完整word版,2018高一数学滚动练习50-普通用卷(1)

2018宁海中学高一数学滚动练习50

期末复习

题号 一 二 总分 得分

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知集合A ={?1，0，1}，B ={0，1，2}，则A ∩B = ______ ．

2. 已知f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=x +1，则f(?1)= ______ ．

3. 若tanα=3，tanβ=4

3，则tan(α?β)等于______ ． 4. 已知A(?3，4)、B(5，?2)，则|AB ????? |= ______ ． 5. 函数y =e 2x ?1的零点是______ ．

6. 把函数y =sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的1

2(纵坐标不变)，再将图象上

所有点向右平移π

3个单位，所得函数图象所对应的解析式为______ ． 7. 若函数f(x)={(1

4)x ，x ∈[?2017，0)4x

，x ∈[0，2017]，则f(log 23)= ______ ．

8. 函数y =sin(2x ?π

4)的单调递增区间为______ ．

9. 设a ? ，b ? 是两个不共线向量，AB ????? =2a ? +p b ? ，BC ????? =a ? +b ? ，CD ????? =a ? ?2b ? ，若A 、

B 、D 三点共线，则实数P 的值是______ ． 10. 若cos2α

sin(α?π4

)=?

√2

2

，则sin2α的值为______ ． 11. f(x)=x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)恒成立，则实数t

的取值范围是______ ．

12. 如图，O 是坐标原点，M 、N 是单位圆上的两点，且

分别在第一和第三象限，则|OM ??????? +ON

?????? |的范围为______ ．

13. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的

左边上，若sinθ=1

4，则折痕l 的长度= ______ cm ．

14. 函数f(x)=bx+c

ax 2+1(a ，b ，c ∈R)是奇函数，且f(?2)≤f(x)≤f(2)，则a = ______ ．

二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

15.已知a?=(1，2)，b? =(?3，1)．

(Ⅰ)求a??2b? ；

(Ⅱ)设a?，b? 的夹角为θ，求cosθ的值；

(Ⅲ)若向量a?+k b? 与a??k b? 互相垂直，求k的值．

16.已知α∈(0，π

2)，β∈(π

2

，π)，cosβ=?1

3

，sin(α+β)=4?√2

6

．

(I)求tan2β的值；

(II)求α的值．

17.已知函数f(x)满足f(x+1)=lg(2+x)?lg(?x)．

(1)求函数f(x)的解析式及定义域；

(2)解不等式f(x)<1；

(3)判断并证明f(x)的单调性．

18.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售

商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式；

(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？(工厂售出一个零件

的利润=实际出厂单价?成本)

19. 如图1，在△ABC 中，|AB ????? |=2，|AC

????? |=1，点D 是BC 的中点． (I)求证：AD

?????? =AB ?????? +AC ?????

2

； (II)直线l 过点D 且垂直于BC ，E 为l 上任意一点，求证：AE ????? ?(AB ????? ?AC

????? )为常数，并求该常数；

(III)如图2，若cos =3

4，F 为线段AD 上的任意一点，求AF ????? ?(FB ????? +FC ????? )的范围．

20. 已知g(x)=x 2?2ax +1在区间[1，3]上的值域[0，4]．

(1)求a 的值；

(2)若不等式g(2x )?k ?4x ≥0在x ∈[1，+∞)上恒成立，求实数k 的取值范围；

(3)若函数y =g(|2x ?1|)|2x ?1|

+k ?2

|2x ?1|?3k 有三个零点，求实数k 的取值范围．

答案和解析

【答案】

1. {0，1}

2. 2

3. 1

3 4. 10 5. 0

6. y =sin(2x ?2π

3) 7. 9

8. (?π

8+kπ，3π8+kπ) ，(k ∈Z)

9. ?1 10. ?34

11. (?∞，?√2]∪[√2，+∞) 12. [0．√2) 13. 645 14. 14

15. 解：(Ⅰ)a ? ?2b ? =(1，2)?2(?3，1)=(1+6，2?2)=(7，0)．

(Ⅱ)cosθ=a

? ?b ? |a

? |?|b

? |=√1+(?3)2√22+1

=?

√2

10

． (Ⅲ)因为向量a ? +k b ? 与a ? ?k b ? 互相垂直，

所以，(a ? +k b ? )?(a ? ?k b ? )=0，即a ? 2?k 2b

? 2=0 因为a ? 2=5，b ? 2

=10，所以，5?10k 2

=0，解得k =±√22．

16. (本题满分为14分)

解：(I)∵β∈(π

2，π)，cosβ=?1

3，可得：sinβ=√1?cos 2β=2√2

3

，…2分

∴tanβ=sinβ

cosβ=2√23?13

=?2√2，…4分

∴tan2β=

2tanβ

1?tan 2β

=

4√2

7

…7分 (II)∵α∈(0，π

2)，β∈(π

2，π)， ∴α+β∈(π

2，

3π2

)，

又∵sin(α+β)=4?√26

，

∴cos(α+β)=?√1?sin 2(α+β)=?4+√26

，…9分

∴cosα=cos(α+β?β)=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=(

4+√26

)×(?1

3)+

2√23

×(

4?√26

)=

√2

2

， ∵α∈(0，π

2)，

∴α=π

4.…14分

17. 解：(1)f(x +1)=lg(2+x)?lg(?x)，

可令t =x +1，则x =t ?1，可得f(t)=lg(1+t)?lg(1?t)， 即有f(x)=lg(1+x)?lg(1?x)，

由1+x >0且1?x >0，解得?1

(2)由f(x)<1即lg(1+x)?lg(1?x)<1， 即为lg(1+x)

11，

则不等式的解集为(?1，9

11)；

(3)证明：f(x)在(?1，1)上为增函数．

理由：设?1

=lg 1+m

1?m ?lg 1+n

1?n =lg 1+m

1?m ?1?n

1+n =lg 1+m

1+n ?1?n

1?m ，

由于?11?n >0，1+n >1+m >0， 可得0<1+m 1+n <1，0<

1?n 1?m

<1，

则0<

1+m 1+n ?1?n

1?m <1，

即有lg 1+m

1+n ?1?n

1?m <0，

则f(m)?f(n)<0，即f(m)

18. 解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个， 则x 0=100+

60?510.02

=550(个)

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元.…(2分) (2 )当0≤x ≤100时，p =60；…(3分)

当100

50；…(4分) 当x ≥550时，p =51.…(5分)

所以p ={60(0

62?x

50(100

(x ∈N ?)…(6分)

(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L =(p ?40)x ={20x(0

22x ?x 2

50(100

…(9分) 当0

当x ≥500时，L ≥6050；…(11分) 当100

x 250

．

由{22x ?x 2

50=6000100

，解得x =500． 答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元.…(13分) 19. (I)证明：延长AD 到A 1使得AD =DA 1，连接CA 1，A 1B ，

∵D 是BC 的中点，

∴四边形ACA 1B 是平行四边形，

∴AA 1??????? =AB ????? +AC ????? ， ∵AD

?????? =AB ?????? +AC ????? 2

；

(II)证明：∵AE ????? =AD ?????? +DE

?????? ， ∴AE ????? ?(AB ????? ?AC ????? )=(AD ?????? +DE ?????? )?(AB ????? ?AC ????? )=AD

?????? ?CB ????? +DE ?????? ?CB

????? ， ∵DE ⊥BC ，∴DE ?????? ?CB ????? =0， ∵AD ?????? ?CB ????? =1

2(AB ????? 2

?AC ????? 2

)=3

2， ∴AE ????? ?(AB ????? ?AC

????? )=32

(III)解：△ABC 中，|AB ????? |=2，|AC ????? |=1，cosA =34

，AD

?????? =AB ?????? +AC ?????

2

，

∴|AD

?????? |=12

√4+2×2×1×34

+1=√2， 同理FB ????? +FC ????? =2FD ????? ，

∴AF

????? ?(FB ????? +FC ????? )=AF ????? ?2FD ????? =|AF ????? |?|FD ????? |， 设|AF

????? |=x ，则|FD ????? |=√2?x(0≤x ≤√2)， ∴AF ????? ?(FB ????? +FC

????? )=2x(√2?x)≤2(x+√2?x 2

)2=1，当且仅当x =√22

时取等号， ∴AF ????? ?(FB ????? +FC

????? )∈(0，1]． 20. 解：(1)g(x)=x 2?2ax +1=(x ?a)2+1?a 2在区间[1，3]上的值域[0，4]． 若1≤a ≤3时，g(x)的最小值为g(a)=1?a 2，

由1?a 2=0，可得a =1(?1舍去)，g(x)=(x ?1)2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]； 若a >3时，g(x)在[1，3]递减，g(x)的最小值为g(3)， 由g(3)=10?6a =0，解得a =5

3(舍去)；

若a <1，则g(x)在[1，3]递增，g(x)的最小值为g(1)， 由g(1)=2?2a =0，解得a =1． 综上可得，a =1；

(2)由g(2x )?k ?4x ≥0即(2x )2?2?2x +1?k ?4x ≥0， 化为k ≤(2?x )2?2?2?x +1，令t =2?x ，由x ≥1可得0

2，

则k ≤t 2?2t +1，0

2，

记?(t)=t 2?2t +1，0

2，由单调递减，可得?(t)的最小值为(1

2?1)2=1

4， 则k 的取值范围是k ≤1

4；

(3)令y =0，可化为|2x ?1|2?2?|2x ?1|+1+2k ?3k ?|2x ?1|=0(|2x ?1|≠0)有3个不同的实根． 令t =|2x ?1|，则t >0，由2x ?1>?1，当x <0时，t =|2x ?1|=1?2x ，t ∈(0，1]且递减，

当0

当x =1时，t =1.当x >1时，t =|2x ?1|=2x ?1，t ∈(1，+∞)且递增， t 2?(3k +2)t +1+2k =0有两个不同的实数解t 1，t 2，

已知函数有3个零点等价为01或0

记m(t)=t 2?(3k +2)t +1+2k ，则{2k +1>0

m(1)=?k <0或{?(0)=2k +1>0

?(1)=?k =00<3k+2

2

<1

，

解得k >0或k 无实数解，

综上可得，k 的取值范围是(0，+∞)．

【解析】

1. 解：∵集合A ={?1，0，1}，B ={0，1，2}， ∴A ∩B ={0，1}． 故答案为：{0，1}． 利用交集的性质求解．

本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 2. 解：∵f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=x +1， ∴当x <0时，f(x)=?x +1， ∴f(?1)=?(?1)+1=2． 故答案为：2．

由题意得当x <0时，f(x)=?x +1，由此能求出f(?1)．

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

3. 解：tan(α?β)=tanα?tanβ

1+tanαtanβ=3?

43

1+3×43

=1

3，

故答案为1

3．

由正切的差角公式tan(α?β)=tanα?tanβ

1+tanαtanβ解之即可． 本题考查正切的差角公式．

4. 解：由题意A(?3，4)、B(5，?2)， ∴|AB ????? |=√(?3?5)2+(4+2)2=√100=10

故答案为10

由题意，已知A(?3，4)、B(5，?2)，将此两点坐标代入向量求模的公式，计算即可得到|AB ????? |的值

本题考查平面向量坐标表示的运用，考查了向量模的坐标表示公式，解题的关键是熟练记忆求模公式，本题是基础概念考查题，向量基本题，求模公式虽简单，但其用途很大，是向量中重要公式，要准确掌握它的形式 5. 解：令y =0，即e 2x =1，解得：x =0， 故答案为：0．

令y =0，求出x 的值，即函的零点即可．

本题考查了解方程问题，考查函数的零点的定义，是一道基础题．

6. 解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1

2，得到y =sin2x ，

再函数y =sin2x 的图象上所有点向右平移 π

3个单位，得到y =sin[2(x ?π

3)]=sin(2x ?

2π3

)对图象，

∴所求函数的解析式为：y =sin(2x ?2π3

).

故答案为：y =sin(2x ?

2π3

).

把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1

2，得到y =sin2x ，再函数y =sinx 的图象上所有点向右平移 π

3个单位，得到y =sin[2(x ?π

3)]，写出要求的结果．

本题考查三角函数图形的变换，注意在图象平移时，要看清楚函数的解析式中x 的系数是不是1，若只考查图象变换，则一般先平移后伸缩． 7. 解：∵函数f(x)={

(1

4)x ，x ∈[?2017，0)

4x

，x ∈[0，2017]， log 23>log 22=1，

∴f(log 23)=4log 23=4log 49=9． 故答案为：9．

由log 23>log 22=1，得到f(log 23)=4log 23，由此利用对数性质及运算法则能求出结果．

本题考查数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

8. 解：令2kπ?π2≤2x ?π4≤2kπ+π2，k ∈z ，求得kπ?π8≤x ≤kπ+

3π8

，k ∈z ，故

函数的增区间为(?π

8+kπ，3π8

+kπ)?，(k ∈Z)

故答案为 (?π

8+kπ，

3π8+kπ)?，(k ∈Z)．

令2kπ?π

2≤2x ?π

4≤2kπ+π

2，k ∈z ，求得x 的范围，即可得到函数的增区间． 本题主要考查复合三角函数的单调性，属于中档题． 9. 解：∵BC ????? =a ? +b ? ， CD ????? =a ? ?2b ? ，

∴BD ?????? =2a ? ?b

? ， ∵A 、B 、D 三点共线，

∴AB ????? =λBD

?????? ， ∴2=2λ，p =?λ

∴p =?1，

故答案为：?1．

要求三点共线问题，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判断，本题知道AB

????? ，要根据BC ????? 和CD ????? 算出BD ?????? ，再用向量共线的充要条件． 本题考查三点共线问题，注意使用三点共线的充要条件，三点共线实质上就是两向量共线，容易出错的是向量共线的坐标形式．

10. 解：∵cos2αsin(α?π4

)=?√2

2，

∵2cos2α=√2sin(π

4

?α)，

∴2(cos 2α?sin 2α)=cosα?sinα， ∴cosα?sinα=0，或cosα+sinα=1

2， 平方可得1?sin2α=0，或1+sin2α=14， ∴sin2α=1，或sin2α=?3

4，

∵若sin2α=1，则cos2α=0，代入原式可知应舍去， 故答案为：?3

4．

由三角函数公式化简已知式子可得cosα?sinα=0或cosα+sinα=1

2，平方可得答案． 本题考查两角和与差的三角函数公式，二倍角公式的应用，属基础题． 11. 解：f(x)=x 2，x ∈[t ，t +2]，

不等式f(x +t)≥2f(x)=f(√2x)在[t ，t +2]恒成立， 即|x +t|≥|√2x|在[t ，t +2]恒成立， 即：x ≤(1+√2)t 在[t ，t +2]恒成立， 或x ≤(1?√2)t 在[t ，t +2]恒成立， 解得：t ≥√2或t ≤?√2，

故答案为：(?∞，?√2]∪[√2，+∞)．

问题转化为|x +t|≥|√2x|在[t ，t +2]恒成立，去掉绝对值，得到关于t 的不等式，求出t 的范围即可．

本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．

12. 解：设OM ??????? ，ON ?????? 的夹角为θ，θ∈(π

2，π]，则cosθ∈[?1，0)， |OM ??????? +ON ?????? |2=OM ??????? 2

+ON ?????? 2

+2OM ??????? ?ON ?????? =2+2cosθ∈[0，2) |OM

??????? +ON ?????? |的范围为：[0，√2)， 故答案为[0，√2).

设OM ??????? ，ON ?????? 的夹角为θ，θ∈(π

2

，π]，则cosθ∈[?1，0)，|OM ??????? +ON ?????? |2=OM ??????? 2

+ON ?????? 2

+2OM ??????? ?ON

?????? =2+2cosθ即可． 本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．

13. 解：由已知及对称性知，GF =BF =lcosθ，GE =BE =lsinθ，

又∠GEA =∠GFB =2θ，

∴AE =GEcos2θ=lsinθcos2θ，

又由AE +BE =lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l =6

sinθ(1+cos2θ) =6

sinθ(2?2sin 2θ)=6

14×[2?2×(1

4

)2]=

64

5．

故答案为：645．

根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，由AE+ BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6，求解即可．

本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14. 解：∵函数f(x)=bx+c

ax2+1

(a，b，c∈R)是奇函数且定义域内有0

∴f(0)=0

解得c=0，故f(x)=bx

ax2+1

．

x>0，a>0，f(x)=bx

ax+1=b

ax+1

x

≤

2√a

=1

x

时取等号)

∵f(?2)≤f(x)≤f(2)，∴2a=1

a ，∴a=1

4

．

故答案为1

4

．

由f(0)=0可求c，根据f(?2)≤f(x)≤f(2)，利用基本不等式，即可得出结论．

本题主要考查了奇函数性质的简单应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．15. (Ⅰ)利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算．

(Ⅱ)把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算．

(Ⅲ)因为向量a?+k b? 与a??k b? 互相垂直，所以，它们的数量积等于0，解方程求得k的值．

本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，

两个向量夹角公式的应用．

16. (I)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得tan2β．

(II)由已知可求范围α+β∈(π

2，3π

2

)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(α+β)的

值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosα的值，结合范围α∈(0，π

2

)，可

求α=π

4

．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17. (1)可令t=x+1，则x=t?1，代入可得f(t)，即f(x)的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；

(2)运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；

(3)f(x)在(?1，1)上为增函数.由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．

本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查不等式的解法，注意运用对数函数的单调性，同时考查运用定义法证明函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

18. (1)根据当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，可求得一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元；

(2)函数为分段函数，当0≤x≤100时，p为出厂单价；当100

0.02(x?100)=62?x

50

；当x≥550时，p=51，故可得结论；

(3)根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价?成本，求出利润函数，利用利润为6000元，可求得结论．

本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定分段函数模型．

19. (I)延长AD 到A 1使得AD =DA 1，

连接CA 1，A 1B ，证明四边形ACA 1B 是平行四边形，即可证明：AD

?????? =AB

?????? +AC ????? 2

； (II)证明AE ????? ?(AB ????? ?AC ????? )=(AD ?????? +DE ?????? )?(AB ????? ?AC ????? )=AD ?????? ?CB ????? +DE ?????? ?CB ????? ，即可得出：AE ????? ?

(AB ????? ?AC

????? )为常数，并求该常数； (III)确定AF ????? ?(FB ????? +FC ????? )=2x(√2?x)，利用基本不等式，求AF ????? ?(FB ????? +FC ????? )的范围． 本题考查平面向量知识的运用，考查向量数量积的计算，考查学生分析解决问题的能力，

属于中档题．

20. (1)对g(x)配方，求出对称轴x =a ，讨论若1≤a ≤3时，若a >3时，若a <1，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求a 的值； (2)由题意可得(2x )2?2?2x +1?k ?4x ≥0，化为k ≤(2?x )2?2?2?x +1，令t =2?x ，求出t 的范围，求得右边函数的最小值即可得到k 的范围； (3)令y =0，可化为|2x ?1|2?2?|2x ?1|+1+2k ?3k ?|2x ?1|=0(|2x ?1|≠0)有3个不同的实根.令t =|2x ?1|，讨论t 的范围和单调性，t 2?(3k +2)t +1+2k =0有两个不同的实数解t 1，t 2，已知函数有3个零点等价为01或0

本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题．