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中考数学压轴题大集合

一、函数与几何综合的压轴题

1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.

(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于

E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.

[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴

,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''

又∵DO ′+BO ′=DB ∴

1EO EO AB DC

+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵

DO EO DB AB ''=，∴2

316

EO DO DB AB ''=?=?=

∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上

图①

图②

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ②

联立①②得0

2x y =??=-?

》

∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上

（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）

E （0，-2）三点，得方程组426

32a b c a b c c -+=-??

++=-??=-?

解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2

（3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同（1）可得：

1E F E F

AB DC

''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?=

，∴1

3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112

2223

DC DB DC DF DC DB ?-?=?

（

DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式

方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11

32322

BD E F k k '=

?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.

证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2

同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221

3992

AE C ABCD S S AB CD BD k '?=

=?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.

2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直

径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.

;

（1）求点A 的坐标；

（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线并对你的结论加以证明；

（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若

21h

S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.

[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，

在Rt △AOM 中，AO ＝

122=-OM AM ，

∴点A 的坐标为A （0，1）

（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0）， AB ＝2112

222=

+=+AO BO

，

在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2

222224)2()2(BM AM AB ==+=+

∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线

（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝

10)22()2(2222=+=+AC AB

∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，

∴π

ππ2

5)210()2(221=?=?=BC S

而πππ2)222()2(2

22=?=?=AC S

421h S S = ，5,4225

=∴=h h 即 ππ

设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：

y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5 ;

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5

解法二：（接上）求得∴h ＝5

由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物

线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）

∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5

又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5

∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5

因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）

由已知得???

??-===?????==?????????

±=-=+-=++5

055c 0b 5544002c b a a a

b a

c c b a c b a 或＝－解得

∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.

￥

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2

>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒

AB 的长； (2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD

不存在，请说明理由.

[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.

在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120°

⌒

AB 的长＝

42180120π

π=

???? 、

（2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3.

又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0），由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，则C(1，－3).

点A 、B 、C 在抛物线上，则

???

????++=-+-+-=++++=c b a c b a c b a 3)31()31(0)31()31(02

2 解之得?????-=-==2

c b a ∴抛物线解析式为222--=x x y

（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD. 又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）.

又点D （0，－2）在抛物线222

--=x x y 上，故存在点D （0，－2），

)

使线段OC 与PD 互相平分.

4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0

在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径

的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系并证明你的猜想.

（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形若存在，求出P

[解] (1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，

∴△AOC ≌△COB . ∴OC 2＝OA ·OB .

∵OA ∶OB ＝3∶1,C

∴23.OB OB = ∴OB ＝1.∴OA ＝3.

∴A (-3,0),B (1,0).

设抛物线的解析式为2

.y ax bx c =++

则930,0,a b c a b c c ?-+=?++=??

解之，得,3a b c ?=-?

=???=??

∴经过A 、B 、C

三点的抛物线的解析式为2y x =- (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切. 证明：连结O 1E 、OE 、OF .

∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°,

∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切.

同理：EF 理⊙O 2相切.

(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA ,

∴△CMN ∽△CAO .

∴

.MN CN

AO CO

= …

∴

3a =

解之，得a =

此时，四边形OPMN 是正方形.

∴3

MN OP ==

∴(P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形，

∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形.

故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且

(P 或(0,0).P 5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(

415，8

23)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点．

(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；

(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向请说明理由；

(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)

[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=2

x 将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=823边=21×415+1=8

，

∵左边=右边，∴点E 在直线y=2

x +1上，即点A 、C 、E 在一条直线上.

（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下

解法二：∵抛物线

y=ax 2+b x +c

的顶点P 的纵坐标为a

b a 442

—，且P 在矩形ABCD 内

部，∴1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—a

b 42

＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.

由方程组

y=ax 2—6ax +1

x +1 得：ax 2—（6a +

）x =0 （3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴

21GO ·AO —2

FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=

＜0，∴x 1＜0＜x 2， ∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6，即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—a

=6， ∴b= —6a ,

∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—

＜a ＜0. ~

∴x =0或x =

a a 21

=6+a

21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有：0＜6+

a 21≤415，解得：—9

≤a ＜—121 综合得：—

92＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴21＜b ＜3

6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙A 的半径；

（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；

（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.

[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90o

再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2

(2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx

任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45o可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x

又由r

＝，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1 ∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x

……6分

(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分 ∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)

(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2，当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝

22(2)()

m m m m --=-

同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；

∴S ＝22

2(02)2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<

2(20)2(20)

m m m m m m m ?+<->?---<

…

7.（2006江苏连云港）如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=

m x x

y 的图像交于A 、

B 两点，且与x 、y 轴分别交于

C 、

D 两点．

（1）若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．

[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，

由AOB COD S S ??=2，得)(2BOD AOD COD S S S ???-=

∴2

1·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21

·OD ·2y )，

(21y OC -=又4=OC ，∴8)(2

21=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ，由x m

y =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①

∴421=+y y ，km y y -=?21，

∴8416=+km ，即m

k 2

=．又方程①的判别式08416>=+=?km ，！

∴所求的函数关系式为m

k 2

-=)0(>m ．

（2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=．

∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?，∴

PN AM =

． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(212

1=+--y y y m y m ，即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②

由（1）知421=+y y ，221=?y y ，代入②得01282=+-m m ，

∴2=m 或6，又m k 2-=，∴???-==12k m 或??

?-==316k m ， ∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且???-==12k m 或??

?-==316k m ．，

8.（2004江苏镇江）已知抛物线2

(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点

1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.

（1）求抛物线和直线BC 的解析式.

（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC .

（3）若

P 过A 、B 、C 三点，求P 的半径.

（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ?被直线BC

分成面积比为13:的两部分若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理

由.

[解]（1）由题意得：12122155

,, 6.m x x x x x x m m

--+=

?=-= 2

21212520

()436,36,m x x x x m m -??+-=+

= ???

解得1251,.7

m m ==-

经检验m =1，∴抛物线的解析式为：2

4y x =+或：由2

(5)50mx m x ---=得，1x =或

5x m

0,m

16, 1.m m

-∴-

=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-

由2

450x x +-=得125, 1.x x =-=

∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 则5,5,

0. 5.

b b k b k =-=-??∴?

+==?? ~

∴直线BC 的解析式为5 5.y x =-

(2)图象略.

（3）法一：在Rt AOC 中，

5,45.OA OC OAC ==∴∠=?

90BPC ∴∠=?.

又BC ==

∴

P 的半径2

PB == 法二：

由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线2

45y x x =+-的对称轴直线2

x =-上，设P （－2，－h ）（h ＞0），

连结PB 、PC ，则222222

(12),(5)2PB h PC h =++=-+，

由22

PB PC =，即2222

(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.

(2,2),P P ∴--∴的半径PB ==.

法三：延长CP 交

P 于点F .

CF 为P 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=? 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴

,.CF AC AC BC

CF BC OC OC

?∴

=∴=

又AC ==5,CO BC ===∞

CF ∴=

P ∴

（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2

(,45),t t t +-则点E 的坐标为(,55).t t -

}

若13,MEB

ENB

S S

=则13.ME EN =

34,45(55).3EN MN t t t ∴=∴+-=-

解得11t =（不合题意舍去），25,3t =540,.39M ??

∴ ???

若31,MEB

ENB

=则31.ME EN =

214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-

解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴

∴存在点M ，点M 的坐标为540,39??

???

或（15，280）.

9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.

(1) [

(2)

若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标.

(3) 求直线DF 的解析式.

(4) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，

∴1

1)3(-=?-m ，m =3.

∴抛物线为322

+--=x x y . 又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. &

∴D 点坐标为)41(，-.

(2) 由题意知：AB =4.

∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ，

（第9题图）

∴NC ×4=2×2. ∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.

设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF . ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 。可得CP =8.

∴P 点坐标为)17(-，

设直线DF 的解析式为b kx y +=

则???-=+=+-174b k b k 解得???????=-=8

278

5b k

∴直线DF 的解析式为：8

85+-=x y

(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=，则1311-=+b k ，∴1311--=k b .

由方程组?

??+--=--=32132

11x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=?，

…

∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.

10.（2004山西）已知二次函数2

y x bx c =

++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.

（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

[解] （1）解：∵二次函数21

y x bx c =++的图象过点A （－3，6），B （－1，0）

得9

362102

b c b c ?-+=????-+=?? 解得132b c =-???=-??

∴这个二次函数的解析式为：21322

y x x =

-- 由解析式可求P （1，－2），C （3，0）画出二次函数的图像

（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°

又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC ∴

DC PC

BC AC

易求4AC PC BC === ∴43DC = ∴45333OD =-= ∴5,03D ??

???

解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.

设抛物线的对称轴交x 轴于F.

亦可证△AEB ∽△PFD 、

∴

PE EB

PF FD

. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2 ∴23FD = ∴25133OD =+= ∴5,03D ??

???

（3）存在.

（1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T

∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM 又∵MC =且OM ＋MC ＝OC

∴

3,3OM OM +==得

∴()

3,0M

—

（2°）在x 轴的负半轴上，存在一点M ′

同理OM′＋OC ＝M′C

，OM OC ''+=

得

3OM '= ∴M ′()

3,0- 即在x 轴上存在满足条件的两个点.

11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）.

（1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；

（2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

[解] （1）322--=x x y ，顶点坐标为（1，－4）.

（2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3），即y ＝ax 2－2ax －3a ，

∴ A （－1，0），B （3，0），C （0，－3a ），

￥

M （1，－4a ）， ∴ S △ACB ＝

×4×a 3-＝6a ，而a ＞0， ∴ S △ACB ＝6A 、作MD ⊥x 轴于D ，

又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝21·1·3a ＋21（3a ＋4a ）－2

1·2·4a ＝a ， ∴ S △ACM ：S △ACB ＝1：6.

（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ，有菱形可知k a +＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0， ∴ k ＝2

， ∴ y ＝ax 2－2ax ＋

， ∴ 2=EF . 【

记l 与x 轴交点为D ，

若∠PEM ＝60°，则∠FEM ＝30°，MD ＝DE·tan30°＝6

， ∴ k ＝－

66，a ＝3

6， ∴ 抛物线的解析式为6

6326312+-=

x x y . 若∠PEM ＝120°，则∠FEM ＝60°，MD ＝DE·tan60°＝2

， ∴ k ＝－

，a ＝6， ∴ 抛物线的解析式为2

66262+

x x y . ②当抛物线开口向下时，同理可得

666326312-+-

=x x y ，2

66262

-+-=x x y . 12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx k =-4的图象与

x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2

经过O 、A 两点。

（1）试用含a 的代数式表示b ；

（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠POA OBA =4

若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

[解] （1）解法一：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A

∴点A 的坐标为（4，0）

∵抛物线y ax bx c =++2

经过O 、A 两点 ∴=+=c a b 01640，

∴=-b a 4

解法二：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为（4，0） ;

∵抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点 ∴抛物线的对称轴为直线x =2

∴=-

=x b

22 ∴=-b a 4

（2）由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO

又由（1）知抛物线的解析式为y ax ax =-2

4 ∴点D 的坐标为（24，-a ） ①当a >0时，

、

如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为⌒

OmA ，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA ⌒

，

显然OnA ⌒

所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D 也关于x 轴对称 ∵点O 在⊙D'上，且⊙D 与⊙D'相切 ∴点O 为切点 ∴D'O ⊥OD

∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45° ∴△ADO 为等腰直角三角形 ∴=OD 22

∴点D 的纵坐标为-2

∴-=-∴==-=-421

a a

b a ， ^

∴抛物线的解析式为y x x =-12

②当a <0时，同理可得：OD =22 抛物线的解析式为y x x =-

+12

综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =

-12

或y x x =-+1

（3）抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得∠∠POA OBA =4

设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①当点P 在抛物线y x x =

-12

上时（如图2）

∵点B 是⊙D 的优弧上的一点【

∴=

=?∠∠OBA ADO 1

245 ∴==?∠∠POA OBA 4

过点P 作PE ⊥x 轴于点E

∴=

∴

=?∴=tan tan ∠POE EP OE

y x

603

由y x y x x ==-???

?31222

解得：x y x y 1122

42364300=+=+?????==???，（舍去） ∴点P 的坐标为()

423643++， ②当点P 在抛物线y x x =-

+12

上时（如图3）

同理可得，y x =3

由y x y x x ==-+???

?31222

解得：x y x y 1122

42364300=-=-+?????==???，（舍去） ·

∴点P 的坐标为()

423643--+，综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为 ()423643++，或()

423643--+，

13.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙O 1经过坐标原点O ，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B 。

（1）如图，过点A 作⊙O 1的切线与y

轴交于点C ，点O 到直线AB 的距离为123

sin 55

ABC ∠=，，求直线AC 的解析式； y

O 1

O A x

(新)中考数学--选择题压轴题(含答案)

题型一选择题压轴题类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3

4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交

矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学压轴题100题精选【含答案】

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

中考数学压轴题(选择填空)

中考数学压轴题解题技巧数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

中考数学几何压轴题

1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值；（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的

等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数；（2）求证：AB ＝BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o．求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．．为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F

解答下列问题：（1）直接写出当x ＝3时y 的值；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？（4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1

中考数学选择题压轴题汇编

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1）去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A，【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键．由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18．故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m

中考数学几何选择填空压轴题精选配答案

中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：

初中中考数学压轴题及答案-中考数学压轴题100题及答案

中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交 AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM A B C D E R P H Q

＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于 4 3 ，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围 . P 图 3 B D 图 2 B 图 1

中考数学压轴题专题复习——旋转的综合含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.

∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜

中考数学几何综合圆的综合大题压轴题

圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；（2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．

3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）与是否相等？请你说明理由；（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．

5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．（1）求证：∠ACD＝∠F；（2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

河北省中考数学压轴题汇总

2010/26．（本小题满分12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=．探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ；拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0）

2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

2020中考数学压轴题100题精选（附答案解析）【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

中考数学压轴题解题技巧竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。

中考数学选择题压轴题汇编

年中考数学选择题压轴题汇编

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3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1）去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-；解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ，【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键．由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）

中考数学压轴题几何代数综合题(PDF版)

第三课时几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4．在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=．（3）存在．理由如下：

数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版)之欧阳语创编

【最新】中考数学压轴题大全（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝1 2 时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P=1 2时，y=x＋() 1 100 2 x -,即 y=150 2 x+。

∴y 随着x 的增大而增大，即P=12 时，满足条件（Ⅱ）……3分又当x=20时，y= 1 100502 ?+=100。而原数据都在20～ 100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12 时，这种变换满足要求；……6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a ）h≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。如取h=20,y=()220a x k -+,……8分 ∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y 随着x 的增大…10分令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ② 由①②解得116060 a k ? = ???=?， ∴()2 12060160 y x = -+。………14分 2、（常州）已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数k y x =图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k y x =图

2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(广西专版)(解析卷)

2018年全国各地中考数学压轴题汇编（广西专版）几何综合参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．（2018?广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（） A．B．C．2D．2 解：过A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC的面积为=， S扇形BAC==π， ∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D． 2．（2018?桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△

ABF，连接EF，则线段EF的长为（） A．3 B．C．D．解：如图，连接BM． ∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE=AD，∠MAD=∠MAE． ∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF=AM，∠FAB=∠MAD． ∴∠FAB=∠MAE ∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE=∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF=BM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=AB=3． ∵DM=1， ∴CM=2． ∴在Rt△BCM中，BM==， ∴EF=，故选：C．解法二：如图，过E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，则∠AHG=∠MGE=90°，由折叠可得，∠AEM=∠D=90°，AE=AD=3，DM=EM=1， ∴∠AEH+∠MEG=EMG+∠MEG=90°， ∴∠AEH=∠EMG， ∴△AEH∽△EMG，

中考数学压轴题100题精选

我选的中考数学压轴题100题精选【001 】如图，已知抛物线2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线 OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形直角梯形等腰梯形（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小并求出最小值及此时PQ 的长． ! , 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t

(新)中考数学--选择题压轴题(含答案)

题型一选择题压轴题类型一选择几何压轴题 1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，AB ＝2，BC ＝4，点E 是直线BC 上的点，点F 是直线CD 上的点，连接AF ，AE ，EF ，点M ，N 分别是AF ，EF 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为（） B.√?1 C.√32 －√ （第1题）（第2题） 2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝4，AC ＝2√11，若直线l 满足：①点A 到直线l 的距离为2；②直线l 与一条对角线平行；③直线l 与菱形ABCD 的边有交点，则符合题意的直线l 的条数为（） 3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，BD ＝5.若点P 在四边形ABCD 的边上，则使得△PBD 的面积为3的点P 的个数为（）（第3题）（第4题） 4.如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的动点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP.若AB ＝4，AD ＝3，则DP 的长的最小值为（） A. √13?2 B.√13?42 C.32 5.如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是⊙O 上的一个动点，∠ACB ＝90°，腰AC 、斜边AB 分别交⊙O 于点E ，D ，分别过点D ，E 作⊙O 的切线，两线交于点F ，且点F 恰好是腰BC 上的点，连接OC ，OD ，OE.若⊙O 的半径为2，则

OC的长的最大值为（） √2＋1 C.√5＋1 （第5题）（第6题） 6.如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F在AD边上，点M，N分别是CD，BC边上的动点.若AB＝AF=2，AD=3，则四边形EFMN周长的最小值是（） +√13√2+2√5 +√5 7.如图，⊙P的半径为1，且点P的坐标为（3，2），点C是⊙P上的一个动点，点A，B是x轴上的两点，且OA=OB，AC⊥BC，则AB的最小值为（） √11√13 （第7题）（第8题） 8.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（） °°°° 9.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，点P是AB边上一点，BP=3，点Q是CD边上的一动点.将四边形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为点A′.当C A′的长度最小时，CQ的长为（） D.13 2