不等式及线性规划
不等式及线性规划
一、选择题
1．对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 由ac 2>bc 2?a >b ，但由a >b 推不出ac 2>bc 2，故选B. 2. 设a >b >0，下列各数小于1的是( )
A ．2a －b
B ．(a b )12
C ．(a b )a －b
D ．(b a )a －b 答案 D
解析 y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1，当00时，0 ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0 a <1 由指数函数性质知，D 成立． 3．若a 、 b ∈R ，下列命题中 ①若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ②若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b |正确的是( ) A ．①和③ B ．①和④ C ．②和③ D ．②和④ 答案 C 解析 条件|a |＞b ，不能保证b 是正数 条件a ＞|b |可保证a 是正数 故①不正确，③正确 a 2＞ b 2?|a |＞|b |≥b ，故②正确④不正确 4．若a >1,01 C ．log a b <0 D ．log b a >0 答案 C 解析 特殊值法： 令a ＝2，b ＝1 2，则只有C 成立． 5．已知00 B ．2a －b >1 C ．2ab >2 D ．log 2(ab )<－2 答案 D 解析 由已知，0 4，log 2(ab )<－2，故选D. 6．若a >b >c ，a ＋2b ＋3c ＝0，则( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．ab >bc D ．a |b |>c |b | 答案 A 7．设0 b a <0 C ．2b <2a <2 D ．a 2 解析 解法一 特值法．取b ＝14，a ＝1 2. 解法二 0 x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 12 b >log 12 a ，B 不对； a > b >0?a 2 >ab ，D 不对，故选C. 二、填空题 8．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是______． 答案 (－3,3) 解析 －4<β<2?－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3. 9．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1 b 的大小关系是________． 答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1 b 解析 a b 2＋b a 2－? ????1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )? ???? 1b 2－1a 2＝ （a ＋b ）（ a －b 2） a 2 b 2 . ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴ （a ＋b ）（ a －b 2） a 2 b 2 ≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1 b . 10．若log a (a 2＋1)< log a 2a <0，则a 的取值范围是______． 答案 1 2 解析 ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1) ∵log a (2a ) ∴2a >1 ∴a >12，∴1 2 11．下列命题为真的是____________． ①若a >b ，则a lg 12 >b lg 12 ②若a >b >0，c >d >0，则a 2－d >b 2－c ③若a >b, 且a 、b ∈R ，则(13)a <(1 3)b ④若a ∈[－π，2π 3]，则1－sin α>0 答案 ②③ 解析 lg 12 <0，①是错误的，a >b >0，a 2>b 2，c >d >0，c >d >0，－c <－d ， a2－d>b2－c.②正确．y＝(1 3) x是减函数，a>b，则( 1 3) a<(1 3) b.③正确．④中α＝ π 2时 1－sinα＝0，不正确． 12．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B 两点间的距离d满足的不等式为________． 答案2≤d≤2 3 13．(2010·上海春季高考改编)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1____a＋b. 答案< 解析(ab＋1)－(a＋b) ＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b) ∵a>1，b<1，∴1－a<0,1－b>0 ∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋1 三、解答题 14．已知a>0且a≠1，比较log a(a3＋1)和log a(a2＋1)的大小． 解析当a>1时，a3>a2，a3＋1>a2＋1. 又log a x为增函数，所以 log a(a3＋1)>log a(a2＋1)； 当0 又log a x为减函数 所以log a(a3＋1)>log a(a2＋1) 综上，对a>0且a≠1，总有log a(a3＋1)>log a(a2＋1) 15．已知m∈R，a>b>1，f(x)＝ mx x－1 ，试比较f(a)与f(b)的大小． 解析f(x)＝ mx x－1 ＝m(1＋ 1 x－1 )，所以f(a)＝m(1＋ 1 a－1 )，f(b)＝m(1＋ 1 b－1 )． 由a>b>1，知a－1>b－1>0，所以1＋ 1 a－1 <1＋ 1 b－1 . ①当m>0时，m(1＋ 1 a－1 ) 1 b－1 )，即f(a) ②当m＝0时，m(1＋ 1 a－1 )＝m(1＋ 1 b－1 )，即f(a)＝f(b)； ③当m<0时，m(1＋ 1 a－1 )>m(1＋ 1 b－1 )，即f(a)>f(b)． 16．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m， n(m a，比较f(x)与m的大小． 解析由题意知，F(x)＝a(x－m)(x－n) ∴f(x)＝a (x－m)(x－n)＋x ∴f(x)－m＝a(x－m) (x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)， ∵a>0，且0 ∴x－m<0,1－an＋ax>0. ∴f(x)－m<0，即f(x) 教师备选题 1．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2 ≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3 y 4的最大值是________． 答案 27 解析 由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8， lg4≤2lg x －lg y ≤lg9，令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有??? lg3≤a ＋2b ≤3lg22lg2≤2a －b ≤2lg3 ，又设t ＝x 3 y 4，则 lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2， 即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x 3y 4的最大值是27. 另解：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4 y 2≤81，① 又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤1 3，② 由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3 y 4的最大值是27. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________． 答案 4 解析 解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有4a 1＋4×3 2d ≥10，即2a 1 ＋3d ≥5；5a 1＋5×4 2d ≤15，即a 1＋2d ≤3，注意到a 4＝a 1＋3d ＝－(2a 1＋3d )＋3(a 1＋2d )≤－5＋3×3＝4，因此a 4的最大值为4. 解法二 由??? S 4≥10S 5≤15 得??? 4a 1＋6d ≥105a 1＋10d ≤15，即??? 2a 1＋3d ≥5 a 1＋2d ≤3 求a 4＝a 1＋3d 最值． 属于线性规划问题，平面区域为??? 2x ＋3y ≥5 x ＋2y ≤3求目标函数z ＝x ＋3y 最大值．目标 函数z 是一组斜率为－1 3的平行线，直线越向上z 值越大，直线离开平面区域的最后一个点的坐标为(1,1)，所以z max ＝1＋3＝4. 7.2第2课时 高考数学（理）黄金配套练习 一、选择题 1．0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1 m )＜0的解集为( ) A ．{x |1m ＜x ＜m } B ．{x |x ＞1 m 或x ＜m } C ．{x |x ＞m 或x ＜1m } D ．{x |m ＜x ＜1 m } 答案 D 解析 当0 m 2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z }，N ＝{x ∈R |3x －1 x －9 ≤1}，则M ∩N 的真子集的 个数是( ) A ．15 B ．7 C ．16 D ．8 答案 B 解析 由N ＝{x |－4≤x <9}，M ∩N ＝{4,1,0} 真子集个数23－1＝7. 3．函数y ＝ log 1 2 x 2－1 的定义域是( ) A ．[－2，－1)∪(1，2] B ．[－2，－1]∪(1，2) C ．[－2，－1)∪(1,2] D ．(－2，－1)∪(1,2) 答案 A 解析 由??? x 2 －1>0 x 2－1≤1 得[－2，－1)∪(1，2]． 4．已知集合M ＝{x |x 2－2008x －2009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]，则( ) A ．a ＝2009，b ＝－2010 B ．a ＝－2009，b ＝2010 C ．a ＝2009，b ＝2010 D ．a ＝－2009，b ＝－2010 答案 D 解析 化简得M ＝{x |x <－1或x >2009}， 由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2010}，即－1,2010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根． 所以b ＝－1×2010＝－2010，－a ＝－1＋2010，即a ＝－2009. 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3，且f (1)>0，f (2)＝2m －3m ＋1 ，则m 的取值范围是 ( ) A ．m <32 B ．m <3 2且m ≠1 C ．－1 D ．m >3 2或m <－1 答案 C 解析 由题意得f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<0，即2m －3m ＋1 <0，∴－1 2，故选C. 6. 已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为 ( ) A ．(2,3)∪(－3，－2) B ．(－2，2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A 解析 由导数图象知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数； 当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2 －6)>f (3)，即? ?? x 2－6<0，x 2－6>－2或 0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)． 7．设函数f (x )＝??? 2x ＋1，x ≥1， x 2－2x －2，x <1， 若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案 B 解析 ∵f (x 0)>1，∴??? x 0≥12x 0＋1>1或??? x 0<1 x 20－2x 0 －2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1， ＋∞)． 8．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式 (x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( ) A ．(－12，32) B ．(－32，1 2) C ．(－1,1) D ．(0,2) 答案 A 解析 由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2 －y －1<0对于x ∈R 恒成立． 解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，∴4y 2－4y －3<0，解得－12 2.故选A . 解法2：即y 2－y 4. ∴y 2－y <34，解之得－12 2. 二、填空题 9．不等式 2－x x ＋4 >0的解集是________． 答案 (－4,2) 解析 考查分式不等式的解法2－x x ＋4 >0等价于(x －2)(x ＋4)<0，所以－4 10．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________． 答案 －1 解析 f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正一负根，则f (0)<0得a 2－1<0?－1 11．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围________________________________________________． 答案 －2≤a <6 5 解析 当a 2－4＝0，即a ＝－2或a ＝2时，当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集 当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意． 当a 2 －4≠0时，需? ?? a 2－4<0，Δ＝ a ＋2 2＋4 a 2 －4 <0， 解得－2 5. 综上可知－2≤a <6 5. 12．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1 a <0(a >0)的解集为________． 答案 (1，a ＋1 a ) 解析 不等式可化为[x －(a ＋1 a )](x －1)<0， ∵a >0， ∴a ＋1 a ≥2>1. ∴该不等式的解集为(1，a ＋1 a )． 132 答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可． 三、解答题 14．关于x 的不等式组 ??? x 2 －x －2>02x 2＋（ 2 k ＋5 ）x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范 围． 解析 解x 2－x －2>0得x >2或x <－1 解2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0(有解集) 得(2x ＋5)(x ＋k )<0由原不等式组，整数解为{－2}．得 －5 2 15．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )． 证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2. 证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋ (b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2 －4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1. 于是c ≥1，且c ≥2b 2 4× 1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0. 故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2. 16．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2) 分析 首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题． 解析 由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2) 即不等式x 2＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立． 方法一 令g (x )＝x 2＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可． g (x )＝x 2 ＋ax －a ＋1＝? ????x ＋a 22－a 2 4 －a ＋1. ①当－a 2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0?a <1，故0 ②当0≤－a 2≤1，即－2≤a ≤0时， g (x )min ＝g ? ?? ?? －a 2＝－a 24－a ＋1>0 ?－2－22 ③当－a 2>1，即a <－2时，g (x )min ＝g (1)＝2>0，满足，故a <－2. 故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2) 方法二 由1－ax －x 2<2－a 得(1－x )a ∴①当x ＝1时，0<2恒成立，此时a ∈R ； ②当x ∈[0,1)时，a 1－x 恒成立． 求当x ∈[0,1)时，函数y ＝x 2＋1 1－x 的最小值． 令t ＝1－x (t ∈(0,1])，则 y ＝x 2＋11－x ＝( 1－t )2＋1t ＝t ＋ 2t －2， 而函数y ＝t ＋2 t －2是(0,1]上的减函数， 所以当且仅当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a <1， 由①②得a <1. 故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2) 教师备选题 1．(苏北四市调研)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为?，则实数a 的取值范围为________． 答案 [2 4，＋∞) 解析 解法1：原命题可等价于不等式ax 2－|x |＋2a ≥0对于任意的实数x 均成立，即a (x 2＋2)≥|x |对于任意的实数x 均成立，由于x 2＋2>0且|x |≥0，故a >0，分别作出f 1(x )＝a (x 2＋2)和f 2(x )＝|x |的图象如图： 根据图象的对称性，只需研究x ≥0时满足即可，当x ≥0，二者相切时，应有 f 1′(x )＝2ax ＝1，此时x ＝12a ，所以，欲使原命题成立，只需满足f 1(12a )≥f 2(1 2a )，即a ×14a 2＋2a ≥12a ?8a 2≥1，解之得a ≥24(a ≤－24舍去)． 解法2：令t ＝|x |≥0，原不等式可化为at 2－t ＋2a <0在t ≥0不存在，即at 2－t ＋2a ≥0在t ≥0恒成立，∴????? a >0Δ≤0 或????? a >012a <02a ≥0 解之得a ≥2 4 2．设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. (1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值； (2)求证：x 1<－1且x 2<－1； (3) 如果x 1x 2 ∈[1 10，10]，试求a 的最大值． 解析 (1)(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1 a ＝1. (2)令f (x )＝ax 2＋x ＋1，由Δ＝1－4a ≥0， 得0<2a ≤1 2，∴抛物线f (x )的对称轴 x ＝－1 2a ≤－2<－1. 又f (－1)＝a >0， ∴f (x )图象与x 轴的交点都在点(－1,0)的左侧， 故x 1<－1，且x 2<－1. (3)由(1)，x 1＝11＋x 2－1＝－x 2 1＋x 2 . x 1x 2＝－11＋x 2∈[1 10，10]， 所以－1x 2 ∈[111，10 11]． 所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 22＝－[(－1x 2)－12]2＋1 4. 故当－1x 2 ＝12时，a 取得最大值为1 4. 7.3第3课时 高考数学（理）黄金配套练习 一、选择题 1．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24 D ．以上都不对 答案 B 解析 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧．∴(9－2＋a )·(－12－12＋a )<0 即(a ＋7)(a －24)<0 ∴－7 A ．2 B ．1 C.12 D.1 4 答案 B 解析 令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ， 于是集合B 转化为不等式组??? u ≤1， u ＋v ≥0， u －v ≥0 的平面区域， 如图，平面区域的面积为1 2×2×1＝1. 3．设变量x ，y 满足约束条件??? x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0， x ＋y －8≤0， 则目标函数z ＝3x －4y 的最 大值和最小值分别为( ) A ．3，－11 B ．－3，－11 C ．11，－3 D ．11,3 答案 A 解析 本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z ＝3x －4y 的最值一定在直线的交点处取得．三条直线的交点分别为A (0,2)，B (3,5)，C (5,3)，代入目标函数可得z ＝3x －4y 的最大值为3，在C 点处取得；最小值为－11，在B 点处取得，故选A. 4．已知x 、y 满足不等式组??? y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3 倍，则a ＝( ) A ．0 B.1 3 C.2 3 D ．1 答案 B 解析 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分 别取得最小值和最大值．由??? x ＝a y ＝x 得A (a ，a )，由??? x ＋y ＝2 y ＝x 得B (1,1)． ∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝1 3. 5．已知实数x ，y 满足??? x ≥1x －2y ＋1≤0x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝y x 的最大值为2， 则实数m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B 解析 可作可行域如图所示，目标函数z ＝y x 可以看作是可行域中一点与原点连线的斜率，显然目标函数的图象过点A 和点O 时，目标函数z ＝y x 取得最大值2.此时x ＝1，y ＝2，∴m ＝1＋2＝3，故选B. 6．已知实数x ，y 满足不等式组??? ?? y ≤x x ＋2y ≤4 y ≥12x ＋m ，且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的 最小值为2，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．(－∞，43] D ．(0，4 3] 答案 B 解析 画出可行域如图所示，由题知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2，过点(－1,1)作直线y ＝x 的垂线，垂足为原点O ，点(－1,1)与点O 之间距离的平方恰好为2，说 明点O 一定在可行域内，则直线y ＝1 2x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0，故选B. 7．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( ) A.14 B.35 C ．4 D.5 3 答案 B 解析 －a ＝k AC ＝－35?a ＝3 5. 8．已知方程ax 2＋bx －1＝0(a ，b ∈R 且a >0)有两个实数根，其中一个根在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 答案 A 解析 令f (x )＝ax 2＋bx －1，由方程f (x )＝0有一根在(1,2)并结合二次函数图象可知满足：f (1)f (2)＝(a ＋b －1)(4a ＋2b －1)<0 ???? a ＋ b －1>0，4a ＋2b －1<0，a >0 或??? a ＋ b －1<0，4a ＋2b －1>0，a >0. 作出满足不等式的(a ，b )所对应 的可行域，据线性规划知识可知对目标函数z ＝a －b ，当a ＝0，b ＝1时取得最小值－1. 9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣 机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A ．2000元 B ．2200元 C ．2400元 D ．2800元 答案 B 解析 设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为??? 2x ＋y ≥10 0≤x ≤40≤y ≤8 ，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0 至经过点(4,2)时，z 取得最小值2200元，故选B. 二、填空题 10．在区域M ＝{(x ，y )|? ?? ?????? ?0 x ＋y <4 y >x x >0 }内的概率是________． 答案 1 2 解析 作出可行域，可知区域M 的面积为8，区域N 的面积为4.故黄豆落 在区域N 的概率为48＝1 2. 11．在平面直角坐标系中，不等式组??? x ≥1 y ≤2 x －y ≤0 表示的平面区域的外接圆的 方程为________ . 答案 (x －32)2＋(y －32)2＝1 2 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC 为等腰 直角三角形．从而可得A (2,2)，B (1,1)，因此△ABC 的外接圆的圆心为(32，3 2)， 半径为 (2－1) 2＋( 2－1) 22＝22.所以所求外接圆的方程为(x － 32)2 ＋(y － 32)2＝12. 三、解答题 12．家具公司做书桌和椅子，需木工和漆工两道程序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工时，漆工平均每两个小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元， 根据以上条件，安排生产多少把椅子，多少张书桌，能获得最多利润？ 答案 200 900 解析 设生产x 把椅子，y 张书桌，获得利润为z 元，则 ??? 4x ＋8y ≤8000， 2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0. 即??? x ＋2y ≤2000， 2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0， 目标函数z ＝15x ＋20y . 由线性规划知识，作可行域易知x ＝200，y ＝900时，z 取得最大值． 13．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格 22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少？(百万元)． 答案 15 解析 可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：????? x ≥0 y ≥00.5x ＋0.7y ≥1.9 x ＋0.5y ≤2 ，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标 函数取最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15. 14．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0. 2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元． 由题意得??? x ＋y ≤300 500x ＋200y ≤90000 x ≥0，y ≥0 ， 目标函数为z ＝3000x ＋2000y . 二元一次不等式组等价于??? x ＋y ≤300 5x ＋2y ≤900 x ≥0，y ≥0 ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图． 作直线l ：3000x ＋2000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． 联立? ?? x ＋y ＝3005x ＋2y ＝900， 解得x ＝100，y ＝200. ∴点M 的坐标为(100,200)， ∴z ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)， 即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为700000元． 教师备选题 1．设不等式组??? x ≥1， x －2y ＋3≥0， y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1 关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB | 的最小值等于( ) A.28 5 B ．4 C.12 5 D ．2 答案 B 解析 平面区域Ω1如图中阴影部分所示，由于平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称，因此|AB |的最小值即为Ω1中的点A 到直线3x －4y －9＝0的距离的最小值的2倍．由图可知，当点A 与点M (1,1)重合时，Ω1中的点A 到直 线3x －4y －9＝0的距离取到最小值|3－4－9| 5 ＝2，故|AB |的最小值为2×2＝4. 2．已知实系数一元二次方程x 2＋ (1＋a )x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x 1、 x 2，并且0 b a －1 的取值范围是( ) A ．(－1，－13) B ．(－3，－1 3] C ．(－3，－12) D ．(－3，－1 2] 答案 C 解析 令f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1， ∵0 ∴??? f (0 )>0，f (2 )<0，即??? a ＋ b ＋1>0，3a ＋b ＋7<0. 可行域如图，A (－3,2)； 又b a －1 的几何意义是(a ，b )与B (1,0)两点连线的斜率， k AB ＝2－3－1＝－1 2，3a ＋b ＋7＝0的斜率为－3， ∴b a －1 ∈(－3，－12)． 3．已知向量m ＝(a －2b ，a )，n ＝(a ＋2b,3b )，且m ，n 的夹角为钝角，则在aOb 平面上，点(a ，b )所在的区域是( ) 答案 A 解析 ∵m 、n 的夹角为钝角， ∴m ·n <0?(a －2b ，a )·(a ＋2b,3b )＝a 2－4b 2＋3ab ＝(a ＋4b )(a －b )<0 ??? a ＋4b >0，a －b <0或??? a ＋4 b <0，a －b >0， 故选A. 7.4第4课时 高考数学（理）黄金配套练习 一、选择题 1．下列不等式证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a · a b ＝2 B ．若x >0，y >0，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y C ．若x <0，则x ＋4 x ≥－2x · 4x ＝－4 D ．若x <0，则2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2 答案 D 解析 ∵x <0，∴2x ∈(0,1)，2－x >1 ∴2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2 ∴D 正确 而A 、B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤” 2．函数y ＝log 2(x ＋1 x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 答案 B 解析 x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1 x －1 ＋6 ≥2 (x －1) ·1 x －1 ＋6 ＝2＋6＝8 当且仅当x －1＝1 x －1即x ＝2时取“＝”号 ∴y ＝log 2(x ＋1 x －1 ＋5)≥log 28＝3 3．若a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 答案 解析 a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2 (a ＋b 2 )2＝2. 4．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1 b 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.1 4 答案 B 解析 由题有(3)2＝3a ·3b ?a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4，∴ 1a ＋1b 的最小值为4. 5．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 令p ：“a ＝18” q ：“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1” 若p 成立，则a ＝18，则2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥22x · 1 8x ＝1，即q 成立，p ?q ； 若q 成立，则2x 2－x ＋a ≥0恒成立，解得a ≥1 8，∴ ∴p 是q 的充分不必要条件． 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1 a 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2 答案 A 解析 ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域为[0，＋∞)， 则由Δ＝0，a >0得c ＝1 a ， ∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a ＋1a ＋1 a ＝a 2＋a ＋1a 2＋1a ＝(a 2 ＋1a 2)＋(a ＋1a )≥4(当且仅当a ＝1a 即a ＝1时取等号)． 7．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1 a (a －b) 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D 解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b) ＝a 2＋1b (a －b ) ≥a 2＋4 a 2≥4，当且仅当 b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝2 2时“＝”都成立，故原式最小值为4，选D. 8．已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( ) A ．a 3＋a 7>2a 5 B ．a 3＋a 7<2a 5 C ．a 3＋a 7＝2a 5 D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 答案 A 解析 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n ＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 5(因为a >0，a ≠1，从而等号不成立)，又2a 5＝2a 5，故选A. 二、填空题 9．已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为__________． 答案 1 8 解析 2xy ≤(2x ＋y 2)2＝14，∴xy ≤1 8 (当且仅当2x ＝y 即x ＝14，y ＝1 2时取“＝”号．) ∴xy 的最大值为1 8. 10．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为__________． 答案 [3＋22，＋∞) 解析 (x －1)(y －1)＝xy －(x ＋y )＋1 ≤xy －2xy ＋1 又(x －1)(y －1)≥2，即xy －2xy ＋1≥2 ∴xy ≥2＋1，∴xy ≥3＋2 2 11．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则ab ＋1 ab 的最小值为________． 答案 17 4 解析 ab ≤(a ＋b 2)2＝1 4 当且仅当a ＝b ＝1 2时取等号 y ＝x ＋1x 在x ∈(0，1 4]上为减函数． ∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝17 4 12．若x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝5，则3x ＋9y 的最小值________． 答案 18 3 解析 3x ＋9y ≥23x ·9y ＝2·3x ＋2y ＝2·35＝18 3 三、解答题 13．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围． 答案 0 解析 因为a 、b 都是正实数，log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，所以log 3(9a ＋b )＝ log 3(ab )，故9a ＋b ＝ab ，故9b ＋1a ＝1，所以4a ＋b ＝(4a ＋b )(9b ＋1a )＝13＋36a b ＋b a ≥13 ＋236a b ·b a ＝25，即4a ＋b ≥25，当且仅当36a b ＝b a ， 即b ＝6a 时等号成立．而c >0， 所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，c 的取值范围为0 14．求函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1 (x >－1)的最小值． 解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0. ∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝ (x ＋1) 2＋5 (x ＋1 )＋4x ＋1 ＝(x＋1)＋ 4 x＋1 ＋5≥2 x＋1 4 x＋1 ＋5＝9. 当且仅当x＋1＝ 4 x＋1 ，即x＝1时，等号成立． ∴当x＝1时，函数y＝x2＋7x＋10 x＋1 (x>－1)的最小值为9. 15．某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？ 解析设矩形的长为x，宽为y 则2x＋2π(y 2)＝400 ∴y＝2 π(200－x)(0 ∴S＝xy＝2 πx(200－x)≤ 2 π( x＋200－x 2) 2 ＝20000π 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，S最大，此时y＝200π 答案把矩形的长和宽分别设计为100 m和200 πm时，矩形区域面积最大 教师备选题 1．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是________________． 答案 3 解析设P到AC、BC的距离分别为x，y，则0≤x≤3,0≤y≤4， 在△ABC中，x 3＝ 4－y 4，即4x＋3y＝12， xy＝1 12·(4x)·(3x)≤ 1 12·( 4x＋3y 2) 2＝3，(当且仅当4x＝3y，即 ?? ? ??x＝ 3 2 y＝2 时等号成 立)， ∴P到AC、BC距离的乘积的最大值为3. 2．已知关于x的不等式2x＋ 2 x－a ≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的 最小值为________． 答案3 2 基本不等式与线性规划 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 ． 8.若1 1. 不等式2560x x -++≥的解集是______________________________ 2. ()21680k x x --+<的解集是425x x x ??<->???? 或，则k =_________ 3. 不等式20ax bx c ++>的解集为{} 23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是___ 4. 若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________ 5. 已知点（2 ， 1）和点（－4 ， 5）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 m 的取值范围 为_________ 6. 若?????≥+≤≤2 22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是______________ 7. 已知x ，y 满足?????≥-+≥≥≤-+0320 ,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________ 8. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为___________ 9. 、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和 最小值分别是___________ 10. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0)取得最小值 的最优解有无数个，则a 的值为___________ 11. 若不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k 的值； (2)若不等式解集是R ，求k 的取值。 12. 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型卡 车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 ． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 ． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ． 4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 ． 8.若1 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 线性规划及基本不等式 一、知识梳理 （一）二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数，求2x+x 1 的最小值 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 一 体验高考 1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束 条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B ) (A)21 (B)1 (C)2 3 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B. 2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+4 1)>lg x(x>0) (B)sin x+ x sin 1 ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R ) (D) 1 1 2 +x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·2 1 =x, 故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=2 1 时取等号,因此A 不对, B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+ x sin 1≥2或sin x+x sin 1 ≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立, 而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<1 1 2+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C. 3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x +4y 2 )的最小值为 . 解析:(x 2+ 21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2 +221y x +4 =5+(4x 2y 2+ 221y x )≥5+22 22 214y x y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x 2y 2=2 1时取得最小值9. 答案:9 二备考感悟 1.命题与备考 (1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等 式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件. (2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域. 2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得. 三热点考向突破 考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略 1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解; 3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化 不等式 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ． 传递性 a b >且b c a c >?>． 加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+． 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>． 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4. 利用重要不等式求最值的两个命题： 命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2. 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值 42s . 注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或 积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有 结论：ax 2+bx+c>0 ? 2 0040 a a b a c >?=?-0 △=0 △<0 图象 ax 2+bx+c=0的解 x=x 1或x=x 2 x=x 1=x 2=-b/2a 无实数解 ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题 3月2日星期天下午2:30高二十班教室（带必修5） 1、设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ） A ．6- B ．4- C ．2 D ． 答案：B 2、设变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为( ) A ．-3 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 3、点(x ，y )满足??? x ＋y －1≥0， x －y ＋1≥0， x ≤a ， 若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1. C 5、设0,0 x y x y +≥?? -≥?与抛物线2 4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，) ,(y x P 为D 的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 0 C. 2 D. 3 6、若不等式组0 3434 x x y x y ≥??+≥? ?+≤?， 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+ 分为面积相等的两部分，则k 的值是（ B ）A 、73 B 、37 C 、43 D 、3 4 7、已知2z x y =+，x y ，满足2y x x y x m ≥?? +≤??≥? ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ．17 考点：简单线性规划 基本不等式 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_____________． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.28 5 C ．5 D ．6 5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.????－∞，14 B.????0，14 C.??? ?－1 4，0 D.? ???－∞，1 4 题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例 1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：????y x ＋z x ????x y ＋z y ???? x z ＋y z ≥8. 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝ 1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 题型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的 最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则 x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.9 2 D.112 题型三 基本不等式的实际应用 1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2， 过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域， △ABC 的面积即为所求， 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得 到整点个数为13个，选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 不等式与线性规划 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题．(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形?f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x ) 不等式练习 一、选择题： 1．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=u u u r u u u r ,若OP AB PA PB ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则实数λ 的取值范围 是（ ） A ．112 λ≤≤ B ．211λ≤ C ．1212λ≤≤ D ．2211λ≤≤2．不等式ax 2+bx +2＞0的解集是(－3 1,21)，则a －b 等于 （ ） A ．－4 B ．14 C ．－10 D ．10 3．不等式22x a -＜2x +a (a ＞0)的解集是 （ ） A ．｛x ｜－2 a ＜x ＜a } B ．｛x ｜x ＞0或x ＜－54a } C ．｛x ｜－a ≤x ＜－5 4a 或0≤x ＜a } D ．｛x ｜0＜x ≤a ＝ 4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆 客车营运的总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N)为二次函数关 系(如图)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．设函数f (x )=x 3+x ,x ∈R,若当0≤θ≤2 π时， f (m sin θ)+f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(－∞,0) C ．(－∞,2 1) D ．(－∞,1) 6．若不等式x +2xy 2≤a (x +y )对一切正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．2 12+ D ．22+1 7．函数y =ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图6—17所示，则（ ） A ．a >0,b >0,c >0 B ．a >0,b >0,c <0 C ．a <0,b <0,c >0 D ．a <0,b <0,c <0 8．已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0)，α、β为方程f(x)=x 的两根，且0<α<β< α 1 ，0 高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析 一、高考要求 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。 2.一元二次不等式 （1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。 （2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。 （2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 4.基本不等式： （1）了解基本不等式的证明过程。 （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、规律分析 【规律总结】 全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。具体来说，有这样的规律： （1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。 （2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有2010年在填空题中考查了基本不等式，分析发现2010年以前山东高考是填空题的形式进行考查，2011年之后，则改为以选择题的形式考查。 （2）从2011年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，2011年只是考查求线性规划的最大值问题，2012年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。2014年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。 不等式及线性规划 1．设变量x ，y 满足约束条件????? x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0， 则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6 B ．19 C ．21 D ．45 2．设x ，y 满足约束条件????? x ＋3y ≤3，x －y ≥1， y ≥0， 则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3设x ，y 满足约束条件????? 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0， y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1 D ．9 4．若x ，y 满足约束条件????? x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0， y ≤0， 则z ＝3x ＋2y 的最大值为______. 5．若x ，y 满足约束条件????? x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0， x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为______. 6.下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a 4—简单的线性规划、基本不等式 知识块一：求目标函数的最值 归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一：求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8. 2．若x ，y 满足???? ? y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0， 则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________. 解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1. ! 答案：1 角度二：求非线性目标的最值 3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜 率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1 3 D ．－12 解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1 3. 线性规划常见题型及解法 一．基础知识： (一)二元一次不等式表示的区域 二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线. 由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。 （二）线性规划 (1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z =0，画出直线l 0. 3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解. 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 二、求可行域的面积 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 第1讲 基本不等式与线性规划 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解. 真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋ 4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当 3 600 x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 30 2.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件???x －2y ＋4≥0， 2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0， 那么x 2＋y 2的取值范 围是________. 解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方. 由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2 )min ＝45； 点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是???? ?? 45，13. 答案 ???? ??45，13 3.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x ) －6恒成立，则实数m 的最大值为________. 解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立. 又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2 f （x ）·4 f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0） ＝4， ∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 4 4.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________. 解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 等式两边同时除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝ tan B ＋tan C tan B tan C －1 ， 所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ， 即tan B tan C (tan A －2)＝tan A . 因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0， 且tan A >2，基本不等式与线性规划
不等式与线性规划
基本不等式与线性规划
高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题
高考数学专题练习：不等式与线性规划
线性规划与基本不等式
高中不等式的基本知识点和练习题(含答案)
不等式与线性规划教案
必修五不等式及线性规划
练习-线性规划与基本不等式
不等式和线性规划试题
不等式与线性规划问题试题
线性规划和基本不等式常见题型
不等式与线性规划含答案
不等式线性规划
《线性规划与基本不等式》的案例分析
不等式及线性规划及详细答案
4—简单的线性规划、基本不等式
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
专题三第1讲基本不等式与线性规划
- 线性规划和基本不等式常见题型
- 不等式与线性规划含答案
- 2019年高三数学理不等式与线性规划
- 基本不等式与线性规划
- 不等式及线性规划问题(讲义及答案)
- (推荐)线性规划与基本不等式
- 不等式线性规划
- 线性规划的几种类型与基本不等式
- 不等式与线性规划
- 高考数学专题练习：不等式与线性规划
- 不等式与线性规划问题试题
- 不等式与线性规划问题解析
- 不等式及线性规划问题(作业及答案)
- 不等式与线性规划
- 基本不等式与线性规划.pdf
- 不等式及线性规划
- 高考数学(理科)二轮复习【专题1】不等式与线性规划(含答案)
- 2021届高考数学(理)二轮复习考点05 不等式与线性规划(解读解析版)
- 不等式与线性规划
- 基本不等式与线性规划