初三数学数与式专题检测题
初三数学 数与式 专题检测题 测试时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(每小题2分，共30分) 1．2 016的相反数为( )
A ．12 016
B ．－12 016
C ．－2 016
D ．2 016
2．实数tan 45°，3
8，－35π，9，－13，sin 60°, 0.313 113 111 3…(相邻两个3之
间依次多一个1)，其中无理数的个数是( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．3 3．下列各数中，最小的数是( )
A ．－3
B ．|－2|
C ．(－3)2
D ．2×103 4．面积为2的正方形的边长在( )
A ．0和1之间
B ．1和2之间
C ．2和3之间
D ．3和4之间 5．下列运算正确的是( )
A ．? ????－322＝－94
B ．(3a 2)3＝9a 6
C ．5－3÷5－5
＝125 D ．8－50＝－3 2
6．2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为( )
A ．0.6×1013元
B ．60×1011元
C ．6×1012元
D ．6×1013元 7．下列计算正确的是( )
A ．a 4＋a 4＝a 8
B ．(a 3)4＝a 7
C ．12a 6b 4÷3a 2b －2＝4a 4b 2
D ．(－a 3b )2＝a 6b 2 8．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 |a |＋（a －b ）2的结果是( )
A ．－2a ＋b
B ．2a －b
C ．－b
D ．b 9．下列结论正确的是( )
A ．3a 2b －a 2b ＝2
B ．单项式－x 2的系数是－1
C ．使式子x ＋2有意义的x 的取值范围是x ＞－2
D ．若分式a 2－1
a ＋1
的值等于0，则a ＝±1
10．2014年某省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长了9.5%.若2013年和2015该省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a，b之间满足的关系式是() A．b＝a(1＋8.9%＋9.5%) B．b＝a(1＋8.9%×9.5%)
C．b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%) D．b＝a(1＋8.9%)2(1＋9.5%)
11．下列因式分解正确的是()
A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
12．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为()
A．42 B．49 C．76 D．77
13．已知x－1
x
＝3，则4－
1
2
x2＋
3
2
x的值为()
A．1 B．3
2
C．
5
2
D．
7
2
14．若(x－2)2＋|y＋3|＝0，则(x＋y)2 016的值为()
A．0 B．1 C．－1 D．无法确定
15．在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是()
A．4，2，1 B．2，1，4 C．1，4，2 D．2，4，1
二、填空题(每小题3分，共30分)
16．比较大小：5－35－2 2
.
17．2015年7月，第四十五届“世界超级计算机500强排行榜”榜单发布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒3 386×1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将3 386×1013用科学记数法表示成a×10n的形式，则n的值是．
18．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为．
19．已知a＋b＝8，a2b2＝4，则a2＋b2
2
－ab＝．
20．计算（1－2）2＋18的值是．
21．已知：()a ＋62
＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为 ． 22．分解因式：(m ＋1)(m －9)＋8m ＝ ．
23．已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则该正数的值是 ． 24．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a ＋b )n
(n ＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按a 的次数由大到小的顺序)：
请依据上述规律，写出? ?
???x －2x 2 016展开式中含x 2 014项的系数是 ．
25．实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B (如图)，若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB ，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m －n ＝ ．
三、解答题(共40分) 26．(每小题5分，共15分)
(1)计算：|2|＋(π－3)0
＋? ??
??12－1
－2cos 45°.
(2)计算：3
27＋|5－2|－? ??
??13－2
＋(tan 60°－1)0.
(3)计算：－32＋3×1
tan 60°
＋|2－3|.
27．(1)(4分)先化简，再求值：(2x ＋1)·(2x －1)－(x ＋1)(3x －2)，其中x ＝2－1.
(2)(5分)先化简，再求值：? ????3x x －2－x x ＋2÷x x 2－4，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
(3)(5分)(2016·温州实验中学调研)先化简，再求值：? ????2
a －1－1a ÷a 2＋a a 2－2a ＋1
，其中a 2＋a －2＝0.
28．(11分)观察下列等式：
12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32， 34×473＝374×43， 62×286＝682×26， …
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52×______＝______×25； ②______×396＝693×______；
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a ＋b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a ，b )，并证明．
初三数学数与式 专题检测题答案 测试时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(每小题2分，共30分) 1．2 016的相反数为( C )
A ．12 016
B ．－12 016
C ．－2 016
D ．2 016
2．实数tan 45°，3
8，－35π，9，－13，sin 60°, 0.313 113 111 3…(相邻两个3之
间依次多一个1)，其中无理数的个数是( A )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．3 3．下列各数中，最小的数是( A )
A ．－3
B ．|－2|
C ．(－3)2
D ．2×103 4．面积为2的正方形的边长在( B )
A ．0和1之间
B ．1和2之间
C ．2和3之间
D ．3和4之间 5．下列运算正确的是( D )
A ．? ????－322＝－94
B ．(3a 2)3＝9a 6
C ．5－3÷5－5
＝125 D ．8－50＝－3 2
6．2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为( C )
A ．0.6×1013元
B ．60×1011元
C ．6×1012元
D ．6×1013元
7．下列计算正确的是( D )
A．a4＋a4＝a8 B．(a3)4＝a7 C．12a6b4÷3a2b－2＝4a4b2 D．(－a3b)2＝a6b2 8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 |a|＋（a－b）2的结果是( A )
A．－2a＋b B．2a－b C．－b D．b
9．下列结论正确的是( B )
A．3a2b－a2b＝2
B．单项式－x2的系数是－1
C．使式子x＋2有意义的x的取值范围是x＞－2
D．若分式a2－1
a＋1
的值等于0，则a＝±1
10．2014年某省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长了9.5%.若2013年和2015该省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a，b之间满足的关系式是() A．b＝a(1＋8.9%＋9.5%) B．b＝a(1＋8.9%×9.5%)
C．b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%) D．b＝a(1＋8.9%)2(1＋9.5%)
【解析】∵2013年某省财政收入为a亿元，2014年财政收入比2013年增长8.9%，∴2014年财政收入为a(1＋8.9%)亿元，∵2015年比2014年增长9.5%，∴2015年财政收入为b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%)．故选C．
【答案】C
11．下列因式分解正确的是()
A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
【解析】A中，原式＝(x＋2)(x－2)，故A错误；B中，原式＝(x＋1)2，故B错误；C 中，原式＝3m(x－2y)，故C错误；D中，原式＝2(x＋2)，故D正确．故选D．【答案】D
12．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为( C )
A．42 B．49 C．76 D．77
13．已知x－1
x
＝3，则4－
1
2
x2＋
3
2
x的值为( D )
A．1 B．3
2
C．
5
2
D．
7
2
14．若(x －2)2＋|y ＋3|＝0，则(x ＋y )2 016的值为( B )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．无法确定
15．在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是( )
A ．4，2，1
B ．2，1，4
C ．1，4，2
D ．2，4，1
【解析】若最初输入的数是4，∵x ＝4是偶数，则对应的值是4
2＝2，而x ＝2是偶数，
则对应的值是2
2＝1，而 x ＝1是奇数，则对应的数是3×1＋1＝4，∴以4，2，1为一个
循环节进入循环；类似用上述方法可得：当最初输入的数是2时，其将以2，1，4为一个循环节进入循环；当最初输入的数是1时，其将以1，4，2为一个循环节进入循环．故选D ．
【答案】D
二、填空题(每小题3分，共30分) 16．比较大小：5－3＜
5－2
2
. 【解析】∵4＜5＜9, ∴2＜5＜3, ∴5－3＜0，5－ 2＞0, ∴5－3＜
5－2
2
. 17．2015年7月，第四十五届“世界超级计算机500强排行榜”榜单发布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒3 386×1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将3 386×1013用科学记数法表示成a ×10n 的形式，则n 的值是16．
18．当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为－6． 19．已知a ＋b ＝8，a 2b 2
＝4，则
a 2＋
b 2
2
－ab ＝28或36．
【解析】
a 2＋
b 2
2－ab ＝（a ＋b ）2－2ab 2－ab ＝（a ＋b ）22－ab －ab ＝（a ＋b ）2
2
－2ab .∵a 2b 2
＝4，∴ab ＝±2.①当a ＋b ＝8，ab ＝2时，a 2＋b 2
2－ab ＝（a ＋b ）22－2ab ＝64
2
－2×2＝28；②当
a ＋
b ＝8，ab ＝－2时，
a 2＋
b 2
2－ab ＝（a ＋b ）22－2ab ＝64
2
－2×(－2)＝36，故答案为28或36.
20．计算（1－2）2＋18的值是42－1．
21．已知：()a ＋62
＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为12．
【解析】∵(a ＋6)2
≥0，b 2
－2b －3≥0，且()a ＋62
＋b 2－2b －3＝0，∴(a ＋6)2＝0，
b 2－2b －3＝0，∴a ＝－6，b 2－2b －3＝0，即b 2－2b ＝3，于是2b 2－4b －a ＝2(b 2－2b )－ a ＝6－(－6)＝12.
22．分解因式：(m ＋1)(m －9)＋8m ＝(m ＋3)(m －3)．
【解析】(m ＋1)(m －9)＋8m ＝m 2－9m ＋m －9＋8m ＝m 2－9＝(m ＋3)(m －3)． 23．已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则该正数的值是4．
24．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a ＋b )n (n ＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按a 的次数由大到小的顺序)：
请依据上述规律，写出?
?
???x －2x 2 016展开式中含x 2 014项的系数是－4 032．
【解析】根据杨辉三角，? ?
???x －2x 2 016展开式中含x 2 014项的系数，就是展开式中第二项的
系数，即－2 016×2＝ －4 032.
25．实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B (如图)，若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB ，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m －n ＝ ．
【解析】由题意，得AB ＝b －a ＝2 ，设AM ＝x ，则BM ＝2－x ，则x 2＝2(2－x )，解得x 1
＝－1＋5，x 2＝ －1－5(舍去) ，则AM ＝BN ＝5－1 ，∴MN ＝m －n ＝AM ＋BN －2＝2(5－1)－2＝25－4.
【答案】25－4
三、解答题(共40分) 26．(每小题5分，共15分)
(1)计算：|2|＋(π－3)0
＋? ??
??12－1
－2cos 45°.
解：原式＝2＋1＋2－2×
2
2
＝2＋1＋2－2＝3. (2)计算：3
27＋|5－2|－? ????13－2
＋(tan 60°－1)0.
解：原式＝3＋5－2－9＋1＝5－7. (3)计算：－32
＋3×1
tan 60°
＋|2－3|.
解：原式＝－9＋3×1
3
＋3－2＝－5－ 2.
27．(1)(4分)先化简，再求值：(2x ＋1)·(2x －1)－(x ＋1)(3x －2)，其中x ＝2－1.
解：原式＝4x 2－1－(3x 2＋3x －2x －2)
＝4x 2
－1－3x 2
－x ＋2 ＝x 2－x ＋1.
把x ＝2－1代入，得 原式＝(2－1)2－(2－1)＋1
＝2－22＋1－2＋1＋1 ＝5－3 2.
(2)(5分)先化简，再求值：? ????3x x －2－x x ＋2÷x x 2－4，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
解：原式＝
3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·（x ＋2）（x －2）
x
＝2x ＋8.
∵当x ＝－2，0，2时，分式无意义，
∴x 只能取1. ∴原式＝2＋8＝10.
(3)(5分)(2016·温州实验中学调研)先化简，再求值：? ????2
a －1－1a ÷a 2＋a a 2－2a ＋1，其中a 2
＋a －2＝0.
解：原式＝2a －（a －1）a （a －1）÷a （a ＋1）（a －1）2＝a ＋1
a （a －1）·
（a －1）2a （a ＋1）＝a －1
a
2.由a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2或1.
当a ＝1时，原分式无意义，所以a ＝－2. 当a ＝－2时，原式＝
－2－1（－2）2＝－3
4
.
28．(11分)观察下列等式：
12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32， 34×473＝374×43， 62×286＝682×26， …
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52×______＝______×25； ②______×396＝693×______；
解：①275 572 ②63 36(①∵5＋2＝7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275＝572×25.
②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，∴63×396＝693×36.)
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a ＋b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a ，b )，并证明．
解：∵左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ， ∴左边的两位数是10a ＋b ，三位数是100b ＋10(a ＋b )＋a ，右边的两位数是10b ＋a ，三位数是100a ＋10(a ＋b )＋b ， ∴一般规律的式子为(10a ＋b )×[100b ＋10(a ＋b )＋a ]＝[100a ＋10(a ＋b )＋b ]×(10b ＋a )，证明：左边＝(10a ＋b )×[100b ＋10(a ＋b )＋a ]＝(10a ＋b )(110b ＋11a )＝11(10a ＋b )(10b ＋
a)，右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)·(10b＋a)，左边＝右边，∴“数字对称等式”一般规律的式子为(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．