数列求和的典型方法 (学生版)

数列求和的典型方法（学生版）

※ 典型例题

考点1．分组求和法求数列的前n 项和

一、分组求和

◎题型1：求数列{}n n a b ±的前n 项和n S

思路1：1122()()()n n n S a b a b a b =±+±++±…1212()()n n a a a b b b =++???+±++???+

◎题型2：求通项为()()n f n n a g n n ?=??，是奇，是偶数数

或(1)()n n a f n =-的数列的前n 项和n S 思路2：相邻项组合

（1）当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=+++++…；

（2）当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=++++++…．

思路3：奇偶项组合

（1）当n 为偶数时，n S =13124()()n n a a a a a a -++++++……；

（2）当n 为奇数时，n S 13241()()n n a a a a a a -=++++++……．

思路4

：公式优化

（1）当n 为偶数时，利用套路2、3其中之一；

（2）当n 为奇数时，S S a =-．

例3、数列{}n a 的通项公式为2cos 3

n a n =?，其前n 项和为n S ． （Ⅰ）求32313n n n a a a --++及n S 3；

（Ⅱ）若312

n n n S b n -=

?，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

考点2．倒序相加法

【例2】设()442x

x f x =+，求122012201320132013f f f ??????+++ ? ? ???????

的值． 变式1．求222289sin 1sin 2sin 3....sin 89S =?+?+?++?

变式2．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有()+(1)=1f x f x -，

求1231(0)()()()....()(1)n n S f f f f f f n n n n

-=++++++.

考点4．裂项相消法求数列的前n 项和

变式2（Ⅰ）已知数列{}n a 满足：1(21)(21)

n a n n =-+，求数列{}n a 的n 项和n S ． （Ⅱ）已知数列{}n a 满足：4(1)(21)(21)

n n n a n n =--+，求数列{}n a 的n 项和n S ． ．

考点5．数列的综合应用

【例5】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足()223n n S n n S -+--()

230n n +=，n N *∈. （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意n N *∈，有1223111114

n n a a a a a a ++++<. 变式1．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14

构成等比数列．