≠>=且,总有a )1(f =.
二、对数函数
(一)对数的概念:
一般地,如果N a x
=)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N
x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ;○2 x N N a a x
=?=log . 两个重要对数:
○
1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○
2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数
N ?log N
(二)对数的运算性质
如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ;
○2 =N M
a log M a log -N a log ;
○3 n
a M log n =M a log
)(R n ∈. 注意:换底公式
a
b
b c c a log log log =
(0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式可得下面的结论:
(1)b m n b a n
a
m log log =; (2)a
b b a
log 1
log =.
(三)对数函数
1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.
如:x
y 2log 2=,5
log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ○
2 对数函数对底数的限制:0a >,且1a ≠.
21.幂函数定义:一般地,形如α
x y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数.
2.幂函数性质归纳:
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)当0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当1
0<<α时,幂函数的图象上凸; (3)当0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1.函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数
))((D x x f y ∈=的零点. 2.函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即:方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点. 3.函数零点的求法: ○
1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4.二次函数的零点:
二次函数)
0(2
≠++=a c bx ax y . (1)△>0,方程02
=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有
两个零点.
(2)△=0,方程02
=++c bx ax 有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有
一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程02
=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 二、函数的应用
解答数学应用题的关键有两点:
一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;
二是要合理选取参变数,设定变元后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数、方程、不等式等数学模型;最终求解数学模型使实际问题获解.
数学必修2各章知识点总结
第一章 空间几何体
1 结 构 特 征 性质 图例 棱柱 (1)两底面相互平行,其余各面都是平行四边形; (2)侧棱平行且相等. 圆
柱
(1)两底面相互平行;(2)侧面的母线平行于圆柱的轴; (3)是以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲
面所围成的几何体.
棱锥 (1)底面是多边形,各侧面均是三角形; (2)各侧面有一个公共顶点. 圆锥 (1)底面是圆;(2)是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲
面所围成的几何体.
棱台 (1)两底面相互平
行;(2)是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截
面之间的部分.
圆台 (1)两底面相互平行;
(2)是用一个平行于圆锥底面的
平面去截圆锥,底面和截面之间
的部分. 球
(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)是以半圆的直径所
在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.
2三视图定义:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行且长度不变;
②原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行,长度为原来的一半.
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
( 表面积相关公式 表面积相关公式
棱柱 2S S S =+侧全底 圆柱 2
22S r r h ππ=+全
(r :底面半径,h :高) 棱锥 S S S =+侧全底
圆锥 2
S r r l ππ=+全
(r :底面半径,l :母线长) 棱台
S S S S =++侧全上底下底
圆台
22('')S r r r l r l π=+++全
(r :下底半径,r ’:上底半径,l :母线长)
( 体积公式
体积公式 棱柱 V S h =底高
圆柱
2V r h π=
棱锥 1
3
V S h =底高 圆锥 21
3
V r h π=
棱台
1('')3
V S SS Sh =++
圆台
22
1('')3
V r rr r h
π=++ (3)球体的表面积和体积公式:V 球=343
R π ; S 球面=4R
第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系
1、空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)平面
① 平面的概念: 平面是无限伸展的.
② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC.
③ 点与平面的关系:点A 在平面α内,记作A α∈;点A 不在平面α内,记作A α?. 点与直线的关系:点A 在直线l 上,记作:A ∈l ; 点A 在直线l 外,记作A ?l.
直线与平面的关系:直线l 在平面α内,记作l ?α;直线l 不在平面α内,记作l ?α.
(2)平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下: 公理1 公理2 公理3
图形语言
文字
语言
如果一条直线上的两点
在一个平面内,那么这条
直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点,有
且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号
语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈???
?∈∈?
,,,,ABC ABC α
?不共线确定平面
,l P P P l αβαβ=?
∈∈??
∈?
推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(3)空间直线与直线之间的位置关系
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
①空间两条直线的位置关系:????
??
??
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. ②异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线
③异面直线所成角:已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线//,//a a b b '',把,a b ''所成的锐
角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角(或夹角). ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关,为了简便,点O 通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为(0,90]?,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→
定角→计算.
④等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补. (4)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种位置关系的符号表示:a α?; a ∩α=A ;a ∥α .
(5)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点,记作α∥β.
相交——有一条公共直线,记作α∩β=b.
2、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,
则该直线与此平面平行.(线线平行?线面平行) 符号表示为:,,////a b a b a ααα
???.
线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行.线面平行?线线平行
符号表示为:////a a a b b αβαβ??
????=?
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,
那么这两个平面平行.(线面平行→面面平行),
用符号表示为:,,////,//a b a b P a b βββααα??=?
??
?
. *(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行→面面平行), *(3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)
用符号表示为:α∥β,a ?β//a α?
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)
用符号表示为:α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b //a b ?
3、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.
②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.
③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直. (2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,
那么这条直线垂直这个平面.(线线垂直→线面垂直) 用符号表示为:l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ,m α,n α?l ⊥α
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 用符号表示为:a ⊥α,b ⊥α? //a b
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,
那么这两个平面互相垂直.(线面垂直→面面垂直)
用符号表示为:a ?α,α⊥β?α⊥β.
性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内
垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.(面面垂直→线面垂直)
用符号表示为:αβ⊥,l αβ=,a α?,a l ⊥?a β⊥.
4、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为 0.
②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O ,分别作与两条异面直线a ,b 平行的直线b a '',,形成
两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. (2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为
0.
②平面的垂线与平面所成的角:规定为
90.
③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”. (3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内..分别作垂直于...棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.
*垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
第三章 直线与方程
1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
β a
α
b
定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我
们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.
即t
a n k α=.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当[)
90,0∈时,0≥k ;当()
180
,90∈α时,090=α时,k 不存在. ②过两点的直线的斜率公式:)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
③设1122
(,),A x y B xy ,(),则线段AB 中点坐标公式为1212
(,)22
x x y y ++
2、直线的方程
名称 方程 适用范围 点斜式 y -y 0=k (x -x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y =kx +b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y -y1y2-y1=x -x1x2-x1 不含直线x =x 1(x 1≠x 2) 和直线y =y 1(y 1≠y 2) 截距式 xa +yb =1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax +By +C =0(A 2+B 2
≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 注意:各式的适用范围; ○
2特殊的方程如: 平行于x 轴的直线:b y =(b 为常数); 平行于y 轴的直线:a x =(a 为常数).
(2)直线系方程(即具有某一共同性质的直线)
①平行直线系:平行于已知直线00
00=++C y B x A (00,B A 是不全为0的常数)的直线系方程为:00
0=++C y B x A (C 为参数) ②垂直直线系:垂直于已知直线00
00=++C y B x A (00,B A 是不全为0的常数)的直线系方程为:00
0=+-C y A x B (C 为参数) ③过定点的直线系:
(ⅰ)斜率为k 的直线系方程为()
00x x k y y -=-,直线过定点()00,y x ;
*(ⅱ)过两条直线0:1
111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()02
22111=+++++C y B x A C y B x A λ
(λ为参数),其中直线2l 不在直线系中.
3、两直线平行与垂直
已知111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,则212121,//b b k k l l ≠=?;12
121-=?⊥k k l l 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. 4、两条直线的交点
0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 相交,交点坐标即方程组??
?=++=++00222111C y B x A
C y B x A 的一组解. 方程组无解21//l l ?
; 方程组有无数解?1l 与2l 重合
5、距离公式:
(1)平面上任意两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离为|P 1P 2|=2
2
2121
()()x x y y -+-. 特别地,当12,P P 所在直线与x 轴平行时,1212||||P P x x =-;当12,P P 所在直线与y 轴平行时,
1212
||||P P y y =-; (2)平面上任意一点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)的距离为d =|Ax0+By0+C|\r(A2+B2).
(3)两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0(其中A ,B 不同时为0,且C 1≠C 2)间的距离为
d =|C1-C2|\r(A2+B2).
第三章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程()()2
2
2
r
b y a x =-+-,圆心()b a ,,半径为r ;
(2)一般方程0
2
2=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为?
?
? ?
?--2,2
E D ,半径为
F E D r 42
122-+= 当0422=-+F E D 时,表示一个点; 当042
2<-+F E D 时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需要求出a ,b ,r ;若利用一般方程, 需要求出D ,E ,F.
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置. 3位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0
(利用圆被截得弦的性质(垂径定理):弦长2
2
2||d r AB -=
(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k ,得到方程【一定两解】;
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2
,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点的切线方程为
(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定.
设圆()()221
211:r b y a x C =-+-,()()2
22222:R b y a x C =-+- 当r R d +>
时两圆外离,此时有公切线四条; 当r R d +=时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当r R d r R +<<-时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当r R d -=时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当r R d -<时,两圆内含; 当0=d
时,为同心圆.
注意:已知两圆相切,两圆心与切点共线,圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点.
5.空间直角坐标系
(1)定义:从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ,这样的坐标系
叫做空间直角坐标系O -xyz ,点O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
(2)任意点坐标表示:空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示,有序实数组(,,)x y z 叫做点
M在此空间直角坐标系中的坐标,记作
(,,)Mxyz (x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标)
(3)空间两点距离坐标公式:21
2212212)()()(z z y y x x d -+-+-=
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