专题十三推理与证明
第三十八讲推理与证明
2019年
2019年
8.(2019全国I理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底
的长度之比是51
-
(
51
-
≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如
此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51
-
.若某人满
足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
8 解析头顶至脖子下端的长度为26cm,说明头顶到咽喉的长度小于26cm,
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-1
0.618
2
≈,
可得咽喉至肚脐的长度小于
26
42 0.618
≈,
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1
2
,可得肚脐至足底的长度小
42+26
=110
0.618
,
即有该人的身高小于11068178cm
+=,
又肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm,
即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间.故选B.
9.(2019全国II理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面
软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球 质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,2L 点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和 万有引力定律,r 满足方程:
121
223
()()M M M R r R r r R +=++.
设r
R
α=,由于α的值很小,因此在近似计算中34532
333(1)ααααα++≈+,则r 的近似值为 A
B
C
D
9解析 解法一(直接代换运算):由121223()()M M M R r R r r R +=++及r
R α=可得
121
2222
(1)(1)M M M R r R αα+=++,
32321111
22222222
[(1)1](33)(1)(1)(1)(1)M M M M M r R R R R αααααααα+-++=+-==+++. 因为3453
2333(1)ααααα++≈+,所以211223
33M M M r r r R R R
≈?=,则33213M R r M ≈
,r ≈.故选D.
解法二(由选项结构特征入手):因为r
R
α=
,所以r R α=, r 满足方程:
121
223
()()M M M R r R r r R +=++.
所以345322
1333(1)M M ααααα++=≈+,
所以r R α==
故选D . 2010-2018年
一、选择题
1.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若
11a >,则
A .13a a <,24a a <
B .13a a >,24a a <
C .13a a <,24a a >
D .13a a >,24a a >
2.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则
A .对任意实数a ,(2,1)A ∈
B .对任意实数a ,(2,1)A ?
C .当且仅当0a <时,(2,1)A ?
D .当且仅当3
2
a ≤
时,(2,1)A ? 3.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 A .乙可以知道四人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩
4.(2017浙江)如图,已知正四面体D ABC -(所有棱长均相等的三棱锥),P ,Q ,
R 分别为AB ,BC ,
CA 上的点,AP PB =,2BQ CR
QC RA
==,
分别记二面角D PR Q --,D PQ R --,D QR P --的平面角为α,β,γ,则
R Q
P
A
B
C D
A .γ<α<β
B .α<γ<β
C .α<β<γ
D .β<γ<α
5.(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶
段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则
A .2号学生进入30秒跳绳决赛
B .5号学生进入30秒跳绳决赛
C .8号学生进入30秒跳绳决赛
D .9号学生进入30秒跳绳决赛
6.(2015广东)若集合(){,,,04,04,04Εp q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤,且
,,,}p q r s ∈N ,(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =<<∈N ≤≤≤≤且,
用()card Χ表示集合Χ中的元素个数,则()()card card ΕF += A .200 B .150 C .100 D .50
7.(2014北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不
合格”三种.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”,如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生,那么这组学生最多有 A .2人 B .3人 C .4人 D .5人
8.(2014山东)用反证法证明命题“设,a b 为实数,则方程3
0x ax b ++=至少有一个实根”
时,要做的假设是
A .方程30x ax b ++=没有实根
B .方程3
0x ax b ++=至多有一个实根 C .方程30x ax b ++=至多有两个实根 D .方程3
0x ax b ++=恰好有两个实根
9.(2011江西)观察下列各式: 5
53125=,6
515625=,7
578125=,???,则2011
5的
末四位数字为
A .3125
B .5625
C .0625
D .8125
10.(2010山东)观察2()2x x '=,4
3
()4x x '=,(cos )sin x x '=-,由归纳推理可得:若
定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= A .()f x B .()f x - C .()g x D .()g x - 二、填空题
11.(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B U 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得
112n n S a +>成立的n 的最小值为 .
12.(2017北京)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点i
A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点i
B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i =1,2,3.
①记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则1Q ,2Q ,3Q 中最大的是_ ___. ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则1p ,2p ,3p 中最大的 是______.
13.(2016新课标Ⅱ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走
一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 14.(2016山东)观察下列等式:
22π2π4
(sin )(sin )12333--+=??;
2222π2π3π4π4
(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=??;
2222π2π3π6π4
(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++???+=??;
2222π2π3π8π4
(sin )(sin )(sin )(sin )4599993
----+++???+=??;
…… 照此规律,
2222
π2π3π2π(sin
)(sin )(sin )(sin )21212121
n n n n n ----+++???+=++++_______. 15.(2015陕西)观察下列等式:
1-1122
= 1-1111123434
+-=+
1-1111111123456456
+-+-=++
……
据此规律,第n 个等式可为______________________.
16.(2015山东)观察下列各式:
0014C =;
01
1334C C +=; 01225554C C C ++= 0123377774C C C C +++=
……
照此规律,当*
N n ∈时,
012121212121n n n n n C C C C -----+++???+= .
17.(2014安徽)如图,在等腰直角三角形ABC
中,斜边BC =A 作BC 的垂
线,垂足为1A ;过点1A 作AC 的垂线,垂足为2A ;过点2A 作1A C 的垂线,垂足为
3A ;…,依此类推,设1BA a =,12AA a =,123A A a =,…,567A A a =,则7a =__.
1
3
18.(2014福建)若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系:①1=a ;②1≠b ;③2=c ;
④4≠d 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是____. 19.(2014北京)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一
位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
则最短交货期为 个工作日.
20.(2014陕西)已知0,1)(≥+=
x x
x
x f ,若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11,则)(2014x f 的表达式为________.
21.(2014陕西)观察分析下表中的数据:
猜想一般凸多面体中,E V F ,,所满足的等式是_________. 22.(2013陕西)观察下列等式:
211=
22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-
…
照此规律, 第n 个等式可为 .
23.(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为
()2111
222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为 (),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:
三角形数 ()211,322
N n n n =
+ 正方形数 ()2
,4N n n = 五边形数 ()231,522
N n n n =
- 六边形数 ()2
,62N n n n =- ……
可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N = . 24.(2012陕西)观察下列不等式
213122+
< 231151233++<,
474131211222<+++,
……
照此规律,第五个...
不等式为 . 25.(2012湖南)设2n
N =*
(,2)n N n ∈…,将N 个数12,,,N x x x ???依次放入编号为1,2,…,
N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =???.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数
取出,并按原顺序依次放入对应的前
2N 和后2
N
个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=??????,将此操作称为C 变换,将1P 分成两段,每段
2N
个数,并对每段作C 变换,得到2P ;当22i n -剟时,将i P 分成2i
段,每段2
i N 个数,并对
每段C 变换,得到1i P +,例如,当N =8时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.
(1)当N =16时,7x 位于2P 中的第 个位置;
(2)当2n
N =(8n …)时,173x 位于4P 中的第 个位置. 26.(2011陕西)观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第n 个等式为 .
27.(2010浙江)设112,,(2)(3)23
n n
n n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++???+,将
(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ,则23453355
11110,,0,,,2323T T T T ==
-==-??? ,n T ???其中n T =__________________.
28.(2010福建)观察下列等式:
① cos2α=22cos α-1;
② cos4α=84cos α-82cos α+ 1;
③ cos6α=326cos α-484cos α+ 182cos α-1;
④ cos8α=1288cos α-2566cos α+ 1604cos α-322cos α+ 1;
⑤ cos10α=m 10cos α-12808cos α+ 11206cos α+n 4cos α+p 2cos α-1. 可以推测,m n p -+= . 三、解答题
29.(2018北京)设n 为正整数,集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈=L L .对
于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ,记(,)M αβ=
111122221
[(||)(||)(||)]2
n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--L . (1)当3n =时,若(1,1,0)α=,(0,1,1)β=,求(,)M αα和(,)M αβ的值;
(2)当4n =时,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意元素,αβ,当,αβ相同时,
(,)M αβ是奇数;当,αβ不同时,(,)M αβ是偶数.求集合B 中元素个数的最大
值;
(3)给定不小于2的n ,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意两个不同的元素
,αβ,(,)0M αβ=.写出一个集合B ,使其元素个数最多,并说明理由.
30.(2018江苏)设*n ∈N ,对1,2,···,n 的一个排列12n i i i L ,如果当s t <时,有s t i i >,
则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序,排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1,2,···,n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数. (1)求34(2),(2)f f 的值;
(2)求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示).
31.(2017江苏)对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足
11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++???+++???++=
对任意正整数n ()n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”. (1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
(2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列. 32.(2017北京)设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???,
其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数.
(Ⅰ)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时,
n
c M n
>;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列.
33.(2016江苏)记{}1,2,,100U =L .对数列{}n a (*n ∈N )和U 的子集T ,若T =?,定义
0T S =;若{}12,,,k T t t t =L ,定义12k T t t t S a a a =+++L .例如:{}1,3,66T =时,
1366T S a a a =++.现设{}n a (*n ∈N )是公比为3的等比数列,且当{}2,4T =时,30T S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)对任意正整数k (1100k ≤≤),若{}1,2,,T k ?L ,求证:1T k S a +<; (3)设C U ?,D U ?,C D S S ≥,求证:2C C D D S S S +I ≥. 34.(2016浙江)设函数()f x =31
1x x
+
+,[0,1]x ∈.证明: (1)2
()1f x x x -+≥; (2)
33()42
f x <≤. 35.(2015湖北)已知数列{}n a 的各项均为正数,1
(1)()n n n b n a n n
+=+∈N ,e 为自然对数的
底数.
(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1
(1)n n
+与e 的大小;
(2)计算
11b a ,1212
b b
a a ,123123
b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a L L 的公式,并给出证明;
(3)令112()n
n n c a a a =L ,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明:e n n T S <.
36.(2015江苏)已知集合*
{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈,设{(,)|n S a b =a 整除
b 或,,}n b a a X b Y ∈∈除,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.
(1)写出(6)f 的值;
(2)当6n ≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.
37.(2014天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q L =-,
集合112,,1,2,,{}n n i x q x M i n A x x x x q L L -+?==++.
(1)当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ;
(2)设,s t A ?,112n n s a a q a q -=+++L ,11
2n n t b b q b q -=+++L ,其中i a ,
i b M ∈,1,2,,i n =???.证明:若n n a b <,则s t <.
38.(2013江苏)设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列()0d ≠,n S 是其前n 项和. 记
2
n
n nS b n c
=
+,N n *∈,其中c 为实数. (1)若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明:()2N nk k S n S k,n *=∈; (2)若{}n b 是等差数列,证明:0c =.
《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座 —逻辑、推理与证明、复数、框图 一.课标要求: 1.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系; (2)简单的逻辑联结词 通过数学实例,了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 (3)全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义; ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2.推理与证明 (1)合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用; ②结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理; ③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 (2)直接证明与间接证明 ①结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点; ②结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点; (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题; (4)数学文化 ①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想; ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用; 3.数系的扩充与复数的引入 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件; (3)了解复数的代数表示法及其几何意义; (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4.框图 (1)流程图 ①通过具体实例,进一步认识程序框图; ②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图); ③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用; (2)结构图 ①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息; ②结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。 二.命题走向 常用逻辑用语 本部分内容主要是常用的逻辑用语,包括命题与量词,基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。 预测18年高考对本部分内容的考查形式如下:考查的形式以填空题为主,考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
2012高考真题分类汇编:推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 : 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A .28 B .76 C .123 D .199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项,即 21++=+n n n a a a ,所以可推出12310=a ,选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF = 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断,下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B .d C .d D .d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由,得设选项中常数为则;中代入得, 中代入得,C 中代入得中代入得,由于D 中值最接近的真实值,故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<,
题型一:综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) A.22a b < B.2ab b < C.2b a a b +> D.a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列,则( )。 (A )1845a a a a +<+ (B ) 1845a a a a +=+ (C )1845a a a a +>+ (D )1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题:①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ,满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8;④ 若a 、b ∈R ,则221a b ab a b +++>+。其中正确的是( )。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式:①ca bc ab c b a ++≥++222;②()4 1 1≤ -a a ;③2≥+a b b a ;④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠,则在① ab b a ≥+222;②2≥+b a a b ; 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明
③2 )2 (b a ab +≤;④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中,恒成立的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1,且4log log =?c b c a ,则下列各式中,一定正确的是 ( ) A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值是 ( ) A .2 B .4 C .6 D .8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+,sin sin b αβ=+,则a 、b 之间关系为 ( ) A .a b > B .b a > C .a b = D .不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点,且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?,定义()(,,)f M m n p =, 其中m 、n 、p 分别是MBC ?,MCA ?,MAB ?的面积,若1 ()(,,)2 f P x y =,则14x y + 的最小值是 ( ) A .8 B .9 C .16 D .18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数,则)4 3(-f ,)1(2+-a a f (a ∈R ) 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在(0,2)上是增函数,函数()2y f x =+是偶函数,则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ,向量b a ρρ与的 夹角为0 120,则a b a ρρρ.)2(-=
高考数学简易逻辑与推理1.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为() A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 D[该命题是全称命题,其否定是特称命题,即存在实数,它的平方不是正数,故选项D正确.为真命题,故选D.] 2.(2019·石家庄模拟)“x>1”是“x2+2x>0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 A[由x2+2x>0,得x>0或x<-2,所以“x>1”是“x2+2x>0”的充分不必要条件.] 3.已知命题p:?x0∈R,tan x0=1,命题q:?x∈R,x2>0,下面结论正确的是() A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧(q)”是假命题 C.命题“(p)∨q”是真命题 D.命题“(p)∧(q)”是假命题 D[取x0=π 4,有tan π 4=1,故命题p是真命题;当x=0时,x 2=0,故命 题q是假命题.再根据复合命题的真值表,知选项D是正确的.] 4.命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A.a≥1 B.a>1 C.a≥4 D.a>4 D[命题可化为x∈[1,2),a≥x2恒成立. ∵x∈[1,2),∴x2∈[1,4).∴命题为真命题的充要条件为a≥4,∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4,故选D.]
5.若命题“?x 0∈R ,x 20+(a -1)x 0+1<0”是真命题,则实数a 的取值范围 是( ) A .[-1,3] B .(-1,3) C .(-∞,-1]∪[3,+∞) D .(-∞,-1)∪(3,+∞) D [因为命题“?x 0∈R ,x 20+(a -1)x 0+1<0”是真命题等价于x 20+(a -1)x 0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a -1)2-4>0,即a 2-2a -3>0,解得a <-1或a >3,故选D.] 6.已知命题p :若α∥β,a ∥α,则a ∥β; 命题q :若a ∥α, a ∥β, α∩β=b, 则a ∥b, 下列是真命题的是( ) A .p ∧q B .p ∨(q ) C .p ∧(q ) D .(p )∧q D [若α∥β,a ∥α,则a ∥β或a ?β,故p 假,p 真;若a ∥α,a ∥β,α∩β=b ,则a ∥b ,正确, 故q 为真,q 为假,∴(p )∧q 为真,故选D.] 7.已知f (x )=3sin x -πx ,命题p :?x ∈? ?? ??0,π2, f (x )<0,则( ) A .p 是假命题, p :?x ∈? ????0,π2,f (x )≥0 B .p 是假命题, p :?x 0∈? ????0,π2,f (x 0)≥0 C .p 是真命题, p :?x 0∈? ????0,π2,f (x 0)≥0 D .p 是真命题,p :?x ∈? ?? ??0,π2,f (x )>0 C [因为f ′(x )=3cos x -π,所以当x ∈? ?? ??0,π2时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,即对?x ∈? ?? ??0,π2,f (x ) 历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题46 推理与证明(学生版) 一.选择题(共9小题) 1.(2019?新课标Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为() A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙2.(2019?新课标Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此 外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - .若某人满足上述两 个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( ) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 3.(2017?新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩4.(2016?新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?,B点表示 四月的平均最低气温约为5C ?,下面叙述不正确的是( ) A .各月的平均最低气温都在0C ?以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5.(2016?北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每 次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A .乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B .乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C .乙盒中红球不多于丙盒中红球 D .乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6.(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不 合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有( ) A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 7.(2013?广东)设整数4n ,集合{1X =,2,3,?,}n .令集合{(S x =,y ,)|z x ,y , z X ∈,且三条件x y z <<,y z x <<,z x y <<恰有一个成立}.若(x ,y ,)z 和(z ,w ,)x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) 推理与证明 1.(2019全国II 文5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 2.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若 11a >,则 A .13a a <,24a a < B .13a a >,24a a < C .13a a <,24a a > D .13a a >,24a a > 3.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则 A .对任意实数a ,(2,1)A ∈ B .对任意实数a ,(2,1)A ? C .当且仅当0a <时,(2,1)A ? D .当且仅当3 2 a ≤ 时,(2,1)A ? 4.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说, 你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则 A .乙可以知道两人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩 5.(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B U 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得 112n n S a +>成立的n 的最小值为 . 6.(2017北京)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数; 普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座41—逻辑、推理与证明、复数、 框图) 一.课标要求: 1.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系; (2)简单的逻辑联结词 通过数学实例,了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 (3)全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义; ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2.推理与证明 (1)合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用; ②结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理; ③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 (2)直接证明与间接证明 ①结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点; ②结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点; (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题; (4)数学文化 ①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想; ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用; 3.数系的扩充与复数的引入 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件; (3)了解复数的代数表示法及其几何意义; (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4.框图 (1)流程图 ①通过具体实例,进一步认识程序框图; ②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图); 1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式: ????sin π3-2+????sin 2π3-2=43 ×1×2; ????sin π5-2+????sin 2π5-2+????sin 3π5-2+????sin 4π5-2=43×2×3; ????sin π7-2+????sin 2π7-2+????sin 3π7-2+…+????sin 6π7-2=43×3×4; ????sin π9-2+????sin 2π9-2+????sin 3π9-2+…+????sin 8π9-2=43 ×4×5; … 照此规律,????sin π2n +1-2+????sin 2π2n +1-2+????sin 3π2n +1-2+…+??? ?sin 2n π2n +1- 2=__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n +1) 【解析】观察等式右边的规律:第1个数都是4 3,第2个数对应行数n ,第3个数为n +1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i =1,2,3,…,n ),观察下列不等式: a 1+a 2 2≥a 1a 2; a 1+a 2+a 33≥3 a 1a 2a 3; a 1+a 2+a 3+a 44≥4 a 1a 2a 3a 4; … 照此规律,当n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *,n ≥2). 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式: 第36讲 合情推理与演绎推理 1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理,或者由个别的事实概括出一般结论的推理. ②特点:是由__部分__到__整体__、由__个别 __ 到__ 一般__的推理. (2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有__这些特征__的推理. ②特点:是由__特殊__到__特殊__的推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__. ③结论——根据一般原理,对__特殊情况__做出的判断. 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.(×) (2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(×) (3)“所有3的倍数都是9的倍数,若数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.(√) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(×) 解析(1)错误.归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理. (2)错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适. (3)正确.因为大前提错误,所以结论错误. (4)错误.演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确. 2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(C) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的. 3.数列2,5,11,20,x,47,…中的x=(B) A.28B.32 C.33D.27 解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9. 则x-20=12,因此x=32. 4.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n; ②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中结论正确的个数是(B) A.0B.1 C.2D.3 解析只有③正确. 5.观察下列不等式: 1+1 22<3 2, 1+1 22+1 32< 5 3, 2018高考文科数学推理与证明专项100题(WORD版含答案)1. 下列说法中正确的是() A.当a>1时,函数y=a x是增函数,因为2>1,所以函数y=2x是增函数,这种推理是合情推理 B.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是演绎推理 C.命题的否定是¬P:?x∈R,e x>x D.若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小 2. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”. 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为() A.2017×22015B.2017×22014C.2016×22015D.2016×22014 3. 用反证法证明命题:“若a,b∈R,则函数f(x)=x3+ax﹣b至少有一个零点”时,假设应为() A.函数没有零点B.函数有一个零点 C.函数有两个零点D.函数至多有一个零点 4. 分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b2﹣ac< 3c2,则证明的依据应是() A.c﹣b>0 B.c﹣a>0 C.(c﹣b)(c﹣a)>0 D.(c﹣b)(c﹣a)<0 5. 有一段演绎推理是这样的“所有边长都相等的多边形为凸多边形,菱形是所有边长都相等的凸多边形,所有菱形是正多边形”结论显然是错误的,是因为() A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 6. 我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为() A.B.C.D.a 7. 定义:“回文”是指正读反读都能读通的句子,它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏,如“我为人人,人人为我”等.在数学中也有这样一类数字有这样的特征,称为回文数.设n是一任意自然数.若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等,则称n 为一回文数.例如,若n=1234321,则称n为一回文数;但若n=1234567,则n不是回文数.则下列数中不是回文数的是() A.187×16 B.1112C.45×42 D.2304×21 8. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧,每天一部.受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演;《茶馆》不能在周一和周三上演;《天籁》不能在周三和周四上演;《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是() A.《雷雨》只能在周二上演 B.《茶馆》可能在周二或周四上演 C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D.四部话剧都有可能在周二上演 9. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时, 小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过; 小孙说;小钱去过; 小李说:我没去过. 假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是() A.小赵B.小李C.小孙D.小钱 10. 设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球半径为R,四面体S﹣ABC的体积为V,则R=() 福利:本教程由捡漏优惠券(https://www.wendangku.net/doc/3f2920994.html, )整理提供 领红包:支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包,一般都是5-10元 支付的时候把选择余额宝就行呢 每天都可以领取早餐钱哟! 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式: ????sin π3-2+????sin 2π3-2=43 ×1×2; ????sin π5-2+????sin 2π5-2+????sin 3π5-2+????sin 4π5-2=43×2×3; ????sin π7-2+????sin 2π7-2+????sin 3π7-2+…+????sin 6π7-2=43×3×4; ????sin π9-2+????sin 2π9-2+????sin 3π9-2+…+????sin 8π9-2=43 ×4×5; … 照此规律,????sin π2n +1-2+????sin 2π2n +1-2+????sin 3π2n +1-2+…+??? ?sin 2n π2n +1- 2=__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n +1) 【解析】观察等式右边的规律:第1个数都是4 3,第2个数对应行数n ,第3个数为n +1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i =1,2,3,…,n ),观察下列不等式: a 1+a 2 2≥a 1a 2; a 1+a 2+a 33≥3 a 1a 2a 3; a 1+a 2+a 3+a 44≥4 a 1a 2a 3a 4; … 照此规律,当n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n历年高考数学真题精选46 推理与证明
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:推理与证明
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