第八章典型相关分析
ＳPＳＳ中的典型相关分析
在介绍典型相关分析之前,我们先来看一下二元变量相关分析。在相关分析中，经常用到二元变量相关分析，他所研究的是两个观测量之间的相关关系，这种关系称为单相关。调用
本例操作步骤：
●建立数据文件，定义变量
●在数据文件管理窗口中，点击Analyze，展开下拉菜单，再点击Correlate中的Bivariate，
进入Bivariate Correlations对话框。
1)Correlation Coefficient:分析方法选项
2)Test of Significance:选择显著性检验类型
3)Flag Significance Correlations:标明显著水平
在本例中,在原变量列框中，选中retail, income, populace,点击右箭头按钮，使之进入Variables 框中.分析方法选择Pearson,双尾检验。
●点击options按钮,进入options对话框.在对话框中,有两项选择项
1)Statistics:统计量选择项
2)Missing Values:缺失值的处理方法选择项
在本例中，选择均值与标准差和叉积离差阵和协方差阵两项，缺失值的处理用默认项。
结果分析：
Descriptive Statistics：描述统计表
Correlations：显示了他们之间的Pearson相关系数,1%的显著水平的双尾检验概率值，叉积离差阵和协方差阵。从表中可以看出，社会零售总额与居民收入之间的相关系数为0.991，双尾检验的概率值为0，小于1%,即相关程度是显著的，叉积离差值为42403.443，协方差为3028.817。社会零售总额与总人口的相关系数为0.850，双尾检验的概率值为0，小于1%,即相关程度也是显著的，叉积离差值为4141.9195，协方差为295.851；居民收入与总人口的相关系数为0.790，双尾检验的概率值为0，小于1%,，即相关程度也是显著的，叉积离差值为3498.399，协方差为249.886。因此可以说，该市从1978年到一九九二年社会零售总额、居民收入和总人口两两之间有着明显的线性关系。
在ＳPＳＳ中可以有两种方法来拟合典型相关分析，第一种是采用Manova过程来拟合，第二种是采用专门提供的宏程序来拟合，第二种方法在使用上非常简单，而输出的结果又非常详细，因此这里只对他进行介绍。该程序名为Canonical correlation.sps，就放在ＳPＳＳ的安装路径之中，调用方式如下：
File----New-----Syntax
INCLUDE'C:\Program
Files\SPSSInc\PASWStatistics18\Samples\English\Ca nonical correlation.sps'.
cancorr SET1=体重腰围脉搏
/SET2=单杠仰卧起坐跳高.
SPSS 13
INCLUDE'C:\Program Files\SPSS\Canonical
correlation.sps'.
CANCORR SET1=体重腰围脉搏
/SET2=单杠仰卧起坐跳高.
结果解释：
系统首先给出的是运行提示
Matrix
1.Correlations for Set-1 Correlations for Set-2
首先给出的是两组变量内部各自的相关矩阵，可见生理指标之间具有相关性、训练指标之间也有相关性。
2.Correlations Between Set-1 and Set-2
接着给出的是两组变量间各变量的两两相关矩阵，可见生理指标与训练指标之间确实存在相关性。
3.Canonical Correlations
提取典型相关系数的大小，可见第一典型相关系数为0.796
4.Test that remaining correlations are zero
检验各典型相关系数有无统计学意义，可见第一典型相关系数有统计学意义，第
二第三典型相关系数没有统计学意义。
5.Standardized Canonical Coefficients for Set-1
Raw Canonical Coefficients for Set-1
各典型变量与变量组1中各变量间标化与未标化的系数列表，由此我们可以写出典型变量的转换公式（标化的）：L1=0.775x1-1.579x2+0.059x3
6.各典型变量与变量组2中各变量间标化与未标化的系数列表，同理可以写出
三项训练指标：单杠、仰卧起坐和跳高
应用多元统计分析习题解答典型相关分析Word版
第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,, ,)p X X X =X 、(2)(2)(2) (2) 12(,, ,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1)()(1) ()(1) ()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=++ +a X ()(2)()(2) ()(2) ()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2)'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0,(,)0()i j i j Cov U U Cov V V i j ==≠ 2. 0(,1,2,,) (,)0 ()0() i i j i j i r Cov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X =X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X =X
典型相关分析及其应用实例
摘要 典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用. 本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型 相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性. 【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用 ABSTRACT The Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis. This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up
SPSS典型相关分析及结果解释
SPSS典型相关分析及结果解释 SPSS 11.0 - 23.0 典型相关分析 1方法简介 如果要研究一个变量和一组变量间的相关，则可以使用多元线性回归，方程的复相关系数就是我们要的东西，同时偏相关系数还可以描述固定其他因素时某个自变量和应变量间的关系。但如果要研究两组变量的相关关系时，这些统计方法就无能为力了。比如要研究居民生活环境与健康状况的关系，生活环境和健康状况都有一大堆变量，如何来做?难道说做出两两相关系数?显然并不现实，我们需要寻找到更加综合，更具有代表性的指标，典型相关(Canonical Correlation)分析就可以解决这个问题。 典型相关分析方法由Hotelling提出，他的基本思想和主成分分析非常相似，也是降维。即根据变量间的相关关系，寻找一个或少数几个综合变量(实际观察变量的线性组合)对来替代原变量，从而将二组变量的关系集中到少数几对综合变量的关系上，提取时要求第一对综合变量间的相关性最大，第二对次之，依此类推。这些综合变量被称为典型变量，或典则变量，第1对典型变量间的相关系数则被称为第1典型相关系数。一般来说，只需要提取1～2对典型变量即可较为充分的概括样本信息。 可以证明，当两个变量组均只有一个变量时，典型相关系数即为简单相关系数；当一组变量只有一个变量时，典型相关系数即为复相关系数。故可以认为典型相关系 1
数是简单相关系数、复相关系数的推广，或者说简单相关系数、复相关系数是典型相关系数的特例。 2引例及语法说明 在SPSS中可以有两种方法来拟合典型相关分析，第一种是采用Manova过程来拟合，第二种是采用专门提供的宏程序来拟合，第二种方法在使用上非常简单，而输出的结果又非常详细，因此这里只对它进行介绍。该程序名为Canonical correlation.sps，就放在SPSS的安装路径之中，调用方式如下： INCLUDE 'SPSS所在路径\Canonical correlation.sps'. CANCORR SET1=第一组变量的列表 /SET2=第二组变量的列表. 在程序中首先应当使用include命令读入典型相关分析的宏程序，然后使用cancorr名称调用，注意最后的“.”表示整个语句结束，不能遗漏。 这里的分析实例来自曹素华教授所著《实用医学多因素统计分析方法》第176页：为了研究兄长的头型与弟弟的头型间的关系，研究者随机抽查了25个家庭的两兄弟的头长和头宽，数据见文件canonical lianxiti.sav，希望求得两组变量的典型变量及典型相关系数。显然，代表兄长头形的变量为第一组变量，代表弟弟头形的变量为第二组变量，这里希望求得的是两组变量间的相关性，在语法窗口中键入的程序如下： INCLUDE 'D:\SpssWin\Canonical correlation.sps'. 请使用时改为各自相应的安装目录 CANCORR SET1=long1 width1 列出第一组变量 2
典型相关分析SPSS例析
典型相关分析 典型相关分析（Canonical correlation ）又称规则相关分析，用以分析两组变量间关系的一种方法；两个变量组均包含多个变量，所以简单相关和多元回归的解惑都是规则相关的特例。典型相关将各组变量作为整体对待，描述的是两个变量组之间整体的相关，而不是两个变量组个别变量之间的相关。 典型相关与主成分相关有类似，不过主成分考虑的是一组变量，而典型相关考虑的是两组变量间的关系，有学者将规则相关视为双管的主成分分析；因为它主要在寻找一组变量的成分使之与另一组的成分具有最大的线性关系。 典型相关模型的基本假设：两组变量间是线性关系，每对典型变量之间是线性关系，每个典型变量与本组变量之间也是线性关系；典型相关还要求各组内变量间不能有高度的复共线性。典型相关两组变量地位相等，如有隐含的因果关系，可令一组为自变量，另一组为因变量。 典型相关会找出一组变量的线性组合**=i i j j X a x Y b y =∑∑与 ，称 为典型变量；以使两个典型变量之间所能获得相关系数达到最大，这一相关系数称为典型相关系数。i a 和j b 称为典型系数。如果对变量进 行标准化后再进行上述操作，得到的是标准化的典型系数。 典型变量的性质 每个典型变量智慧与对应的另一组典型变量相关，而不与其他典型变量相关；原来所有变量的总方差通过典型变量而成为几个相互独立的维度。一个典型相关系数只是两个典型变量之间的相关，不能代
表两个变量组的相关；各对典型变量构成的多维典型相关，共同代表两组变量间的整体相关。 典型负荷系数和交叉负荷系数 典型负荷系数也称结构相关系数，指的是一个典型变量与本组所有变量的简单相关系数，交叉负荷系数指的是一个典型变量与另一组变量组各个变量的简单相关系数。典型系数隐含着偏相关的意思，而典型负荷系数代表的是典型变量与变量间的简单相关，两者有很大区别。 重叠指数 如果一组变量的部分方差可以又另一个变量的方差来解释和预测，就可以说这部分方差与另一个变量的方差之间相重叠，或可由另一变量所解释。将重叠应用到典型相关时，只要简单地将典型相关系数平方（2 CR）,就得到这对典型变量方差的共同比例，代表一个典型变量的方差可有另一个典型变量解释的比例，如果将此比例再乘以典型变量所能解释的本组变量总方差的比例，得到的就是一组变量的方差所能够被另一组变量的典型变量所能解释的比例，即为重叠系数。 例1：CRM（Customer Relationship Management）即客户关系管理案例，有三组变量，分别是公司规模变量两个（资本额，销售额），六个CRM实施程度变量（WEB网站，电子邮件，客服中心，DM 快讯广告Direct mail缩写，无线上网，简讯服务），三个CRM绩效维度（行销绩效，销售绩效，服务绩效）。试对三组变量做典型相关分析。
第十章多元统计课件
第十章 主成分分析 10.1 主成分分析概述 一、主成分的求法 当指标之间有一定的相关关系时，如果用较少的指标来代替较多的指标，而这些较少的指标既综合反映了原来较多的信息，相互之间又是无关联的。这些少数综合的指标就是原来多数指标的主要成分。这种处理问题的方法称为主成分分析（Principle Component Analysis ）。 利用这种降维的思想，产生了主成分分析、因子分析、典型相关分析、偏最小二乘回归等统计方法。本章介绍主成分分析(又称主成分分析或主轴分析)。 设是12(,,...,)T p X X X X =p 维随机向量，均值为E()X μ=，协差阵为()ij p p σ×Σ=，且Σ正定，不妨设0μ=，若不等于，可变换成。考虑它的线性变换： 001111121212212122221122...................................................................T p p T p p T p p p p pp F U X u X u X u X F U X u X u X u X F U X u X u X u X ?==+++?==+++?? ??==+++? p 或 T F U X =其中，。 12(,,,)p U U U U ="12(,,,)T p F F F F ="我们称满足以下两条：(1)在i F 1T i i U U =下方差最大，即使D()T i i F U U i =Σ达到最大；(2)的，cov(,)0,T i j i j F F U U i j =Σ=≠i F 1,2,,i p ="为随机向量X 的主成分。 主成分的求法可按下述三步完成： 第一步：求有非零特征根，并排序0Σ>1...0p λλ≥≥>； 第二步：找出(1,...,)i i p λ=相应的特征根，并进行单位化得到； 1,...,p U U 第三步：取， 分别就是,1,...,T i i F U X i p ==12,,p F F F "X 的第一主成分，第二主成分，……，第p 主成分，且 互不相关。 12,,...,p F F F 二、主成分的性质 记12diag(,...,)p λλλΛ=，其中12...p λλλ≥≥≥为Σ的特征值，U U 是相应的单位正交特征向量。主成分，其中，12,,,"p U 12(,,...,)T p F F F F =T i i F U X =1,2,...,i p =。则 (1) 或D()F =ΛD(),1,2,,i i F i p λ=="，且它们是互不相关的。 (2) 21 1 1 p p p ii i i i i i σ σλ=====∑∑∑。 (3) 称为对1 1 ( ) p i i k k g λλ?==∑i F X 各分量总和的贡献率，简称的贡献率，其值越大，表明i F i F
第8章 相关分析与回归分析及答案
第八章相关与回归分析 一、本章重点 1．相关系数的概念及相关系数的种类。事物之间的依存关系，可以分为函数关系和相关关系。相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。 2．相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数以及进行相关系数的推断。相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方法是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着密切的关系，得到样本相关系数后还要对总体相关系数进行科学推断。 3．回归分析，着重掌握一元回归的基本原理方法，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。用最小平方法估计回归参数，回归参数的性质和显著性检验，随机项方差的估计，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。 4．应用相关与回归分析应注意的问题。相关与回归分析都有它们的应用范围，必须知道在什么情况下能用，什么情况下不能用。相关分析和回归分析必须以定性分析为前提，否则可能会闹出笑话，在进行预测时选取的样本要尽量分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情况下才能进行，如果条件发生了变化，原来的方程也就失去了效用。 二、难点释疑 本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。为了掌握基本计算的内容，起码应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全部计算题。初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy、Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。如果能自己把这些公式推证一下，搞清其关系，那就更容易记住了。 三、练习题 （一）填空题 1事物之间的依存关系，根据其相互依存和制约的程度不同，可以分为（函数关系）和（相关关系）两种。 2．相关关系按相关关系的情况可分为（）和（）；按自变量的多少分（单相关）和（复相关）；按相关的表现形式分（线性相关）和（非线性相关）；按相关关系的密切程度分（完全相关）、（不完全相关）和（不相关）；按相关关系的方向分（正相关）和（负相关）。 3．回归方程只能用于由（自变量）推算（因变量）。 4．一个自变量与一个因变量的线性回归，称为（一元线性回归） 5．估计变量间的关系的紧密程度用（相关系数） 6．在相关分析中，要求两个变量都是随机的，而在回归分析中要求自变量是（不是随机的），因变量是（随机的）。 7．已知剩余变差为250，具有12对变量值资料，那么这时的估计标准误差是（）。 8．将现象之间的相关关系，用表格来反映，这种表称为（相关表），将现象之间的相关关系用图表示称（相关图）。
第八章 方差分析与相关分析
第八章方差分析与相关分析 一．方差分析1．基本概念 方差分析的概念：比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。 方差分析，又称为ANOVA（Analysis Of Variance）分析。 方差分析可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。方差分析只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。 考察下列例子： 某厂使用四种不同颜色对产品进行包装，经过在五个城市的试销，获得销售数据如下（单 观察数据的列平均值，列平均值的差异反映出不同颜色包装的销售业绩差异。此时，需要判断这种差异与同一颜色包装在不同城市间的差异相比，是否显著。如果不显著，则这种 2．方差分析原理 计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。 ●●建立原假设“H0：各组平均数相等” ●●构造统计量“F＝组间方差／组内方差”
●●在计算组间方差时，使用自由度为（r-1），计算组内方差时，使用自由度为 （n-r）。 ●●F满足第一自由度为（r-1），第二自由度为（n-r）的F分布。 ●●查表，若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。 根据方差计算的原理，生成方差分析表如下： 其中： 组间离差平方和 SSA (Sum of Squares for factor A) ＝39.084 误差项离差平方和 SSE (Sum of Squares for Error) ＝76.8455 总离差平方和 SST (Sum of Squares for Total)＝115.9295 P-value值为0.000466，小于0.05，所以拒绝原假设。 。 3．双因素方差分析 观察下列销售数据，欲了解包装方式和销售地区是否对于销售业绩有影响，涉及到双因素的方差分析。 此时需分别计算SSA、SSB与SSE之间的比值是否超过临界值。 计算方差分析表如下：
第九章对应分析资料
应用多元统计分析 第九章对应分析 对应分析又称相应分析,于1970年由法国统计学家J.P.Beozecri提出的.它是在R型和Q型因子分析基础上发展起来的多元统计分析方法,故也称为R-Q型因子分析. 因子分析方法是用少数几个公共因子去提取研究对象的绝大部分信息,既减少了因子的数目,又把握住了研究对象的相互关系.在因子分析中根据研究对象的不同,分为R型和Q型,如果研究变量间的相互关系时采用R型因子分析;如果研究样品间相互关系时采用Q型因子分析. 无论是R型或Q型都未能很好地揭示变量和样品间的双重关系. 另方面在处理实际问题中,样本的大小经常是比变量个数多得多.当样品个数n很大(如n>100),进行Q型因子分析时,计算n阶方阵的特征值和特征向量对于微型计算机的容量和速度都是难以胜任的. 还有进行数据处理时,为了将数量级相差很大的变量进行比较,常常先对变量作标准化处理,然而这种标准化处理对于变量和样品是非对等的,这给寻找R型和Q型之间的联系带来一定的困难. 第九章什么是对应分析 对应分析方法是在因子分析的基础上发展起来的,它对原始数据采用适当的标度方法.把R型和Q型分析结合起来,同时得到两方面的结果---在同一因子平面上对变量和样品一块进行分类,从而揭示所研究的样品和变量间的内在联系.
对应分析由R 型因子分析的结果,可以很容易地得到Q 型因子分析的结果,这不仅克服样品量大时作Q 型因子分析所带来计算上的困难,且把R 型和Q 型因子分析统一起来,把样品点和变量点同时反映到相同的因子轴上,这就便于我们对研究的对象进行解释和推断. 第九章 对应分析的基本思想 由于R 型因子分析和Q 型分析都是反映一个整体的不同侧面,因而它们之间一定存在内在的联系. 对应分析就是通过一个变换后的过渡矩阵Z 将二者有机地结合起来. 具体地说,首先给出变量间的协差阵R S =Z'Z 和样品间的协差阵 Q S =ZZ' ,由于Z'Z 和ZZ'有相同的非零特征根,记为12...m λλλ≥≥≥,如 果R S 的特征根i λ对应的特征向量为i v ,则Q S 的特征根i λ对应的特征向量i i i u Zv λ=.由此可以很方便地由R 型因子分析而得到Q 型因子分析的结果. 对应分析的基本思想 由A 的特征根和特征向量即可写出R 型因子分析的因子载荷阵(记为R A )和Q 型因子分析的因子载荷阵(记为Q A ).
第8章 相关分析
第 8 章 相关分析 8.1 相关分析的理论与方法 社会经济现象总体数量上所存在的依存关系有两种不同的类型，一种是函数关系，一种 是相关关系。函数关系是指当某一变量的数值确定之后，另一个变量的数值也完全随之而确定了。例如电路中的欧姆定律表述了电压、电阻和电流之间的关系：电压＝电流×电阻，若已知其中两个变量的值，则另一个变量的值就被唯一确定了。 相关关系是不完全确定的随机关系。在相关关系的情况下，当一个或几个相互联系的变量取一定的值时，与之相应的另一变量的值虽然不确定，但它仍然按某种规律在一定的范围内变化。例如，商品需求与商品价格之间的关系、投资额与国民收入之间的关系、得病率与性别的关系等等。 按照数据度量尺度的不同，相关分析的方法也不同。连续变量之间的相关性常用Pearson 简单相关系数来测定；定序变量的相关性常用Spearman 秩相关系数或Kendall 秩相关系数来测定；而定类变量的相关分析则要使用列联表分析方法。 8.1.1 连续变量的相关分析 1. Pearson 简单相关系数 对于像投资额、国民收入等连续变量之间的相关性分析常用Pearson 简单相关系数来测定，其基本公式如下： 2xy x y r σσσ= 其中，2 xy σ 为变量x 和的协方差，y x σ和y σ分别为变量x 和的标准差。 y Pearson 简单相关系数有如下的特征： r 1r ≤ ，r 越大表示两变量相关性越强，r 越小表示两变量相关性越弱 0r =时，表示两变量不存在线性相关关系 1r =时，表示两变量完全正相关 1r =?时，表示两变量完全负相关 2. Pearson 简单相关系数的检验 在实际分析中，相关系数大都是利用样本数据计算的，因而带有一定的随机性，因此也需要对相关关系的显著性进行检验，该检验的原假设为两总体相关系数等于0。 数学上可以证明，在原假设得到满足的条件下，有下面的t 统计量： t = 该统计量服从自由度为的t 分布。 2n ?
第十章典型相关分析
第十章 典型相关分析 （Canonical Correlation Analysis ） §10.1 引言 一、何时采用典型相关分析 1.两个随机变量Y 与 X ?? ?→?相关关系 简单相关系数； 2.一个随机变量Y 与一组随机变量 p X X ,,1 ?→?多重相关(复相关系数)； 3.一组随机变量q Y Y ,,1 与另一组随机变量p X X ,,1 ?→?典型(则)相关系数。 典型相关是简单相关、多重相关的推广；或者说简单相关系数、复相关系数是典型相关 系数的特例。 典型相关是研究两组变量之间相关性的一种统计分析方法，也是一种降维技术。 二、实例 由Hotelling (1935, 1936)最早提出，Cooley and Lohnes (1971)、 Kshirsagar (1972)和 Mardia, Kent, and Bibby (1979) 推动了它的应用。 实例（X 与Y 地位相同） 1985年中国28 省市城市男生(19～22岁)的调查数据。记形态指标身高(cm)、坐高、体重(kg)、胸围、肩宽、盆骨宽分别为621,,X X X ；机能指标脉搏(次/分)、收缩压(mmHg) 、舒张压(变音)、舒张压(消音)、肺活量(ml)分别为521,,Y Y Y 。现欲研究这两组变量之间的相关性。
简单相关系数矩阵
用简单相关系数描述两组变量的相关关系的缺点： 只是孤立考虑单个X 与单个Y 间的相关，没有考虑X 、Y 变量组内部各变量间的相关。 两组间有许多简单相关系数(实例为30个)，使问题显得复杂，难以从整体描述。(复相关系数也如此)。 对于上例，要想研究两组变量间的相关关系，构造线性函数如下： 5 25222121616212111Y a Y a Y a V X a X a X a U +++=+++= 要求它们之间具有最大相关性，这就是典型相关分析问题。 §10.2 典型相关分析的统计思想 典型相关分析研究两组变量之间整体性的线性相关关系，它是将每一组变量作为一个整体来进行研究而不是分析每一组变量内部的各个变量。 典型相关分析是借助于主成分分析的思想，对每一组变量分别寻找线性组合，使生成的新的变量能代表原始变量大部分的信息，同时，与由另一组变量生成的新的综合变量的相关程度最大，这样一组新的综合变量称为第一对典型相关变量，同样的方法可以找到第二对、第三对…使得各对典型相关变量之间互不相关，典型相关变量之间的简单相关系数称为典型相关系数。典型相关分析就是用典型相关系数衡量两组变量之间的相关性。 一、典型相关分析的统计思想 采用主成分思想寻找第i 对典型(相关)变量： m q p i Y b Y b Y b Y b V X a X a X a X a U q iq i i i p ip i i i =='=+++='=+++=),min(,,2,1 ,22112211 典型相关系数),(i i i V U Corr CanR =典型变量系数或典型权重b a '',，此处X 、Y 是已经过标准化的变量。 记第一对典型相关变量间的典型相关系数为:),(111V U Corr CanR = 使1U 与1V 间最大相关；第二对典型相关变量间的典型相关系数为：),(222V U Corr CanR =使2U 与2V 间最大相关，且分别与11,V U 无关；……。第i 对典型相关变量间的典型相关系数为：),(i i i V U Corr CanR =，使i U 与i V 间最大相关，且分别与 ,,,,2211V U V U 无关；且 0121≥≥≥≥≥i CanR CanR CanR 。 二、典型相关分析的基本理论和方法 设有两组随机变量：()()' ='=q p Y Y Y Y X X X X ,,,,,,,2121 ，X 、Y 的协方差矩阵为：? ?? ? ??∑∑∑∑=∑22211211。设q p <，11∑是第一组变量的协方差阵,22∑是第二组变量的协方差
matlab与典型相关分析
第十章典型相关分析 安庆师范学院胡云峰 习题10.2下表给出著名统计学家Rao在1952年对25个家庭的成年长子的头长（x1）、头宽（x2）、与次子头长（y1）、头宽（y2）进行调查所得数据如下: 长子次子长子次子头长头宽头长头宽头长头宽头长头宽191155179145190159195157 195149201152188151187158 181148185149163137161130 183153188149195155183158 176144171142186153173148 208157192152181145182146 189150190149175140165137 197159189152192154185152 188152197159174143178147 192150187151176139176143 179158186148197167200158 183147174147190163187150 174150185152 x=[191155179145;195149201152;181148185149;... 183153188149;176144171142;208157192152;... 189150190149;197159189152;188152197159;... 192150187151;179158186148;183147174147;... 174150185152;190159195157;188151187158;... 163137161130;195155183158;186153173148;... 181145182146;175140165137;192154185152;... 174143178147;176139176143;197167200158;... 190163187150] 第一步计算相关系数矩阵 程序R=corrcoef(x) 输出结果R= 1.00000.73460.71080.7040 0.7346 1.00000.69320.7086 0.71080.6932 1.00000.8393 0.70400.70860.8393 1.0000 计算A、B的特征值特征向量 程序 R11=R([1,2],[1,2]);
典型相关-spss
第八章 典型相关分析 在对经济问题的研究和管理研究中，不仅经常需要考察两个变量之间的相关程度，而且还经常需要考察多个变量与多个变量之间即两组变量之间的相关性。典型相关分析就是测度两组变量之间相关程度的一种多元统计方法。 第一节 典型相关的基本原理 （一）典型相关分析的基本思想 典型相关分析方法(canonical correlation analysis)最早源于荷泰林(H，Hotelling)于1936年在《生物统计》期刊上发表的一篇论文《两组变式之间的关系》。他所提出的方法经过多年的应用及发展，逐渐达到完善，在70年代臻于成熟。由于典型相关分析涉及较大量的矩阵计算，其方法的应用在早期曾受到相当的限制。但随着当代计算机技术及其软件的迅速发展，弥补了应用典型相关分析中的困难，因此它的应用开始走向普及化。 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种统计分析方法。为了研究两组变量 1X ，2X ，…，p X 和1Y ， 2Y ，…，q Y 之间的相关关系，采用类似于主成分分析的方 法，在两组变量中，分别选取若干有代表性的变量组成有代表性的综合指标，通过研究这两组综合指标之间的相关关系，来代替这两组变量间的相关关系，这些综合指标称为典型变量。 （二）典型相关分析的数学描述 设有两随机变量组=X ( 1X ，2X ，…，)′p X 和=Y ( 1Y ， 2Y ，…，q Y )′， 不妨设p ≤q 。 对于X ，Y ，不妨设第一组变量的均值和协方差为矩阵为 ()X E =1μ Cov ()X =∑ 11 第二组变量的均值和协方差为矩阵为 ()Y E =2μ Cov ()Y = ∑ 22 第一组与第二组变量的协方差为矩阵为 Cov ()Y X ,=∑12= ∑21' 于是，对于矩阵 Z = ?? ? ? ??Y X 有 （9—1—1） 均值向量 μ=E ()Z =E ()()??????Y E X E =?? ? ???21μμ （9—1—2） 协方差矩阵 ()() ∑ +×+q p q p =E ()μ?Z ()′ ?μZ
典型相关分析
引言 在一元统计分析中，用相关系数来衡量两个随机变量之间的线性相关关系；用复相关系数研究一个随机变量和多个随机变量的线性相关关系。然而，这些统计方法在研究两组变量之间的相关关系时却无能为力。比如要研究生理指标与训练指标的关系，居民生活环境与健康状况的关系，人口统计变量与消费变量（之间是否具有相关关系。阅读能力变量（阅读速度、阅读才能）与数学运算能力变量（数学运算速度、数学运算才能）是否相关。典型相关分析（Canonical Correlation ）是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量之间的内在联系。 1936年霍特林（Hotelling ）最早就“大学表现”和“入学前成绩”的关系、政府政策变量与经济目标变量的关系等问题进行了研究，提出了典型相关分析技术。之后，Cooley 和Hohnes （1971），Tatsuoka （1971）及Mardia ，Kent 和Bibby （1979）等人对典型相关分析的应用进行了讨论，Kshirsagar （1972）则从理论上给出了最好的分析。 典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系，将两组变量相关关系的分析，转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系分析。目前，典型相关分析已被应用于心理学、市场营销等领域。如用于研究个人性格与职业兴趣的关系，市场促销活动与消费者响应之间的关系等问题的分析研究。 第一章、典型相关的基本理论 1.1 典型相关分析的基本概念 典型相关分析由Hotelling 提出，其基本思想和主成分分析非常相似。首先在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度。 设()()()()()1p 12111，X ，，X X X =，()()() ()() 2p 22212X X X X ，， ， =是两个相互关联的随机向量，分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量i U 、i V ，使得每一个综合变量是原变量的线性组合，即： ()() ()()()()()()1i 1p i p 12i 211i 1i X a X a X a X a U ' =+++= （1-1）
8第八章地理系统要素关系的主成分分析
第八章地理系统要素关系的主成分分析 地理工作者在地理系统的区域构成分析中，常常用多个指标来分析、比较各个地理区域的特征和“职能”，为地理区域类型的划分和制定区域发展战略提供依据。但由于指标多会增加分析问题的复杂性，能否通过某些线性组合，使原始变量减少为有代表意义的少数几个新的变量，以少数几个指标或“成分”来代表多数指标？这是对地理系统进行分析的关键问题。例如在环境研究中，需要对许多环境要素进行观测；在土地资源研究中，需要对土壤样品进行多指标的分析化验。而这些要素和指标之间，常存在密切关系，要考察全部要素和测试指标，常常要做大量重复的工作。例如有30测试指标，也许10多种指标即可代表。由此可见减少研究的要素，使系统简化，是地理学研究中的重要环节。事实上，如果复杂的地理系统，不加以任何简化，不抓住对地理系统影响的主要矛盾，要对之进行深入的研究，几乎是不可能的。本章介绍主成分分析方法就是解决上述问题的数学方法。 §1 主成分分析方法原理 主成分分析是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一种统计方法，达到降维和去相关目的，既由多个变量变换为少数几个相互独立的综合变量。主成分分析也称K-L变换。因子分析不仅可以用来研
究变量之间的相关关系，还可用来研究样品之间的相关关系，通常将前者称之为R 型因子分析，后者称之为Q 型因子分析。 假设有n 个地理样本，每个样本观测p 个指标，如何从这么多指标的数据中抓住地理事物的内在规律性呢？如前所述，多数情况下，指标之间存在着相关关系，这时要弄清它们的规律须在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，一个自然的想法是找比较少的综合指标来代表原来较多的指标，而这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标的信息，它们彼此之间又是独立的。综合指标如何选取呢？通常是取原指标的线性组合，适当调它们的系数，使综合指标之间相互独立且代表性最好。 记原来的变量指标为12,...,p x x x ，综合指标（新综合变量）为 12,,...,m z z z （m p ） 即