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新湘教版八年级下册第1章直角三角形数学教案2014-2-16

第1章直角三角形

§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

（第1课时）

教学目标：

1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。

2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。

3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程：

一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?

二、新授

（一）直角三角形性质定理1

请学生看图形：

1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？

2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习：

练习1

（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数

（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。

练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B相等的角有。

（二）直角三角形的判定定理1

1、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”

2、利用三角形内角和定理进行推理

3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形

练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。

（三）直角三角形性质定理2

1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

（l）量一量斜边AB的长度

（2）找到斜边的中点，用字母D表示

（3）画出斜边上的中线

（4）量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？

归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练：

练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。

求证：（1）ED=EB

(2)∠EBD=∠EDB

（3）图中有哪些等腰三角形？

练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?

四、小结：

这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？

1、

2、

3、

§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

（第2课时）

一、教学目标：

1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的

思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。

4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题

和解决问题能力。

二、教学重点与难点：

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

三、教学方法:观察、比较、合作、交流、探索.

四、教学过程：

（一）引入：如果你是设计师：（提出问题）

2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？

（通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引发学生的学习兴趣。）

动一动想一想猜一猜（实验操作）

请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？

（通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。）

（二）新授：

提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）

重合

应用定理：

例1、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 是∠BAC 的平

分线，

E 、

F 分别AB 、AC 的中点。

求证：DE=DF

分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。

（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）练习变式：

1、已知：在△ABC 中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，F 是BC 的中点。

求证：FD=FE 练习引申：

（1）若连接DE ，能得出什么结论？

（2）若O 是DE 的中点，则MO 与DE 存在什么结论吗？

上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？ 2、已知：∠ABC=∠ADC=90o，E 是AC 中点。你能得到什么结论？

例2、求证：一个三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形。P4 练习P4 2 (三）、小结：

通过今天的学习有哪些收获？ (四）、作业：P7 习题A 组 1、2 (五）、课后反思：

（第3课时）

教学目标

1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对

的直角边等于斜边的一半”；

2、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么

这条直角边所对的角等于30度”；

3、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。

重点、难点

重点：直角三角形的性质，难点：直角三角形性质的应用

教学过程

一、创设情境，导入新课

1 直角三角形有哪些性质？

(1)两锐角互余；（2）斜边上的中线等于斜边的一半

2 按要求画图：

（1）画∠MON，使∠MON=30°，

(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO,PK的长度，PO,PK 有什么关系？

(3) 在OM上再取点Q,R，分别过Q,R作ON的垂线QD,RE,

垂足分别为D,E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？量

一量RE,OR，它们有什么关系？

由此你发现了什么规律？

直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么

它所对的直角边等于斜边的一半。

为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.

二、合作交流，探究新知

1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。

如图，Rr△ABC中，∠A=30°，BC为什么会等于1

分析：要判断BC=1

AB,可以考虑取AB的中点，如果如

果BD=BC，那么BC=1

AB，由于∠A=30°,所以∠B=60°,

如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？

由学生完成

归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？

先让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明。

2 上面定理的逆定理

上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=1

AB”交换，结论还成立吗？

学生交流

方法（1）取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B=60°,从而∠A=30°

（2）沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出。

（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？

归纳：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。

三、应用迁移，巩固提高

1、定理应用

例1、在△ABC中，△C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______

例2、如图在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD ⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.

D C

2 实际应用

例3、（P5）在A 岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O 处时，发现A 岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距

有触礁的危险吗？

四、课堂练习，巩固提高 P 6练习 1、2

五、反思小结，拓展提高

直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？六、作业布置： P7习题A 组 3、4

东

§1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

（第4课时）

勾股定理

教学目标：

（1）掌握勾股定理；

（2）学会利用勾股定理进行计算、证明与作图

（3）了解有关勾股定理的历史.

（4）在定理的证明中培养学生的拼图能力；

（5）通过问题的解决，提高学生的运算能力

（6）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（7）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育．

教学重点：勾股定理及其应用

教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程：

1、新课背景知识复习

（1）三角形的三边关系

（2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？

2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来．

勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方强调说明：（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边

（2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）

3、定理的证明方法

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.

方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,

方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形

以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明

4、定理的应用

练习P11

例题1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝900，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB 于D，求CD的长.

解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

∴

又∠2＝∠C

∴CD的长是2.4cm

例题2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900，D是BC上任一点，求证：BD2+CD2=2AD2

证法一：过点A作AE⊥BC于E

则在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2

又∵AB＝AC，∠BAC＝900

∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2+CE2+2DE2

=2AE2+2DE2

=2AD2

∴即BD2+CD2=2AD2

证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F

则DE∥AC，DF∥AB

又∵AB＝AC，∠BAC＝900

∴EB＝ED，FD＝FC＝AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2,CD2=FD2+FC2

在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2

∴BD2+CD2=2AD2

5、课堂小结：

（1）勾股定理的内容

（2）勾股定理的作用

已知直角三角形的两边求第三边

已知直角三角形的一边，求另两边的关系6、作业布置

P16 习题A组 1、2、3

课后反思：

§1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

（第5课时）

勾股定理的逆定理

教学目标：

（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；

（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；

（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数

（4）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力；

（5）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识能力. （6）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（7）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征．

教学重点：勾股定理的逆定理及其应用

教学难点：勾股定理的逆定理及其应用

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程：

1、新课背景知识复习：

勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形

2、逆定理的获得

（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

（2）学生自己证明

逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 有下面关系：a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形

强调说明：

（1）勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

（2）判定直角三角形的方法：①角为900②垂直③勾股定理的逆定理

2、定理的应用

P15 例题3 判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

（1） a=6, b=8, c=10;

（2） a=12, b=15, c=20.

P15例题4 如图1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17. 求DC的长。

练习：

P16 练习 1、2

补充：

1、如果一个三角形的三边长分别为a2 =m2-n2 ,b=2mn, c=m2+n2(m＞n)

则这三角形是直角三角形

证明：∵ a2+b2=( m2-n2)2 +(2mn)2

=m4+2m2n2+n4

= (m2+n2)2

∴a2+b2=c2,∠C＝900

2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积

解：连结AC

∵∠B＝，AB＝3，BC＝4

∴∴AC＝5

∵

∴

∴∠ACD＝900

以上习题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结）

4、课堂小结：

（1）逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边（最大边）

（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用．

5、布置作业：

P16 习题 A组 1、2、3、4

补充：

如图，已知：CD⊥AB于D，且有求证：△ACB为直角三角形

证明：∵CD⊥AB

∴

又∵

∴

∴△ABC为直角三角形

6、课后反思：

§1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

（第6课时）勾股定理的应用

教学目标：

1、准确运用勾股定理及逆定理．

2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思

想来解决．

3、培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用教学重点：掌握勾股定理及其逆定理教学难点：正确运用勾股定理及其逆定理．教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索. 教学准备：

教师准备：直尺、圆规教学

过程：

一、创设情境，激发兴趣

教师道白：在一棵树的l0m 高的D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

评析：如图所示，其中一只猴子从D →B →A 共走了30m ，另一只猴子从D →C →A 也共走了30m,且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．教师提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．解：设DC=xm ，依题意得：BD+BA=DC+CA CA=30－x ，BC=l0＋x 在RtnABC 中

222BC AB AC +=AC' =AB' +BC 即()()2

102030x x ++=- 解之x=5 所

以树高为15m. 二、范例学习

如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．

解（1）图1中AB 长度为22．

（2）图2中△ABC 、 △ABD 就是所要画的等腰三角形．

例如图，已知CD ＝6m ， AD ＝8m ， ∠ADC ＝90°， BC ＝24m ， AB ＝26m ．求图中阴影部分的面积．

教师分析：课本图14.2.7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方向，同学们记住，实际上阴S =

ABC

S ?－

ACD

S ?，现在只要明确怎样计算

ABC

S ?和

ACD

S ?了。

解在Rt △ADC 中，

AC 2

＝AD 2

＋CD 2

＝62

＋82

＝100（勾股定理）， ∴ AC ＝10m ． ∵ AC 2

＋BC 2

＝102

＋242

＝676＝AB 2

∴ △ACB 为直角三角形（如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系： a 2

＋b 2

＝c 2

，那么这个三角形是直角三角形），∴ S 阴影部分＝Ｓ△ACB －Ｓ△ACD ＝1/2×10×24－1/2×6×8＝96（m 2

）．

评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”，二是求面积中，要注意其特殊性. 三、课堂小结

此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离间题，一般是化空间问题为平面问题来解决．即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则何题来解决．解题中，注意辅助线的使用．特别是“经验辅助线”的使用．五、布置作业

P17 习题A 组 5、6 B 组7、8、9

§1.3直角三角形全等判定

（第7课时）

教学目标

1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．

2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．教学重点：“斜边、直角边”公理的掌握．

难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．

教学手段：剪好的三角形硬纸片若干个

教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程

(一)复习提问

1．三角形全等的判定方法有哪几种？

2．三角形按角的分类．

(二)引入新课

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.

提问：如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？

1．可作为预习内容

如图，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，

研究这个问题，我们先做一个实验：

把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．

3．两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．

(三)讲解新课

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．

练习

1、具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=Rt∠)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”．

(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇ ( )

(2)AC=A＇C＇， BC=B＇C＇ ( )

(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇ ( )

(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇ ( )

(5) AC=A＇C＇， AB=A＇B＇ ( )

2、如图，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．

理由：( )( )( )( )

例题讲解

P20例题1 如图1-23 ，BD,CE分别是△ABC的高，且BE=CD.

求证：Rt△BEC≌Rt△CDB

练习

3、已知：如图3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．

求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD≌△B＇C＇D＇从而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．

证明：(略)．

P20例题2 已知一直角边和斜边，求作直角三角形。

已知：

求作：

作法：（1）

（2）

（3）

则△ABC为所求作的直角三角形。

小结：由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”

(四)练习 P20 练习1、2．

(五)作业

P21习题A组 1、2、3、4

(六)板书设计

§1.4角平分线的性质（1）

（第8课时）

教学目标

1、探索两个直角三角形全等的条件

2、掌握两个直角三角形全等的条件（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

3、了解并掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；及其逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；及其简单应用。

教学重点：直角三角形的判定方法“HL” ，角平分线性质

难点：直角三角形的判定方法“HL”的说理过程

教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程

一、引课如图，AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？

问题1：图中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？

由于学生对等腰三角形有初步的了解，因此教学中，学生根据图形的直观，认为这两个直角三角形全等的条件可能情况有四个:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；AB＝AC。

问题2：你能说出上述四个可判定依据吗？

说明：1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，同时由于有一个直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。

2．当“AB＝AC”时，从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在上学期中我们知道，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？

二、新授

探究1

已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，

∠BOP=∠AOP，请说明PD =PE。

思路：证明Rt△PDO≌Rt△PEO, 得到PD=PE。

归纳结论：角平分线上的点到角两边的距离相等

探究2

把两个直角三角形按如图摆放，

已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，

PD =PE，请说明∠BOP=∠AOP。

请学生自行思考解决证明过程。

归纳结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（板书）

三、例题讲解

P23 例题1 如图1-28，∠BAD=∠BCD=900, ∠1=∠2.

(1) 求证：点B在∠ADC的平分线上

(2) 求证：BD是∠ABC的平分线

四、巩固练习：

P24 练习1、2

（到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，角平分线上的点到两边的距离相等，等腰三角形的判定的综合应用）

变式训练

变式一请学生根据图形出一道证明题，然后不改变条件，让学生探究还可以证明什么？

五、小结

l．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法____“HL”公理。

2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件占至少有一个条件是一对边相等）。

3、角平分线上的点到角两边的距离相等。

4、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

六、布置作业

P26 习题1.4 A组1、2、3

2012湘教版美术八年级下册全册

一：教学目标知识和能力目标：1.能够联系时代及社会生活认识彩陶。方法与过程目标：2、能够从时代、造型、纹饰、质地、工艺等方面描述彩陶的特点。情感与态度目标：3、能够运用比较、归纳等方法分析彩陶,并运用相关美术知识和历史知识。二：教学重难点通过对彩陶、青铜器、瓷器的欣赏,引导学生初步了解中国工艺美术发展不同时期的现象、历史源流以及审美特点,在学习活动中获得初步的审美经验和鉴赏能力;培养学生学习祖国传统文化艺术的兴趣,增强弘扬民族文化的意识。三：教学过程新课导入： 1.彩陶大致出现在什么时代？你能描述那个时代人们的生活场景吗? 关于彩陶的联想，想象舞蹈纹盆中这组人物的装扮，说明他们为什么跳舞。这个彩陶罐的装饰纹样会让你联想到什么? 你能尝试根据彩陶器物的造型和纹样装饰推断其用途,并由此想想、象原始人类的生活情景吗? 新课讲授：尝试:以彩陶蛙纹为参照,用抽象的方式设计两个与之不同的蛙纹图形。总结：通过学习活动我们对彩陶艺术有了什么新的了解和认识。彩陶与我们今天的生活用品的造型装饰有什么相同和不同之处？通过对古代工艺美术继续深入的了解，我们还会有更多新的发现。课后作业：建议按照不同时期、不同题材收集、归类整理彩陶纹样。媒体运用：具象纹样与抽象纹样的彩陶装饰； 2 鱼纹具象、抽象变化；鸟纹具象、抽象变化。

一：教学目标：知识与能力目标：能够辨识青铜器的主要纹饰。方法与过程目标：能够联系时代与社会生活,运用相关美术知识和历史知识赏析青铜器。情感与态度目标：.能够比较、归纳青铜器纹饰的特点,并大胆表述自己的感受。二：教学重难点：通过对彩陶、青铜器、瓷器的欣赏,引导学生初步了解中国工艺美术发展不同时期的现象、历史源流以及审美特点,在学习活动中获得初步的审美经验和鉴赏能力;培养学生学习祖国传统文化艺术的兴趣,增强弘扬民族文化的意识。三：教学过程：新课导入：依据或引用历史资料介绍青铜器。青铜是红铜加锡或铅制作的合金，色相为青，故称青铜。早在夏初,华夏先民就开始制作青铜器,进入中国历史上长达16个世纪的青铜时代。青铜器的造型、纹饰、铭文体现了高度的艺术成就。新课讲授：赏析：后母戊方鼎。用途猜想赏析：四羊方尊青铜器的主要纹饰。收集资料方法讨论简要介绍：青铜器的主要纹饰。 2.尝试描述兽面纹、夔纹、龙纹、凤纹的造型特点。 3.云雷纹、蟠蝙纹作为底纹使器物形成怎样的效果? 莲鹤方壶：识别蟠躏纹:传说中的一种没有角的龙,张口、卷尾、蟠曲。连续排列纹样,一般都作主纹应用,盛行于春秋战国时期。赏析引导:壶身腹部至颈部逐渐收紧,在口部花瓣处展开,烘托立鹤;怪兽、飞龙攀缘向上,形成轻盈升腾的势态。后母戊方鼎与莲鹤方壶比较两件器物,归纳其不同特点和感受。作业与课堂评价：作业及活动建议：尝试用几何形绘制或对折剪贴兽面纹图形。小组或个人为校园网站编辑介绍青铜器的网页。总结·思考：你对青铜器有什么新的了解?青铜器的出现为社会进步带来了哪些变化? 为瓷器欣赏作课前准备，通过博物馆网站收集你喜爱的瓷器资料

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八年级下册教案第一章因式分解第1节多项式的因式分解一、背景介绍因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。二、教学设计【教学内容分析】因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。

【教学目标】 1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。【教学准备】实物投影仪、多媒体辅助教学。【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答） (1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。

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新化十五中学数学教案八年级下册肖志光

第一章直角三角形课题第1章直角三角形 §1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）主备教师使用教师教学目的 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。

3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。教学重点直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。教学难点直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。观察、比较、合作、交流、探索. 教学方法教学课时一个课时教学过程个性化设计一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授（一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习：练习1、（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠ A= ，∠B= 。练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B相等的角有。（二）直角三角形的判定定理1

1、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？” 2、利用三角形内角和定理进行推理 3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。（三）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边AB的长度。（2）找到斜边的中点，用字母D 表示。（3）画出斜边上的中线。（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。求证：（1）ED=EB。 (2)∠EBD=∠EDB。（3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在? 四、小结：这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？ 1、 2、

湘教版美术八年级下册全册资料

第一课《文明之光》第一课时一：教学目标知识和能力目标：1.能够联系时代及社会生活认识彩陶。方法与过程目标：2、能够从时代、造型、纹饰、质地、工艺等方面描述彩陶的特点。情感与态度目标：3、能够运用比较、归纳等方法分析彩陶,并运用相关美术知识和历史知识。二：教学重难点通过对彩陶、青铜器、瓷器的欣赏,引导学生初步了解中国工艺美术发展不同时期的现象、历史源流以及审美特点,在学习活动中获得初步的审美经验和鉴赏能力;培养学生学习祖国传统文化艺术的兴趣,增强弘扬民族文化的意识。三：教学过程新课导入： 1.彩陶大致出现在什么时代你能描述那个时代人们的生活场景吗关于彩陶的联想，想象舞蹈纹盆中这组人物的装扮，说明他们为什么跳舞。这个彩陶罐的装饰纹样会让你联想到什么你能尝试根据彩陶器物的造型和纹样装饰推断其用途,并由此想想、象原始人类的生活情景吗新课讲授：尝试:以彩陶蛙纹为参照,用抽象的方式设计两个与之不同的蛙纹图形。总结：通过学习活动我们对彩陶艺术有了什么新的了解和认识。彩陶与我们今天的生活用品的造型装饰有什么相同和不同之处通过对古代工艺美术继续深入的了解，我们还会有更多新的发现。课后作业：建议按照不同时期、不同题材收集、归类整理彩陶纹样。媒体运用：具象纹样与抽象纹样的彩陶装饰； 2 鱼纹具象、抽象变化；鸟纹具象、抽象变化。

第一课《文明之光》第二课时一：教学目标：知识与能力目标：能够辨识青铜器的主要纹饰。方法与过程目标：能够联系时代与社会生活,运用相关美术知识和历史知识赏析青铜器。情感与态度目标：.能够比较、归纳青铜器纹饰的特点,并大胆表述自己的感受。二：教学重难点：通过对彩陶、青铜器、瓷器的欣赏,引导学生初步了解中国工艺美术发展不同时期的现象、历史源流以及审美特点,在学习活动中获得初步的审美经验和鉴赏能力;培养学生学习祖国传统文化艺术的兴趣,增强弘扬民族文化的意识。三：教学过程：新课导入：依据或引用历史资料介绍青铜器。青铜是红铜加锡或铅制作的合金，色相为青，故称青铜。早在夏初,华夏先民就开始制作青铜器,进入中国历史上长达16个世纪的青铜时代。青铜器的造型、纹饰、铭文体现了高度的艺术成就。新课讲授：赏析：后母戊方鼎。用途猜想赏析：四羊方尊青铜器的主要纹饰。收集资料方法讨论简要介绍：青铜器的主要纹饰。 2.尝试描述兽面纹、夔纹、龙纹、凤纹的造型特点。 3.云雷纹、蟠蝙纹作为底纹使器物形成怎样的效果莲鹤方壶：识别蟠躏纹:传说中的一种没有角的龙,张口、卷尾、蟠曲。连续排列纹样,一般都作主纹应用,盛行于春秋战国时期。赏析引导:壶身腹部至颈部逐渐收紧,在口部花瓣处展开,烘托立鹤;怪兽、飞龙攀缘向上,形成轻盈升腾的势态。后母戊方鼎与莲鹤方壶比较两件器物,归纳其不同特点和感受。作业与课堂评价：作业及活动建议：尝试用几何形绘制或对折剪贴兽面纹图形。小组或

新湘教版八年级下册数学教案2014-2-16

第1章直角三角形 §1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（第1课时）教学目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。教学方法：观察、比较、合作、交流、探索. 教学过程：一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授（一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习：练习1 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B相等的角有。（二）直角三角形的判定定理1 1、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？” 2、利用三角形内角和定理进行推理

3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。（三）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在? 四、小结：这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？ 1、 2、 3、五、课后反思：

湘教版八年级下册数学全册教案

直角三角形的性质主备人：王勇合备人：周谧洋钟猛教学时间：月日第节总第节教学目标知识与技能：1理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理 2 能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用。教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。教学过程一、教学引入 1、三角形的内角和是多少度。学生回答。 2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。 3、等腰三角形有哪些性质？二、探究新知 1、探究直角三角形判定定理： ⑴观察小黑板上的三角形，从∠A+∠B的度数，能说明什么？ ——两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ⑵讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？ 2、探究直角三角形性质定理：

⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。 ⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边的关系。 ⑶ 学生猜想：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 3、共同探究：例已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线。求证：CD=1 2 AB 。 [教师引导：数学方法——倒推法、辅助线] （分析：要证CD=1 2 AB ，先证CD=AD 、CD=AD ，在同一个三角形中证明CD=AD ，必须找∠ACD=∠A ，但是题目中没有我们要怎样做呢？作∠1=∠A 。学生注意在作辅助线时只能作一个量。因此，我们要证明∠1与AB 的交点就是中点。）三、应用迁移巩固提高练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证，这个三角形是直角三角形。已知CD 是ABC ?的AB 边上的中线，且CD=1 2AB 。求证ABC ?是直角三角形。提示：倒推法，要证明ABC ?是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提示，请同学们自己写出证明过程。四、课堂小结 1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。

湘教版数学八年级下册全册单元试卷及答案

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】单元检测卷时间：120分钟满分：120分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( ) A ．4，5，6 B ．2，3，4 C ．1，1， 2 D ．1，2，2 2．若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则它的最长边与最短边的比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．3∶2 D ．4∶1 3．如图，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点 E 是AC 的中点，若BE ＝3，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．无法求出第3题图第4题图 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是( ) A.8 3 3m B ．4m C ．43m D ．8m 5．如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若P A ＝3，则PQ 的最小值为( ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．2 3 第5题图第6题图 6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D ，E ，AE ＝2，则CE 的长为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 7．如图，在△ABC 中，∠AC B ＝90°，A C ＝12，BC ＝5，AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为( ) A ．2 B ．2.6 C ．3 D ．4 8．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2

新湘教版八年级初二下数学知识点合集

欢迎阅读 C B A C B A P F E D C B 2 1A 新湘教版八年级下册数学复习资料一、直角三角形 1、角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF 角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB 2∴3或2a 45 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴ CD=1 2AB 。 ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，如 BC=1 2AB 。 ∴ ③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° Rt ?ABC 中，∵BC=1 2AB ，∴∠ 如图，在2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数） ※1．成中心对称的两个图形是全等. ※2．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. ※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 会画与某某图形成中心对称图形会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中

o B A D C 心对称图形 3、特殊四边形的性质和判定平行四边行性质????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（矩形的性质? ? ??; 2;1）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ ??4、面积公式 ①S 平行四边形=底×高 ②S 矩形=长×宽 ③S 正方形=边长×边长 ④S 菱形＝底×高＝×(对角线的积),即：S=(a ×b)÷2 5、有关中点四边形问题的知识点：（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形； 6、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图：三、图形与坐标 1、有序实数对:一组有顺序的数。记作（a ，b ） y 轴，二象限四象限 0； 0；（0，）上?x y 互为相（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 4、点的对称性：关于什么轴对称什么坐标不变关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标相反；P(x,y)→(x,-y) 关于y 轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相同；P(x,y)→(-x,y) 关于原点对称的点，横、纵坐标都相反；P(x,y)→(-x,-y) D C

湘教版八年级数学(下)知识点汇总

第一章直角三角形一、直角三角形的性质和判定 1?直角三角形：有一个角是直角的三角形。三角形角和等于180° 三角形中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。 2?直角三角形的性质 A. 直角三角形的两个锐角互余。 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 C. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。 D. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°3?直角三角形的判定 A. 有两个角互余的三角形是直角三角形。 B. 如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。二、勾股定理 1?勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2+ b2=c2 2?在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 3. 如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+ b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。三、直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）。 2. 直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等）

1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等。

2?角的部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。第二章四边形一、多边形 1?多边形：在平面，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 A. 组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 B. 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的焦点。 C. 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 D ?相邻两边组成的角叫作多边形的角，简称多边形的角。 2?多边形的角和 n 边形的角和等于(n — 2) *180 ° 3?多边形的外角和 A. 多边形外角的定义：多边形的角的一边与另一边的方向延长线所组成的角。 B. 多边形外角和的定义：在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们的和。 C. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° D. 多边形外角和定理的证明：多边形的每个角与跟它相邻的外角是邻补角，所以 n 边形角和加外角和等于 n*180° 外角和等于 n*180°—( n — 2) *180° =360°。 4?正多边形 A. 在平面，边相等、角也相等的多边形叫作正多边形。 CD 正多边形必须满足：各边相等、各角相等。缺一不可 C 正多边形都是轴对称图形，正 n 边形有n 条对称轴，当n 为偶数时，正n 边形既是轴对称图形也是中心对称图形。二、平行四边形 1?平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。用表示。 2?平行四边形的对边平行且相等、对角相等。 3. 平行四边形的判定： ②各角相等，所以每个角为 (??-2)?180 ° ?? 360 ° 一人宀，每个角为 360 180° ——— n ③各外角相等，外角为

新湘教版八年级下数学知识点大全

C B A c b a C B A D C B A P F E D C B 21A P E D C B A 新湘教版八年级下册数学复习资料一、直角三角形 1、角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF 角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB PE=PF ∴点P 在∠BAC 的平分线AD 上 2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222 a b c +=。求斜边，则c = ；求直角边，则 a = 或 b ②逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。分别计算“22a b +”和“2 c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。 4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、 SSS 、AAS 、HL 。 HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。 5、直角三角形的其它性质直角三角形两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=1 2AB 。 ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

C B A F E C B A 那么它所对的直角边等于斜边的一半如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴ BC=12AB 。 ③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 如图，在Rt ?ABC 中，∵BC=1 2AB ，∴∠ A=30°。 6、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 7、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做中位线。三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半如图，在⊿ABC 中，∵E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，即EF 是⊿ABC 的中位线 ∴EF ∥BC 且EF=2 1 BC 二、四边形 1、多边形内角和公式：n 边形的内角和=(n －2)·180o ；任意多边形的外角和：360 求n 边形的方法： 2 180n = +内角和 n 边形的对角线共有2 ) 3(-n n 条 2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数） ※1．成中心对称的两个图形是全等. ※2．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. ※3．如果两个图形的对应点连线都经过某

新湘教版八年级下数学知识点大全

C B A C B A c b a C B A D C B A P F E D C B 2 1A P E D C B A F E C B A 新湘教版八年级下册数学复习资料一、直角三角形 1、角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF 角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB PE=PF ∴点P 在∠BAC 的平分线AD 上 2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 < 的距离相等。如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222 a b c +=。求斜边，则c a b = ②逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系2 22a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。分别计算“22a b +”和“2 c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。 4、直角三角形全等 ] 方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。 HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。 5、直角三角形的其它性质直角三角形两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=12AB 。 ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半：如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴BC=12AB 。 ③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 如图，在Rt ?ABC 中，∵BC=1 2AB ，∴∠A=30°。 6、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ~ 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 7、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做中位线。三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半如图，在⊿ABC 中，∵E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，即EF 是⊿ABC 的中位线 ∴EF ∥BC 且EF=2 1BC 二、四边形【 1、多边形内角和公式：n 边形的内角和=(n －2)·180o；任意多边形的外角和：360

湘教版八年级数学(下册)教案

1.1 多项式的因式分解教学目标 1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系． 2．感受因式分解在解决相关问题中的作用． 3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。重点与难点重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。难点：对分解因式与整式关系的理解教学过程一、创设情境，导入新课 1 回顾整式乘法和乘法公式填空：计算：(1)2ab(3a+4b-1)=_________, （2）（a+2b ）(2a-b)=__________ (3)（x-2y ）(x+2y)=__________;(4) 2 (32)m n -=_____________ (5) 2 1(a+ )2 n =________ 2 你会解方程：2 10x -=吗？估计学生会想到两种做法：（1）一是用平方根的定义，（2）二是：解：（x+1）(x-1)=0,根据两个因式相乘等于0，必有一个因式等于0，得到：x+1=0或者x-1=0,因此：得x=1或-1 指出：把2 1(+11)x x x --写成）（叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这节课我们来学习这个问题。二合作交流，探究新知 1 因式的概念（1）说一说： 6=2×___, 2 4=2)_____x x -+（, （2）指出：对于6与2，有整数3使得6=2×3，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6的一个因数。类似的：对于整式2 4x -与x+2,有整式x-1使得2 4=2)(22)x x -+-（，我们把x+2叫多项式24x -的一个因式，同理，x-2也叫多项式2 4x -的一个因式。你能说说什么叫因式吗？一般地，对于两个多项式f 与g,如果有多项式h 使得f=gh,那么我们把g 叫f 的一个因式，同样，h 也是f 的一个因式。

湘教版美术八年级下册期中测试题及答案

湘教版美术八年级下册期中测试题学校______ 班级_______ 姓名_______ 成绩（等级）_______ 一、美术理论题（30分）：（一）、填空题（共16分，每空2分）： 1、（）是中国人物画艺术表现最突出的特征，注重刻画人物神情，（）合一，“妙在（）”之间。 2、以多幅图画连续叙述一个故事或事件发展过程的绘画形式叫（），通常采取图文结合的形式，又叫“小人书”。 3、抽象画的的创作手法有（）、（）、（）和（）。（二）、连线题：（5分）《韩熙载夜宴图》（国画）张择端（宋）《挖耳图》（国画）齐白石（现代）《乐女》（国画）林风眠（现代）《九方皋》（国画）徐悲鸿（现代）《清明上河图》（国画）顾闳中（五代）（三）、问答题（9分）：请分别列举三件彩陶、青铜器和瓷器艺术作品。二、绘画技能题（70分）： 1、尝试创作一幅水墨人物画。 2、为你喜欢的某个故事配副插图。 3、用三至六副系列作品画出某个故事，并配有文字说明。 4、以分解和组合的方法，尝试制作或绘制一幅主题为“小提琴”的拼贴或绘画作品。 5、创作一幅个性化的风景画。以上题目任选其一完成即可。

参考答案：一、美术理论题（30分）：（一）、填空题（共16分，每空2分）： 1、以形写神、形似与神似、似与不似 2、连环画或组画 3、省略、夸张、分解、组合（二）、连线题：（5分）《韩熙载夜宴图》（国画）顾闳中（五代）《挖耳图》（国画）齐白石（现代）《乐女》（国画）林风眠（现代）《九方皋》（国画）徐悲鸿（现代）《清明上河图》（国画）张择端（宋）（三）、问答题（9分）：请分别列举三件彩陶、青铜器和瓷器艺术作品。每一类列举三个，三类九个。备注：美术理论题，有错别字或字体不规范不得分。二、绘画技能题（70分）：根据作品实际质量分为四个等级： A、（65分-70分）； B、（55分-64分）； C、（42分-54分）； D、（42分以下）。

湘教版初中美术八年级上册《我喜爱的书》教学设计

《我喜爱的书》教学设计一,教材分析本课属于"设计·应用"类型课.把书封设计的学习与装饰学生自己喜爱的书结合,通过设计自己喜爱书籍的封面《我喜爱的书》,掌握书籍封面设计的基本技巧,培养其设计意识.编者没有沿袭传统的以具象图形为主的设计形式,而是强化了借助文字图形这个相对抽象的设计元素进行书籍封面设计的思路,突出以文字组合,变化,构成为主的设计方式.更多以文字造型,大小变化,位置安排,色彩搭配及组合图形等方面来考虑设计,试图把文字作为一种独立的视觉图形进行设计处理,让学生从中体会到封面设计的一般性规律及表现要领.这种设计元素的单纯化,抽象化处理,可以促使学生更易于接受与掌握封面设计的规律性知识.在学习封面设计的同时,本课侧重于提高学生字体设计的能力. 教材以学生作市场调查的图片导入,让学生到书店选购书籍,观摩书籍封面,并将自己喜爱的书籍封面介绍给大家.通过调查,交流丰富学生对书籍封面的认识,在交流不同表现形式的书封设计资料的同时,教材提供了相关图例,使学生讨论时根据类别有所对照.教材还提供了书籍封面的展开图片,使学生了解到完整的书封设计是封面,书脊,封底的统一设计,在设计时要认真综合考虑.文字的主次,疏密,虚实关系,以及文字的其他各种设计处理都直接关系到整个设计的效果,分析时应加以强调.教材对文字的版式组织布局也给予了重点关注.把学习内容分为两个部分,其一是采用对称或均衡的布局形式设计书籍封面,其二是利用非均衡的布局形式设计具有个性的书籍封面,并提示可设计系列书封,教材提供了相对应的图例,P3下图还对图例进行了简要分析,使学生获得更多信息.教材主体部分提供了学生学习过程中的相关照片,对设计制作时运用的材料,手法给予一定提示,用作学生参考. 教材设置的"活动一"是一个为其后续活动开展设置的教学准备活动,教师应当在课前提示学生更为明确的活动要求与方法引导,帮助学生从生活实际中获得书籍封面设计优劣与市场销售状况之间某种内在联系的调查结果.让学生亲身感受到书籍封面对于书籍的重要性,从而激发主动学习的兴趣. 考虑到封面设计均衡与否不宜成为前后两个活动最为重要的区分点,教材"活动二"与"活动三"的设置在实际教学中或许会遇到一些操作上的困难.因为两种版式布局都属于同一知识层面,只是一个问题的两个方面,没有知识侧重与难度上的明显变化,如果调整为"活动一"侧重封面版式形式美的学习,"活动二"注重形式与内容有机结合的封面设计,则更能体现教学的梯度和活动之间的内在逻辑与知识升华,也更易于明确两个活动的不同教学侧重点. "评价建议"一栏学生可以进行自我评价,教师也可以根据学生学习实际状况灵活设计,既要关注学生知识与技能的理解与掌握,更要关注他们情感与态度的形成和发展过程. "资料库"中对"封面设计"给予了解释,同时提供一些印刷字体资料,给学生设计带来帮助.如果能有一些作为图形处理的字体设计,或许更能体现对教材主体的支持与呼应."学习大空间"中针对封面设计的一些相关知识进行介绍,让学生了解书籍装订的形式.并提供特殊效果的书籍封面设计图片,开阔了学生视野.在现代设计中,许多的招贴设计比书籍封面设计更多运用了把文字作为图形设计的表现方法.如果能够在此展示几件此类作品,进行提示,不但可以直接拓展学生的设计思路,开阔学生学习视野,还可以为课堂教学引入新的教学资源指明方向. 二,教学目标

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