任意角的三角函数说课稿1

任意角的三角函数说课稿

各位老师你们好！今天我要说的课题是《任意角的三角函数》。

一、说教材

1、地位和作用：

本节课是人教版数学（必修）4第一章三角函数的第一节任意角的三角函数第一课时。它是本章教学内容的基本概念, 也是学好全章内容的关键，对三角内容的整体学习至关重要，同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，也是今后高考的必考内容之一。

根据本教材的结构和内容分析，结合学生的认知特点和心理特征，我制定了如下的教学目标：

2、教学目标：

知识与技能方面：

掌握任意角的三角函数的定义，会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式，最后要理解三角函数的两域。

方法与过程上：

体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想.

-

情感态度与价值观方面：

培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事求是的科学态度.

本着高一新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重难点：

3、重点、难点：

重点是正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法，终边相同角的诱导公式（一）

难点是把三角函数理解为以实数为自变量的函数，以及单位圆的应用。

为了讲清教材的重难点，使学生能够达到既定的教学目标，在重点上有所掌握，难点上有所突破，我再从教法和学法上谈谈：

二、说教、学方法

一方面，我们都知道数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，我主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。

教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。

`

根据本节课内容以及学生认知特点和我自己的教学风格，主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学.

另一方面，人们常说：“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。让学生从机械的“学答”

向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。这节课

在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳

法、自主探究法、总结反思法。同时学生具备一定的自学能力，教学中通过学生

对已掌握的知识进行拓展,既培养学生从现有知识探索新知识的能力,又提高了学

生解决问题的数学思想与数学意识。最后我具体来谈谈这一堂课的教学过程：

三、说课堂教学程序

1、复习回顾

开门见山，面对全体学生提问：

在初中我们初步学习了锐角三角函数，角推广后，这样的三角函数的定义是

否再适用下面探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回顾：

（问题1）我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余

弦、正切三个三角函数.那么这三个三角函数分别是怎样规定的

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b

=== ． (设计意图：通过学生对锐角的三角函数概念的回顾，为后面探索任意角的三

角函数作了铺垫，是一种推广和拓展的过程. 温故知新，让学生体会知识的

产生、发展过程.)

2、 、

3、 引申铺垫、创设情景

（问题2）前面我们已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，我们能否用

直角坐标系来研究锐角三角函数让学生独立思考或自由讨论，教师对学困生作启

发引导.

师生共做（学生口述，教师板书图形和结果）：

把锐角α安装（如何安装角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重

合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，构造一个

Rt ΔOMP ，则∠ MOP=α（锐角），设P （x,y ）（x ＞0、y ＞0），α的邻边|OM |=x 、

对边|MP|=y ，斜边长|OP ∣=r.

根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比

除此之外，我们还可以用单位圆（在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度

为半径的圆）定义锐角三角函数，P 点就是α的终边与单位圆的交点，锐角三角函数可以直接用单位圆上点的坐标表示：

sin α=

y ，cos α=x ，tan α=(0)y x x ≠ ?

(设计意图：此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥

梁，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 初中以直角

sin α=斜边对边=r y ，cos α=斜边邻边=r x ，tan α=邻边对边=x

y

三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既

要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 体现了学生构建知识

的能力，也是数学发现的重要思想和方法，为学生在以后学习中对某些知识进

行推广拓展奠定了基础. )

（问题3）各个比值与角之间有怎样的关系比值是不是函数

当锐角α大小发生变化时，比值会改变吗

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释

说明：保持r 不变，让P 绕原点O 旋转即α

随之变化的直观形象。结论是：比值随α的变化而变化. 引导学生观察图3

对于锐角α的每一个确定值，比值都是确定的，

不会随P 在终边上的移动而变化.

得出结论(强调

)：当α每一个确定值，比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化. 所以，比值

分别是以角

α为自变量、以比值为函数值的函数.

(设计意图：学生对函数理解较肤浅，在这让学生在思维上更上了一个层次，

扣准函数概念的内涵，且从函数知识演绎三角函数知识，是准确理解三角函数概

念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键)

》

3、分析归纳、自主定义

（问题4）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗

由上述分析自然水到渠成，师生共同进行探索和推广：对于一个任意角α，

它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：

终边分别在四个半轴上的情形：

（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）

怎样刻画任意角的三角函数呢研究它的六个比值：

1）三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除

原点外）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，

那么

（图4） P(x,y) y x O · P(x,y) y x * · P(x,y) y x O · P(x,y) y x | · （图5）

（1）比值y r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； @

（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r

α=； （3）比值y x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r x

α=； （6）比值r y

叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=． 说明：①sin α不表示sin 与α的乘积，它是函数记号是一个整体,相当于函数记号f （x ）. 其它几个三角函数也如此。

②α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

③根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

④当()2k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x

都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r y α=

无意义； ⑤任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 。

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

易知任意角的三角函数可以看成是以实数为自变量的函数. 我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.

2）诱导公式

在三角函数的定义，结合角的概念可知：随着角旋转当终边相同时，不同角三角函数值却相同。即有：

sin(2)sin k απα+=，

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈．

tan(2)tan k απα+=，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

3）三角函数的定义域、值域

引导学生从定义出发，利用坐标平面内的点的特征的定义域，函数值的范围由

对任意性的全面把握. 明确比值存在与否的条件，为确定函数定义域和值域作准备. 动画演示比值与角之间的依赖性与确定性关系，深化理解三角函数内涵. 引导学生在理解的基础上自主地对三角函数作出明确定义，是本节课的中心任务. )

4、符号判断、形象识记

（问题五）如何判断三角函数值的正、负 引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r ＞0,三角函数值的符号决定于x 、y 值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

[

（同好得正、异号得负）

sin α= y/r ：上正下负横为0 cos α=x/r ：左负右正纵为0 tan α=y/x ：交叉正负

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

（设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. ）

四、例题分析、练习巩固

自学 例1：已知角α的终边经过点P （2，-3），求α的六个三角函数值. 思考：计算什么对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义.

点评：角α终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）.

补充例题：已知角α的终边经过点P （x ，-3），cos α=4/5，求α的其它五个三角函数值.

$ 师生探索：已知y=-3，要求其它五个三角函数值，须知r=，x=.根据定义得22)3(-+x x =54（方程思想）

， x ＞0，解得x=4，解答略. ， －y － ＋

＋ x － y ＋ － ＋ x ＋ y 、 －

－ ＋ x

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

（设计意图：及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终. ）

（五）课时小结

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

（设计意图：在课堂内及时总结识记，让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力. ）

（六）布置作业

习题第1，2题

各位老师，本节课我根据学生的心理特征及其认知结构，采用直观教学和活动探究的教学方法，以“教师为主导，学生为主体”，教师的“导”立足于学生的“学”，以学法为重心，放手让学生自主探索的学习，主动地参与到知识形成的整个思维过程，力求使学生在积极、愉快的课堂氛围中提高自己的认识水平，从而达到预期的教学效果。我的说课完毕，谢谢大家。

2011-9-4