数列 主题单元规划及思维导图

数列主题单元设计

主题单元标题数列

作者姓名张永伟所属单位五莲县街头中学联系地址五莲县街头镇育才街5号联系电话137******** 电子邮箱Zhyw137@https://www.wendangku.net/doc/3118188030.html, 邮政编码262309

学科领域（在内打√表示主属学科，打 + 表示相关学科）

思想品德

音乐

化学

＋信息技术劳动与技术语文

美术

生物

科学

√数学

外语

历史

社区服务

体育

物理

地理

社会实践

其他（请列出）：

适用年级高一年级

所需时间课时（共6课时）

主题单元概述(简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)

1.数列有着广泛的实际应用．如堆放物品总数的计算要用到数列前n项和公式；再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识．

2.数列起着承前启后的作用．一方面数列是一种特殊的函数，是刻画函数的离散现象．另一方面数列又为进一步学习数列极限奠定了基础．

3.数列是培养学生数学能力的良好题材．学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，验证的过程．这些都有助于学生数学能力的提高．

本单元分三个专题：（1）数列的概念与简单表示法（2）等差数列（3）等差数列的前n项和。

主题学习目标(描述该主题学习所要达到的主要目标)

知识与技能：

1.掌握数列的概念，理解数列和函数的关系，掌握数列的通项公式．

2.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

3.掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法：

1.培养学生从特殊到一般的归纳、类比能力．培养学生知识方法的迁移学习．

2.经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.经历等差数列前n项和公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

情感态度与价值观：

培养学生数学生活化，生活数学化的思想．激励学生敢于尝试，独立思考，勇于探索创新的精神，提高学生数学素养．对应课标

1.在通过实际问题引入数列概念后,对数列的函数背景进行了分析,明确了数列与函数的关系,指出数列是一类特殊函数,同时,对于函数),(x f y =如果),3,2,1)((???=i i f 有意义,这些函数值也可以组成一个数列,数列的通项公式可看作是数列的函数解析式.对等差数列的概念，通项公式，求和公式的研究，也是类比函数展开的.

2.突出数学思想方法，有类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般思想等。 类比思想：如，数列与函数的类比，又比如类比实数的四则运算，等差数列是对数列中的项实行加法运算得到的. 归纳思想：如等差数列及前n 项和公式的得出与推导过程，充分注意了学生的观察、猜想、发现、归纳、概括、总结等学习过程的体验，强调了归纳思想的具体运用。

数形结合思想：在数列概念的引入及其简单表示方面有具体应用。

算法思想：算法思想贯彻全章内容的始终，数列通项公式的求解，就有算法思想的体现。 方程思想：有关数量关系探究方面注重了方程思想的渗透。 特殊到一般思想：如等差数列概念的引入。

3.体现“现实情境----数学模型----应用于现实问题”的特点：教材的这种处理方式，注重了对学生从实际问题抽象出数列模型的能力的培养，数列的实际应用背景增加了，而对涉及数列中各量之间基本关系的繁难的技能训练题目，要求则有所降低，只要能达到基本技能训练目的就可以了。 主题单元问题设计

数列的概念是什么？等差数列是什么？等差数列的前n 项和是什么？

专题划分

专题一：数列的概念与简单表示法 （2 课时）

专题二：等差数列 （2 课时） 专题三：等差数列的前n 项和 （2 课时）

专题一 数列的概念与简单表示法 所需课时

2 课时

专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)

数列是高中数学的重要内容之一，它有着广泛的应用，是学生今后进一步学习的基础知识，也是培养学生数学能力的良好题材。本节先通过实例归纳出数列的概念，然后介绍数列的通项公式，最后通过例题分析介绍数学思考的方法。

本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）

知识与能力：理解数列及其有关概念；了解数列与函数的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列会根据其前几项写出它的通项。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力。 情感、态度、价值观：通过本节的学习，使学生体会数学来源于生活，感受数学发现的愉快，体验解决问题成功的快乐。

本专题问题设计 数列的概念是什么？数列是怎样表示的？数列中的项与项数的关系怎样的？数列中的项数具备哪些特性？

设计本节课时，力求强调过程，让学生探索新知识产生的经历和体验获得新知的愉悦，

努力创造一些数学情景，让学生自己去发现知识的产生过程，充分发挥学生在课堂上的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高他们分析问题、解决问题的能力。 所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源) 信息化资源 电脑、投影仪、PPT 常规资源 教材、学案 教学支撑环境 教室 其 他

学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）

（一）创设情境，课题导入：（学生自己阅读以下例子） 三角形数：1、3、6、10 … … 正方形数：1、4、9、16、25 … …

提出问题：同学们观察这两个例子，能否再列举一些这样的例子？ （同学们观察、讨论，师生一起再举一些例子）

()1全体自然数：0、1、2、3、4… …

()22精确到1，0.1，0.01，0.001 … …的不足近似值：1、1.4、1.41、1.414… ….

过剩近似值：2、1.5、1.42、1.415 … …

()3-1的1次幂，2次幂，3次幂… …：-1，1，-1，1，-1，1，…. ()4无穷多个2：2、2、2、2… …

（二）设置问题，形成概念

师：观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）

（学生分组讨论，可能会有不同的答案：有的是递增的；前数与后数的差符合一定的规律；都是按一定的顺序排列的；甚至有的学生从奇、偶性上考虑等）

教师引导归纳出数列及有关定义

1．数列：按照一定顺序排列着的一列数称为数列； 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项…。

如：上述例子均是数列，其中例

()1：“0”是这个数列的第1项（或首项）“4”是这个数列的第5项。

3.数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

思考：（1）n a 仅仅是数列的第n 项吗？

（经过学生的思考、讨论，明白了n a 有时是数列的第n 项，确定的，有时代表任意项，即具有任意性。）

（2）数列中的项有何特点？（引导学生结合集合中元素的“无序性”和“互异性”来考虑） 师：将数列

()1中的4和3互换顺序，还是原来的数列吗？数列中的数可不可以是一样的？

（师生一起深入研究数列的有关概念，总结出数列的项具有有序性和可重复性的特点） 4、数列的分类：（引导学生依据集合的分类来分析） （1）按项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列 无穷数列：项数无限的数列 （2）按数列项的大小分

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。如（1） 递减数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。如（2） 常数数列：各项相等的数列。如（4）

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。如（3） （三）数列的通项公式：

下面我们来研究这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式来表示？（引导学生进一步理解数列的定义，从而发现数列的通项公式）

教师举一个例子来引导：

项

1

21 31 41 5

1

… … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5… … 师：由此可见，这个数列的项与这一项的序号可用一个公式：n

a n 1

=

来表示其对应关系。也就是说，数列的项与序号之间存在着内在的、必然的规律。（给出通项公式的概念）

通项公式：如果数列｛n a ｝的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式。

（让学生讨论、归纳（1）、（2）、（3）、（4）的通项公式）

教师总结:并不是所有的数列都有通项公式如（2），有些数列的通项公式不唯一如（3）:

n n a )1(-= ;

πn a n cos = ; )2

sin(π

π+

=n a n

通项公式的作用：（1）、求数列中任意一项； （2）、检验某数是不是该数列中的项 通项公式的应用：（学生讲解，教师引导总结） 例一：已知数列的前4项，写出它的通项公式： （1） 1、

21-

、31、4

1- （2） 2、0、2、0

（3） 211?-

、321?、431?-、541? （4） 2122-、3132-、4142-、5

1

52-

例二、根据数列的通项公式，写出它的前五项

（1）1+=

n n a n

（2）n a n

n ?-=)1( （3）2)1(1n n a -+= （4）)

12)(12(2+-=n n n

a n

(四)数列与函数的关系：

师：由数列的通项公式观察数列中的数与序号之间存在什么关系？

生：在教师的引导下，联想到函数间的变量依赖关系，认识到数列是函数。 师：数列的定义域、值域分别是什么？

生：学生对定义域的陈述可能不严格或不完整，要引导学生注意回答的全面性。 师：在定义域的约束下，数列的图像有什么特点？ 生：一系列孤立的点。 （五）递推公式：

（在教师的引导下，学生阅读课本29页例1，从中领会数列的表示法之一：递推公式法）

递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的递推公式。

（师生一起分析课本29页例2，以加深对递推公式的认识。） （六）数列的表示法：

数列可以看作一种特殊的函数，教师引导学生回忆函数的表示方法来归纳数列的表示法------列举法、通项公式、递推公式、图像法。

课堂检测反馈：

1.根据下面数列的前几项，写出它的一个通项公式： （1）3、5、9、17、33… … （2）0、1、0、1、0、1… …

（3）

32、154、356、638、99

10… … （4）9、99、999、9999… …

（5）0.9、0.99、0.999、0.9999… …

2.根据下列数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳通项公式 （1）01=a ，)12(1-+=+n a a n n （2）11

=a ，2

21+=

+n n

n a a a

(七)课时小结：

1.你怎样理解“数列是刻画自然规律的数学模型”？

2.对数列与函数的关系，你是怎样理解的？

（通过学生的讨论、交流，教师的总结、评价，加深对函数概念的认识） （八）课后作业：

1.必做：练习B ；习题2-1A ，1-7.

2.选作：（1）仿照教材中的“思考与讨论”编拟数列问题，并自行解决或同学之间互问互答。 （2）搜集日常生活中的数据，编拟数列问题。

教学评价（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）1．通过许多实际的例子来让学生感知概念，然后在通过文字的归纳叙述让学生形成概念，再通过具体的例子来让学生理解文字描述的概念，由此层层深化概念。

2．通过制作课件,以简化板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益。

专题二等差数列

所需课时2课时

专题二概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)

本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用，因此把强调的问题放在较醒目的位置，突出了重点，同时还给学生留有作题的地方，整个板面看上去自然、清晰、美观，还能充分表现出精讲多练的教学方法。

本节在教材中应突出建模、类比方法的渗透与强化。

本专题学习目标（描述本专题学习所要达到的主要目标）

知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

能力目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。

情感目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

本专题问题设计1.等差数列“等差”的特点是什么及通项公式的含义？

2.等差数列的通项公式的推导过程及应用？

所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)

信息化资源电脑、投影仪、PPT

常规资源教材、学案

教学支撑环境教室

其他

学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）

一、复习引入：

1．回忆数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。

2．由生活中具体的数列实例引入

（1）国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：

年份1900 1904 1908 1912

高度（M） 3.33 3.53 3.73 3.93 你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗？

（2）某剧场前10排的座位数分别是：

48、46、44、42、40、38、36、34、32、30

引导学生观察：数列①、②有何规律?

引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列. （板书课题）

二.、新课探究，推导公式

1.等差数列的概念．

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

强调：

①“从第二项起”满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；

所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为 0.20 ， -2。

［练习一］判断下列五组各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d，如果不是，说明理由。

3，5，7，……√ d=2

9，6，3，0，-3，……√d=-3

0，0，0，0，0，0，…….;√d=0

1，2，3，2，3，4，……；×

1，0，1，0，1，……×

通过练习，加深对概念的理解,由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

2．等差数列通项公式

如果等差数列｛a n｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：

a2 - a1 =d 即：a2 =a1 +d

a3 –a2 =d 即：a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 –a3 =d 即：a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：

n=a1+(n-1)d

a2 - a1 =d

a3 - a2=d

a4–a3 =d

……

a n–a n-1 =d

将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到

a n- a1 =(n-1)d

即 a n = a1 +(n-1)d （Ⅰ）

当n=1时，（Ⅰ）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式（Ⅰ）都成立，因此它就是等差数列｛a n｝的通项公式。

三、应用举例

例1（1）求等差数列，12，8，4，0，…的第10项；20项；第30项；

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？

解：（1）由a1=12，d=8-12=-4，n=10得

∴ a10=12+（10-1）×（-4）= -24

（2）解：由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得

∴ a n= -5+（n-1）×（-4）=-4n-1

令 -4n-1= -401，解得n= 100

即 -401是这个数列的第100项

例2在等差数列｛an｝中，已知a4=7，a9 =22，求首项a1与公差d。

在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

例3梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

让学生会用所学数学公式解决简单的实际问题

四、反馈练习

1．P38练习A组第1题和第2题（要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问）。目的：使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。

2.如果直角三角形的三条边的长度成等差数列，且较长的直角边的长度为a，求较短直角边与斜边的长度。

目的：对学生加强建模思想训练。

五、归纳小结提炼精华

（由学生总结这节课的收获）

1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式an= a1+(n-1) d会知三求一

六、课后作业运用巩固

必做题：课本P38练习A组第3、4题，练习B。

选做题：（1）查阅有关资料，编写几道有关等差数列的题目，予以解答；

（2）请同学们对等差数列的性质做进一步的研究。

（教学设想：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的需求）板书设计

§2.2.1等差数列

1.定义

2.数学表达式

3.等差数列的通项公式例1（略）

练习：

例2（略）例3（略）

教学评价（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）1.选取与内容密切相关的典型的、丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想方法以及教学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养兴趣的目的。

2.通过“观察”、“思考”、“探究”等栏目，引发学生的思考和探究活动，切实改进学生的学习方式。

3.在教学中强调类比、数形结合、算法、方程等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯。

专题三……