盱眙县实验中学九年级数学学案 第四章 一元二次方程
§4.3用一元二次方程解决问题⑵
主备人:何笑淼 审核人:周帮宇 八年级( )班 姓名
【学习目标】
1.会列出一元二次方程解有关增长率应用题;
2.进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力
【巩固练习】
1.某商品两次价格上调后,单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是
A 、9%
B 、10%
C 、11%
D 、12%
2.某商品连续两次降价,每次都降20﹪后的价格为m 元,则原价是
A 、22
.1m 元 B 、1.2m 元 C 、28.0m 元 D 、0.82m 元 3.某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为128元.已知两次降价的百分率相同,每次降价的百分率为x ,根据题意列方程得
A 、168(1+x )2=128
B 、168(1﹣x )2
=128
C 、168(1﹣2x )=128
D 、168(1﹣x 2)=128
4.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%,如果每一年比上一年降低的百分率为x ,那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是
A 、(1-x)2=15%
B 、(1+x)2=1+15%
C 、(1-x)2=1+15%
D 、(1-x)2=1-15%
5.某林场第一年造林200亩,第一年到第三年共造林728亩,若设每年增长率为x ,则应列出的方程是________________________。
6..某工厂第一季度生产机床400台,如果每季度比上一季度增长的百分数相同,结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床,这个百分数是_______.
7.某厂1月份生产零件2万个,一季度共生产零件7.98万个,若每月的增长率相同,求每月的增长率.
8.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
勤奋+方法=成功 日期:2014年5月27日
9.某商店以2400元购进某种盒装茶叶,第一个月每盒按进价增加20%作为售价,售出50盒;第二个月每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的茶叶.在整个买卖过程中赢利350元,求每盒茶叶的进价.
10.雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款?
11.已知矩形ABCD ,长BC=12cm ,宽AB=8cm ,P 、Q 分
别是AB 、BC 上运动的两点。若P 自点A 出发,
以1cm/s 的速度沿AB 方向运动,同时,Q 自点B 出 发以2cm/s 的速度沿BC 方向运动,问经过几秒,以
P 、B 、Q 为顶点的三角形占矩形面积的
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豪迈职校数学导学案 2.1 一元二次方程 班级: 命题人:张淑慧审核人:孙海森 学习目标 姓名: 1.理解什么是“一元二次方程” ; 2.会用配方法解一元二次方程; 一、回顾旧知: 1、同学们,你们知道什么是一元二次方程吗?你以前见过吗?判断下面几个例子是否为一元二次方程?并说明理由。 (1) x 2 3x80 () 3x 2 20 2 (3)7x 6 0(4)8x29 2、根据上面的一元二次方程,你知道什么是一次项,什么是二次项,什么是常数项吗?你能说出一次项系数,二次项系数是什么吗?写写吧: 一元二次方程二次项二次项系数一次项一次项系数常数项(1)x23x 80 (2)3x220 (3)7x60 (4)8x29 二、探究新知:(预习课本 20-21 页,回答下列问题。) 1、一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 ,b24ac (1)根的情况 000 2、你会用配方法解方程吗?观察课本21 页的四个例题的求解过程,试着自己总结一下用配方法解方程的一般步骤: (1) (2) (3) 3、仿照课本 21 页例题的第 1 题,你会解下面的方程吗?(用你会的方法解一下吧) ( 1)x26x 7 0(2)x26x 70 三、课堂检测 1、说出下列一元二次方程的根 (1)x24 (2)( x 1)( x 2) 0 (3)x(x 3) 0 (4) ( x 1)2 0 (5)x2 1 0 第1页,共 4页第2页,共4页
(6)2()2()2 ( x 3)2 x 6x 7 0 783x 2x 1 0 2、用配方法解下列一元二次方程。 (1)x22x 8 0(2)x27 x 80 2 (4)t 2 3、已知关于 x 的方程x2ax a0 有两个相等的实数根,求实数 a 的值。 (3)2 x +3=7 x t 1 0 (5)x26x 9 0(6)x23x 30 四、我的收获: 第3页,共 4页第4页,共4页
一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】:【要点综述】:一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前,先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程,一般式为:。一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程,要先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理,如能整理为的形式,那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”,将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。如下表:方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解,<0时无解。配方法二次项系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方。公式法≥0时,方程有解;<0时,方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0,另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1:已知,解关于的方程。分析:注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解:由得:或,当时,原方程为,即,解得.当时,原方程为,即,解得,.说明:由本题可见,只有项系数不为0,且为最高次项时,方程才
是一元二次方程,才能使用一元二次方程的解法,题中对一元二次方程的描述是不完整的,应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明,即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件,就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2:用开平方法解下面的一元二次方程。(1);(2)(3);(4)分析:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程,其解为。通过观察不难发现第(1)、(2)两小题中的方程显然用直接开平方法好做;第(3)题因方程左边可变为完全平方式,右边的121>0,所以此方程也可用直接开平方法解;第(4)小题,方程左边可利用平方差公式,然后把常数移到右边,即可利用直接开平方法进行解答了。解:(1)∴(注意不要丢解)由得,由得,∴原方程的解为:,(2)由得,由得∴原方程的解为:,(3)∴∴∴,∴原方程的解为:,(4)∴,即∴,∴,∴原方程的解为:,说明:解一元二次方程时,通常先把方程化为一般式,但如果不要求化为一般式,像本题要求用开平方法直接求解,就不必化成一般式。用开平方法直接求解,应注意方程两边同时开方时,只需在一边取正负号,还应注意不要丢解。例3:用配方法解下列一元二次方程。(1);(2)分析:用配方法解方程,应先将常数移到方程右边,再将二次项系数化为1,变为的形式。第(1)题可变为,然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方,即:,方程左边构成一个完全平方式,右边是一个不小于0的常数,即:,接下去即可利用直接开平方法解答了。第(2)题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解:(1)二
增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1
第十六期:一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的,一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样,一般分值在6-9分左右。 知识点1:一元二次方程及其解法 例1:方程0232 =+-x x 的解是( ) A .11=x ,22=x B .11-=x ,22-=x C .11=x ,22-=x D .11-=x ,22=x 思路点拨:考查一元二次方程的解法,一元二次方程的解法有:一是因式分解法;二是配方法;三是求根公式法.此题可以用此三种方法求解,此题以因式分解法较简单,此式可以分解为(x -1)(x -2)=0,所以x -1=0或x -2=0,解得x 1=1,x 2=2.故此题选A. 例2:若2 20x x --= ) A B C D 思路点拨:本题考查整体思想,即由题意知x 2-x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+,选A. 练习: 1.关于x 的一元二次方程2x 2-3x -a 2 +1=0的一个根为2,则a 的值是( ) A .1 B C . D .2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根,求它的另一根. 3.用配方法解一元二次方程:x 2-2x -2=0. 答案:1.D. 2.解: 1-是230x bx +-=的一个根, 2(1)(1)30b ∴-+--=.解方程得2b =-.
∴原方程为2230x x --= 分解因式,得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-,23x =. 3.移项,得x 2-2x=2. 配方x 2-2x+12=2+12, (x -1)2=3. 由此可得x -1=±3, x 1=1+3,x 2=1-3. 最新考题 1.(2009威海)若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-,则另一个根是______. 2.(2009年山西省)请你写出一个有一根为1的一元二次方程: . 3.(2009山西省太原市)用配方法解方程2250x x --=时,原方程应变形为( ) A .()216x += B .()216x -= C .()2 29x += D .()2 29x -= 答案:1.1; 2.答案不唯一,如2 1x = 3. B 知识点2:一元二次方程的根与系数的关系 例1:如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根,那么21x x +的值为: (A )-1 (B )2 (C )21- (D )21+ 思路点拨:本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理,两根之和是a b - , 两根之积是a c ,易求出两根之和是2。答案:B 例2:设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x , 则12x x += ,x 1、·x 2 .
一、填空题:(每空3分,共30分) 1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是,它的二次项系数是 . 2、关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0,那么当m时,方程为一元二次方程; 当m时,方程为一元一次方程. 3、若方程 1 2 x 1 2 x m 5 - - = - + 有增根,则增根x=__________,m= . 4、(2003贵阳)已知方程0 4 2 2 2= + -α cos x x有两个相等的实数根,则锐角α=___________. 5、若方程kx2–6x+1=0有两个实数根 .....,则k的取值范围是 . 6、设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根,则= + 2 1 1 1 x x .x12+x22= . 7、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0,当m= 时,两根互为倒数; 当m= 时,两根互为相反数. 8、若x1=2 3-是二次方程x2+ax+1=0的一个根,则a= , 该方程的另一个根x2 = . 9、方程x2+2x+a–1=0有两个负根,则a的取值范围是 . 10、若p2–3p–5=0,q2-3q–5=0,且p≠q,则= + p q 1 1 . 二、细心填一填(每题3分,共24分) 9、关于x的一元二次方程()4 2 3= - x x的一般形式是 3x2-6x-4=0 。 10.当x=_-1或3_ 时,代数式3- x 和-x2 + 3x 的值互为相反数 11、已知方程x2+kx+3=0 的一个根是 - 1,则k= 4 , 另一根为 -3 。 12.如果(a+b-1)(a+b-2)=2,那么a+b的值为___0或3__. 13.若方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是4 14.两个连续自然数的平方和比它们的和的平方小112,那么这两个自然数是____7和8_________ 15.把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形,这个矩形的面积为12cm2,则这个矩形的对角线长是_____5__cm. 16、如图,折叠直角梯形纸片的上底AD,点D落在底边BC上点F处,已知DC=8㎝,FC = 4㎝,则EC长 3 ㎝
一元二次方程的应用 1.某地区2014年投入教育经费2500万元,2016年投入教育经费3025万元. (1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率; (2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2017年该地区将投入教育经费多少万元. 2.白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2014年达到82.8公顷. (1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率; (2)若年增长率保持不变,2015年该镇绿地面积能否达到100公顷? 3.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定位多少元? 4.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售. (1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示); (2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多? 6.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具. (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把化简后的结果填写在表格中: 销售单价(元)x 销售量y(件) 销售玩具获得利润w(元) (2)在(1)问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元. 7.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.
二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二 元一次方程。 2、二元一次方程组的定义:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元 一次方程组。 3、二元一次方程组的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一 次方程的解,二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的 解。 5、代入消元法解二元一次方程组: (1)基本思路:未知数由多变少。 (2)消元法的基本方法:将二元一次方程组转化为一元一次方程。 (3)代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做 代入消元法,简称代入法。 (4)代入法解二元一次方程组的一般步骤: 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数(例如y)用含另一个 未知数(例如x)的代数式表示出来,即写成y=ax+b的形式,即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中,消去y,得到一个关于x的一元一次方程,即“代”。 3、解出这个一元一次方程,求出x的值,即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值,即“回代” 5、把x、y的值用{联立起来即“联”} 6、加减消元法解二元一次方程组 (1)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简 称加减法。 (2)用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等,那么就用适当的数 乘方程两边,使同一个未知数的系数互为相反数或相等,即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数、得到一个一元一次方程,即“加减”。 3、解这个一元一次方程,求得一个未煮熟的值,即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中,求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来,即“联”。 二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即: 2、审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个 未知数; 3、找:找出能够表示题意两个相等关系; 4、列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组; 5、解:解这个方程组,求出两个未知数的值; 6、答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案 一.解答题(共16小题)
第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 教案说明 课题:22.2 降次----解一元二次方程(第2课时) 单位:河南省安阳市梅园中学 姓名:张立界 日期:2012年9月16日
22.2 降次----解一元二次方程(第2课时) 教案说明 河南省安阳市梅园中学张立界 一、教材分析 本节课选自人教版数学教材九年级上册第22章第2节降次----解一元二次方程(第2课时). 一元二次方程的基本解法包括配方法、公式法和因式分解法等.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程,就是降次.配方法是解一元二次方程的重要方法,是在学生已掌握直接开平方法解方程的基础上,讨论比较复杂的一元二次方程,通过对比一边为完全平方形式的方程,使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法.有了配方法的基础,可以得到解一元二次方程的另一重要方法—公式法,进而引出判别式及根与系数的关系,为以后学习二次函数打下良好基础. 二、目标分析 1.知识与技能 理解配方法的算理,会用配方法解一元二次方程. 2.过程与方法 通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理,让学生体会转化的数学思想方法,锻炼学生的抽象概括能力. 3.情感态度价值观 通过使用导学案,培养学生的探究精神和自学能力,形成良好的学习习惯.通过“每天四道题,天天爱学习”的训练,化整为零,化难为易,增加数学的趣味性,让学生在解题中感受到成功的喜悦. 三、教法分析 本课采用“自主、探索、导引”教学思路,学生先学后教,先练后讲,把学习的主动权还给学生,突出学生的主体地位.“导学案”的设计,由易到难,由简到繁,层层推进,让学生逐步学会学习.根据时间安排,导学案可让学生提前预习时完成,节约课堂时间,让学生在课堂上讲思路、讲解法,可进一步提升学生学习能力. 四、教学问题诊断 学生的知识储备:学生已了解平方根和算术平方根概念,已掌握完全平方公 式,会解一元一次方程.前两节已理解一元二次方程的概念,上一节已学过直接开平方法解一元二次方程.具备了学习本课时的基础知识. 学生的能力水平:学生在学习一元一次方程和分式方程中已了解“化归”数学思想,具备了学习本课时的能力.
考点跟踪突破7 一元二次方程 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2014·宜宾)若关于x 的一元二次方程的两根为x 1=1,x 2=2,则这个方程是( B ) A .x 2+3x -2=0 B .x 2-3x +2=0 C .x 2-2x +3=0 D .x 2+3x +2=0 2.(2014·益阳)一元二次方程x 2-2x +m =0总有实数根,则m 应满足的条件是( D ) A .m >1 B .m =1 C .m <1 D .m ≤1 3.(2012·荆门)用配方法解关于x 的一元二次方程x 2-2x -3=0,配方后的方程可以是( A ) A .(x -1)2=4 B .(x +1)2=4 C .(x -1)2=16 D .(x +1)2=16 4.(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为( B ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2-12x +k =0的两个根,则k 的值是( B ) A .27 B .36 C .27或36 D .18 二、填空题(每小题6分,共30分) 6.(2014·舟山)方程x 2-3x =0的根为__x 1=0,x 2=3__. 7.(2013·佛山)方程x 2-2x -2=0的解是. 8.(2014·白银)一元二次方程(a +1)x 2-ax +a 2-1=0的一个根为0,则a =__1__. 9.(2014·呼和浩特)已知m ,n 是方程x 2+2x -5=0的两个实数根,则m 2-mn +3m +n =__8__. 10.(2013·白银)现定义运算“★”,对于任意实数a ,b ,都有a ★b =a 2-3a +b ,如:3★5=32-3×3+5,若x ★2=6,则实数x 的值是__-1或4__. 解析:根据题中新定义将x ★2=6变形得x 2-3x +2=6,即x 2-3x -4=0,解得x 1=-1,x 2=4 三、解答题(共40分) 11.(6分)(1)(2014·遂宁)解方程:x 2+2x -3=0; 解:∵x 2+2x -3=0,∴(x +3)(x -1)=0,∴x 1=1,x 2=-3 (2)(2012·杭州)用配方法解方程:2x 2-4x -1=0. 解:二次项系数化为1得:x 2-2x =12,x 2-2x +1=12+1,(x -1)2=32,x -1=±62 ,∴x 1=62+1,x 2=1-62
一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?
(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。
22.2降次--解一元二次方程(第一课时) 22.2.1 配方法(1) ◆随堂检测 1、方程32x +9=0的根为( ) A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、无实数根 2、下列方程中,一定有实数解的是( ) A 、210x += B 、2(21)0x += C 、2(21)30x ++= D 、21()2x a a -=3、若22 4()x x p x q -+=+,那么p 、q 的值分别是( ) A 、p=4,q=2 B 、p=4,q=-2 C 、p=-4,q=2 D 、p=-4,q=-2 4、若28160x -=,则x 的值是_________. 5、解一元二次方程是22(3)72x -=. 6、解关于x 的方程(x+m )2=n .◆典例分析 已知:x 2+4x+y 2-6y+13=0,求22 2x y x y -+的值.分析:本题中一个方程、两个未知数,一般情况下无法确定x 、y 的值.但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零,可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3,从而使问题顺利解决.解:原方程可化为(x+2)2+(y-3)2=0, ∴(x+2)2=0,且(y-3)2=0, ∴x=-2,且y=3, ∴原式=2681313 --=-.◆课下作业 ●拓展提高 1、已知一元二次方程032=+c x ,若方程有解,则c ________. 2、方程b a x =-2 )((b >0)的根是( ) A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±
3、填空(1)x 2-8x+______=(x-______)2;(2)9x 2+12x+_____=(3x+_____)2 4、若2 2(3)49x m x +-+是完全平方式,则m 的值等于________. 5、解下列方程:(1)(1+x)2-2=0;(2)9(x-1)2-4=0. 6、如果x 2-4x+y 2,求()z xy 的值.●体验中考 1、(2008年,丽水)一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程,其中一个一次方程是6x +=, 则另一个一次方程是_____________. 2、(2009年,太原)用配方法解方程2250x x --=时,原方程应变形为( ) A .2(1)6x += B .2(1)6x -= C .2(2)9x += D .2(2)9x -=
二元一次方程组复习学案 一、知识回顾 1.1 建立二元一次方程组 (1)二元一次方程:叫二元一次方程。 (2)二元一次方程组:叫做二元一次方程组。 (3)方程组的解:叫方程组的一个解。 例题: 1、下列各方程哪个是二元一次方程() A 、8x -y =y B 、xy =3 C 、2x2-y =9 D 、 2、已知是方程2x +ay =5的解,则a =。 同类练习: 1、下列方程组:(1)(2)(3)(4)中,属于二元一次方程组的是( ) (A )只有一个 (B )只有两个 (C )只有三个 (D )四个都是 2、是二元一次方程ax -2=-by 的一个解,则2a -b -6的值等于。 1.2 二元一次方程组的解法 (1)解二元一次方程的基本思想:。 (2)代入消元法:这种解方程组的方法叫做代入消元法。 (3)加减消元法:这种解方程组的方法叫做加减消元法。 例题: 1、由2x -3y -4=0,可以得到用x 表示y 的式子y =。 2.以下方程,与???=+=+75252y x y x 不同解的是 ( ) A .???=+=+104252y x y x B .? ??=+=+75214104y x y x C .???=+=+2352y x y x D .???=+=+7523y x y x 3、已知方程组的解是,则2m+n 的值为。 4、选择恰当的方法解下列方程组 21=-y x ???==12y x ???-==-1253y x y x ???==+y x xy 01? ??+=+=+416z y y x ???=+=326x y x ???-==12y x ???=+=+30ny x y mx ???-==21y x
1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
数项。 3x2+9=9x x2-4x=19 (9x-3)(x+7)=0 4x(x-7)=22 x(x-6)=0 7x(x-9)=9x+9 (3x+2)(x+8)=x(6x+8) 7x2-9=3x 2x(x-3)=23 二、解下列方程。 8x2-9=0 9x2-1=7 (x+1)2-5=0 8(x+5)2-8=0 x2+10x+25=6 6x2+8=8
数项。 x2+1=7x 8x2+1x=26 (6x+5)(x+8)=0 5x(x+8)=9 2x(x+7)=0 x(x-1)=8x-8 (3x+6)(x+6)=x(2x-7) 3x2+2=8x 4x(x-9)=4 二、解下列方程。 6x2-7=0 x2-8=1 (x+3)2-2=0 (x+4)2-8=0 x2+14x+49=1 8x2-4=2
数项。 x2+2=6x 8x2-9x=96 (9x-4)(x+5)=0 x(x-2)=5 8x(x+9)=0 x(x-5)=9x-3 (9x+7)(x-3)=x(5x+1) 3x2-3=5x x(x-4)=20 二、解下列方程。 4x2-5=0 x2-7=1 (x+7)2-1=0 (x-7)2-6=0 x2+6x+9=8 x2+4=9
数项。 x2+8=7x x2+6x=44 (3x-2)(x-5)=0 7x(x-2)=8 9x(x-2)=0 7x(x+3)=8x-1 (4x+3)(x-7)=x(3x-1) x2-2=2x 4x(x-6)=18 二、解下列方程。 4x2-5=0 x2-8=7 (x+9)2-1=0 (x-8)2-6=0 x2-14x+49=6 4x2+4=7
一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者: 设计时间 : 文档类型: 文库精品文档,欢迎下载使用。Word 精品文档,可以编辑修改,放心下载 1.如果2是一元二次方程x 2 +bx +2=0的一个根,那么常数b 的值为 . 2.方程042=-x x 的解______________. 3.方程240x -=的根是( ) A .2x = B .2x =- C .1222x x ==-, D .4x = 4.由于甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来每斤16元下调到每斤9元,求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率为x ,则根据题意可列方程为 . 【参考答案】1.-3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念,会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 (1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断, 注意一元二次方程一般形式中0≠a . (2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. (3)用配方法时二次项系数要化1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接
1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的系数, 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法: (1)直接开平方法:形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程,就可用 直接开平方的方法. (2)配方法:用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是:①化二 次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化原方程为2 ()x m n +=的形式,⑤如果是非负数,即0n ≥,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n <0,则原方程无解. (3)公式法:一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. (4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1(湖南长沙)已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =,则实数k 的值为( ) A .1 B .1- C .2 D .2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根,所以将x=3代入原方程, 原方程成立,即06332 =--k 成立,解得k=1。故选A 。 例2(湖北仙桃)解方程:2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点,可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-
一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义:(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数,所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,在公元前4、5世纪时,古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数
学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解 外,还给出根与系数的关系。我国《九章算术.勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1:下列关于的方程, 哪些是一元二次方程?;(1)(2); (3);(4);22222(5); (6);(7)(8); x注意点:① 二次项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③是整 式方程;④只含有一个未知数.22例1:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。 m例2:方程是关于x的一元二次方程,则m的 值为。2例3:若方程是关 于x的一元二次方程,则m的取值范围 是。mn2例4:若方程nx+x-2x=0是一元二次方程, 则下列不可能的是() A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2(一)、一元二次方程的一般 形式:,它的特征是:等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式,等式右边是零,其中 叫做二次项,叫ax xa做二次项系数;叫做一次项,叫
课题:§2.4因式分解法求解一元二次方程 【学习目标】 1、会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程. 2、在解题过程中灵活使用“换元法” 【学习重难点】 1.重点:利用分解因式法解一元二次方程 2.难点:“整体思想”在解题中的应用 【学习过程】 一、【回顾复习】 1、分解因式是 2、我们学习了解一元二次方程的三种方法是: 3、解下列方程: (1)x2-4=0; (2)x2-3x+1=0; (3)(x+1)2-25=0; (4)20x2+23x-7=0. 二、【自学探究】 1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎 样求出来的? 你还有其他的方法吗? 把方程的一边变为0,而另一边可以分解成两个因式的乘积,然后利用a×b=0,则
a =0或 b =0,把一元二次方程变为一元一次方程,从而求出方程的解.把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法. 三、【合作探究】 1、例题:解下列方程: (1) 5x 2 =4x (2) x -2=x (x -2) (3) (x -1)(x +3)=12 2、想一想:你能用分解因式法解方程x 2-4=0,(x +1)2-25=0吗? 3.解方程:03)53(4)53(2=++-+x x 四、【课堂检测】 1.(1)已知一元二次方程 x 2 -2x=0, 它的解是( ) A 、0 B 、2 C 、0,-2 D 、0,2 (2)方程x(x+3) =-x(x+3)的根为( ) A 、x= 0,x= 3 B 、x=0,x= -3 C 、x= 0 D 、x= -3 (3)若方程x(x+3)(3x+1)=0,则3x+1的值为( )
一元二次方程应用题总结分类及经典例题 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展,从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等. 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解 决问题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设 元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度 不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10+个位数字 三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍. 5、增长率问题 (1)增长率问题的有关公式:
22.2降次---解一元二次方程(第五课时) 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程01322 =--x x 的两根为1x 、2x ,则=+21x x ______. 2、关于x 的一元二次方程2 0x bx c ++=的两个实数根分别为1和2,则b =______, c =______. 3、一元二次方程2 10x ax -+=的两实数根相等,则a 的值为( ) A .0a = B .2a =或2a =- C .2a = D .2a =或0a = 4、已知方程2 310x x ++=的两个根为1x 、2x ,求12(1)(1)x x ++的值. ◆典例分析 已知关于x 的一元二次方程22 (21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x . (1)求实数m 的取值范围; (2)当22 120x x -=时,求m 的值. (提示:如果1x 、2x 是一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根,那么有12b x x a +=- ,12c x x a = ) 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第(2)问中,所求 m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出 错的地方. 解:(1)∵一元二次方程2 2 (21)0x m x m +-+=有两个实数根, ∴△=2 2 (21)41410m m m --??=-+≥,∴1 4 m ≤ . (2)当22 120x x -=时,即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=. 当120x x +=时,依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--, ∴(21)0m --=,∴12 m = . 又∵由(1)一元二次方程2 2 (21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是 14m ≤ ,∴1 2 m =不成立,故m 无解;