高考数学考点归纳之 圆的方程
高考数学考点归纳之 圆的方程
一、基础知识
1．圆的定义及方程
?标准方程强调圆心坐标为(a ，b )，半径为r .
?(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点????－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系
点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.
二、常用结论
(1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是????
?
A ＝C ≠0，
B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.
(2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
考点一 求圆的方程
[典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( )
A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝4
(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________． [解析] (1)根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
(2)法一：几何法
设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2
＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得????
?
(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，
a －2
b －3＝0，
解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三：待定系数法
设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为????－D 2，－E
2， 由题意得?????
－D
2
－2×????－E
2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，
4＋25－2D －5E ＋F ＝0，
解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.
故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. [答案] (1)A (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0
[题组训练]
1．已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E
的标准方程为( )
A.????x －322＋y 2＝25
4 B.????x ＋342＋y 2＝25
16 C.????x －342＋y 2＝2516
D.????x －342＋y 2＝254
解析：选C 法一：根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)．
由题意得????
?
a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，
a 2＋(－1)2＝r 2，
解得???
a ＝34
，r 2
＝25
16，
所以圆E 的标准方程为????x －342＋y 2＝2516
. 法二：设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则由题意得????
?
1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，
1－E ＋F ＝0，
解得?????
D ＝－3
2，
E ＝0，
F ＝－1，
所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即????x －342＋y 2＝25
16. 法三：因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，
所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －1
2＝2(x －1)上．
又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为????
34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝
????2－342＋(0－0)2＝54
，
所以圆E 的标准方程为????x －342＋y 2＝2516
. 2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．
解析：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝8
3．已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的
方程为________________．
解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得
?
??
?? 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.
①②
又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④
联立①②④，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0
考点二 与圆有关的轨迹问题
[典例] (1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．
[解析] (1)设圆上任意一点为(x 1
，y 1
)，中点为(x ，y )，则???
x ＝x 1
＋4
2
，y ＝y 1
－2
2，
即?
??
??
x 1＝2x －4，
y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
(2)设P (x ，y )，圆心C (1,1)．
因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A ―→⊥PC ―→
. 又因为P A ―→＝(2－x,3－y )，PC ―→
＝(1－x,1－y )． 所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为????x －322＋(y －2)2＝54. [答案] (1)A (2)????x －322＋(y －2)2＝54
[变透练清]
1.(变条件)若将本例(2)中点A (2,3)换成圆上的点B (1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．
解析：设P (x ，y )，圆心C (1,1)．当点P 与点B 不重合时，因为P 点是过点B 的弦的中点，所以PB ―→⊥PC ―→
.
又因为PB ―→＝(1－x,4－y )，PC ―→
＝(1－x,1－y )． 所以(1－x )·(1－x )＋(4－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋????y －522＝94； 当点P 与点B 重合时，点P 满足上述方程． 综上所述，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋????y －522＝9
4. 答案：(x －1)2＋????y －522＝9
4
2．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．
解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.
故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |，
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.
故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.
[课时跟踪检测]
A 级
1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8
D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8
解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.
2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2
D ．4
解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝1
24a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2.
∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.
3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5
C ．(x －1)2＋y 2＝5
D ．x 2＋(y －1)2＝5
解析：选A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x －y ＋4＝0的距离d ＝|2a －1＋4|5＝|2a －1－6|
5，解得a ＝1，d ＝5，∵直线与圆相切，∴r ＝d ＝5， ∴
圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.
4．(2019·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆
D ．两个半圆
解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2
＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.
5．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )
A ．(－2，－4)
B.????－1
2，－1 C ．(－2，－4)或???
?－1
2，－1 D ．不确定
解析：选A ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0.配方，得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋5
2＝0，此
时方程不表示圆．故选A.
6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )
A ．(x ＋1)2＋y 2＝2
B ．(x ＋1)2＋y 2＝8
C ．(x －1)2＋y 2＝2
D ．(x －1)2＋y 2＝8
解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，
则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.
7．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，
则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．
半径r ＝12|AB |＝1
2[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.
∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝2
8．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．
解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |， 得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2. 半径r ＝|CA |＝(2＋1)2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 由题意知(m －2)2＋(6)2＜10， 解得0＜m ＜4. 答案：(0,4)
9．若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．
解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2
＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝d ＝|－1＋3|
2＝2，故该圆的标准方程是
x 2＋(y －1)2＝2.
答案：x 2＋(y －1)2＝2
10．(2019·德州模拟)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为
45
5
，则圆C 的标准方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝
2a 5
＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的标
准方程为(x －2)2＋y 2＝9.
答案：(x －2)2＋y 2＝9
11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210. 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②
由①②解得????? a ＝－3，b ＝6或?????
a ＝5，
b ＝－2，
所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，
所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 12．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线， 所以y ≠0.
因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，
又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y
x －3，
所以y x ＋1·y
x －3＝－1，
化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.
因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．
法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝1
2|AB |
＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．
所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．
(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋3
2
，y ＝y 0＋02
，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .
由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2
＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.
因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．
B 级
1．(2019·伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )
A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1
D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1
解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)
关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设
C 2
(a ，b )，则?
????
b －1a ＋1＝－1，
a －12－
b ＋1
2－1＝0，解得
?
????
a ＝2，
b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.
2．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，
半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.
答案：(x －1)2＋y 2＝2
3．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．
解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．
(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→
＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→
＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0.
易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时， 圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1
＝2， 解得m ＝±25
5
.
把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝5
3
.
当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴5
3
3