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函数、导数练习题

高二年级质量检测数学试卷（文科）

一、填空题 1. 函数)1lg(11

)(x x

x f ++-=

的定义域是 2．已知集合M=?

?????

≥-01x x

, N={}

133+y y , 则M ?N=

3. 设???>≤=0

,ln 0,)(x x x e x g x ，则???

??)21(g g =

4．已知5

cos sin =

+x x ，且πα<≤0 那么αtan 等于 5.已知函数1sin )(3++=x x x f ，若,2)(=a f 则=-)(a f 6．函数326)(2++--=x x x f 是值域是

7. 函数5)(2++=x mx x f 在区间[-2，+∞）上是增函数，则实数m 的范围是 8．已知函数3

()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是

a ＜-3或a ＞6

9. 已知函数???<≥+=)0(1

)

0(1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围

是

10.已知3

42)(x mx x f -=，其中0>m ，若函数)(x f 在区间[0,1]上的最大值为12时，则

此时m 的值为

11.设函数13)(3

+-=x ax x f ，若对任意的]1,1[-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的取值

范围是

12.已知函数)(x f y =的周期为2，当]1,1[-∈x 时，2

)(x x f =,那么函数)(x f y =的图像

与函数x y lg =的图像的交点共有个。

13．给出下列四个命题：

①函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同；

②函数3

y x =与3x

y =的值域相同；③函数11221x y =+-与2

(12)2

x x

y x +=?都是奇函数；④函数2

(1)y x =-与12x y -=在区间[0,)+∞上都是增函数，其中正确命题的序号是

_____________。（把你认为正确的命题序号都填上）

14．设奇函数)(x f 在[－1，1]上是增函数，且1)1(-=-f ，若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是.022=-≤≥t t t 或或二、解答题

15. （本小题满分14分） (1)已知0cos 2sin =-θθ，求

θθ

θcos 3sin cos 2sin 3+-值

（2）化简

)4sin()2

3sin()

8cos()2

cos()5sin(πθπ

θθπθπ

πθ---

---

16．设函数d cx bx x a x f +++=

)(的图像关于原点对称，且)(x f 在点P （1，m ）处的切线与直线026=+-y x 垂直，若当a x =时)(x f 有极值，（1）求)(x f 的解析式；

（2）求函数)(x f 的极值及单调区间。

16．因)(x f 关于原点对称，故b=d=0，从而cx x a x f +=

)(。所以c ax x f +='2

)(，由已知有：

6)1(-=+='c a f …………①

0)(3=+='c a a f …………②

由①、②解得8,2-==c a 。故x x x f 83

2)(3

。 17．已知函数y=f(x)是R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=193x +x -2

（1）判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性；（2）求y=f(x)的值域；（3）求不等式f(x)>

的解集. 解：（1）设 x 1

31x <32x ,3

1x x +<1，

∵f(x 1)-f(x 2)=

1931

+x x - 1

931

+x x =)

1)(1(3

993

211

122++-+-

++x x x x x x x x =

)

1)(1()

1)((993331

21++--+x x x x x

x <0,

∴f(x 1)

（2）∵0<193+x x =x

x 3131+≤2

，

∴当x≤0时，

f(x)=193+x x -2

1∈(-21,0]；

当x>0时，f(x)=21-193+x x +1∈(0,2

综上得y=f(x)的值域为(-21,2

). （3）∵f(x)=(-21,2

1)，又∵f(x)>

1， ∴f(x)∈(31,21)，此时f(x)=21

-1

93+x x (x>0)，

令21-193+x x >31

，即193+x x <6

1?32x-6·3x +1>0?3x >3+22?x>log 3(3+22)， ∴不等式 f(x)>3

的解集是(log 3(3+22),+∞).

18．（本小题满分14分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．

（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．

18.解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点

C 的横坐标为x ．

点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得)y x r =<<

(22)2

S x r =

2()x r =+ 其定义域为{}0x x r <<．

（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，，则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得1

x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2

x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??

???

是()f x 的最大值．因此，当1

x r =

时，S

2=．

即梯形面积S

的最大值为

r ．

19．（本小题满分14分）

已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。（1）试确定a,b 的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得

3431

()4ln 4f x ax x ax bx x

'=++

3(4ln 4)x a x a b =++．

由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．

（II ）由（I ）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =．当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．

因此()f x 的单调递减区间为(01)，

，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，

解得3

c ≥或1c -≤．

所以c 的取值范围为3(1]2??

-∞-+∞????

，，．

20．已知函数)(x f =

x ax

，在1=x 处取得极值为2.

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）若函数)(x f 在区间（)12,+m m 上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若),(00y x P 为)(x f =

b x ax +2图象上的任意一点，直线l 与)

(x f =b

x ax

+2的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围。解：（1）已知函数f(x)=

x ax

， ∴f′(x)=2

22)

()2()(b x x ax b x a +-+, 又函数f(x)在x=1处取得极值2，

∴???==',2)1(,0)1(f f 即??

???=+=-+210

2)1(b a a b a ???

?==.1,4b a ∴f(x)=

42+x x . （2）∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =2

)

1(44+-x x . 由f′(x )>0，得4-4x 2>0，即-1

+x x

的单调增区间为（-1，1）. 因函数f(x)在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有??

??>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1

即m ∈(-1,0)时，函数f(x)在（m ，2m ＋1）上为增函数. （3）f(x)=

42+x x

, ∴f′(x)=2

22)1()2(4)1(4+-+x x x x ,

直线l 的斜率为k=f′(x 0)=

20)

1(8)1(4+-+x x x =4［

1(22

0+-

+x x ］.

令

0+x =t ，t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2

-t),t ∈(0,1) ∴k ∈［-

21,4］，即直线l 的斜率k 的取值范围是［-2

1,4］［或者由k =f′(x 0)转化为关于x 02的方程，根据该方程有非负根求解］.

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

函数与导数历年高考真题

函数与导数高考真题 1．2log 510＋log 50.25＝ A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2．2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ） 132 （Ｄ）213 75．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（） A ．2- B ．1 C ．4 D ．10 6．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim （） A ．0 B ． 41 C ．21 D ．1 7．已知函数y =13x x -++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8．已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 9．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（） A ．158(,)33 B ．15(,7)3 C ．48(,)33 D ．4(,7)3 10．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与 ()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ． (0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞

函数与导数压轴题方法归纳与总结

函数与导数压轴题方法归纳与总结题型与方法题型一切线问题例1 (二轮复习资料p6例2) 归纳总结：题型二利用导数研究函数的单调性例2 已知函数f (x )＝ln x －a x . (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为3 2，求a 的值； (3)若f (x )

归纳总结：题型三已知函数的单调性求参数的围例 3.已知函数()1 ln sin g x x x θ=+?在[)1,+∞上为增函数，且()0,θπ∈, ()1 ln ,m f x mx x m R x -=--∈ （1）求θ的值. （2）若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数，求m 的取值围. 归纳总结：

题型四已知不等式成立求参数的围例4..设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈????12，2都有f (s )≥g (t )成立，数a 的取值围. 归纳总结：跟踪1.已知()ln 1 m f x n x x =++（m,n 为常数）在x=1处的切线为x+y －2=0（10月重点高中联考第22题）（1）求y=f(x)的单调区间；

（2）若任意实数x ∈1,1e ?? ???? ，使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32()2f x t t at ≥--成立，数a 的取值围。跟踪2. 设f (x )＝－13x 3＋12 x 2＋2ax .（加强版练习题） (1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值围； (2)当0