2019年高考数学总复习：双曲线
2019年高考数学总复习：双曲线
1．双曲线x 236－m 2－y 2
m 2＝1(0 A ．6 B ．12 C ．36 D ．236－2m 2 答案 B 解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653 D ．－ 63 答案 B 解析 kx 2 －ky 2 8 ＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.5 2 D ．1 答案 D 解析 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 4．(2017·北京西城期末)mn<0是方程x 2m ＋y 2 n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当mn<0时，分m<0，n>0和m>0，n<0两种情况． ①当m<0，n>0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线；②当m>0，n<0时，方程 x 2 m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．因此，当mn<0时，方程x 2m ＋y 2 n ＝1不一定表示实轴在x 轴上的双曲线．方程x 2m ＋y 2 n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线时，m>0，n<0，必定有mn<0. 由此可得：mn<0是方程x 2m ＋y 2 n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的必要而不充分条件．故选 B. 5．(2017·河北邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 答案 A 解析 依题意，题中的双曲线即y 214－x 2 ＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x±2y ＝0， 选A. 6．(2018·湖北孝感一中月考)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)上一点，F 1，F 2分别是双 曲线的左、右焦点，已知PF 1⊥PF 2，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的一条渐近线方程是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝2x D ．y ＝4x 答案 C 解析 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝2|PF 2|，得|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4c 2＝16a 2＋4a 2，即c 2＝5a 2，则b 2＝4a 2，即b ＝2a ，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x.故选C. 7．(2018·安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y 2 4 ＝1 B.x 24－y 2 3 ＝1 C.x 23－y 24＝1或y 23－x 2 4＝1 D.x 24－y 23＝1或y 24－x 2 3 ＝1 答案 D 解析 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝c a ＝ a 2＋ b 2 a 2 ＝1＋b 2a 2＝72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32 x. 由题意，顶点到渐近线的距离为 | 3 2a|3 4 ＋1＝221 7，解得a ＝2， ∴b ＝3，∴双曲线的方程为x 24－y 2 3 ＝1. 当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝c a ＝ 1＋b 2 a 2 ＝ 72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±a b x ＝±23 3 x ，由题意可知：顶点到渐近线的距离为|a|43 ＋1＝2217，解得a ＝2，∴b ＝3，∴双曲线的方程为y 24－x 23＝1. 综上可知，双曲线的方程为x 24－y 23＝1或y 24－x 2 3 ＝1.故选D. 8．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的 直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22) C ．(1＋2，＋∞) D ．(1，1＋2) 答案 D 解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0 a 2c ＝c 2－a 2 2ac <1，即e －1 e <2，e 2－2e －1<0， (e －1)2<2，所以1 9．已知双曲线mx 2－ny 2＝1(m>0，n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为( ) A.1 2 B.63 C.33 D.233 答案 B 解析 由已知双曲线的离心率为2，得 1m ＋1n 1m ＝2. 解得m ＝3n.又m>0，n>0，∴m>n ，即1n >1 m . 故由椭圆mx 2 ＋ny 2 ＝1，得y 21n ＋x 2 1m ＝1. ∴所求椭圆的离心率为e ＝ 1n －1m 1n ＝1n －13n 1n ＝6 3. 10．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 5 3c(c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( ) A.5 2 B.32 C.355 D.23 答案 B 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±y b ＝0，焦点A( c ，0)到直线bx －ay ＝0的距离为 bc a 2＋b 2 ＝ 53c ，则c 2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝3 2 ，故选B. 11．(2018·成都市高三二诊)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2， 以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B.－3＋62 4 C. 3 D.3＋627 答案 D 解析 如图，在圆O 中，F 1F 2为直径，P 是圆O 上一点，所以PF 1⊥PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M ，且圆M 与直线PF 2相切于点Q ，则M(－c 2，0)，MQ ⊥PF 2，所以PF 1∥MQ ，所以|MQ||PF 1|＝|MF 2| |F 1F 2|，即c 2|PF 1|＝3c 22c ， 可得|PF 1|＝2c 3，所以|PF 2|＝2c 3＋2a ，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2 ，所以4c 29＋(2c 3＋2a)2＝4c 2，即 7e 2 －6e －9＝0，解得e ＝3＋627，e ＝3－62 7 (舍去)．故选D. 12．(2018·贵阳市高三检测)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、 左、右”四个区域( 不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．(1， 52 ) B ．( 5 2 ，＋∞) C ．(1，5 4) D ．(5 4 ，＋∞) 答案 B 解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，且“右”区域是不 等式组? ??y a x ，y>－b a x 所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >1 2，因此题中的双 曲线的离心率e ＝ 1＋（b a ）2∈(5 2 ，＋∞)，选B. 13．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2 λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________． 答案 λ<－2或λ>－1 解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2 λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1. 14．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5， 0)，则a ＝________；b ＝________． 答案 1 2 解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a ＝2，由c ＝5， c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1. 15．(2015·课标全国Ⅱ，文)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1 2x ，则该双曲线 的标准方程为________． 答案 x 24 －y 2 ＝1 解析 方法一：因为双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1 2 x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)，所以? ????42a 2－（3）2 b 2＝1，b a ＝1 2 ，解得?????a ＝2，b ＝1， 故双曲线方程为x 24 －y 2 ＝1. 方法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2 ＝λ(λ>0)，又双曲线过 点(4，3)，所以424－(3)2 ＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24 －y 2＝1. 16．(2018·湖南长沙模拟)P 是双曲线C ：x 22－y 2 ＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条 渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值为________． 答案 22＋1 解析 设右焦点为F 2，∵|PF 1|－|PF 2|＝22， ∴|PF 1|＝|PF 2|＋22，∴|PF 1|＋|PQ|＝|PF 2|＋22＋|PQ|.当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ|最小，且最小值为F 2到l 的距离． 由题意得l 的方程为y ＝±12x ，F 2(3，0)，F 2到l 的距离d ＝1，∴|PQ|＋|PF 1|的最小值为22 ＋1. 17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝ π 3 ，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程． 答案 3x 22－y 2 2 ＝1 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1，∴F 1(－ c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2 ＝|PF 1|2 ＋|PF 2|2 －2|PF 1|·|PF 2|·cos π 3 ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴1 2|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝2 3. ∴所求双曲线方程为3x 22－y 2 2 ＝1. 18．(2018·上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2 －y 2 b 2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直 于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程； (2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→ 的值． 答案 (1)x 2 －y 22＝1 (2)29 解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，( 1＋b 2，y 0)(y 0>0)， 因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2 －y 02 b 2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2. 在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2. 由双曲线的定义可知：|MF 1|－|MF 2|＝b 2 ＝2，故双曲线C 的方程为x 2 －y 2 2 ＝1. (2)由条件可知：两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝1 3.则点P 到两条渐近 线的距离分别为|PP 1|＝ |2x 0－y 0| 3 ，|PP 2|＝ |2x 0＋y 0| 3 . 因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2 －y 2 2 ＝1上，所以2x 02－y 02＝2. 所以PP 1→·PP 2→ ＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3 cos θ＝|2x 02－y 02 |3·13＝29. 1．(2015·广东，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5，0)，则双 曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1 答案 C 解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5，0)，所以c ＝5. 因为离心率e ＝c a ＝5 4 ，所以a ＝4. 又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 2 9 ＝1. 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±12x D ．y ＝±2 2 x 答案 B 解析 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a.∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选B. 3．(2015·天津，文)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近 线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 2 13＝1 B.x 213－y 2 9＝1 C.x 23－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 3 ＝1 答案 D 解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0. 由题意，得???c 2＝a 2＋b 2， c ＝2， 2b b 2 ＋a 2 ＝ 3， 解得a 2 ＝1，b 2 ＝3，从而双曲线的方程为x 2 －y 2 3 ＝1. 4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得 |PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝9 4ab ，则该双曲线的离心率为( ) A.43 B.5 3 C.9 4 D ．3 答案 B 解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a.又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2.又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9????b a 2 －9b a －4＝0，则????3b a ＋1????3b a －4＝0，解得b a ＝43????b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝ 1＋????b a 2 ＝53. 5．(2015·广东改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的 方程是( ) A.x 24－y 2 5＝1 B.x 24－y 2 5＝1 C.x 22－y 2 5＝1 D.x 22－y 2 5 ＝1 答案 B 解析 由曲线C 的右焦点为F(3，0)，知c ＝3.由离心率e ＝32，知c a ＝3 2，则a ＝2.故b 2＝c 2－ a 2 ＝9－4＝5.所以双曲线C 的方程为x 24－y 2 5 ＝1. 6．(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2 b 2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 2 4＝1 B.x 24－4y 2 3＝1 C.x 24－y 2 4＝1 D.x 24－y 2 12 ＝1 答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝± b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝ 44＋b 2 ， y A ＝ 2b 4＋b 2 ，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2 ＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 2 12 ＝1，选D. 7．(2017·邯郸调研)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点， c 为双曲线的半焦距， 定点G(0，c)，若双曲线上存在一点P 满足|PF|＝|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．[3，＋∞) D ．(1，3) 答案 A 解析 若双曲线上存在点P 满足|PF|＝|PG|，则必须满足FG 的中垂线与双曲线有交点，则P 是线段FG 中垂线与双曲线的交点，因为直线FG 的方程为y ＝x ＋c ，所以线段FG 中垂线的方程为y ＝－x ，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则－b a <－1，即b a >1，所以e ＝ 1＋b 2 a 2>2， 所以双曲线的离心率的取值范围为(2，＋∞)． 8．(2018·辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M ：x 2m 2－y 2 2m ＋6＝1(－2≤m<0)的焦距取得 最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2 2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±1 2 x 答案 C 解析 c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5≥5，当且仅当m ＝－1时取等号，此时a 2＝m 2＝1，b 2＝2m ＋6＝4，所以b a ＝2，即双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C. 9．(2018·辽宁师大附中期中)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0， b>0)的左、右两个焦点．若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为( ) A ．2＋ 2 B ．2＋ 6 C.2＋ 2 D.2＋ 6 答案 C 解析 将y ＝x 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1，可得x ＝± a 2 b 2 b 2－a 2 .由矩形的对角线长相等，得2·a 2b 2b 2－a 2 ＝c ，∴2a 2b 2＝(b 2－a 2)c 2，∴2a 2(c 2－a 2)＝(c 2－2a 2)c 2，∴2(e 2－1)＝e 4－2e 2，∴e 4－4e 2＋2＝0，又∵e>1，∴e 2＝2＋2，e ＝ 2＋ 2.故选C. 10．(2018·河南八市重点高中模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 24－y 2 b 2＝1(b>0)的左、右焦点， P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的斜率是( ) A ．±534 B ．±354 C ．±532 D ．±352 答案 D 解析 不妨设P 点在第一象限，|PF 1 |＝m ，|PF 2 |＝n ，则由已知得???? ?m －n ＝4m 2 ＋n 2 ＋mn ＝（2c ）2 ，n ＋2c ＝2m 所 以c 2－9c ＋14＝0，解得c ＝7或c ＝2(舍去)，由b 2＝c 2－a 2得b ＝35，则双曲线的渐近线的斜率是±35 2 ，故选D. 11．(2018·天津一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 220－y 2 5＝1 B.x 25－y 2 20＝1 C.3x 225－3y 2 100＝1 D.3x 2100－3y 2 25 ＝1 答案 A 解析 因为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线 的一个焦点在直线l 上，所以?????－b a ＝－1 2，c ＝5，a 2 ＋b 2 ＝c 2 ， 得? ????a ＝25，b ＝5，所以双曲线的方程为x 2 20－y 2 5 ＝1. 12．(2018·兰州市高考诊断)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点 P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( ) A. 103 B.43 C.53 D ．2 答案 C 解析 设直线PF 1与圆相切于点M ，∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴△PF 1F 2为等腰三角形，∴|F 1M|＝1 4|PF 1|， ∵在Rt △F 1MO(O 为坐标原点)中，|F 1M|2＝|F 1O|2－a 2＝c 2－a 2，∴|F 1M|＝b ＝1 4|PF 1|①，又|PF 1| ＝|PF 2|＋2a ＝2c ＋2a ②，c 2＝a 2＋b 2③，故由①②③得，e ＝c a ＝5 3 .故选C. 13．(2018·福建漳州一中期中)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2， 若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心 率e 的取值范围为( ) A ．1 3 B ．e>23 3 C ．e> 3 D ．1 答案 B 解析 设点F 2(c ，0)，由于F 2关于直线PF 1的对称点M 恰在y 轴上，不妨设M 在y 轴正半轴上，由对称性可得，|MF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，则|MO|＝4c 2－c 2＝3c ，则∠MF 1F 2＝60°，∠PF 1F 2＝30°，设直线PF 1：y ＝ 3 3 (x ＋c)，代入双曲线方程，可得(3b 2－a 2)x 2－2ca 2x －a 2c 2－3a 2b 2＝0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2－a 2>0，即有3b 2＝3c 2－3a 2>a 2，即c>23 3a ，则有 e ＝c a >233 .故选B. 14．(2016·课标全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 2 3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，3) C ．(0，3) D ．(0，3) 答案 A 解析 由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2 15．(2017·济宁模拟)如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( ) A.3＋1 B.3－1 C. 3 D. 2 答案 A 解析 令正六边形的边长为m ，则有|AD|＝2m ，|AB|＝m ，|BD|＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD|||AB|－|BD||＝2m 3m －m ＝3＋1. 16．(2013·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程 为( ) A ．y ＝±1 4x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±1 2x D ．y ＝±x 答案 C 解析 ∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝5 4 . ∴a 2＝4b 2，b a ＝12.∴渐近线方程为y ＝±1 2 x. 17．(2018·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y 2 9＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左 支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( ) A.23 B ．1 C ．2 D ．4 答案 D 解析 由双曲线x 225－y 2 9＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO| ＝1 2 |MF 1|＝4. 18．(2018·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以 F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 2 9＝1 B.x 23－y 2 4＝1 C.x 29－y 2 16＝1 D.x 24－y 2 3＝1 答案 C 解析 由已知可得交点(3，4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝ 32＋42＝5，故c ＝5， a 2＋ b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝b a x 过点(3，4)，故3 b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3，故 选C. 19．(2018·杭州学军中学模拟)过双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点F 作圆C 2：x 2＋ y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线C 1于点N.若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为( ) A. 5 B.52 C.5＋1 D. 5＋1 2 答案 A 解析 设双曲线C 1的右焦点为F 1.根据题意，得|FN|＝2b ，|F 1N|＝2a.根据双曲线的定义得|FN|－|F 1N|＝2a ?b ＝2a ，则e ＝ 5. 20．(2018·辽宁五校协作体月考)已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1，2] C ．(1，3] D ．(1，3] 答案 D 解析 设|PF 2|＝m(m ≥c －a)，则根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋m. 所以|PF 1|2|PF 2|＝（2a ＋m ）2 m ＝4a 2 m ＋4a ＋m ≥8a ，当且仅当m ＝2a 时等号成立．所以c －a ≤2a ， 解得e ≤3，所以1 21．(2018·湖南衡阳一模)已知双曲线C ：x 23－y 2 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的 直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A ．4 3 B.143 3 C ．5 3 D.1633 答案 D 解析 ∵?????|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2 ＝16，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝83 3 . ∴△PF 1Q 的周长为2(|PF 1|＋|PF 2|)＝ 163 3 ，故选D. 22．设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(0 c ，直线l 过(a ，0)，(0，b)两点，已知原点到直 线l 的距离为3 4 c ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233 答案 A 解析 直角三角形斜边为c ， 斜边上的高为ab c ＝3 4c ，4ab ＝3c 2. 结合0 3 .∴e ＝2. 23．(2018·河南郑州一中期中)已知直线x ＝a 2a 2＋b 2被双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐 近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为________． 答案 2 解析 由已知可得 2ab a 2＋b 2 ＝ bc a 2＋b 2 ，∴c ＝2a ，∴e ＝c a ＝2. 24．(2015·山东，文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 答案 2＋ 3 解析 设直线方程为y ＝b a (x －c)，由 ???x 2a 2－y 2 b 2 ＝1，y ＝b a （x －c ）， 得x ＝a 2 ＋c 2 2c ，由a 2 ＋c 2 2c ＝2a ，e ＝c a ，解得e ＝2＋3(e ＝2－3舍去)． 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2O M A B b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 2019年高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ． 12 B ． 13 C ． 16 D ． 112 3．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14 - B ． 14 C ．23 - D ． 23 4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 6．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ． 54 钱 B ． 43 钱 C ． 32 钱 D ． 53 钱 8．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 9．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 10．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥； 高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 2019年常德市数学高考模拟试卷及答案 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．如图，点是抛物线 的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 3．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100 4．函数()1 ln 1y x x = -+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ． 5．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（ ） A 7B 10 C 13 D ．4 6．若θ是ABC ?的一个内角，且1 sin θcos θ8 ，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3 B 3C ．5- D 5 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π = 对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ??? D ．2sin 23y x π? ?=- ?? ? 8．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 9．5 22x x ??+ ?? ?的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 10．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4 π α+的值等于（ ） A ． 1318 B ． 3 22 C ． 1322 D ． 318 11．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 二、填空题 13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2 21y ax a x =+++相切,则 a= ． 14．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120?，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____． 15．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 2019年高考数学理科 全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 2|1B x x =≤，则A B =（） A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（） A. B. C. D. 椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（ ） A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 ．若某人满足上述两个黄金分割 一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数 椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 高考文科数学模拟试题精编(一) (考试用时：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设全集Q ＝{x |2x 2－5x ?0，x ∈N}，且P ?Q ，则满足条件的集合P 的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1 z ＝( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i 3．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95 4．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( ) A.34 B.23 C.12 D.1 3 5．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是( ) 6．已知p ：a ＝±1，q ：函数f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)等于( ) A.3 2 B ．－3 2 C ．－1 D ．1 8．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为( ) A ．3.119 B ．3.124 第2讲椭圆、双曲线、抛物线 考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大． 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 若椭圆C ：x 29＋y 2 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° (2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－1 2的一个焦点重合，且在抛物线上有一 动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1 解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中， 由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y . 根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1， 设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |. 易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4| 5 －1＝5－1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图． (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2 .双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭 圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 2 2＝1 B.x 212＋y 2 6＝1 C.x 216＋y 2 4 ＝1 D.x 220＋y 2 5 ＝1 2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥 高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页 高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名： （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 （1）共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) （2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结
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