土力学土压力计算
第六章 挡土结构物上的土压力
第一节 概述
第五章已经讨论了土体中由于外荷引起的应力，本章将介绍土体作用在挡土结构物上的土压力，讨论土压力性质及土压力计算，包括土压力的大小、方向、分布和合力作用点，而土压力的大小及分布规律主要与土的性质及结构物位移的方向、大小等有关，亦和结构物的刚度、高度及形状等有关。 一、挡土结构类型对土压力分布的影响
定义：挡土结构是一种常见的岩土工程建筑物，它是为了防止边坡的坍塌失稳，保护边坡的稳定，人工完成的构筑物。
常用的支挡结构结构有重力式、悬臂式、扶臂式、锚杆式和加筋土式等类型。 挡土墙按其刚度和位移方式分为刚性挡土墙、柔性挡土墙和临时支撑三类。 1．刚性挡土墙
指用砖、石或混凝土所筑成的断面较大的挡土墙。
由于刚度大，墙体在侧向土压力作用下，仅能发身整体平移或转动的挠曲变形则可忽略。墙背受到的土压力呈三角形分布，最大压力强度发生在底部，类似于静水压力分布。 2．柔性挡土墙
当墙身受土压力作用时发生挠曲变形。 3．临时支撑
边施工边支撑的临时性。 二、墙体位移与土压力类型
墙体位移是影响土压力诸多因素中最主要的。墙体位移的方向和位移量决定着所产生的土压力性质和土压力大小。 1.静止土压力（0E ）
墙受侧向土压力后，墙身变形或位移很小，可认为墙不发生转动或位移，墙后土体没有破坏，处于弹性平衡状态，墙上承受土压力称为静止土压力0E 。 2.主动土压力（a E ）
挡土墙在填土压力作用下，向着背离填土方向移动或沿墙跟的转动，直至土体达到主动平衡状态，形成滑动面，此时的土压力称为主动土压力。 3.被动土压力（p E ）
挡土墙在外力作用下向着土体的方向移动或转动，土压力逐渐增大，直至土体达到被动极限平衡状态，形成滑动面。此时的土压力称为被动土压力p E 。
同样高度填土的挡土墙，作用有不同性质的土压力时，有如下的关系：
p E >0E > a E
在工程中需定量地确定这些土压力值。
Terzaghi （1934）曾用砂土作为填土进行了挡土墙的模型试验，后来一些学者用不同土作为墙后填土进行了类似地实验。
实验表明：当墙体离开填土移动时，位移量很小，即发生主动土压力。该位移量对砂
土约0.001h ，（h 为墙高），对粘性土约0.004h 。
当墙体从静止位置被外力推向土体时，只有当位移量大到相当值后，才达到稳定的被动土压力值p E ，该位移量对砂土约需0.05h ，粘性土填土约需0.1h ，而这样大小的位移量实际上对工程常是不容许的。本章主要介绍曲线上的三个特定点的土压力计算，即0E 、
a E 和p E 。
图6-1
三、研究土压力的目的
研究土压力的目的主要用于：
1．设计挡土构筑物，如挡土墙，地下室侧墙，桥台和贮仓等； 2．地下构筑物和基础的施工、地基处理方面；
3．地基承载力的计算，岩石力学和埋管工程等领域。
第二节 静止土压力的计算
计算静止土压力时，墙后填土处于弹性平衡状态，由于墙静止不动，土体无侧向移动，可假定墙后填土内的应力状态为半无限弹性体的应力状态。这时，土体表面下任意深度Z 处，作用在水平面上的主应力为：z z ?=γσ （6-1）
在竖直面的主应力为： z k x ??=γσ0 （6-2）
式中：0K ——土的静止侧压力系数。
γ——土的容重
x σ即为作用在竖直墙背上的静止土压力，即：与深度Z 呈线性直线分布。
可见：静止土压力与Z 成正比，沿墙高呈三角形分布。 单位长度的挡土墙上的静压力合力0E 为：
0202
1
K H E ??=γ （6-3）
图6-2
可见：总的静止土压力为三角形分布图的面积。 式中，
H ------ 挡土墙的高度。
0E ------ 的作用点位于墙底面以上H/3处。
静止侧压力系数K 0的数值可通过室内的或原位的静止侧压力试验测定。其物理意义：在不允许有侧向变形的情况下，土样受到轴向压力增量△σ1将会引起侧向压力的相应增量△σ3，比值△σ3/△σ1称为土的侧压力系数§或静止土压力系数k 0。
ν
ν
σσξ-=??=
=1130K （6-4） 室内测定方法：
（1）、压缩仪法：在有侧限压缩仪中装有测量侧向压力的传感器。
（2）、三轴压缩仪法：在施加轴向压力时，同时增加侧向压力，使试样不产生侧向变形。
上述两种方法都可得出轴向压力与侧向压力的关系曲线，其平均斜率即为土的侧压力系数。
对于无粘性土及正常固结粘土也可用下式近似的计算：
'sin 10?-=K （6-5）
式中：'?——为填土的有效摩擦角。
对于超固结粘性土：m
C N c o OCR K K )()()(00+=??
式中：c o K ?)(0——超固结土的0K 值
C N K ?)(0——正常固结土的0K 值
OCR ——超固结比
m ——经验系数，一般可用m ＝0.41。
第三节 朗金土压力理论
一、基本原理
朗金研究自重应力作用下，半无限土体内各点的应力从弹性平衡状态发展为极限平很状态的条件，提出计算挡土墙土压力的理论。 （一）假设条件 1．挡土墙背垂直 2．墙后填土表面水平
3．挡墙背面光滑即不考虑墙与土之间的摩擦力。 （二）分析方法
由图6-3可知：
图6-3
1．当土体静止不动时，深度Z 处土单元体的应力为rz z =σ，rz k x 0=σ；
2．当代表土墙墙背的竖直光滑面AB 面向外平移时，右侧土体制的水平应力x σ逐渐减小，而z σ保持不变。当AB 位移至'
'
B A 时，应力园与土体的抗剪强度包线相交——土体达到主动极限平衡状态。此时，作用在墙上的土压力z σ达到最小值，即为主动土压力
a P ；
3．当代表土墙墙背的竖直光滑面AB 面在外力作用下向填土方向移动，挤压土时，x σ将逐渐增大，直至剪应力增加到土的抗剪强度时，应力园又与强度包线相切，达到被动极限平衡状态。此时作用在''B A 面上的土压力达到最大值，即为被动土压力p P 。
二、水平填土面的朗金土压力计算 （一）主动土压力
当墙后填土达主动极限平衡状态时，作用于任意Z 处土单元上的1σγσ==z z ，
3σσ==Pa x ，即x z σσ>。
图6-4
1、 无粘性土
对于无粘性土，粘结力0=c ，则有：
将rz z ==σσ1，a P =3σ代入无粘性土极限平衡条件：
a zK γ?
σσ=-=)2
45(tan 213 （6-6）
式中：)2
45(tan 2
?
-
=
a K ——朗金主动土压力系数
a P 的作用方向垂直于墙背，沿墙高呈三角形分布，当墙高为H （Z=H ），则作用于单
位墙高度上的总土压力a a K H E 2
2
γ=，a E 垂直于墙背，作用点在距墙底
3
H
处，如图6-4（b ） 2、粘性土
将a r P z ===31,σγσσ，代入粘性土极限平衡条件：
)2
45tan(2)2
45(tan 213?
?σσ---= c 得
a a a K c zK c P 2)2
45tan(2)245(tan 21-=---=γ?
?σ （6-7）
说明：粘性土得主动土压力由两部分组成，第一项：a zK γ为土重产生的，是正值，随深度呈三角形分布；第二项为粘结力c 引起的土压力a K c 2，是负值，起减少土压力的作用，其值是常量。如图6-4（c ）所示。
总主动土压力a E 应为图6-4（c ）所示三角形面积，即：
r c K cH K H K r c
H K c HK E a a a a a a 22
22212)(2(21+
-=???
?????-
-=γγ （6-8） a E 作用点则位于墙底以上)(3
1
0h H -处。
（二）被动土压力
如图6-5（a ）当墙后土体达到被动极限平衡状态时，z x σσ>，则p x P ==σσ1，
z z γσσ==3。
1、无粘性土
将p P =1σ，z γσ=3代入无粘性土极限平衡条件式中)2
45(tan 231?
σσ+
=
可得：p p zK z P γ?
γ=+=)2
45(tan 2
（6-9）
式中：)2
45(tan 2
?
+
=
p K ——称为朗金被动土压力系数
p P 沿墙高底分布及单位长度墙体上土压力合力p E 作用点的位置均与主动土压力相
同。如图6-5（b ）
p p K H E 2
2
γ=
（6-10）
墙后土体破坏，滑动面与小主应力作用面之间的夹角2
45?
α-=
，两组破裂面之间
的夹角则为?+o
90。
2、粘性土
将31,σγσ==z P p 代入粘性土极限平衡条件)2
45tan(2)245(tan 231?
?
σσ+++
=
c 可得：p p p K c zK c z P 2)2
45tan(2)245(tan 2+=+++
=γφ
φ
γ
（6-11）
粘性填土的被动压力也由两部分组成，都是正值，墙背与填土之间不出现裂缝；叠加后，其压力强度p P 沿墙高呈梯形分布；总被动土压力为：
p p p K cH K H E 22
1
2+=γ （6-12）
p E 的作用方向垂直于墙背，作用点位于梯形面积重心上，如图6-5（c ）。
图6-5
例6-1 已知某混凝土挡土墙，墙高为H ＝6.0m ，墙背竖直，墙后填土表面水平，填土的重度γ=18.5kN/m 3,φ=200,c =19kPa 。试计算作用在此挡土墙上的静止土压力，主动土压力和被动土压力，并绘出土压力分布图。
解：（1）静止土压力，取K 0＝0.5，00zK P γ=
m kn K H E /5.1665.065.182
1
212020=???==γ
E 0作用点位于下m H
0.22
=处，如图a 所示。
（2）主动土压力
根据朗肯主压力公式：a a a K c zK P 2-=γ，)2
45tan(φ
-
=
a K
γ
γ22
2221c K cH K H E a a a +-=
＝0.5×18.5×62×tg 2（45o－20o/2）－2×19×6×tg(45o－20o/2)＋2×192/18.5 ＝42.6kn/m
临界深度：m tg K c
Z a
93.2)2
20
45(5.1819220=-
??=
=
γ
Ea 作用点距墙底：
m Z H 02.1)93.20.6(3
1
)(310=-=-处，见图b 所示。 （3）被动土压力：
m
KN tg tg K cH K H E p p p /1005)2
2045(6192)22045(65.1821221222=+??++???=+=
γ 墙顶处土压力：KPa K c P p a 345421?==
墙底处土压力为：KPa K c HK P p p b 78.2802=+=γ
总被动土压力作用点位于梯形底重心，距墙底2.32m 处，见图c 所示。
55.5KN/m 2 27.79KN/ m 2 280.78KN/ m 2
(a) (b) (c)
图6-6
讨论：
1、由此例可知，挡土墙底形成、尺寸和填土性质完全相同，但0E ＝166.5 KN/m ，
a E =42.6 KN/m ，即：0E ≈4a E ，或04
1
E E a =
。 因此，在挡土墙设计时，尽可能使填土产生主动土压力，以节省挡土墙的尺寸、材料、工程量与投资。
2、a p p a E E m KN E m KN E 23,/1005,/6.42>==。因产生被动土压力时挡土墙位移过大为工程所不许可，通常只利用被动土压力的一部分，其数值已很大。
第四节 库仑土压力理论
一. 基本原理：
（一）假设条件：
1. 墙背倾斜，具有倾角ε；
2. 墙后填土为砂土，表面倾角为β角；
3. 墙背粗糙有摩擦力，墙与土间的摩擦角为δ，且（φδ<<）
4. 平面滑裂面假设；
当墙面向前或向后移动，使墙后填土达到破坏时，填土將沿两个平面同时下滑或上滑；一个是墙背AB 面，另一个是土体内某一滑动面BC 。设BC 面与水平面成α角。 5. 刚体滑动假设：
將破坏土楔ABC 视为刚体，不考虑滑动楔体内部的应力和变性条件。 6. 楔体ABC 整体处于极限平衡条件。
图6-7
（二）取滑动楔体ABC 为隔离体进行受力分析
分析可知：作用于楔体ABC 上的力有（1）土体ABC 的重量G ，（2）下滑时受到墙面AB 给予的支撑反力Q （其反方向就是土压力）。（3）BC 面上土体支撑反力R 。 1．根据楔体整体处于极限平衡状态的条件，可得知G 、R 的方向。（图6-8） 2．根据楔体应满足静力平衡力三角形闭合的条件，可知G 、R 的大小
3．求极值，找出真正滑裂面，从而得出作用在墙背上的总主动压力a E 和被动压力p E 。
图6-8
二 数解法
（一）无粘性土的主动压力
设挡土墙如图6-8所示，墙后为无粘性填土。
取土楔ABC 为隔离体，根据静力平衡条件，作用于隔离体ABC 上的力G 、Q 、R 组成力的闭合三角形。
根据几何关系可知：
G 与Q 之间的夹角αδ?--=0
90 G 与R 之间的交角为?α- 利用正弦定律可得：
()
[]
?αψ?α-+-=-0180sin )sin(G
Q
()()
?φθ?α+--=
sin sin Q G （6-13）
（式中：()()()
βθααθ?αγγ-?-?-=??=sin cos cos 22
2con H ABC Q ） 由此式可知：（1）若改变θ角，即假定有不同的滑体面BC ，则有不同的Q ，G 值；即：()θf Q =；（2）当αθ+=0
90时，即BC 与AB 重合，Q ＝0，G ＝0；当φθ=时，R
与G 方向相反，P ＝0。因此，当θ在α+0
90和φ之间变化时，Q 將有一个极大值，令：
0=θ
d dQ
，
将求得的θ值代入()()
?ψα?α-+-=
Sin G Q sin 得： Ka H Q E a 2max 2
1
γ== （6-14） 其中：()
()()()()()2
22cos cos 1cos cos cos ?
?
?
???-?+-?+++?-=
βαδαβφδφδαααφSin Sin K a
a E —库仑主动土压力系数。
当：0=α，0=δ，0=β时；由：a a K H E 2
2
1γ=
得出： ??? ?
?
-=
245tan 21022φγH E a 可见：与朗金总主动土压力公式完全相同，说明当0=α，0=δ，0=β这种条件下，库仑与朗金理论得结果时一致得。
关于土压力强度沿墙高得分步形式，dz
dE P a
az =， 即：
a a a az K z K z dz d dz dE P ??=??
?
??==
γγ221 可见：az P 沿墙高成三角形分布，a E 作用点在距墙底1/3H 处。
但这种分步形式只表示土压力大小，并不代表实际作用墙背上的土压力方向。而沿墙背面的压强则为αγcos ???a K z 。 （二）无粘性土的被动土压力
用同样的方法可得出总被动土压力p E 值为：
p p K H E 22
1
γ=
（6-15） 其中：()
()()()()()2
2
2cos cos sin sin 1cos cos cos ?
?
?
???-?-+?+--+=
βεδεβ?δ?δεεε?p K
p K ——库仑被动土压力系。
被动土压力强度pz P 沿墙也成三角形分布。
图6-9
第五节 朗肯理论与库伦理论的比较
朗金和库仑两种土压力理论都是研究压力问题的简化方法，两者存在着异同。 一 分析方法的异同
1.相同点：朗金与库仑土压力理论均属于极限状态，计算出的土压力都是墙后土体处于极限平衡状态下的主动与被动土压力a E 和p E 。
2.不同点：（1）研究出发点不同：朗金理论是从研究土中一点的极限平衡应力状态出发，首先求出的是a P 或p P 及其分布形式，然后计算a E 或p E — 极限应力法。
库仑理论则是根据墙背和滑裂面之间的土楔，整体处于极限平衡状态，用静力平衡条件，首先求出a E 或p E ,需要时再计算出a P 或p P 及其分布形式—滑动楔体法。 （2）研究途径不同
朗金理论再理论上比较严密，但应用不广，只能得到简单边界条件的解答。 库仑理论时一种简化理论，但能适用于较为复杂的各种实际边界条件应用广。 二 适用范围
（一）朗金理论的应用范围 1. 墙背与填土条件：
（1）墙背垂直，光滑，墙后填土面水平
即0=α，0=δ，0=β