2018江西中考数学解析

2018年江西省中等学校招生考试

数学试题卷

说明：1. 全卷满分120分，考试时间120分钟． 2. 请将答案写在答题卡上，否则不给分．

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)

1．（2018江西，1，3分） －2的绝对值是( )

A. －2

B. 2

C. －12

D. 12

【答案】B

【解析】一个负数的绝对值等于它的相反数，∴－2的绝对值为2. 【知识点】有理数的概念；绝对值

2．（2018江西，2，3分）计算(－a )2·b

a 2的结果为( )

A. b

B. －b

C. ab

D. b

a

【答案】A

【解析】(－a )2·b a 2＝a 2·b

a

2＝b .

【知识点】积的乘方，整式的乘除

3．（2018江西，3，3分）如图所示的几何体的左视图为( )

【答案】D

【解析】由原几何体可知，几何体左视图为长方形，且有靠近下方的横虚线． 【知识点】三视图

4．（2018江西，4，3分）某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是( )

第4题图

A. 最喜欢篮球的人数最多

B. 最喜欢羽毛球的人数是最喜欢喜欢乒乓球人数的两倍

C. 全班共有50名学生

D. 最喜欢田径的人数占总人数的10%

【答案】C

【解析】A . 喜欢篮球的有12人，足球的有20人，故足球的人数最多，故A 错误；B . 喜欢羽毛球的人数有8人，乒乓球的人数有6人，不是两倍的关系，故B 错误；C . 全班的人数为12＋20＋8＋4＋6＝50(人)，故C 正确；D . 全班人数有50人，喜欢田径的有4人，故喜欢田径的人数占总人数的8%，故D 错误．

【知识点】频数分布直方图

5．（2018江西，5，3分）小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD 从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有( )

第5题题

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 无数个

【答案】C

【解析】①正方形向上平移；②正方形向下平移；③正方形向右平移；④将正方形向东北方向平移；⑤将正方形向东南方向平移．故有5种．

【知识点】轴对称图形，平移

6．（2018江西，6，3分）在平面直角坐标系中，分别过点A (m ，0)，B (m ＋2，0)作x 轴的垂线l 1和l 2，探究直线l 1，直线l 2与双曲线y ＝3

x

的关系，下列结论中错误．．的是( ) A. 两直线中总有一条与双曲线相交

B. 当m ＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等

C. 当－2＜m ＜0时，两直线与双曲线的交点在y 轴两侧

D. 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2

【答案】D

【解析】当m ＝0或m ＝－2，只有一条直线与双曲线相交，当m ≠0或m ≠－2时，有两条直线与双曲线相交，所以两直线中总有一条与双曲线相交，则A 正确；当m ＝1时，l 1与双曲线交点(1，3)，l 2与双曲线交点(3，1)，与原点距离都为10，则B 正确；当－2＜m ＜0时，0＜m ＋2＜2，l 1在y 轴左侧，l 2在y 轴右侧，∴当－2＜m ＜0时，与双曲线的交点在y 轴的两侧，则C 正确；当l 1和l 2在y 轴同侧时，如解图，在Rt △CDE 中，CD ＝CE 2＋ED 2，∵DE ＝AB ＝2，∴CD ＞2，当l 1和l 2在y 轴异侧时，同理可得．∴当两直线与双曲线都有交点的时候，最短距离大于2，则D 错误．

第6题解图

【知识点】反比例函数，直线，勾股定理

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7．（2018江西，7，3分）若分式1

x －1

有意义，则x 的取值范围为________．

【答案】x ≠1

【解析】由分式的定义可知分母不能为0，即x －1≠0，则x ≠1. 【知识点】分式有意义的条件

8．（2018江西，8，3分）2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60 000用科学记数法表示应为________．

第8题图

【答案】6×104

【解析】60 000＝6×104.

【知识点】科学记数法 9．（2018江西，9，3分）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x 两、y 两，依题意，可列出方程组为________．

【答案】????

?5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝8

【解析】牛的价格＋羊的价格＝总价，由牛5头，羊2头，共值金10两得：5x ＋2y ＝10，由牛2头，羊5

头，共值金8两得：2x ＋5y ＝8，故可列方程组为?

????5x ＋2y ＝10

2x ＋5y ＝8.

【知识点】二元一次方程组，数学文化

10．（2018江西，10，3分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形

AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为________．

第10题图

【答案】3 2.

【解析】∵AD＝EF＝DE＝3，∠D＝90°，∴AE2＝AD2＋DE2＝18，∴AE＝AB＝18＝3 2.

【知识点】矩形，旋转，勾股定理

11．（2018江西，11，3分）一元二次方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2则x21－4x1＋2x1x2的值为________．【答案】2

【解析】∵x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，∴x21－4x1＋2＝0，即x21－4x1＝－2，x1x2＝2，

∴x21－4x1＋2x1x2＝－2＋2×2＝2

【知识点】一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系

12．（2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________．

【答案】2，23，14－2

【解析】∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x，

①当P在AD边上时，如解图①，

∵AD＝6，∴AP＋PD＝6，

∴x＋2x＝6即x＝2，∴AP＝2

②当P在DC上时，如解图②

在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP，

第12题解图①第12题解图②

③当P在BC边上时，如解图③，

DP最大为62，AP最小为6，PD≠2AP，

④当P在AB上时，如解图④，

在Rt△ADP中，AP2＋AD2＝PD2，∴x2＋62＝(2x)2，解得x1＝23，x2＝－23(舍)，

∴AP＝23；

第12题解图③第12题解图④第12题解图⑤第12题解图⑥

⑤当P 在AC 对角线上时，如解图⑤，在Rt △ADC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝62，∴AO ＝1

2AC ＝32，在Rt

△PDO 中，PO ＝32－x ，PD ＝2x ，DO ＝AO ＝32，∴PD 2＝PO 2＋DO 2，

(2x )2＝(32)2＋(32－x )2，解得x 1＝14－2，x 2＝－14－2(舍)，∴AP ＝14－2；

⑥当P 在DB 对角线上时，如解图⑥，在Rt △APO 中，AP 2＝AO 2＋PO 2，∴x 2＝(2x －32)2＋(32)2，整理得：x 2－42x ＋12＝0，∴(－42)2－4×1×12＝－16＜0，∴方程无解，综上所述：AP ＝2或23或14－ 2

【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．（2018江西，13（1），3分）计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2；

【思路分析】先利用完全平方公式和平方差公式化简，然后合并同类项

【解题过程】原式＝a 2－12－(a －2)2 ＝a 2－1－(a 2－4a ＋4) ＝a 2－1－a 2＋4a －4 ＝4a －5；

【知识点】整式运算，平方差公式，完全平方公式 13．（2018江西，13（2），3分）解不等式：x －1≥x －2

2

＋3.

【思路分析】按照先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后将未知数的系数化为1的基本步骤求出不等式的解集．

【解题过程】不等式两边同乘以2得

去分母得：2（x －1）>x －2+6 去括号得：2x －2> x －2+6

移项得：2x －x >2－2+6 合并得：x >6

【知识点】不等式的解法

14．（2018江西，14，6分）如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，CA ＝6，CD ∥AB ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交AC 于点E .求AE 的长．

第14题图

【思路分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD ，求出BC=CD=4，证△AEB ∽△CED ，得出比例式，求出AE=2CE ，即可得出答案．

【解题过程】解：∵BD 为∠ABC 的平分线，

∴∠ABD ＝∠DBC ， 又∵AB ∥CD ，

∴∠D ＝∠ABD ，∠DBC ＝∠D ，BC ＝CD ＝4， ∵∠AEB ＝∠CED ， ∴△AEB ∽△CED ， ∴AB CD ＝AE CE ， ∴

AE CE ＝8

4

＝2， ∴AE ＝2EC ，即EC ＝1

2AE ，

∵AC ＝AE ＋EC ＝6， ∴AE ＋1

2

AE ＝6，即AE ＝4.

【知识点】角平分线定义，平行线的性质，相似三角形

15．（2018江西，15，6分）如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2CD ，E 为AB 的中点．请仅用无刻．．度的直尺．．．．

分别按下列要求画图(保留画图痕迹)． (1)在图1中，画出△ABD 的BD 边上的中线；

(2)在图2中，若BA ＝BD ，画出△ABD 的AD 边上的高．

第15题图

【思路分析】(1)连接CE ，∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为AB 的中点，∴四边形AECD 是平行四边形. 由AECD 得DC ＝AE ＝BE ，∴四边形EBCD 也是平行四边形，∴AF 为BD 上的中线．

（2）由(1)知AF 、DE 为等腰△ABD 两腰上的中线，∴G 是等腰△ABD 三条中线的交点，故连接BG 并延长交AD 于H ，则利用三线合一知BH 为高．

【解题过程】(1)如解图①，AF 为所求； 如解图②，BH 为所求．

第15题解图① 第15题解图②

【知识点】等腰三角形，平行四边形，创新作图

16．（2018江西，16，6分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加．

抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．

(1)该班男生“小刚被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为________；

(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．

【思路分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得； （2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．

【解题过程】(1)不可能，随机，1

4

；

(2)解法一：将“小悦被抽到”记作事件A ，“小惠被抽到”记作事件B ，“小艳被抽到”记作事件C ，“小倩被抽到”记作事件D

根据题意，可画出如下树形图：

第16题解图

或列表如下：

第一次 第二次

A B C D A (B ，A ) (C ，A ) (D ，A ) B (A ，B ) (C ，B ) (D ，B ) C (A ，C ) (B ，C ) (D ，C )

D

(A ，D )

(B ，D )

(C ，D )

∴P (小惠被抽中)＝612＝1

2

.

【知识点】随机事件，不可能事件，概率

17．（2018江西，17，6分）如图，反比例函数y ＝k

x (k ≠0)的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于A (1，a )，

B 两点，点

C 在第四象限，CA ∥y 轴，∠ABC ＝90°.

(1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tan C 的值．

第17题图

【思路分析】（1）把A （1，a ）代入2y x =得到a 的值，得到点A 坐标，再代入y ＝k

x (k ≠0)求k 的值，根据

点A 与点B 关于原点对称求得B 点坐标 ；（2）设AC 交x 轴于点D ，∠ACB =∠AOD ，所以tan ∠ACB =tan ∠AOD ；或过点B 作BF ∥AC ，过点A 作AE ⊥FB ，垂足为E ，则∠ACB =∠BAE ，从而得到∠ACB = ∠BAE ，所以tan ∠ACB =tan ∠BAE

【解题过程】：(1)∵点A (1，a )在y ＝2x 图象上， ∴a ＝2×1＝2，

又∵点A (1，2)在y ＝k

x (k ≠0)图象上，

∴2＝k

1

，即k ＝2×1＝2，

∵y ＝2

x 与y ＝2x 相交于A 、B 两点，

则联立方程组?????y ＝2x

y ＝2x

，

解得????

?x ＝1y ＝2或?

????x ＝－1y ＝－2，

∴点B 的坐标为B (－1，－2)；

第17题解图

(2)如解图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ， ∵BD ⊥AC ， ∴∠BDC ＝90°， ∴∠C ＋∠CBD ＝90°， 又∵∠ABC ＝90°，∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ， ∴∠C ＝∠ABD ， ∵tan C ＝tan ∠ABD ＝AD

BD

，

∵A (1，2)、B (－1，－2)， ∴D (1，－2)，

∴AD ＝|2－(－2)|＝4，BD ＝|1－(－1)|＝2， ∴tan C ＝4

2

＝2.

【知识点】反比例函数，锐解三角函数，方程组

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18．（2018江西，18，8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气。”某校响应号如，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学

生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间．过程如下：

收集数据从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)

得出绪论

(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为________；

(2)如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？

(3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书？

【思路分析】根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估计或计算得到（1）（2）（3）结果．

【解题过程】填表如下：

(1)B；

(2)∵8

20×400＝160，

∴如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有160名；

(3)以平均数来估计：

80

160×52＝26，

∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计，该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读26本书．

【知识点】数据的收集、整理、分析

19．（2018江西，19，8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB＝120 cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60 cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位)．

(1)若∠OBC ＝50°，求AC 的长；

(2)当点C 从点A 向右运动60 cm 时，求点O 在此过程中运动的路径长． 参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14.

【思路分析】(1)过O 作OD ⊥AB ，在Rt △OBD 中运用三角函数解答；(2)找到点O 的运动轨迹为弧CO ，故转化为求弧长，再利用等边三角形特殊角来求．

【解题过程】(1)如解图①，过O 作OD ⊥BC ，垂足为D ， ∵OC ＝OB ， ∴BC ＝2BD ，

在Rt △OBD 中，OB ＝60 cm ，∠OBC ＝50°， ∴BD ＝OB cos50°≈60×0.64＝38.4 cm ， ∴BC ＝2BD ＝76.8 cm ，

∴AC ＝AB －BC ＝120－76.8＝43.2 cm ；

第19题解图②

(2)∵B 为固定点，OB ＝60 cm 为定长，

∴O 点在以B 为圆心，BO 长为半径的圆上，

如解图②，点C 从点A 运动60 cm 后，恰好在AB 中点位置，这个过程中O 点的运动轨迹即为CO ︵

， 所以此时只需求CO ︵

的长，

此时有：OC ＝OB ＝60 cm ，BC ＝1

2AB ＝60 cm ，

∴△OBC 为等边三角形， ∴∠OBC ＝60°，

∴lCO ︵＝60

360

×2π×60＝20π≈20×3.14＝62.8 cm

【知识点】等边三角形性质、直角三角形的性质和锐角三角函数

20．（2018江西，20，8分）如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 的延长线于点D ，且∠AOD ＝∠BAD .

(1)求证：AB 为⊙O 的切线；

(2)若BC ＝6，tan ∠ABC ＝4

3

，求AD 的长．

第20题图

【思路分析】（1）本题直线AB 为与⊙O 无交点，故要过O 作AB 的垂线．先证明△BOE ≌△BOC ，从而可以证明EO ＝OC ；(2)在Rt △ABC 中，利用正切三角函数求出AC 的值，利用勾股定理求出AB ，证明△ABD ∽△OBC ，从而求出AD 的长．

【解题过程】(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ， ∵AD ⊥BO 于点D ， ∴∠D ＝90°，

∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∠AOD ＋∠OAD ＝90°，

第20题解图

∵∠AOD ＝∠BAD ， ∴∠ABD ＝∠OAD ， 又∵BC 为⊙O 切线， ∴AC ⊥BC ，

∴∠BOC ＋∠OBC ＝90°， ∵∠BOC ＝∠AOD ，

∴∠OBC ＝∠OAD ＝∠ABD ， 在△BOE 和△BOC 中， ????

?∠EBO ＝∠OBC ∠OEB ＝∠OCB OB ＝OB

， ∴△BOE ≌△BOC (AAS )， ∴EO ＝CO ， ∵EO ⊥AB ，

∴AB 为⊙O 切线；

(2)解：∵∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∠EOA ＋∠BAC ＝90°， ∴∠EOA ＝∠ABC ， ∵tan ∠ABC ＝4

3

，BC ＝6，

∴AC ＝BC ·tan ∠ABC ＝8， 在Rt △ABC 中， AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴AB ＝10，

∵BC ，BA 都为圆外一点B 引出的切线， ∴BE ＝BC ＝6，

∴AE ＝4， ∵tan ∠ABC ＝4

3，

∴tan ∠EOA ＝4

3，

∴OE AE ＝34， ∴OE ＝3，

∴OB ＝35，

∵∠ABD ＝∠OBC ，∠D ＝∠ACB ＝90°， ∴△ABD ∽△OBC ， ∴OC AD ＝OB AB ， ∴

3AD ＝3510

， ∴AD ＝2 5.

【知识点】切线的性质与判定，勾股定理，全等三角形，相似三角形，三角函数

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21．（2018江西，21，9分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某产品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示．

(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保持期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

第21题图

【思路分析】(1)设出一次函数解析式y ＝kx ＋b ，将(10，200)(15，150)代入，求出k 、b 即可；(2)利用总利润＝每千克利润×千克数，得到二次函数形式，再利用顶点式求最值；(3)在(2)下，求出每天的销售量，再算出总销售量，然后和今年共采摘量比较即可．

【解题过程】(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将(10，200)(15，150)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中

?????10k ＋b ＝20015k ＋b ＝150，解得?

????k ＝－10b ＝300， ∴y 与x 的函数关系式为y ＝－10x ＋300(8≤x ≤30)； (2)设每天销售获得的利润为w ，根据题意得： w ＝(x －8)y

＝(x －8)(－10x ＋300) ＝－10(x －19)2＋1210， ∵8≤x ≤30，

∴当x ＝19时，w 取得最大值，最大值为1210；

(3)由(2)可知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天销售量为y ＝－10×19＋300＝110(千克)． ∵保质期为40天，

∴销售总量为40×110＝4400， 又∵4400＜4800

∴不能销售完这批蜜柚．

【知识点】一次函数解析式，一次函数最值，一次函数的应用

22．（2018江西，22，9分）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随着点P 的位置变化而化．

(1)如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是________，CE 与AD 的位置关系是________；

(2)当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)．

第22题图

(3)如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB ＝23，BE ＝219，求正边形ADPE 的面积．

第22题图4

【思路分析】（1）如图1中，结论：PB=EC ，CE ⊥AD ．连接AC ，想办法证明

△BAP ≌△CAE 即可解决问题； （2）结论仍然成立．证明方法类似；

（3）首先证明△BAP ≌△CAE ，解直角三角形求出AP ，DP ，OA 即可解决问题.

【解题过程】 (1)BP ＝CE ；CE ⊥AD ；

连接AC ，如解图①∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ， ∵∠BAC ＝∠P AE ＝60°，∴∠BAP ＝∠CAE ， 在△BAP 和△CAE 中， ????

?AC ＝AB ∠BAP ＝∠CAE AP ＝AE

，

∴△BAP ≌△CAE (SAS )， ∴BP ＝CE ，

∵△BAP ≌△CAE ，

∴∠ACE ＝∠ABC ＝1

2

∠ABC ＝30°，

∵∠ACD ＝60°， ∴∠ECD ＝30°，

∴CE 为△ACD 的角平分线，∵CA ＝CD ，由三线合一知CE ⊥AD ；

第22题解图① 第22题解图② (2)如解图②，仍然成立，理由如下：

如解图②，连接AC 交BD 于O 点，设CE 交AD 于H 点， 在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∵BA ＝BC ，

∴△ABC 为等边三角形， ∴BA ＝CA ，

∵△APE 为等边三角形，

∴AP ＝AE ，∠P AE ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAP ＝∠CAE ， 在△BAP 和△CAE 中， ∵????

?AB ＝AC ∠BAP ＝∠CAE AP ＝AE

， ∴△BAP ≌△CAE (SAS )，

∴BP ＝CE ，∠ACE ＝∠ABP ＝30°， ∵AC 和BD 为菱形的对角线， ∴∠CAD ＝60°， ∴∠AHC ＝90°，即CE ⊥AD ，

第22题解图③

或选图③，理由如下：

如解图③，连接AC 交BD 于点O ，设CE 交AD 于点H ， 同理得△BAP ≌△CAE (SAS )， BP ＝CE ，CE ⊥AD ；

第22题解图④

(3)如解图④，连接AC 交BD 于点O ，连接CE 交AD 于点H ， 由(2)可知，CE ⊥AD ，CE ＝BP ， 在菱形ABCD 中AD ∥BC ， ∴EC ⊥BC ，

∵BC ＝AB ＝23，BE ＝219，

∴在Rt △BCE 中，CE ＝（219）2－（23）2＝8， ∴BP ＝CE ＝8，

∵AC 与BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD ＝1

2∠ABC ＝30°，AC ⊥BD ，

∴BD ＝2BO ＝2AB ·cos30°＝6， AO ＝1

2

AB ＝3，

DP ＝BP －BD ＝8－6＝2， ∴OP ＝OD ＋DP ＝5，

在Rt △AOP 中，AP ＝AO 2＋OP 2＝27， S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S 正△APE ＝12DP ·AO ＋34

·AP 2 ＝12×2×3＋3

4

×(27)2＝8 3.

【知识点】菱形，全等三角形，等边三角形，勾股定理

六、(本大题共12分)

23．（2018江西，23，12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验

(1)已知抛物线y ＝－x 2＋bx －3经过点(－1，0)，则b ＝________，顶点坐标为________，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是________．

抽象感悟

我们定义：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，以y 轴上的点M (0，m )为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线y ′，则我们又称抛物线y ′为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．

(2)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋5关于点(0，m )的衍生抛物线为y ′，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围． 问题解决

(3)已知抛物线y ＝ax 2＋2ax －b (a ≠0)．

①若抛物线y 的衍生抛物线为y ′＝bx 2－2bx ＋a 2(b ≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a 、b 的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线y 关于点(0，k ＋12)的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点(0，k ＋22)的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；…；关于点(0，k ＋n 2)的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n ；…(n 为正整数)．求A n A n ＋1的长(用含n 的式子表示)．

(备用图)

【思路分析】（1）把(－1，0)代入y ＝－x 2＋bx ＝3即可求得b 的值，再配方或利用顶点坐标公式求出求出顶点坐标，找出顶点关于(0，1)成中心对称的点的坐标，即可求得新抛物线解析式；（2）用配方法求出抛物线y ＝－x 2－2x ＋5的顶点坐标，找出该顶点坐标关于(0，m )对称点的坐标，从而得到衍生抛物线的解析式，将“两条抛物线有交点”转化为求原抛物线的解析式与衍生抛物线的解析式组成的方程组有解，从而求得m 取值范围.（3）分别求出抛物线y ＝ax 2＋2ax －b (a ≠0)和衍生抛物线为y ′＝bx 2－2bx ＋a 2(b ≠0)的顶点坐标（用含a 、b 的式子表示），再把原抛物线的顶点坐标代入衍生抛物线解析式，再把衍生抛物线的顶点坐标代入原抛物线解析式，从而组成方程组求得a 、b 的值，即求出两顶点坐标及衍生中心的坐标；

根据规律求出顶点(－1，－a －b )关于(0，k ＋n 2)及[0，k ＋(n ＋1)2]的对称点A n 及A n ＋1，再根据两点之间的距离即可求得A n A n ＋1。

【解题过程】(1)－4；(－2，1)；y ＝(x －2)2＋1；

【解法提示】把(－1，0)代入y ＝－x 2＋bx ＝3，得0＝－1－b －3，∴b ＝－4；

∴抛物线解析式为

y ＝－x 2－4x －3，∴利用顶点坐标公式(－

b 2a ，4a

c －b 24a

)求出顶点坐标为(－2，1)；点(－2，1) 关于(0，1)成中心对称的点的坐标为(2，1)，∵中心对称是旋转180°，所以a 互为相反数，∴新抛物线解析式

为y ＝(x －2)2＋1；

(2)y ＝－x 2－2x ＋5即y ＝－(x ＋1)2＋6， ∴顶点为(－1，6)，

(－1，6)关于(0，m )对称点为(1，2m －6)， ∴衍生抛物线为：y ＝(x －1)2＋2m －6， 则－(x ＋1)2＋6＝(x －1)2＋2m －6， 化简得x 2＝－m ＋5， ∵这两条抛物线有交点， ∴－m ＋5≥0， ∴m ≤5；

(3)①y ＝ax 2＋2ax －b ＝a (x ＋1)2－a －b ， 顶点为(－1，－a －b )，

y ＝bx 2－2bx ＋a 2＝b (x －1)2－b ＋a 2， 顶点为(1，－b ＋a 2)， ∵两交点恰好是顶点

∴?????－b ＋a 2＝a （1＋1）2－a －b －a －b ＝b （－1－1）2－b ＋a 2， 解得?

????a ＝3b ＝－3，

∴顶点分别为(－1，0)和(1，12)， ∵(－1，0)(1，12)关于衍生中心对称， ∴衍生中心为它们中点，

∴－1＋12＝0，0＋122

＝6即(0，6)；

第23题解图

②如解图，顶点(－1，－a －b )关于(0，k ＋1)的对称点A 1(1，2k ＋2＋a ＋b )； 顶点(－1，－a －b )关于(0，k ＋4)的对称点A 2(1，2k ＋8＋a ＋b )； 顶点(－1，－a －b )关于(0，k ＋n 2)的对称点A n (1，2k ＋2n 2＋a ＋b )；

顶点(－1，－a －b )关于[0，k ＋(n ＋1)2]的对称点A n ＋1(1，2k ＋2(n ＋1)2＋a ＋b )； ∴A n A n ＋1＝2(n ＋1)2－2n 2＝4n ＋2.

【知识点】二次函数的图象关于某点的中心对称，二次函数表达式的确定，二次函数的图象的交点坐标，一元二方程根的判别式，线段的长度.