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2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)

D 题(抢渡长江)参考答案

注意:以下答案是命题人给出的,仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。

设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x (t ), y (t )) 以速度 ()(cos ()sin ())u t u t u t θθ=

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,前进,其中游速大小u 不变。要求参赛者在流速 )0,()(v t v =

给定的情况下控制 θ (t ) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H ),如图1。 这是一个最优控制问题:

H T y y t u dt dy

L T x x v t u dt

dx

t s T Min =====+=)(,0)0(),(sin )(,0)0(,)(cos .

.θθ

可以证明,若 θ (t ) 为连续函数, 则 θ (t ) 等于常数时上述问题有最优解。证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control , Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. (注:根据题意,该内容不要求同学知道。)

1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化,即令 )sin cos ()(θθu u t u ,=

,而流速)0,()(v t v =

, 其中 u 和 v 为常数, θ 为游泳者和x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线 (x (t ), y (t )) 满足

cos ,(0)0,()sin ,(0)0,()dx

u v x x T L dt

dy u y y T H dt

θθ?=+==???

?===?? (1) T 是到达终点的时刻。 令θcos =z ,如果 (1) 有解, 则

?????-=-=+=+=2

21,1)()

(,)()(z

Tu H t z u t y v uz T L t v uz t x (2) 即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线,且

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L T uz v ===+ (3) 若已知L, H, v, T , 由(3)可得

图1