 :()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②.犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B); 特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1. 在五个数字12345,,,,中,。 例2. 若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示). [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

高中数学概率统计教案

专题二 概率统计(文科) (一)统计 【背一背基础知识】 一.抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法,三种抽样方法都是等概率抽样,体现了抽样的公平性,但又各有其特点和适用范围. 二.用样本估计总体 1.频率分布直方图:画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系,把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距,然后以此段为底作一矩形,它的高等于该组的 频率 组距 ,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中,每个小矩形的面积等于相应数据的频率,各小矩形的面积之和等于 1; 2.茎叶图:茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来,从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中,“茎”表示数的高位部分,“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征: (1)众数:一组数据中,出现次数最多的数据就是这组数据的众数(一组数据中的众数可能只有一个,也可能有多个).在频率分布直方图中,最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数; (2)中位数:将一组数据由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中,中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5,可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数; (3)平均数:设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ,则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中,它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和; (4)方差:设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ,则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差,方差衡量样本的稳定

高中数学必修三 概率与统计

高中数学必修三:概率与统计 1.要从已编号(1-50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ). A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,4,8,16,32 2.从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾,从中任选9尾,称得每尾鱼的质量分别是1.5,1.6,1.4,1.6,1.3,1.4,1.2,1.7,1.8(单位:千克).依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A.300克B.360千克C.36千克D.30千克 3.以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为()A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8 4.为了考查两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1,l2,已知两人得的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都分别相等,且值分别为s与t,那么下列说法正确的是( ). A.直线l1和l2一定有公共点(s,t)B.直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t) C.必有直线l1∥l2 D.直线l1和l2必定重合 5..设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为$y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( ).A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x,y)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg

高中数学概率与统计测试题

概率与统计 1.如果一个整数为偶数的 概率为 (1)a+b 为偶数的概率; (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ,且 a,b,c 均为整数,求 2.从 10 位同学 (其中 6 女,4 男)中随机选出 3 位参加测验,每位女同学能通过测验的概率 43 均为,每位男同学能通过测验的概率均为,求55 (1)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球, 4 个红球,甲首先从中取出 3 个球,乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球,凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率; (2)甲,乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币, 3 个 5 角硬币, 4 个 1 角硬币,从中任取 3 个,求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片,其号码分别位 1,2,3?,10,从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率; (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ,求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后,会出现白球或绿球,已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球 1 的概率都是,从按钮第二次按下起,若前次出现红球,则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ;若前次出现绿球,则下次出现红球、绿球的概率分别为, ,记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后,出现红球的概率为P n

(1)求P2的值; (2)当 n∈N,n ≥2 时,求用P n 1表示P n的表达式; (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ,三张写有数字 2 ;乙盒子中有 8 张卡片,其中三张写有数字 0,两张写有数字1,三张写有数字 2 , (1) 如果从甲盒子中取两张卡片,从乙盒子中取一张卡片,那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少? (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片,设取出的两张卡片数字之和为ξ,求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏,游戏规则规定:两人轮流从一个放有 1 个白球, 3 个黑球, 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球,每次每人只取一球,每取出一个后立即放回,另一个人接着取,取出后也立即放回,谁先取到红球,谁为胜者,现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率; (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙,当A或 B 是合格品并且 C 是合格 品时,甲是正品;当 A, B 都是合格品或者 C 是合格品时,乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P,这里 A ,B,C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少? (2)产品乙为正品的概率P2 是多少? (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱,工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱,为了找出该箱的二等品,我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率; (2) 求第二次取出的是二等品的概率; (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数,求ξ的分布列及数学

高中数学统计与统计案例概率知识点上课讲义

高中数学统计与统计案例概率知识点

统计与统计案例概率(文科) 知识点 1.抽样调查 (1)抽样调查 通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行______,获取数据,并以此对调查对象的某项指标作出______,这就是抽样调查. (2)总体和样本 调查对象的称为总______体,被抽取的称为样______本. (3)抽样调查与普查相比有很多优点,最突出的有两点: ①______ ②节约人力、物力和财力. 2.简单随机抽样 (1)简单随机抽样时,要保证每个个体被抽到的概率. (2)通常采用的简单随机抽样的方法:_____ 3.分层抽样 (1)定义:将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本.这种抽样方法通常叫作分层抽样,有时也称为类型抽样. (2)分层抽样的应用范围: 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样. 4.系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本,然后按______(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等距抽样或机

械抽样. 5.统计图表 统计图表是______数据的重要工具,常用的统计图表有______ 6.数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数. 平均数:样本数据的算术平均数,即x =1n (x 1+x 2+…+x n ). 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该______ (2)样本方差 标准差s = 1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2], 其中x n 是样本数据的第n 项,n 是,______x 是______ 标准差是刻画数据的离散程度的特征数,样本方差是标准差的______.通常用样本方差估计总体方差,当______时,样本方差很接近总体方差. 7.用样本估计总体 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种,一种是______,另一种______. (2)在频率分布直方图中,纵轴表示,______数据落在各小组内的频率用______表示,各小长方形的面积总和等于.______ (3)在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,称之为频率折线图. (4)当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它没有信息的缺失,而且______,方便表示与比较.

高中数学概率统计

第八讲 概率统计 【考点透视】 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???????等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算???和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?=???+=+???=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1.在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示). [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. [解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 10 2P ===? 例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 . [考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. 用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20 提示:51.10020P == 例3从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g ): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________. [考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.

高中数学 专题08概率与统计

高中数学 专题08概率与统计 考试范围:概率与统计 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.要完成下列两项调查:①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1000根火腿肠进行“瘦肉精”检测;②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.适合采用的抽样方法依次为 ( ) A .①用分层抽样,②用简单随机抽样 B .①用系统抽样,②用简单随机抽样 C .①②都用系统抽样 D .①②都用简单随机抽样 2.将一个骰子抛掷1次,设事件A 表示向上的一面出现偶数,事件B 表示向上的一面出现的 点数不超过3,事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4,则 ( ) A .A 与 B 是互斥而非对立事件 B .A 与B 是对立事件 C .B 与C 是互斥而非对立事件 D .B 与C 是对立事件 3.要从编号为01~50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用每 部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定,则选取的5枚导弹的编号可能是 ( ) A .05,10,15,20,25 B .03,13,23,33,43 C .01,02,03,04,05 D .02,04,08,16,32 4.(理)2011年3月17日上午,日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的染料池进行了4次注水.如果直升飞机有A 、B 、C 、D 四架供选,飞行员有甲、乙、丙、丁四人供选,且一架直升飞机只安排一名飞行员,则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为 ( ) A .18 B .36 C .72 D .108 (文)两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子,并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛克”,则“温洛克”与两端距离都大于1m 的概率为 ( ) A .2 1 B .3 1 C .4 1 D .3 2 5.(理)道路安全交通法规定,驾驶员血液酒精含量在20~80mg /100ml ,属酒后驾车,血液酒精含量在80mg /100ml 以上时,属醉酒驾车,2011年6月1日7:00至22:30,某地查处酒后驾车和醉酒驾车共50起,如图是对这50人的血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数大约为 ( ) A .9 B .10 C .11 D .12 (文)某农科所研制成功一种产量较高的农作物种子,并对该作物种子在相同条件下发芽 与否进行了试验,试验结果如下表,则其发芽的概率大约为 (种子粒 2 5 10 70 130 310 700 1500 200 300

高中数学概率统计

概率与统计 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=)()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1.在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是

高中数学教案——概率与统计

课题:1.7概率与统计 教学目的: 1能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本; 2. 能通过对样本的频率分布估计总体分布; 3. 培养学生动手能力和解决实际问题能力通过例题,对本章部分内容进行一次复习.培养学生的探究能力以及分析与解决实际问题的能力 教学重点:统计在实际生活中的应用 教学难点:学生解决实际问题 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 二、讲解范例: 例1某中学高中部共有16个班级,其中一年级6个班,二年级6个班,三年级4个班.每个班的人数均在46人左右(44人-49人),各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所学校学生的周体育活动时间,它是指学生在一周中参加早锻炼、课间操、课外体育活动、体育比赛等时间的总和(体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内).为使所得数据更加可靠,应在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.此外还有以下具体要求: (1)分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本,样本容量可在40-50之间选择 (2)写出实习报告,其中含:全部样本数据;相应于男生样本的 - - 1 x与 1 s,相 应于女生的 - - 2 x与 2 s,相应于男、女全体的样本的 - - x;对上面计算结果作出分

析. 解:(1)由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异,应采用分层抽样;又由于各班的学生数相差不多,且每班的男女学生人数也基本各占一半,为便于操作,分层抽样时可以班级为单位.关于抽取人数,如果从每班中抽取男、女学生各3人,样本容量各为48(3×16),符合对样本容量的要求. (2)实习报告如表一所示. 1 .在本班范围内,就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具

高中数学概率统计练习题

高中数学概率统计练习 题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2015年12月31日期末复习题(二) 一.选择题(共12小题) 1.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,则此样本的容量为() A.40 B.80 C.160 D.320 2.某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩,从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计,在这个问题中,下列表述正确的是() A.5000名学生是总体 B.250名学生是总体的一个样本 C.样本容量是250 D.每一名学生是个体 3.(2015抚顺模拟)某校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法.抽取4个班进行调查,若抽到的最小编号为3,则抽取最大编号为() A.15 B.18 C.21 D.22 4.一个频率分布表(样本容量为30)不小心倍损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)上的频率为,则估计样本在[40,50),[50,60)内的数据个数共为() A.15 B.16 C.17 D.19 5.如图是一容量为100的样本的重量的 频率分布直方图,则由图可估计样本重量 的中位数为() A.11 B.C.12 D. 6.某公司在2014年上半年的收入x(单位:万元)与月支出y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 月份1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 收入x 支出Y 根据统计资料,则() A.月收入的中位数是15,x与y有正线性相关关系 B.月收入的中位数是17,x与y有负线性相关关系 C.月收入的中位数是16,x与y有正线性相关关系 D.月收入的中位数是16,x与y有负线性相关关系 7.下列事件是随机事件的是() (1)连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上.(2)异性电荷相互吸引(3)在标准大气压下,水在1℃时结冰(4)任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数. A.(1)(2) B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)8.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么对立的两个事件是()

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数 :一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数 : ①、常规平均数: x x 1 x 2 x n ②、加权平均数: x x 1 1 x 2 2 x n n n 1 2 n 3、中位数: 从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数 。 4、方差: s 2 1 [( x 1 x) 2 ( x 2 x )2 ( x n x )2 ] n 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积: f S y 距 d ;频率 =频数 / 总数 2、频率之和 : f 1 f 2 f n 1 ;同时 S 1 S 2 S n 1 ; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数: 最高小矩形底边的中点。 2、平均数: x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f n x x 1 S 1 x 2 S 2 x 3 S 3 x n S n 3、中位数: 从左到右或者从右到左累加,面积等于 0.5 时 x 的值。 4、方差: s 2 ( x 1 x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2 ( x n x) 2 f n 四、线性回归直线方程 : ? ? ? bx y a n (x i x )( y i y ) n x i y i nxy ? ? 其中: b i 1 i 1 , a? y bx n n ( x i x )2 x i 2 nx 2 i 1 i 1 1、线性回归直线方程必过样本中心 ( x , y ) ; ? ? 0 : 负相关。 2、 b 0 : 正相关; b ? 3、线性回归直线方程: y? ? bx a?的斜率 b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 ?i 1、残差 : ?i y i ?i 越小越好; e y (残差 =真实值—预报值)。分析: e 2、残差平方和 : n ? ) 2 ( y i , i 1 y i n ( y i y ) 2 ( y 1 y ) 2 ( y y ) 2 ( y y ) 2 分析:①意义:越小越好; ②计算: ?i ?1 2 ?2 n ?n i 1 n ?i ) 2 3、拟合度(相关指数) : R 2 1 ( y y ,分析:① . R 2 0,1 ②. 越大拟合度越高; i 1 的常数; n y)2 i ( y i 1 n n 4、相关系数 : r i ( x i x )( y i y) x i y i nx y 1 i 1 n x)2 n y) 2 n x) 2 n y )2 i 1( x i i ( y i ( x i ( y i 1 i 1 i 1 分析:① . r [ 1,1]的常数; ② . r 0: 正相关; r 0: 负相关 ③. r [0,0.25] ;相关性很弱; r (0.25,0.75) ;相关性一般; r [0.75,1] ;相关性很强; 六、独立性检验 x 1 x 2 1、2×2 列联表 : 合计 2、独立性检验公式 bc)2 y 1 a b a b ①. k 2 (a n( ad d ) y 2 c d c d b)(c d )(a c)(b 合计 a c b d n ②.犯错误上界 P 对照表 3、独立性检验步骤

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1.简单随机抽样 2.简单随机抽样常用的方法:(1)抽签法;⑵随机数表法。 3.系统抽样:K (抽样距离)=N (总体规模)/n (样本规模) 4.分层抽样: 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布直方图的画法;(2)频率的算法;(3)频率分布折线图;(4)总体密度曲线;(5)茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数的算法;(2)标准差、方差公式。 3、样本均值:n x x x x n +++= 21 4、.样本标准差:n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关:自变量增加,因变量也同时增加(即单调递增) 负相关:自变量增长,因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 (1)必然事件(2)不可能事件(3)确定事件(4)随机事件 (5)频数与频率(6)频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小; 2、频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值,概率是准确值

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