习题解答(第7章)
7（A ）
三、解答题
1. 设总体X 服从几何分布，分布律为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X P k ，(10<
矩估计量． 解：因为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X P
k ，所以X 的一阶矩
.1)1(1)1(11))1(()
1(}{)(2/
/
'
1
1
1
1
p p p p p p p p p p p p p k k X kP X E n
k k n
k k n
k =--=??
????--=??????----=--=-===∑∑∑==-=
用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到,1
p
X
=
所以
p 的矩估计量为.1?X
p
= 2. 求均匀分布),(~b a U X 中参数b a ,的矩估计量．
解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，总体X 的一阶、二阶矩分别为
2
)(1b
a X E +=
=μ μ2 = E (X 2
) = D (X ) + [E (X )] 2
= 3
)2(12)(2
222b ab a b a a b ++=
++-
用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到
??
???
++=
+=322
221b ab a A b a A 解得b a ,的矩估计量为
∑∑==--=--=--=n i i n i i X X n X X X n A A A A a 1
2212
212
1
21)(33333? ∑∑==-+=-+=-+=n i i n i i X X n X X X n A A A A b 1
2212212121)(33333? 3. 设总体X 的概率密度为
||2
1);(θθ--=
x e x f ，∞<<∞-x 1,,n X X 是来自X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量．
解：总体X 的一阶为
θθθμθ
θθ
θθ
θ
θθθθθθθ
θθ
θθ
θθθθ=-+-=+--=
-=+=
==?
???
?????∞
+--∞
--∞
-∞
+--∞
+---∞--∞
+--∞--+∞
--∞
--+∞
∞---)
()
()
()()()()
()
()
()
(||12121212121|2121|2121212
12121
)(x x x x x x x x x x x de de dx e xe dx e xe xde xde dx e x
dx e x dx e x X E
用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到.?X =θ
4. 设总体
X
的概率密度为?????≥=--其它
,
0,1
);(/)(μθ
θμx e x f θ
x ，其中μθθ),0(>是未知参数，
1,,n X X 是来自X
的简单随机样本，求θ和μ的矩估计量．
解：总体X 的一阶为
.|1
)(/)(/)(/)(/)(/)(1μθθ
μθ
μμ
μμ
μμ
μθ
μ
μμ
μ+=-=+
-=-==
=?
???∞
+--∞
+--∞
+----+∞
--θ
x θ
x θ
x θ
x θx d e d x
e xe
xd e d x
e x
X E
总体X 的二阶为
2
22
22/)(/)(2
/)(2/)(2
2
2)(22)(22|1
)(θθμθ
θμμμθθμθ
μμ
μμ
μθ
μ
μμ
μ++=++=++=
+
-=-==
=???∞
+--∞
+----+∞
--d x
xe e x d e x d x
e x X
E θx θ
x θ
x θx
用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到
???++=+=222
1)(θμθμθA A
解得θ和μ的矩估计量为
∑=-=-=n i i X X n A A 1
22
1
2
)(1?θ，
∑=--
=--=n
i i X X n X A
A A 1
22
1
21)(1?μ
.
5. 设),(~p m B X
，m
已知，10
<
的简单随机样本，求
p 的最
大似然估计量．
解：由于X 的分布律为
m
k p p C x X P k m k
k m ,...,1,0,)1(}{=-==-
基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为
i
i
x m n
i x x
m
n p p C p x x x L p L -=-==∏)
1();,...,,()(1
21,)
1(1
1
1
∏=-
∑-∑
===n
i x m
x nm x i n
i i
n
i i
C
p p
,ln )1ln(ln )(ln 111∑===+-??? ??∑-+??? ??∑=n
i x m n
i i n i i i
i C p x nm p x p L
,01)(ln d d 1
1=-∑--∑===p
x nm p x p L p n
i i
n i i 令
解得.11m
x
x nm p n i i =∑==
,0)1()(ln d d 2
1
212
2<-∑--∑-===p x nm p x p L p n
i i
n i i 注意到： p 的最大似然估计值为.1?1m
x
x n p
n i i =∑== p 的最大似然估计量为.?m
X p
= 6. 设总体X 的概率密度为
??
?<≥=-0,
00
,);(x x e x f x θθθ，今从X 中抽取10个个体，得数据如下: 1050 1100 1080 1200 1300 1250
1340
1060
1150
1150
试用最大似然估计法估计θ．
解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为
????
?≥∑====-=∏
其它
,
00,...,,,);();,...,,()(211
211
n x n n
i i n x x x e x f x x x L L n
i i
θθθθθ
当0,...,,21≥n
x x x 时，∑=-=n
i i
x θn L 1
ln )(ln θθ，令
0)(ln 1
=∑-==n
i i x n L d d θθθ， 解得
x
x n
n
i i
1
1
=
∑=
=θ． 考虑到
0)(ln 2
22<-=θθθn
L d d 所以，θ的最大似然估计值为
x
1
?=
θ 将数据代入计算，θ的最大似然估计量为=θ
?0.000858
7. 设某电子元件的使用寿命X 的概率密度为
??
?≤>=--,,
0,
,2);()(2θθθθx x e x f x 0>θ为未知参数，n x x x ,...,,21是X
的一组样本观测值，求θ的最大似然估计值．
解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为
????
?>∑==
==--=∏
其它
,
0,...,,,2);();,...,,()(21)(21
211
θ
θθθθn x n n
i i n x x x e x f x x x L L n
i i
容易看出θ越大L (θ)越大，在约束θ>n x x x ,...,,21下，},...,,min{?21n
x x x =θ
即为θ最大似然估计值。
8. 设21,X X 是取自总体N (μ，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为μ的无偏估计量，并确定最有效的一个．
213132X X +，214
3
41X X +，().2121X X +
证明：因为21,X X 独立均服从N (μ，1)，且
,31
32)(31)(32)3132(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E ,4
3
41)(43)(41)4341(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E . ,)()21
21(21μ==+X E X X E 所以213132X X +，214
3
41X X +，().2121X X +均为μ的无偏估计量。又因为
,9109199)(91)(94)3132(2121=+=+=+X D X D X X D ,8
5169161)(169)(161)4341(2121=+=+=+X E X E X X D ,2
12)()()21
21(21===+X D X D X X D 所以().2
1
21X X +最有效。
9. 设总体X 的数学期望为μ，1,,n X X 是来自X 的简单随机样本．n a a a ,,,21 是任意常数,证
明
)0(1
1
1
≠∑∑∑===n
i i
n i i
n i i
i
a
a X a 是μ 的无偏估计量．
证明：因为X i 的数学期望均为μ，所以
,)
()(1
1
1
1
1
1
μμ==
=∑∑∑∑∑∑======n
i i
n i i
n
i i
n
i i i
n i i
n
i i
i a
a a
X a
E a X a E
故
)0(1
1
1
≠∑∑∑===n
i i
n i i
n i i
i
a
a X a 是μ 的无偏估计量．
10. 设总体21~(,),,,n X
N X X μσ 是来自X 的一个样本．
(1) 试确定常数c ，使∑-=+-1
1
21
)(n i i i X X
c
为σ 2的无偏估计;
(2) 试确定常数c ，使)(22
cS X -为μ 2的无偏估计．
解：（1）因为
2
11
21
11
1
22
1
1
2
2
2
11
1
1
2
1
1
1211
1
1
1
21
1
12111
1
1
2
11
12111
21)1(2)2()
)(2)(()
)()()(2)(()()()(2)(()
2())((σ
σμσ
μ
μσ
-==++
-+=+
-=+
-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=++-=-=-=++-=-=-=++-=+n c c c X
E X E X E X E c X
E X E X E X E c X
X X X E c X X c E n i n i n i n i n i n i i
i n i i i n i n i i
i n i i i n i n i i
i n i i i n i i i
所以当)1(21-=n c 时∑-=+=-11221))((n i i i X X c E σ，∑-=+-1
1
2
1)
(n i i i X X c 为σ 2的无偏估计。
（2）因为
2
22
22222)()()()()()(σ
μσc n
X cD X E X D S cE X E cS X E -+=
-+=-=-
所以当n
c
1=
时222)(μ=-cS X E ，)(2
2cS X -为σ 2的无偏估计。 11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为
6.0，5.7，5.8，6.5，
7.0，6.3，5.6，6.1，5.0
设干燥时间总体服从N (μ ，σ 2)；在下面两种情况下，求μ 的置信水平为0.95的置信区间． (1) 由以往的经验知σ = 0.6 (小时); (2) σ 未知．
解：（1）由于σ = 0.6，求μ 的置信区间由公式??
?
?
?+
-
22,αασ
σ
z n X z n
X
计算， 其中n=9，α=0.05，==025
.02
z z α 1.96，691
9
1
==∑=i i x x ，代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为
（5.608，6.392）.
（2）由于σ 未知，求μ 的置信区间由公式???
? ?
?-+
--
)1(),1(22n t n S
X n t n
S X
αα计算，
其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，69191
==∑=i i x x ，33.0)(11212
=--=∑
=n
i i x x n s ，
代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）
12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．
解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的置信区间为???
? ?
?-+
--
)1(),1(2n t n S
X n t n
S X αα，
其中n=9，α=0.01，3554
.3)8()8(005.02==t t α
，0056.1919
1
==∑=i i x x ， 0006.0)(1121
2
=--=∑=n
i i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.
13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间．
解：设X ~N (μ,σ2),由于σ未知，μ 的置信区间为
?
??
? ??-+--)1(),1(22n t n S
X n t n S X αα， 其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，11.1141919
1
==∑=i i x x ， 11.8136)(1121
2
=--=∑=n
i i x x n s 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.
14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．
解：设X ~N (μ , σ2
),由于μ未知，σ2
的置信区间为?
??
? ??-----)1()1(,
)1()1(221222n S n n S n ααχχ 其中n =8，α=0.01，9892
.0)7()1(,2777
.20)7()1(2
995.022
12
005.022χχχχαα=-==--n n ，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.
15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布．
解：设X ~N (μ , σ2
),由于μ未知，σ2
的置信区间为?
??
? ??-----)1()1(,
)1()1(2212222n S n n S n ααχχ 其中n =5，α=0.05，4844
.0)4()1(,1433.11)4()1(2
975.02212025.022==-==--χχχχααn n ， 35151
==∑=i i x x ，815.0)(11212
=--=
∑
=n
i i x x n s ， 代入计算得方差的置信水平为95%的置信区间为（0.29，6.73）.
16. 设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布．试验数据如下: 使用第一种药物 5.1,17,142
111===s x n 使用第二种药物
8.1,19,162222===s x n
假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差21μμ-的置信水平为99%的置信区间．
解：设两正态总体分别为X ~N (μ1 , σ12)，Y ~N (μ2 , σ22)，由于σ12= σ22未知，12
μμ-的置信区间为
???
? ?
?
+
-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α，
其中
5.1,17,142111===s x n 8.1,19,162222===s x n
2887.12
16148
.1155.1142
)1()1(212
2
2211=-+?+?=
-+-+-=
n n s n s n s w
查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.005(28) = 2.1199．故得21μμ-的置信水平为0.99的置信区间为
（-3.3，-2）．
17. 测得两个民族中各8位成年人的身高（单位:cm ）如下 A 民族：162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 158.4 160.2 162.2 B 民族：175.3 177.8 167.6 180.3 182.9 180.5 178.4 180.4
假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差μ1 – μ2的置信水平为90%的置信区间． 解：由于总体方差相等但未知，可采用
???
? ?
?
+
-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α
计算μ1 – μ2的置信区间．其中，由两个民族的观测数据计算得
63.29,61.163,8211===s x n
41.22,9.177,82
22===s y n
1.52
8841
.22763.2972
)1()1(212
2
2211=-+?+?=
-+-+-=
n n s n s n s w
查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.05(14) = 1.761．故得μ1 – μ2的置信水平为0.90的置信区间为(-18.78，-9.80)．
18. 工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)，μ1，μ2，σ12，σ22均未知，今测得部分钻孔深度（单位:cm ）如下
工人操作： 4.02 3.94 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 机器人操作: 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00 试求2
2
2
1
σ的置信水平为0.90的置信区间．
解：由于μ1和μ2未知，可采用???
? ??-----)1,1(1,
)1,1(12121221212221n n F S S n n F S S αα计算2221/σσ的置信区间．
由两样本观测值计算得0189.0,7211==s n ，00017.0,82
22==s n ，α = 0.1，查F 分布的分位
数表知
F 0.05(6,7) = 3.87，F 0.95(6,7) =
24.021
.41
)6,7(105.0==F
故得2
2
21/σσ的置信水平为0.95的置信区间为 )39.46,853.2(24.0100017.00189.0,87.3100017.00189.0=??
? ????．
19. 求12题中μ的置信水平为0.95的单侧置信区间下限．
解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的的单侧置信下限可由下面公式计算得到
)1(--
=n t n
S
X αμ 其中n=9，α=0.01，8595.1)8()8(05.0==t t α，0056.19191
==∑=i i x x ， 0006.0)(1121
2
=--=∑=n
i i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为95%的单侧置信下限：
8595.13
0006
.00056.1?-
=μ=0.99 20. 求14题中香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的单侧置信区间置信上限． 解：由于X ～N (μ，σ2)且μ未知，σ 2的单侧置信上限为)
1()1(2
122
--=-n S n αχσ 其中n =8，α=0.01，=
=--)7()1(2
99..021χχαn 1.239，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为99%的单侧置信区间置信上限为54.32239
.14.2722
=?=σ.
21. 设总体),(~2
σμN X ，已知0σ
σ=，要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间长度不大于
L ，问应抽取多大容量的样本？ 解：由于),(~2
σμN X ，已知0σ
σ=，总体均值μ
的置信水平为1α-的置信区间为
???
?
?
?
+-2
020,αασσz n X z n X
令置信区间为长度
L z n
≤202ασ，解得22
/0)(
4L
z n ασ≤.