高考文科数学试题分类汇编导数

2012高考文科试题解析分类汇编：导数

1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是

【答案】C

【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则

()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性及导数的关系，属于基础题．

2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数

A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b

B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b

C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b

D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A

【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.

【解析】若23a b e a e b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2x f x e x =+，

则()20x f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即

a ＞

b 成立．其余选项用同样方法排除．

3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x

+lnx 则 （ ） A ．x=1

2

为f(x)的极大值点 B ．x=12

为f(x)的极小值点

C ．x=2为 f(x)的极大值点

D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.

【解析】()22212

'x f x x x x

-=-

+=，令()'0f x =，则2x =． 当2x <时，()22212

'0x f x x x x -=-+=<；

当2x >时，()22212

'0x f x x x x

-=-+=>．

即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的．

所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ．

4.【2012高考辽宁文8】函数y=12

x 2-㏑x 的单调递减区间为

（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【答案】B

【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

【解析】21

1ln ,,00,02

y x x y x y x x x x ''=-∴=->∴<由≤，解得-1≤≤1,又≤1,

故选B

5.【2102高考福建文12】已知f （x ）=x 3-6x 2+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：

①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④ 【答案】C ．

考点：导数。 难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。

解答：c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23， 9123)('2+-=x x x f

)

3)(1(3)34(32--=+-=x x x x

导数和函数图像如下：

由图04961)1(>-=-+-=abc abc f ，

0275427)3(<-=-+-=abc abc f ，

且0)3()0(<=-=f abc f ， 所以0)3()0(,0)1()0(<>f f f f 。

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为

(A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

【解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，

Q 的纵坐标分别为8,2.由221

2,,,2

x y y x y x '==∴=则所以过点P ，Q 的抛

物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4

)

x (

【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标及直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义及直线方程，是简单题.

【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：

430x y --=.

8.【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2

B 、(1,0)

C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像及x 轴围成的图形的面积为 【答案】4

1

。

【解析】根据题意，得到12,02

()122,12

x x f x x x ?

≤≤??=??-+≤??，

从而得到???

????≤+-≤≤==1

21,222

10,2)(22

x x x x x x xf y 所以围成的面积为

4

1

)22(21

2

12210

=

+-+=??dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 .

【点评】本题主要考查函数的图象及性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加

强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 9【2102高考北京文18】（本小题共13分） 已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。

若曲线y=f(x)及曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值；

当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。

【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间

[,2]k 包含极大值点13x =-，比较重要。

解：（1）()2f x ax '=，2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =及曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线，所以(1)(1)f g =，(1)(1)f g ''=．即11a b +=+且23a b =+．解得3,3a b == （2）记()()()h x f x g x =+

当3,9a b ==-时，32()391h x x x x =+-+，2()369h x x x '=+- 令()0h x '=，解得：13x =-，21x =； ()h x ()h x '(,2]-∞

当3k ≤-时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=； 当32k -<<时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(,3]-∞-

10.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=

+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴

(1)32=0

f'a b =++，

(1)32=0

f'a b -=-+，解得

==3a b -0，。

（2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ， ∴

()()

2

3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得

123==1=2x x x -，。

∵当2x <-时，()0g x <'；当21'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

∵当21时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =

-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d

时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根

为I 和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。

当

2

d <时，∵

(1)=(2)=20

f d f d d >----，

(1)=(2)=20f d f d d <----- ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。 由（1）知()()()=311f'x x x +-。

① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，

于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，

无实根。 ② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当()1 1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵

(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间

断，

∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。 因此，当=2d

时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足

12=1 =2x x ，；当2d < 时

()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x

。 现考虑函数()y h x =的零点：

( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，

。

而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，

故()y h x =有5 个零点。

( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，

满足2 =3, 4, 5i

t

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个

零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当

2c <时，函数()y h x =有

9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分=2d

和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根

的情况；再考虑函数()y h x =的零点。

11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分） 已知函数a ax x a x x f ---+

=2

32

13

1

)(，x 其中a>0.

（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；

（III ）当a=1时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M （t ），最小值为m （t ）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值。 【

解

析

】

(

Ⅰ

)

32

211()()(1)(1)()32

a f x x x ax a f x x a x a x x a -'=+--?=+--=+-

()01f x x '>?<-或x a >，()01f x x a '

得：函数)(x f 的单调递增区间为(,1),(,)a -∞-+∞，单调递减区间为(1,)a -

(Ⅱ) 函数)(x f 在(2,1)--内单调递增，在(1,0)-内单调递减 原命题1(2)0,(1)0,(0)003

f f f a ?-<->

f f f f f f =-=--==---=

()f x 在[3,1],[1,2]--上单调递增,在[1,1]-上单调递减

当[3,2],3[0,1]()(1),()(2)(1)t t M t f m t f f ∈--+∈?=-≤-= 4()(1)(1)3

g t f f ?≥--=

当[2,1],3[1,2]()(1),()(1)t t M t f m t f ∈--+∈?=-= 4()(1)(1)3

g t f f ?=--=

得：函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值为

43

12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）

设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，

D A B =.

（1）求集合D （用区间表示）

（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 【解析】（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++，

229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ?=+-=-+=--。

① 当103

a <≤时，0?≥，

方程()0g x =的两个根分别为1x =，