2021届湖南省长郡中学高三月考理科数学试题Word版含答案
2021届湖南省长郡中学高三月考理科数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知i 是虚数单位，且集合*i -1|,N i 1n M z z n ??????==∈?? ?+??????
，则集合M 的非空子集的个数为（ ） （A ）16 （B ）15 (C) 8 (D)7
（2）在正项等比数列{}n a 中，1321
,,22a a a 成等差数列，则91078
a a a a ++＝（ ） （A
）1 （B
）1
(C) 3+
(D)3-（3）已知命题()000:,0,34x x p x ?∈-∞<；命题:0,,tan 2q x x x π???∈> ???
.则下列命题中为真命题的是（ ） （A ）p q ∧ （B ）()p q ?∨ (C) ()p q ?∧ (D) ()p q ?
∧ （4）若tan 34πθ??+=- ??
?，则222sin cos θθ-＝（ ） （A ）65- （B ）75- (C) 65 (D)75
（5）已知+,R a b ∈，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为（ ）
（A ）12 （B ）25
(C) 13+
(D)12+
（6）对于常数k 定义()(),(),()k f x f x k f x k f x k
≥?=?
（7）已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上的点A 满足212AF F F ⊥.若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A 的最大值为（ ）
（A
（B
(C) 94
(D)154 （8）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的
正方形，如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A ）16 （B ）13
(C) 23 (D)56 （9）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，
若圆俯视图侧视图正视图
C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）[]5,7 （B ）[]4,6 (C) []4,7 (D)[]3,5
（10）已知实数,x y 满足约束条件()000x x y a x y a ≥??-≤>??+≤?，若z x ay =+的最大值为2，
则2m m +>的最小值为（ ）
（A
（B
）
(C) (D)6
（11）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若△ABC
ab 的最小值为（ ）
（A ）12 （B ）1
3 (C) 16 (D)3
（12）已知函数2ln ,0()41,0
x x f x x x x ?>?=?++≤??，若关于x 的方程2()()0f x bf x c -+=(),R b c ∈有8个不同的实数根，则b c +的取值范围是（ ）
（A ）()1,3 （B ）()2,3 (C)()0,2 (D)()0,3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
（13）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且12AN NC =
，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为_____________.
（14）设函数()y f x =在其图象上任意一点00(,)x y 处的切线方程为0y y -=()20036x x -()0
x x -，且(3)0f =，则不等式10()
x f x -≥的解集为_____________. （15）已知双曲线()2
22:410x C y a a
-=>
，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值为_____________.
（16）已知()f n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9f =；10的因数有1,2,5,10，则(10)5f =，那么()2016(1)(2)(3)21f f f f ++++-＝_____________.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
若函数()21()sin cos 02
f x ax ax ax a =->的图象与直线y b =相切，并且切点的横坐标依次成公差
为
2
π的等差数列. （I ）求,a b 的值； （II ）若00,2x π??∈????，且0x 是()y f x =的零点，求函数()f x 在区间00,2x x π??+???
?上的单调递增区间.
（18）（本小题满分12分）
已知*N n ∈，数列{}n d 满足()
312n n d +-=，数列{}n a 满足1232n n a d d d d =++++；又在数列{}n b 中
12b =，且对*,N m n ?∈，m n n
m b b =. （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（II ）将数列{}n b 中的第1a 项、第2a 项、第3a 项、…、第n a 项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列{}n c ，求数列{}n c 的前2016项的和2016T .
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===,四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 的中点，点E 为BC 上的动点，且
BE EC λ=. （I ）求证：平面ADM ⊥平面PBC ；
（II ）是否存在实数λ,使得二面角P DE B --的余弦值为
23？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.
P M E D C
B A
（20）（本小题满分12分）
如图，曲线L 由曲线()22122:10,0,0x y C a b y a b +=>>≤和曲线()22
222:10x y C y a b
-=>组成，其中12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.
（I ）若()()232,0,6,0F F -，求曲线L 的方程；
（II ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；
（III ）对于（I ）中的曲线L ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求△1CDF 的面积的最大值.
（21）（本小题满分12分） 设函数
()e ,()x g x f x g x λ==??（I ）求函数()f x 的极值；
（II ）证明：对R ,R a x ++?∈?∈，使得不等式()11g x a x
--<成立； （III ）设12,R λλ+∈，且121λλ+=，证明：对12,R ,a a +?∈都有12121122a a a a λλλλ≤+.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．
（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程为2142x t y t =-??=--?
（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ
=-. （I ）求曲线2C 的直角坐标系方程；
（II ）设1M 是曲线1C 上的点，2M 是曲线2C 上的点，求12M M 的最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知,,a b c 为非零实数.
（I ）若存在实数,,n p q 满足：2222222a b c n p q ++=++=，求证：
444
222
2n p q a b c ++≥； （II ）设函数2()f x ax bx c =++，若{}1,0,1x ∈-时，()1f x ≤，求证：[]1,1x ∈-时，2ax b +≤.