题组层级快练(六十二)
1.若过抛物线y =2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=( ) A .-2 B .-1
2
C .-4
D .-116
答案 D
解析 由y =2x 2,得x 2=12y .其焦点坐标为F (0,18),取直线y =18,则其与y =2x 2交于A (-14,18),B (1
4,
18),∴x 1x 2=(-14)·(14)=-1
16
. 2.设离心率为e 的双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,直线l 过焦点F ,且斜率为k ,则
直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A .k 2-e 2>1
B .k 2-e 2<1
C .e 2-k 2>1
D .e 2-k 2<1
答案 C
解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是-b a a 2=e 2-1,即e 2-k 2>1,故选C. 3.已知椭圆x 2+2y 2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A .3 2 B .2 3 C.303 D.32 6 答案 C 解析 设y -1=k (x -1),∴y =kx +1-k . 代入椭圆方程,得x 2+2(kx +1-k )2=4. ∴(2k 2+1)x 2+4k (1-k )x +2(1-k )2-4=0. 由x 1+x 2=4k (k -1)2k 2+1=2,得k =-12,x 1x 2=1 3. ∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4-43=8 3. ∴|AB |= 1+14·263=303 . 4.已知抛物线y =2x 2上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1x 2=-1 2,那么m 的 值等于( ) A.32 B.52 C .2 D .3 答案 A 解析 因为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在抛物线y =2x 2上,所以y 1=2x 2 1,y 2=2x 22,两式相减,得y 1-y 2 =2(x 1-x 2)(x 1+x 2),不妨设x 1 x 1-x 2=-1,所以x 1+x 2 =-12.而x 1x 2=-12,解得x 1=-1,x 2=12,设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-1 4,y 0= y 1+y 22 =2x 21+2x 222=54.因为中点M 在直线y =x +m 上,所以54=-14+m ,解得m =32 . 5.已知双曲线x 2 -y 2 4 =1,过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点,则l 的条数为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 答案 A 解析 ①斜率不存在时,方程为x =1符合. ②设斜率为k ,y -1=k (x -1),kx -y -k +1=0. ? ???? 4x 2-y 2=4,y =kx -k +1, (4-k 2)x 2+(2k 2-2k )x -k 2+2k -5=0. 当4-k 2=0,k =±2时符合; 当4-k 2≠0,Δ=0,亦有一个答案,∴共4条. 6.(2015·东北三校)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点M (-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A ,B ,且满足AF →·BF →=0,则直线AB 的斜率k =( ) A. 2 B.2 2 C. 3 D.33 答案 B 解析 依题意,设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),代入抛物线方程y 2=4x 并整理,得k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0.因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以Δ=(2k 2-4)2-4k 4>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则??? ?? x 1+x 2=4-2k 2 k 2,x 1x 2=1. 又因为AF →·BF →=0,所以(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0,(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+1)(x 2+1)=0, (1+k 2)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=0.把????? x 1+x 2=4-2k 2 k 2,x 1x 2=1,代入并整理,得k 2=12.又k >0,所以k =22 , 故选B. 7.已知抛物线y 2=8x ,过动点M (a,0),且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ,B ,|AB |≤8,则实数a 的取值范围是________.